Число Кнудсена

Безразмерное число, относящееся к длине свободного пробега частицы.

Число Кнудсена ( Kn ) представляет собой безразмерное число , определяемое как отношение средней длины свободного пробега молекулы к репрезентативному физическому масштабу длины . Этот масштаб длины может быть, например, радиусом тела в жидкости. Число названо в честь датского физика Мартина Кнудсена (1871–1949).

Число Кнудсена помогает определить, следует ли использовать статистическую механику или формулировку динамики жидкости в механике сплошных сред для моделирования ситуации. Если число Кнудсена близко или больше единицы, длина свободного пробега молекулы сравнима с масштабом задачи, и предположение о континууме механики жидкости больше не является хорошим приближением. В таких случаях следует использовать статистические методы.

Определение

Число Кнудсена – это безразмерное число, определяемое как

${\displaystyle \mathrm {Kn} \ ={\frac {\lambda }{L}},}$

где

${\displaystyle \lambda }$= средняя длина свободного пробега [L ¹ ],

${\displaystyle L}$= представительный физический масштаб длины [L ¹ ].

Рассматриваемый репрезентативный масштаб длины может соответствовать различным физическим характеристикам системы, но чаще всего относится к длине зазора , на котором происходит тепловой перенос или массоперенос через газовую фазу. Так обстоит дело с пористыми и зернистыми материалами, где теплоперенос через газовую фазу сильно зависит от ее давления и, как следствие, от длины свободного пробега молекул в этой фазе. ^[1] Для газа Больцмана длину свободного пробега можно легко вычислить, так что ${\displaystyle L}$

${\displaystyle \mathrm {Kn} \ ={\frac {k_{\text{B}}T}{{\sqrt {2}}\pi d^{2}pL}}={\frac {k_{\text{B}}}{{\sqrt {2}}\pi d^{2}\rho R_{s}L}},}$

где

${\displaystyle k_{\text{B}}}$— постоянная Больцмана (1,380649 × 10 ⁻²³ Дж/К в единицах СИ ) [M ¹ L ² T ⁻² Θ ⁻¹ ],

${\displaystyle T}$– термодинамическая температура [θ ¹ ],

${\displaystyle d}$– диаметр твердой оболочки частицы [L ¹ ],

${\displaystyle p}$— статическое давление [M ¹ L ⁻¹ T ⁻² ],

${\displaystyle R_{s}}$— удельная газовая постоянная [L ² T ⁻² θ ⁻¹ ] (287,05 Дж/(кг·К) для воздуха),

${\displaystyle \rho }$— плотность [M ¹ L ⁻³ ].

Если температура увеличивается, но объем остается постоянным, то число Кнудсена (и длина свободного пробега) не изменяются (для идеального газа). В этом случае плотность остается прежней. Если температуру повысить, а давление сохранить постоянным, то газ расширяется и, следовательно, его плотность уменьшается. В этом случае увеличивается длина свободного пробега и число Кнудсена. Следовательно, может быть полезно иметь в виду, что длина свободного пробега (и, следовательно, число Кнудсена) действительно зависит от термодинамической переменной плотности (пропорциональной обратной плотности) и лишь косвенно от температуры и давления.

Для динамики частиц в атмосфере и при условии стандартных температуры и давления , т.е. 0 °C и 1 атм, мы имеем ≈ ${\displaystyle \lambda }$8 × 10–8  м (80 нм) ^.

Связь с числами Маха и Рейнольдса в газах

Число Кнудсена можно соотнести с числом Маха и числом Рейнольдса .

Использование динамической вязкости

${\displaystyle \mu ={\frac {1}{2}}\rho {\bar {c}}\lambda ,}$

со средней скоростью молекулы (из распределения Максвелла-Больцмана )

${\displaystyle {\bar {c}}={\sqrt {\frac {8k_{\text{B}}T}{\pi m}}},}$

средняя длина свободного пробега определяется следующим образом: ^[2]

${\displaystyle \lambda ={\frac {\mu }{\rho }}{\sqrt {\frac {\pi m}{2k_{\text{B}}T}}}.}$

При делении на L (некоторая характерная длина) получается число Кнудсена:

${\displaystyle \mathrm {Kn} \ ={\frac {\lambda }{L}}={\frac {\mu }{\rho L}}{\sqrt {\frac {\pi m}{2k_{\text{B}}T}}},}$

где

${\displaystyle {\bar {c}}}$— средняя скорость молекул из распределения Максвелла–Больцмана [L ¹ T ⁻¹ ],

Т – термодинамическая температура [θ ¹ ],

µ — динамическая вязкость [M ¹ L ⁻¹ T ⁻¹ ],

m – молекулярная масса [М ¹ ],

k _B — постоянная Больцмана [M ¹ L ² T ⁻² θ ⁻¹ ],

${\displaystyle \rho }$— плотность [M ¹ L ⁻³ ].

Безразмерное число Маха можно записать как

${\displaystyle \mathrm {Ma} ={\frac {U_{\infty }}{c_{\text{s}}}},}$

где скорость звука определяется выражением

${\displaystyle c_{\text{s}}={\sqrt {\frac {\gamma RT}{M}}}={\sqrt {\frac {\gamma k_{\text{B}}T}{m}}},}$

где

U _∞ — скорость набегающего потока [L ¹ T ⁻¹ ],

R — универсальная газовая постоянная (в системе СИ , 8,314 47215 ДжК ^-1 моль ^-1 ) [M ¹ L ² T ^-2 θ ^-1 моль ^-1 ],

M – молярная масса [M ¹ моль ^-1 ],

${\displaystyle \gamma }$– отношение теплоемкостей [1].

Безразмерное число Рейнольдса можно записать как

${\displaystyle \mathrm {Re} ={\frac {\rho U_{\infty }L}{\mu }}.}$

Разделив число Маха на число Рейнольдса:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {Ma} }{\mathrm {Re} }}={\frac {U_{\infty }/c_{\text{s}}}{\rho U_{\infty }L/\mu }}={\frac {\mu }{\rho Lc_{\text{s}}}}={\frac {\mu }{\rho L{\sqrt {\frac {\gamma k_{\text{B}}T}{m}}}}}={\frac {\mu }{\rho L}}{\sqrt {\frac {m}{\gamma k_{\text{B}}T}}}}$

и умножив на, получим число Кнудсена: ${\displaystyle {\sqrt {\frac {\gamma \pi }{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {\mu }{\rho L}}{\sqrt {\frac {m}{\gamma k_{\text{B}}T}}}{\sqrt {\frac {\gamma \pi }{2}}}={\frac {\mu }{\rho L}}{\sqrt {\frac {\pi m}{2k_{\text{B}}T}}}=\mathrm {Kn} .}$

Таким образом, числа Маха, Рейнольдса и Кнудсена связаны соотношением

${\displaystyle \mathrm {Kn} \ ={\frac {\mathrm {Ma} }{\mathrm {Re} }}{\sqrt {\frac {\gamma \pi }{2}}}.}$

Приложение

Число Кнудсена можно использовать для определения разрежения потока: ^{[3] [4]}

• ${\displaystyle \mathrm {Kn} <0.01}$: Непрерывный поток
• ${\displaystyle 0.01<\mathrm {Kn} <0.1}$: Скользящий поток
• ${\displaystyle 0.1<\mathrm {Kn} <10}$: Переходный поток
• ${\displaystyle \mathrm {Kn} >10}$: Свободный молекулярный поток ^[5]

Эта классификация режимов является эмпирической и зависит от проблемы, но оказалась полезной для адекватного моделирования потоков. ^{[3] [6]}

Проблемы с высокими числами Кнудсена включают расчет движения пылевой частицы через нижние слои атмосферы и движения спутника через экзосферу . Одно из наиболее широко используемых применений числа Кнудсена - это микрофлюидика и конструкция устройств MEMS , где потоки варьируются от континуальных до свободномолекулярных. ^[3] В последние годы он применялся в других дисциплинах, таких как транспорт в пористых средах, например, в нефтяных резервуарах. ^[4] Говорят, что движение жидкостей в ситуациях с высоким числом Кнудсена демонстрирует поток Кнудсена , также называемый свободномолекулярным потоком .

Воздушный поток вокруг самолета , такого как авиалайнер , имеет низкое число Кнудсена, что делает его прочным элементом механики сплошных сред. Используя число Кнудсена, можно внести поправку на закон Стокса в поправочный коэффициент Каннингема , это поправка на силу сопротивления из-за скольжения мелких частиц (т.е. d _p  < 5 мкм). Поток воды через сопло обычно представляет собой ситуацию с низким числом Кнудсена. ^[5]

Смеси газов с разной молекулярной массой можно частично разделить, пропуская смесь через небольшие отверстия в тонкой стенке, поскольку число молекул, проходящих через отверстие, пропорционально давлению газа и обратно пропорционально его молекулярной массе. Этот метод использовался для разделения смесей изотопов , таких как уран , с использованием пористых мембран. ^[7] Он также был успешно продемонстрирован для использования в производстве водорода из воды. ^[8]

Число Кнудсена также играет важную роль в теплопроводности газов. Например, для изоляционных материалов, в которых газы содержатся под низким давлением, число Кнудсена должно быть как можно выше, чтобы обеспечить низкую теплопроводность . ^[9]

Смотрите также

• Поправочный коэффициент Каннингема  - число, используемое для корректировки расчетов сопротивления мелких частиц в жидкости.
• Гидродинамика  - аспекты механики жидкости, связанные с потоком.
• Число Маха  - соотношение скорости объекта, движущегося в жидкости, и местной скорости звука.
• Свободномолекулярный поток , также известный как поток Кнудсена – поток газа с большой средней длиной свободного молекулярного пути.
• Диффузия Кнудсена  - поведение частиц в системах с длиной меньше средней длины свободного пробега.
• Парадокс Кнудсена

Рекомендации

1. Дай; и другие. (2016). «Эффективная теплопроводность субмикронных порошков: численное исследование». Прикладная механика и материалы . 846 : 500–505. doi : 10.4028/www.scientific.net/AMM.846.500. S2CID  114611104.
2. Дай, В.; и другие. (2017). «Влияние давления газа на эффективную теплопроводность керамических пород-галечников». Термоядерная инженерия и дизайн . 118 : 45–51. doi :10.1016/j.fusengdes.2017.03.073.
3. Карниадакис, Г., Бескок, А. и Алуру, Н. (2000). Микропотоки и нанопотоки: основы и моделирование . Спрингер.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
4. Зиарани А.С., Агилера Р., Кюи XC (2020). Проницаемость плотных песчаных и сланцевых пластов: подход двойного механизма для микро- и нанодарциных коллекторов . Конференция SPE Canada по нетрадиционным ресурсам. SPE-200010-MS. ОПЭ. ISBN 978-1-61399-685-0.{{cite conference}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
5. Лорандо, Норманд М. (2005). Статистическая термодинамика: основы и приложения. Издательство Кембриджского университета. п. 306. ИСБН 0-521-84635-8., Приложение N, стр. 434
6. Касслер, Э.Л. (1997). Диффузия: массообмен в жидкостных системах . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-45078-0.
7. Виллани, С. (1976). Разделение изотопов . Хинсдейл, Иллинойс: Американское ядерное общество.
8. Коган, А. (1998). «Прямое солнечно-термическое расщепление воды и сепарация продуктов на месте - II. Экспериментальное технико-экономическое обоснование». Международный журнал водородной энергетики . Великобритания: Elsevier Science Ltd. 23 (2): 89–98. дои : 10.1016/S0360-3199(97)00038-4.
9. техническая наука (27 января 2020 г.). «Теплопроводность газов». техническая наука . Проверено 22 марта 2020 г.

Внешние ссылки

• Калькуляторы чисел Кнудсена и коэффициента диффузии