Тензор напряжений Коши

Представление механического напряжения в каждой точке деформированного трехмерного объекта

В механике сплошной среды тензор напряжений Коши (символ , названный в честь Огюстена-Луи Коши ), также называемый истинным тензором напряжений ^[1] или просто тензором напряжений , полностью определяет состояние напряжения в точке внутри материала в деформированном состоянии, размещении или конфигурации. Тензор второго порядка состоит из девяти компонент и связывает вектор направления единичной длины e с вектором тяги T ^{( e )} через воображаемую поверхность, перпендикулярную e : ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle \sigma _{ij}}$

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {e} )}=\mathbf {e} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\quad {\text{or}}\quad T_{j}^{(e)}=\sum _{i}\sigma _{ij}e_{i}.}$^[а]

Базовыми единицами СИ как тензора напряжения, так и вектора тяги являются ньютон на квадратный метр (Н/м ² ) или паскаль (Па), соответствующие скаляру напряжения. Единичный вектор безразмерен .

Тензор напряжений Коши подчиняется закону преобразования тензора при изменении системы координат. Графическим изображением этого закона преобразования является круг Мора для напряжений.

Тензор напряжений Коши используется для анализа напряжений материальных тел, испытывающих малые деформации : это центральное понятие в линейной теории упругости . Для больших деформаций, также называемых конечными деформациями , требуются другие меры напряжений, такие как тензор напряжений Пиолы-Кирхгоффа , тензор напряжений Био и тензор напряжений Кирхгоффа .

Согласно принципу сохранения импульса , если сплошное тело находится в статическом равновесии, можно показать, что компоненты тензора напряжений Коши в каждой материальной точке тела удовлетворяют уравнениям равновесия ( уравнениям движения Коши для нулевого ускорения). В то же время, согласно принципу сохранения углового момента , равновесие требует, чтобы сумма моментов относительно произвольной точки была равна нулю, что приводит к выводу, что тензор напряжений симметричен , таким образом, имея только шесть независимых компонент напряжений вместо исходных девяти. Однако при наличии парных напряжений, т. е. моментов на единицу объема, тензор напряжений несимметричен. Это также имеет место, когда число Кнудсена близко к единице , или сплошная среда является неньютоновской жидкостью, что может привести к вращательно неинвариантным жидкостям, таким как полимеры . ${\displaystyle K_{n}\rightarrow 1}$

Существуют определенные инварианты, связанные с тензором напряжений, значения которых не зависят от выбранной системы координат или элемента площади, на который действует тензор напряжений. Это три собственных значения тензора напряжений, которые называются главными напряжениями.

Принцип напряжений Эйлера–Коши – вектор напряжений

Рисунок 2.1а Внутреннее распределение контактных сил и моментных напряжений на дифференциале внутренней поверхности в континууме, как результат взаимодействия между двумя частями континуума, разделенными поверхностью ${\displaystyle dS}$ ${\displaystyle S}$

Рисунок 2.1б Внутреннее распределение контактных сил и моментных напряжений на дифференциале внутренней поверхности в континууме, как результат взаимодействия между двумя частями континуума, разделенными поверхностью ${\displaystyle dS}$ ${\displaystyle S}$

Рисунок 2.1c Вектор напряжения на внутренней поверхности S с нормальным вектором n. В зависимости от ориентации рассматриваемой плоскости вектор напряжения не обязательно может быть перпендикулярен этой плоскости, т. е. параллелен , и может быть разложен на две составляющие: одну составляющую, нормальную к плоскости, называемую нормальным напряжением , и другую составляющую, параллельную этой плоскости, называемую касательным напряжением . ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }}$ ${\displaystyle \tau }$

Принцип напряжений Эйлера–Коши гласит, что на любой поверхности (реальной или воображаемой), разделяющей тело, действие одной части тела на другую эквивалентно (равносильно) системе распределенных сил и пар на поверхности, разделяющей тело , ^[2] и оно представлено полем , называемым вектором тяги , определенным на поверхности и предполагаемым непрерывно зависящим от единичного вектора поверхности . ^{[3] [4] : стр.66–96} ${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$

Для формулировки принципа напряжений Эйлера–Коши рассмотрим воображаемую поверхность, проходящую через внутреннюю материальную точку, разделяющую непрерывное тело на два сегмента, как показано на рис. 2.1а или 2.1б (можно использовать либо диаграмму секущей плоскости, либо диаграмму с произвольным объемом внутри континуума, ограниченного поверхностью ). ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S}$

Следуя классической динамике Ньютона и Эйлера , движение материального тела производится действием внешних сил, которые, как предполагается, бывают двух видов: поверхностные силы и объемные силы . ^[5] Таким образом, полная сила, приложенная к телу или к части тела, может быть выражена как: ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}=\mathbf {b} +\mathbf {F} }$

В этой статье будут обсуждаться только поверхностные силы, поскольку они имеют отношение к тензору напряжений Коши.

Когда тело подвергается воздействию внешних поверхностных сил или контактных сил , следуя уравнениям движения Эйлера , внутренние контактные силы и моменты передаются от точки к точке в теле и от одного сегмента к другому через разделяющую поверхность , из-за механического контакта одной части континуума с другой (рис. 2.1a и 2.1b). На элементе площади, содержащем , с нормальным вектором , распределение силы равносильно контактной силе, приложенной в точке P, и поверхностному моменту . В частности, контактная сила определяется как ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \Delta S}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle \Delta \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \Delta \mathbf {M} }$

${\displaystyle \Delta \mathbf {F} =\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\,\Delta S}$

где - среднее поверхностное сцепление . ${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}}$

Принцип напряжений Коши утверждает ^{[6] : стр. 47–102} , что при достижении очень малого значения и стремлении к нулю отношение становится равным , а вектор моментного напряжения исчезает. В определенных областях механики сплошных сред предполагается, что моментное напряжение не исчезает; однако классические разделы механики сплошных сред рассматривают неполярные материалы , которые не учитывают моментные напряжения и моменты тела. ${\displaystyle \Delta S}$ ${\displaystyle \Delta \mathbf {F} /\Delta S}$ ${\displaystyle d\mathbf {F} /dS}$ ${\displaystyle \Delta \mathbf {M} }$

Результирующий вектор определяется как поверхностное натяжение ^[7] , также называемое вектором напряжения ^[8] , натяжением ^[4] или вектором тяги ^[6] , заданным в точке , связанной с плоскостью с нормальным вектором : ${\displaystyle d\mathbf {F} /dS}$ ${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=T_{i}^{(\mathbf {n} )}\mathbf {e} _{i}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$

${\displaystyle T_{i}^{(\mathbf {n} )}=\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\Delta F_{i}}{\Delta S}}={dF_{i} \over dS}.}$

Это уравнение означает, что вектор напряжения зависит от его местоположения в теле и ориентации плоскости, на которую он действует.

Это подразумевает, что уравновешивающее действие внутренних контактных сил создает плотность контактных сил или поле тяги Коши ^[5] , которое представляет собой распределение внутренних контактных сил по всему объему тела в определенной конфигурации тела в данный момент времени . Это не векторное поле, поскольку оно зависит не только от положения конкретной материальной точки, но и от локальной ориентации элемента поверхности, определяемой его нормальным вектором . ^[9] ${\displaystyle \mathbf {T} (\mathbf {n} ,\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$

В зависимости от ориентации рассматриваемой плоскости вектор напряжения не обязательно может быть перпендикулярен этой плоскости, т.е. параллелен , и может быть разложен на две составляющие (рисунок 2.1c): ${\displaystyle \mathbf {n} }$

• один нормальный к плоскости, называемый нормальным напряжением

${\displaystyle \mathbf {\sigma _{\mathrm {n} }} =\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\Delta F_{\mathrm {n} }}{\Delta S}}={\frac {dF_{\mathrm {n} }}{dS}},}$

где - нормальная составляющая силы к дифференциальной площади ${\displaystyle dF_{\mathrm {n} }}$ ${\displaystyle d\mathbf {F} }$ ${\displaystyle dS}$

• а другая параллельна этой плоскости, называемая касательным напряжением

${\displaystyle \mathbf {\tau } =\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\Delta F_{\mathrm {s} }}{\Delta S}}={\frac {dF_{\mathrm {s} }}{dS}},}$

где - тангенциальная составляющая силы к дифференциальной площади поверхности . Касательное напряжение можно далее разложить на два взаимно перпендикулярных вектора. ${\displaystyle dF_{\mathrm {s} }}$ ${\displaystyle d\mathbf {F} }$ ${\displaystyle dS}$

Постулат Коши

Согласно постулату Коши , вектор напряжения остается неизменным для всех поверхностей, проходящих через точку и имеющих один и тот же нормальный вектор в точке , ^{[7] [10]} т. е. имеющих общую касательную в точке . Это означает, что вектор напряжения является функцией только нормального вектора и не зависит от кривизны внутренних поверхностей. ${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$

Основная лемма Коши

Следствием постулата Коши является основная лемма Коши , ^{[1] [7] [11],} также называемая теоремой о взаимности Коши , ^{[12] : стр. 103–130} , которая гласит, что векторы напряжения, действующие на противоположных сторонах одной и той же поверхности, равны по величине и противоположны по направлению. Основная лемма Коши эквивалентна третьему закону движения Ньютона о действии и противодействии и выражается как

${\displaystyle -\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=\mathbf {T} ^{(-\mathbf {n} )}.}$

Теорема Коши о напряжении — тензор напряжений

Состояние напряжения в точке тела затем определяется всеми векторами напряжения T ^{( n ),} связанными со всеми плоскостями (бесконечным числом), которые проходят через эту точку. ^[13] Однако, согласно фундаментальной теореме Коши ^[11] , также называемой теоремой Коши о напряжениях ^[1], просто зная векторы напряжения на трех взаимно перпендикулярных плоскостях, вектор напряжения на любой другой плоскости, проходящей через эту точку, можно найти с помощью уравнений преобразования координат.

Теорема Коши о напряжениях утверждает, что существует тензорное поле второго порядка σ ( x , t), называемое тензором напряжений Коши, не зависящее от n , такое, что T является линейной функцией n :

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=\mathbf {n} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\quad {\text{or}}\quad T_{j}^{(n)}=\sigma _{ij}n_{i}.}$

Из этого уравнения следует, что вектор напряжений T ^{( n )} в любой точке P континуума, связанной с плоскостью с нормальным единичным вектором n , может быть выражен как функция векторов напряжений на плоскостях, перпендикулярных осям координат, т.е. через компоненты σ _ij тензора напряжений σ .

Чтобы доказать это выражение, рассмотрим тетраэдр с тремя гранями, ориентированными в координатных плоскостях, и с бесконечно малой площадью d A , ориентированной в произвольном направлении, заданном нормальным единичным вектором n (рисунок 2.2). Тетраэдр образован путем разрезания бесконечно малого элемента вдоль произвольной плоскости с единичной нормалью n . Вектор напряжения на этой плоскости обозначается как T ^{( n )} . Векторы напряжения, действующие на грани тетраэдра, обозначаются как T ^{( e ₁ )} , T ^{( e ₂ )} и T ^{( e ₃ )} , и по определению являются компонентами σ _ij тензора напряжений σ . Этот тетраэдр иногда называют тетраэдром Коши . Равновесие сил, т.е. первый закон движения Эйлера (второй закон движения Ньютона), дает:

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\,dA-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}\,dA_{1}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}\,dA_{2}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}\,dA_{3}=\rho \left({\frac {h}{3}}dA\right)\mathbf {a} ,}$

Рисунок 2.2. Вектор напряжения, действующий на плоскость с нормальным единичным вектором n .
Примечание о соглашении о знаках: тетраэдр образован путем разрезания параллелепипеда вдоль произвольной плоскости n . Таким образом, сила, действующая на плоскость n, является реакцией, оказываемой другой половиной параллелепипеда, и имеет противоположный знак.

где правая часть представляет собой произведение массы, заключенной в тетраэдре, и его ускорения: ρ — плотность, a — ускорение, а h — высота тетраэдра, рассматривая плоскость n как основание. Площадь граней тетраэдра, перпендикулярных осям, можно найти, проецируя d A на каждую грань (используя скалярное произведение):

${\displaystyle dA_{1}=\left(\mathbf {n} \cdot \mathbf {e} _{1}\right)dA=n_{1}\;dA,}$

${\displaystyle dA_{2}=\left(\mathbf {n} \cdot \mathbf {e} _{2}\right)dA=n_{2}\;dA,}$

${\displaystyle dA_{3}=\left(\mathbf {n} \cdot \mathbf {e} _{3}\right)dA=n_{3}\;dA,}$

и затем подставляем в уравнение, чтобы сократить d A :

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}n_{1}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}n_{2}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}n_{3}=\rho \left({\frac {h}{3}}\right)\mathbf {a} .}$

Чтобы рассмотреть предельный случай, когда тетраэдр сжимается в точку, h должен стремиться к 0 (интуитивно, плоскость n переносится вдоль n в направлении O ). В результате правая часть уравнения стремится к 0, поэтому

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}n_{1}+\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}n_{2}+\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}n_{3}.}$

Предполагая материальный элемент (см. рисунок вверху страницы) с плоскостями, перпендикулярными осям координат декартовой системы координат, векторы напряжений, связанные с каждой из плоскостей элемента, т. е. T ^{( e ₁ )} , T ^{( e ₂ )} и T ^{( e ₃ ),} можно разложить на нормальную составляющую и две сдвиговые компоненты, т. е. компоненты в направлении трех осей координат. Для частного случая поверхности с нормальным единичным вектором, ориентированным в направлении оси x ₁ , обозначим нормальное напряжение как σ ₁₁ , а два сдвиговых напряжения как σ ₁₂ и σ ₁₃ :

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}=T_{1}^{(\mathbf {e} _{1})}\mathbf {e} _{1}+T_{2}^{(\mathbf {e} _{1})}\mathbf {e} _{2}+T_{3}^{(\mathbf {e} _{1})}\mathbf {e} _{3}=\sigma _{11}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{12}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{13}\mathbf {e} _{3},}$

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}=T_{1}^{(\mathbf {e} _{2})}\mathbf {e} _{1}+T_{2}^{(\mathbf {e} _{2})}\mathbf {e} _{2}+T_{3}^{(\mathbf {e} _{2})}\mathbf {e} _{3}=\sigma _{21}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{22}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{23}\mathbf {e} _{3},}$

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}=T_{1}^{(\mathbf {e} _{3})}\mathbf {e} _{1}+T_{2}^{(\mathbf {e} _{3})}\mathbf {e} _{2}+T_{3}^{(\mathbf {e} _{3})}\mathbf {e} _{3}=\sigma _{31}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{32}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{33}\mathbf {e} _{3},}$

В индексной нотации это

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{i})}=T_{j}^{(\mathbf {e} _{i})}\mathbf {e} _{j}=\sigma _{ij}\mathbf {e} _{j}.}$

Девять компонентов σ _ij векторов напряжений являются компонентами декартова тензора второго порядка, называемого тензором напряжений Коши , который можно использовать для полного определения состояния напряжений в точке и который задается формулой

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\sigma _{ij}=\left[{\begin{matrix}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}\\\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}\\\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{z}\\\end{matrix}}\right],}$

где σ ₁₁ , σ ₂₂ , и σ ₃₃ являются нормальными напряжениями, а σ ₁₂ , σ ₁₃ , σ ₂₁ , σ ₂₃ , σ ₃₁ , и σ ₃₂ являются касательными напряжениями. Первый индекс i указывает, что напряжение действует на плоскость, нормальную к оси X _i , а второй индекс j обозначает направление, в котором действует напряжение (например, σ ₁₂ подразумевает, что напряжение действует на плоскость, которая нормальна к 1 _-й оси, т.е. X ₁ , и действует вдоль 2 _-й оси, т.е. X ₂ ). Компонента напряжения положительна, если она действует в положительном направлении осей координат, и если плоскость, в которой она действует, имеет внешний нормальный вектор, указывающий в положительном направлении координат.

Таким образом, используя компоненты тензора напряжений

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}&=\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}n_{1}+\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}n_{2}+\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}n_{3}\\&=\sum _{i=1}^{3}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{i})}n_{i}\\&=\left(\sigma _{ij}\mathbf {e} _{j}\right)n_{i}\\&=\sigma _{ij}n_{i}\mathbf {e} _{j}\end{aligned}}}$

или, что то же самое,

${\displaystyle T_{j}^{(\mathbf {n} )}=\sigma _{ij}n_{i}.}$

Альтернативно, в матричной форме мы имеем

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}T_{1}^{(\mathbf {n} )}&T_{2}^{(\mathbf {n} )}&T_{3}^{(\mathbf {n} )}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}n_{1}&n_{2}&n_{3}\end{matrix}}\right]\cdot \left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right].}$

Представление тензора напряжений Коши в нотации Фойгта использует симметрию тензора напряжений для выражения напряжения в виде шестимерного вектора вида:

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\begin{bmatrix}\sigma _{1}&\sigma _{2}&\sigma _{3}&\sigma _{4}&\sigma _{5}&\sigma _{6}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}\equiv {\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{22}&\sigma _{33}&\sigma _{23}&\sigma _{13}&\sigma _{12}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}.}$

Нотация Фойгта широко используется для представления соотношений напряжение-деформация в механике деформируемого твердого тела и для повышения эффективности вычислений в программном обеспечении для численной механики конструкций.

Правило преобразования тензора напряжений

Можно показать, что тензор напряжений является контравариантным тензором второго порядка, который является утверждением того, как он преобразуется при изменении системы координат. Из x _i -системы в x _i ' -систему компоненты σ _ij в исходной системе преобразуются в компоненты σ _ij ' в новой системе в соответствии с правилом преобразования тензора (рисунок 2.4):

${\displaystyle \sigma '_{ij}=a_{im}a_{jn}\sigma _{mn}\quad {\text{or}}\quad {\boldsymbol {\sigma }}'=\mathbf {A} {\boldsymbol {\sigma }}\mathbf {A} ^{\textsf {T}},}$

где A — матрица вращения с компонентами a _ij . В матричной форме это

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\sigma '_{11}&\sigma '_{12}&\sigma '_{13}\\\sigma '_{21}&\sigma '_{22}&\sigma '_{23}\\\sigma '_{31}&\sigma '_{32}&\sigma '_{33}\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}a_{11}&a_{21}&a_{31}\\a_{12}&a_{22}&a_{32}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\\\end{matrix}}\right].}$

Рисунок 2.4 Трансформация тензора напряжений

Расширяя матричную операцию и упрощая члены с использованием симметрии тензора напряжений , получаем

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{11}'={}&a_{11}^{2}\sigma _{11}+a_{12}^{2}\sigma _{22}+a_{13}^{2}\sigma _{33}+2a_{11}a_{12}\sigma _{12}+2a_{11}a_{13}\sigma _{13}+2a_{12}a_{13}\sigma _{23},\\\sigma _{22}'={}&a_{21}^{2}\sigma _{11}+a_{22}^{2}\sigma _{22}+a_{23}^{2}\sigma _{33}+2a_{21}a_{22}\sigma _{12}+2a_{21}a_{23}\sigma _{13}+2a_{22}a_{23}\sigma _{23},\\\sigma _{33}'={}&a_{31}^{2}\sigma _{11}+a_{32}^{2}\sigma _{22}+a_{33}^{2}\sigma _{33}+2a_{31}a_{32}\sigma _{12}+2a_{31}a_{33}\sigma _{13}+2a_{32}a_{33}\sigma _{23},\\\sigma _{12}'={}&a_{11}a_{21}\sigma _{11}+a_{12}a_{22}\sigma _{22}+a_{13}a_{23}\sigma _{33}\\&+(a_{11}a_{22}+a_{12}a_{21})\sigma _{12}+(a_{12}a_{23}+a_{13}a_{22})\sigma _{23}+(a_{11}a_{23}+a_{13}a_{21})\sigma _{13},\\\sigma _{23}'={}&a_{21}a_{31}\sigma _{11}+a_{22}a_{32}\sigma _{22}+a_{23}a_{33}\sigma _{33}\\&+(a_{21}a_{32}+a_{22}a_{31})\sigma _{12}+(a_{22}a_{33}+a_{23}a_{32})\sigma _{23}+(a_{21}a_{33}+a_{23}a_{31})\sigma _{13},\\\sigma _{13}'={}&a_{11}a_{31}\sigma _{11}+a_{12}a_{32}\sigma _{22}+a_{13}a_{33}\sigma _{33}\\&+(a_{11}a_{32}+a_{12}a_{31})\sigma _{12}+(a_{12}a_{33}+a_{13}a_{32})\sigma _{23}+(a_{11}a_{33}+a_{13}a_{31})\sigma _{13}.\end{aligned}}}$

Круг Мора для напряжений представляет собой графическое изображение этой трансформации напряжений.

Нормальные и касательные напряжения

Величина нормальной составляющей напряжения σ _n любого вектора напряжения T ^{( n ),} действующего на произвольную плоскость с нормальным единичным вектором n в данной точке, в терминах компонент σ _ij тензора напряжений σ , представляет собой скалярное произведение вектора напряжения и нормального единичного вектора:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{\mathrm {n} }&=\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\cdot \mathbf {n} \\&=T_{i}^{(\mathbf {n} )}n_{i}\\&=\sigma _{ij}n_{i}n_{j}.\end{aligned}}}$

Величину компонента напряжения сдвига τ _n , действующего ортогонально вектору n , можно затем найти с помощью теоремы Пифагора :

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{\mathrm {n} }&={\sqrt {\left(T^{(\mathbf {n} )}\right)^{2}-\sigma _{\mathrm {n} }^{2}}}\\&={\sqrt {T_{i}^{(\mathbf {n} )}T_{i}^{(\mathbf {n} )}-\sigma _{\mathrm {n} }^{2}}},\end{aligned}}}$

где

${\displaystyle \left(T^{(\mathbf {n} )}\right)^{2}=T_{i}^{(\mathbf {n} )}T_{i}^{(\mathbf {n} )}=\left(\sigma _{ij}n_{j}\right)\left(\sigma _{ik}n_{k}\right)=\sigma _{ij}\sigma _{ik}n_{j}n_{k}.}$

Законы равновесия – уравнения движения Коши

Рисунок 4. Сплошное тело в равновесии

Первый закон движения Коши

Согласно принципу сохранения импульса , если сплошное тело находится в статическом равновесии, можно показать, что компоненты тензора напряжений Коши в каждой материальной точке тела удовлетворяют уравнениям равновесия:

${\displaystyle \sigma _{ji,j}+F_{i}=0}$,

где ${\displaystyle \sigma _{ji,j}=\sum _{j}\partial _{j}\sigma _{ji}}$

Например, для гидростатической жидкости в условиях равновесия тензор напряжений принимает вид:

${\displaystyle {\sigma _{ij}}=-p{\delta _{ij}},}$

где - гидростатическое давление, а - дельта Кронекера . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\delta _{ij}}\ }$

Второй закон движения Коши

Согласно принципу сохранения момента импульса , равновесие требует, чтобы сумма моментов относительно произвольной точки была равна нулю, что приводит к выводу о симметричности тензора напряжений , имеющего, таким образом, только шесть независимых компонент напряжений вместо исходных девяти:

${\displaystyle \sigma _{ij}=\sigma _{ji}}$

Однако при наличии парных напряжений, т. е. моментов на единицу объема, тензор напряжений несимметричен. Это также имеет место, когда число Кнудсена близко к единице , или континуум является неньютоновской жидкостью, что может привести к вращательно неинвариантным жидкостям, таким как полимеры . ${\displaystyle K_{n}\rightarrow 1}$

Главные напряжения и инварианты напряжений

Компоненты напряжения на вращающемся 2D-элементе . Пример того, как компоненты напряжения изменяются на гранях (ребрах) прямоугольного элемента при изменении угла его ориентации. Главные напряжения возникают, когда касательные напряжения одновременно исчезают со всех граней. Ориентация, при которой это происходит, дает главные направления . В этом примере, когда прямоугольник горизонтален, напряжения задаются как ${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}-10&10\\10&15\end{matrix}}\right].}$

В каждой точке напряженного тела есть по крайней мере три плоскости, называемые главными плоскостями , с нормальными векторами , называемыми главными направлениями , где соответствующий вектор напряжения перпендикулярен плоскости, т. е. параллелен или имеет то же направление, что и нормальный вектор , и где нет нормальных касательных напряжений . Три напряжения, нормальные к этим главным плоскостям, называются главными напряжениями . ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }}$

Компоненты тензора напряжений зависят от ориентации системы координат в рассматриваемой точке. Однако сам тензор напряжений является физической величиной и, как таковой, не зависит от системы координат, выбранной для его представления. Существуют определенные инварианты, связанные с каждым тензором, которые также не зависят от системы координат. Например, вектор является простым тензором ранга один. В трех измерениях он имеет три компонента. Значение этих компонентов будет зависеть от системы координат, выбранной для представления вектора, но величина вектора является физической величиной (скаляром) и не зависит от декартовой системы координат, выбранной для представления вектора (при условии, что она является нормальной ). Аналогично, каждый тензор второго ранга (такой как тензоры напряжений и деформаций) имеет три независимых инвариантных величины, связанных с ним. Один набор таких инвариантов — это главные напряжения тензора напряжений, которые являются просто собственными значениями тензора напряжений. Их направляющие векторы являются главными направлениями или собственными векторами . ${\displaystyle \sigma _{ij}}$

Вектор напряжения, параллельный нормальному единичному вектору, определяется по формуле: ${\displaystyle \mathbf {n} }$

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=\lambda \mathbf {n} =\mathbf {\sigma } _{\mathrm {n} }\mathbf {n} }$

где — коэффициент пропорциональности, в данном случае соответствующий величинам векторов нормальных напряжений или главных напряжений. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }}$

Зная, что и , мы имеем ${\displaystyle T_{i}^{(n)}=\sigma _{ij}n_{j}}$ ${\displaystyle n_{i}=\delta _{ij}n_{j}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{i}^{(n)}&=\lambda n_{i}\\\sigma _{ij}n_{j}&=\lambda n_{i}\\\sigma _{ij}n_{j}-\lambda n_{i}&=0\\\left(\sigma _{ij}-\lambda \delta _{ij}\right)n_{j}&=0\\\end{aligned}}}$

Это однородная система , т.е. равная нулю, трех линейных уравнений, где — неизвестные. Для получения нетривиального (ненулевого) решения для , определительная матрица коэффициентов должна быть равна нулю, т.е. система является вырожденной. Таким образом, ${\displaystyle n_{j}}$ ${\displaystyle n_{j}}$

${\displaystyle \left|\sigma _{ij}-\lambda \delta _{ij}\right|={\begin{vmatrix}\sigma _{11}-\lambda &\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}-\lambda &\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}-\lambda \\\end{vmatrix}}=0}$

Разложение определителя приводит к характеристическому уравнению

${\displaystyle \left|\sigma _{ij}-\lambda \delta _{ij}\right|=-\lambda ^{3}+I_{1}\lambda ^{2}-I_{2}\lambda +I_{3}=0}$

где

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}&=\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33}\\&=\sigma _{kk}={\text{tr}}({\boldsymbol {\sigma }})\\[4pt]I_{2}&={\begin{vmatrix}\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{13}\\\sigma _{31}&\sigma _{33}\\\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}\\\end{vmatrix}}\\&=\sigma _{11}\sigma _{22}+\sigma _{22}\sigma _{33}+\sigma _{11}\sigma _{33}-\sigma _{12}^{2}-\sigma _{23}^{2}-\sigma _{31}^{2}\\&={\frac {1}{2}}\left(\sigma _{ii}\sigma _{jj}-\sigma _{ij}\sigma _{ji}\right)={\frac {1}{2}}\left[\left({\text{tr}}({\boldsymbol {\sigma }})\right)^{2}-{\text{tr}}\left({\boldsymbol {\sigma }}^{2}\right)\right]\\[4pt]I_{3}&=\det(\sigma _{ij})=\det({\boldsymbol {\sigma }})\\&=\sigma _{11}\sigma _{22}\sigma _{33}+2\sigma _{12}\sigma _{23}\sigma _{31}-\sigma _{12}^{2}\sigma _{33}-\sigma _{23}^{2}\sigma _{11}-\sigma _{31}^{2}\sigma _{22}\\\end{aligned}}}$

Характеристическое уравнение имеет три действительных корня , т.е. не мнимых из-за симметрии тензора напряжений. , и , являются главными напряжениями, функциями собственных значений . Собственные значения являются корнями характеристического полинома . Главные напряжения являются уникальными для данного тензора напряжений. Поэтому из характеристического уравнения коэффициенты , и , называемые первым, вторым и третьим инвариантами напряжений соответственно, всегда имеют одно и то же значение независимо от ориентации системы координат. ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle \sigma _{1}=\max \left(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\right)}$ ${\displaystyle \sigma _{3}=\min \left(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\right)}$ ${\displaystyle \sigma _{2}=I_{1}-\sigma _{1}-\sigma _{3}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle I_{1}}$ ${\displaystyle I_{2}}$ ${\displaystyle I_{3}}$

Для каждого собственного значения существует нетривиальное решение для в уравнении . Эти решения являются главными направлениями или собственными векторами, определяющими плоскость, в которой действуют главные напряжения. Главные напряжения и главные направления характеризуют напряжение в точке и не зависят от ориентации. ${\displaystyle n_{j}}$ ${\displaystyle \left(\sigma _{ij}-\lambda \delta _{ij}\right)n_{j}=0}$

Система координат с осями, ориентированными по главным направлениям, подразумевает, что нормальные напряжения являются главными напряжениями, а тензор напряжений представлен диагональной матрицей:

${\displaystyle \sigma _{ij}={\begin{bmatrix}\sigma _{1}&0&0\\0&\sigma _{2}&0\\0&0&\sigma _{3}\end{bmatrix}}}$

Главные напряжения можно объединить, чтобы сформировать инварианты напряжений, , и . Первый и третий инварианты являются следом и детерминантом тензора напряжений соответственно. Таким образом, ${\displaystyle I_{1}}$ ${\displaystyle I_{2}}$ ${\displaystyle I_{3}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}&=\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}\\I_{2}&=\sigma _{1}\sigma _{2}+\sigma _{2}\sigma _{3}+\sigma _{3}\sigma _{1}\\I_{3}&=\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}\\\end{aligned}}}$

Благодаря своей простоте главная система координат часто оказывается полезной при рассмотрении состояния упругой среды в определенной точке. Главные напряжения часто выражаются в следующем уравнении для оценки напряжений в направлениях x и y или осевых и изгибающих напряжений на детали. ^{[14] : стр. 58–59} Главные нормальные напряжения затем могут быть использованы для расчета напряжения по Мизесу и, в конечном счете, коэффициента безопасности и запаса прочности.

${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}={\frac {\sigma _{x}+\sigma _{y}}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {\sigma _{x}-\sigma _{y}}{2}}\right)^{2}+\tau _{xy}^{2}}}}$

Используя только часть уравнения под квадратным корнем , получаем максимальное и минимальное напряжение сдвига для плюса и минуса. Это показано как:

${\displaystyle \tau _{\max },\tau _{\min }=\pm {\sqrt {\left({\frac {\sigma _{x}-\sigma _{y}}{2}}\right)^{2}+\tau _{xy}^{2}}}}$

Максимальные и минимальные напряжения сдвига

Максимальное касательное напряжение или максимальное главное касательное напряжение равно половине разницы между наибольшим и наименьшим главными напряжениями и действует на плоскость, которая делит пополам угол между направлениями наибольшего и наименьшего главных напряжений, т.е. плоскость максимального касательного напряжения ориентирована от плоскостей главных напряжений. Максимальное касательное напряжение выражается как ${\displaystyle 45^{\circ }}$

${\displaystyle \tau _{\max }={\frac {1}{2}}\left|\sigma _{\max }-\sigma _{\min }\right|}$

Предположим тогда ${\displaystyle \sigma _{1}\geq \sigma _{2}\geq \sigma _{3}}$

${\displaystyle \tau _{\max }={\frac {1}{2}}\left|\sigma _{1}-\sigma _{3}\right|}$

Если тензор напряжений не равен нулю, то нормальная составляющая напряжения, действующая на плоскость для максимального касательного напряжения, отлична от нуля и равна

${\displaystyle \sigma _{\text{n}}={\frac {1}{2}}\left(\sigma _{1}+\sigma _{3}\right)}$

Тензор девиатора напряжений

Тензор напряжений можно выразить как сумму двух других тензоров напряжений: ${\displaystyle \sigma _{ij}}$

1. средний тензор гидростатического напряжения или тензор объемного напряжения или тензор среднего нормального напряжения , который имеет тенденцию изменять объем напряженного тела; и ${\displaystyle \pi \delta _{ij}}$
2. девиаторный компонент, называемый тензором девиатора напряжений , который имеет тенденцию искажать его. ${\displaystyle s_{ij}}$

Так

${\displaystyle \sigma _{ij}=s_{ij}+\pi \delta _{ij},\,}$

где среднее напряжение определяется выражением ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \pi ={\frac {\sigma _{kk}}{3}}={\frac {\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33}}{3}}={\frac {1}{3}}I_{1}.\,}$

Давление ( ) обычно определяется как отрицательная треть следа тензора напряжений за вычетом любого напряжения, в которое вносит вклад дивергенция скорости, т.е. ${\displaystyle p}$

${\displaystyle p=\lambda \,\nabla \cdot {\vec {u}}-\pi =\lambda \,{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{k}}}-\pi =\sum _{k}\lambda \,{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{k}}}-\pi ,}$

где — константа пропорциональности (т.е. первый из параметров Ламе ), — оператор дивергенции , — k -я декартова координата , — скорость потока и — k -я декартова компонента . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \nabla \cdot }$ ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle {\vec {u}}}$ ${\displaystyle u_{k}}$ ${\displaystyle {\vec {u}}}$

Тензор девиаторных напряжений можно получить, вычитая тензор гидростатических напряжений из тензора напряжений Коши:

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{ij}&=\sigma _{ij}-{\frac {\sigma _{kk}}{3}}\delta _{ij},\,\\\left[{\begin{matrix}s_{11}&s_{12}&s_{13}\\s_{21}&s_{22}&s_{23}\\s_{31}&s_{32}&s_{33}\end{matrix}}\right]&=\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{matrix}}\right]-\left[{\begin{matrix}\pi &0&0\\0&\pi &0\\0&0&\pi \end{matrix}}\right]\\&=\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}-\pi &\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}-\pi &\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}-\pi \end{matrix}}\right].\end{aligned}}}$

Инварианты тензора девиатора напряжений

Так как это тензор второго порядка, тензор девиатора напряжения также имеет набор инвариантов , которые могут быть получены с помощью той же процедуры, которая используется для вычисления инвариантов тензора напряжения. Можно показать, что главные направления тензора девиатора напряжения совпадают с главными направлениями тензора напряжения . Таким образом, характеристическое уравнение имеет вид ${\displaystyle s_{ij}}$ ${\displaystyle \sigma _{ij}}$

${\displaystyle \left|s_{ij}-\lambda \delta _{ij}\right|=\lambda ^{3}-J_{1}\lambda ^{2}-J_{2}\lambda -J_{3}=0,}$

где , и являются первым, вторым и третьим инвариантами девиаторного напряжения соответственно. Их значения одинаковы (инвариантны) независимо от ориентации выбранной системы координат. Эти инварианты девиаторного напряжения могут быть выражены как функция компонентов или его главных значений , , и , или, альтернативно, как функция или его главных значений , , и . Таким образом, ${\displaystyle J_{1}}$ ${\displaystyle J_{2}}$ ${\displaystyle J_{3}}$ ${\displaystyle s_{ij}}$ ${\displaystyle s_{1}}$ ${\displaystyle s_{2}}$ ${\displaystyle s_{3}}$ ${\displaystyle \sigma _{ij}}$ ${\displaystyle \sigma _{1}}$ ${\displaystyle \sigma _{2}}$ ${\displaystyle \sigma _{3}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{1}&=s_{kk}=0,\\[3pt]J_{2}&={\frac {1}{2}}s_{ij}s_{ji}={\frac {1}{2}}\operatorname {tr} \left({\boldsymbol {s}}^{2}\right)\\&={\frac {1}{2}}\left(s_{1}^{2}+s_{2}^{2}+s_{3}^{2}\right)\\&={\frac {1}{6}}\left[(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}+(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}\right]+\sigma _{12}^{2}+\sigma _{23}^{2}+\sigma _{31}^{2}\\&={\frac {1}{6}}\left[(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}\right]\\&={\frac {1}{3}}I_{1}^{2}-I_{2}={\frac {1}{2}}\left[\operatorname {tr} \left({\boldsymbol {\sigma }}^{2}\right)-{\frac {1}{3}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})^{2}\right],\\[3pt]J_{3}&=\det(s_{ij})\\&={\frac {1}{3}}s_{ij}s_{jk}s_{ki}={\frac {1}{3}}{\text{tr}}\left({\boldsymbol {s}}^{3}\right)\\&={\frac {1}{3}}\left(s_{1}^{3}+s_{2}^{3}+s_{3}^{3}\right)\\&=s_{1}s_{2}s_{3}\\&={\frac {2}{27}}I_{1}^{3}-{\frac {1}{3}}I_{1}I_{2}+I_{3}={\frac {1}{3}}\left[{\text{tr}}({\boldsymbol {\sigma }}^{3})-\operatorname {tr} \left({\boldsymbol {\sigma }}^{2}\right)\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})+{\frac {2}{9}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})^{3}\right].\,\end{aligned}}}$

Поскольку , тензор девиатора напряжений находится в состоянии чистого сдвига. ${\displaystyle s_{kk}=0}$

В механике твердого тела обычно используется величина, называемая эквивалентным напряжением или напряжением фон Мизеса . Эквивалентное напряжение определяется как

${\displaystyle \sigma _{\text{vM}}={\sqrt {3\,J_{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}~\left[(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}\right]}}\,.}$

Октаэдрические напряжения

Рисунок 6. Октаэдрические плоскости напряжения

Рассматривая главные направления как координатные оси, плоскость, нормальный вектор которой образует равные углы с каждой из главных осей (т.е. имеющая направляющие косинусы, равные ), называется октаэдрической плоскостью . Всего имеется восемь октаэдрических плоскостей (рисунок 6). Нормальные и сдвиговые компоненты тензора напряжений на этих плоскостях называются октаэдрическим нормальным напряжением и октаэдрическим сдвиговым напряжением соответственно. Октаэдрическая плоскость, проходящая через начало координат, известна как π-плоскость ( π не следует путать со средним напряжением, обозначенным π в предыдущем разделе) . На π-плоскости , . ${\displaystyle |1/{\sqrt {3}}|}$ ${\displaystyle \sigma _{\text{oct}}}$ ${\displaystyle \tau _{\text{oct}}}$ ${\textstyle s_{ij}={\frac {1}{3}}I}$

Зная, что тензор напряжений точки О (рисунок 6) в главных осях равен

${\displaystyle \sigma _{ij}={\begin{bmatrix}\sigma _{1}&0&0\\0&\sigma _{2}&0\\0&0&\sigma _{3}\end{bmatrix}}}$

Тогда вектор напряжения на октаэдрической плоскости определяется по формуле:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} _{\text{oct}}^{(\mathbf {n} )}&=\sigma _{ij}n_{i}\mathbf {e} _{j}\\&=\sigma _{1}n_{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}n_{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}n_{3}\mathbf {e} _{3}\\&={\frac {1}{\sqrt {3}}}(\sigma _{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}\mathbf {e} _{3})\end{aligned}}}$

Нормальная составляющая вектора напряжений в точке О, связанная с октаэдрической плоскостью, равна

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{\text{oct}}&=T_{i}^{(n)}n_{i}\\&=\sigma _{ij}n_{i}n_{j}\\&=\sigma _{1}n_{1}n_{1}+\sigma _{2}n_{2}n_{2}+\sigma _{3}n_{3}n_{3}\\&={\frac {1}{3}}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})={\frac {1}{3}}I_{1}\end{aligned}}}$

что является средним нормальным напряжением или гидростатическим напряжением. Это значение одинаково во всех восьми октаэдрических плоскостях. Сдвиговое напряжение на октаэдрической плоскости тогда равно

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{\text{oct}}&={\sqrt {T_{i}^{(n)}T_{i}^{(n)}-\sigma _{\text{oct}}^{2}}}\\&=\left[{\frac {1}{3}}\left(\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}+\sigma _{3}^{2}\right)-{\frac {1}{9}}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})^{2}\right]^{\frac {1}{2}}\\&={\frac {1}{3}}\left[(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}\right]^{\frac {1}{2}}={\frac {1}{3}}{\sqrt {2I_{1}^{2}-6I_{2}}}={\sqrt {{\frac {2}{3}}J_{2}}}\end{aligned}}}$

Смотрите также

• Уравнение импульса Коши
• Анализ критической плоскости
• Тензор энергии-напряжения

Примечания

1. Подробно:

   ${\displaystyle \left[{\begin{matrix}T_{1}^{(\mathbf {e} )}&T_{2}^{(\mathbf {e} )}&T_{3}^{(\mathbf {e} )}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}e_{1}&e_{2}&e_{3}\end{matrix}}\right]\cdot \left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right].}$

Ссылки

1. Фритьов Иргенс (2008), «Механика сплошных сред». Спрингер. ISBN  3-540-74297-2
2. Трусделл, К .; Тупен, Р.А. (1960), «Классические теории поля», в книге Флюгге, Зигфрид (ред.), Принципы классической механики и теории поля / Prinzipien der Klassischen Mechanik und Feldtheorie , Handbuch der Physik (Энциклопедия физики), том. III/1, Берлин – Гейдельберг – Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 226–793, Бибкод : 1960HDP.....2.....F, doi : 10.1007/978-3-642-45943-6 , ISBN 978-3-540-02547-4, MR  0118005, Zbl  0118.39702.
3. Питер Чедвик (1999), «Механика сплошной среды: краткая теория и проблемы». Dover Publications, серия «Книги по физике». ISBN 0-486-40180-4 . страницы 
4. Юань-чэн Фун и Пин Тонг (2001) «Классическая и вычислительная механика твердого тела». World Scientific. ISBN 981-02-4124-0 
5. Смит и Трусделл стр.97
6. G. Thomas Mase и George E. Mase (1999), "Механика сплошной среды для инженеров" (2-е издание). CRC Press. ISBN 0-8493-1855-6 
7. I-Shih Liu (2002), "Механика сплошной среды". Springer ISBN 3-540-43019-9 
8. Han-Chin Wu (2005), "Механика сплошной среды и пластичность". CRC Press. ISBN 1-58488-363-4 
9. Люблинер
10. Басар
11. Теодор М. Атанакович и Ардешир Гуран (2000), «Теория упругости для ученых и инженеров». Springer. ISBN 0-8176-4072-X 
12. Кит Д. Хьельмстад (2005), "Основы строительной механики" (2-е издание). Prentice-Hall. ISBN 0-387-23330-X 
13. Wai-Fah Chen и Da-Jian Han (2007), «Пластичность для инженеров-строителей». J. Ross Publishing ISBN 1-932159-75-4 
14. Бернард Хэмрок (2005), «Основы элементов машин». McGraw–Hill. ISBN 0-07-297682-9 
15. Рабиндранат Чаттерджи (1999), «Математическая теория механики сплошной среды». Alpha Science. ISBN 81-7319-244-8 
16. Джон Конрад Йегер, Н.Г.В. Кук и Р.В. Циммерман (2007), «Основы механики горных пород» (4-е издание). Wiley-Blackwell. ISBN 0-632-05759-9 
17. Мохаммед Амин (2005), "Вычислительная упругость: теория упругости и методы конечных и граничных элементов" (книга). Alpha Science, ISBN 1-84265-201-X 
18. Уильям Прагер (2004), «Введение в механику сплошных сред». Dover Publications. ISBN 0-486-43809-0