Тензор вязкого напряжения — это тензор , используемый в механике сплошной среды для моделирования той части напряжения в определенной точке внутри некоторого материала, которую можно отнести к скорости деформации — скорости , с которой материал деформируется вокруг этой точки.
Тензор вязких напряжений формально подобен тензору упругих напряжений (тензору Коши) , который описывает внутренние силы в упругом материале, возникающие вследствие его деформации. Оба тензора отображают вектор нормали к элементу поверхности с плотностью и направлением напряжения, действующего на этот элемент поверхности. Однако упругое напряжение обусловлено величиной деформации ( деформацией ), тогда как вязкое напряжение обусловлено скоростью изменения деформации с течением времени (скоростью деформации). В вязкоупругих материалах, поведение которых занимает промежуточное положение между поведением жидкостей и твердых тел, тензор суммарных напряжений включает как вязкую, так и упругую («статическую») компоненты. Для полностью жидкого материала упругий член сводится к гидростатическому давлению .
В произвольной системе координат вязкое напряжение ε и скорость деформации E в конкретную точку и время могут быть представлены матрицами действительных чисел 3×3. Во многих ситуациях между этими матрицами существует приблизительно линейная связь; то есть тензор вязкости четвертого порядка такой , что ε = µE . Тензор µ имеет четыре индекса и состоит из действительных чисел 3×3×3×3 (из которых только 21 независимое). В ньютоновской жидкости по определению связь между ε и E совершенно линейна, а тензор вязкости μ не зависит от состояния движения или напряжения в жидкости. Если жидкость является не только ньютоновской, но и изотропной, то тензор вязкости ц будет иметь только три независимых действительных параметра: коэффициент объемной вязкости , определяющий сопротивление среды постепенному всестороннему сжатию; коэффициент динамической вязкости , который выражает сопротивление постепенному сдвигу, и коэффициент ротационной вязкости , который возникает в результате связи между потоком жидкости и вращением отдельных частиц. [1] : 304 В отсутствие такой связи тензор вязких напряжений будет иметь только два независимых параметра и будет симметричным. С другой стороны, в неньютоновских жидкостях связь между ε и E может быть крайне нелинейной, и ε может даже зависеть от других особенностей потока, помимо E .
Внутренние механические напряжения в сплошной среде обычно связаны с деформированием материала из некоторого «расслабленного» (ненапряженного) состояния. Эти напряжения обычно включают в себя упругую («статическую») составляющую напряжения, которая связана с текущей величиной деформации и действует для восстановления материала в состояние покоя; и компонент вязкого напряжения , который зависит от скорости изменения деформации со временем и противодействует этому изменению.
Подобно общему и упругому напряжениям, вязкое напряжение вокруг определенной точки материала в любой момент можно смоделировать с помощью тензора напряжений, линейной зависимости между вектором направления нормали идеальной плоскости, проходящей через точку, и локальной плотностью напряжений. на этом самолете в тот момент.
В любой выбранной системе координат с осями с номерами 1, 2, 3 этот тензор вязких напряжений можно представить в виде матрицы действительных чисел 3 × 3:
Обратите внимание, что эти числа обычно меняются в зависимости от точки p и времени t .
Рассмотрим бесконечно малый элемент плоской поверхности с центром в точке p , представленный вектором dA , длина которого равна площади элемента и направление которого перпендикулярно ему. Пусть dF — бесконечно малая сила, возникающая вследствие вязкого напряжения, приложенного через этот элемент поверхности к материалу на стороне, противоположной dA . Тогда компоненты dF вдоль каждой оси координат будут иметь вид
В любом материале общий тензор напряжений σ представляет собой сумму тензора вязких напряжений ε , тензора упругих напряжений τ и гидростатического давления p . В идеально жидком материале, который по определению не может иметь статического напряжения сдвига, тензор упругих напряжений равен нулю:
где δ ij — единичный тензор , такой, что δ ij равен 1, если i = j , и 0, если i ≠ j .
Хотя вязкие напряжения генерируются физическими явлениями, которые сильно зависят от природы среды, тензор вязких напряжений ε является лишь описанием локальных мгновенных сил между соседними частями материала, а не свойством материала.
Игнорируя крутящий момент на элементе, обусловленный потоком («внешний» крутящий момент), вязкий «собственный» крутящий момент на единицу объема жидкого элемента записывается (как антисимметричный тензор) как
и представляет собой скорость изменения собственной плотности углового момента со временем. Если частицы имеют вращательные степени свободы, это будет означать собственный угловой момент, и если этот угловой момент может быть изменен в результате столкновений, возможно, что этот собственный угловой момент может измениться во времени, что приведет к собственному вращающему моменту, который не равен нулю. что будет означать, что тензор вязких напряжений будет иметь антисимметричную составляющую с соответствующим коэффициентом вращательной вязкости . [1] Если частицы жидкости имеют пренебрежимо малый угловой момент или если их угловой момент не связан заметно с внешним угловым моментом, или если время уравновешивания между внешней и внутренней степенями свободы практически равно нулю, крутящий момент будет равен нулю, а тензор вязких напряжений будет симметричным. Внешние силы могут привести к асимметричной составляющей тензора напряжений (например, ферромагнитные жидкости , которые могут испытывать крутящий момент под действием внешних магнитных полей ).
В твердом материале упругая составляющая напряжения может быть связана с деформацией связей между атомами и молекулами материала и может включать в себя напряжения сдвига . В жидкости упругое напряжение можно объяснить увеличением или уменьшением среднего расстояния между частицами, что влияет на скорость их столкновений или взаимодействия и, следовательно, на передачу импульса через жидкость; следовательно, оно связано с микроскопической термической случайной составляющей движения частиц и проявляется как изотропное гидростатическое напряжение давления.
С другой стороны, вязкая составляющая напряжения возникает из-за макроскопической средней скорости частиц. Его можно объяснить трением или диффузией частиц между соседними участками среды, имеющими разные средние скорости.
В гладком потоке скорость изменения локальной деформации среды во времени (скорость деформации) может быть аппроксимирована тензором скорости деформации E ( p , t ) , который обычно является функцией точки p и времени. т . По отношению к любой системе координат ее можно выразить матрицей 3×3.
Тензор скорости деформации E ( p , t ) можно определить как производную тензора деформации e ( p , t ) по времени или, что то же самое, как симметричную часть градиента ( производную по пространству) вектор скорости потока v ( p , t ) :
где ∇ v обозначает градиент скорости. В декартовых координатах ∇ v — матрица Якоби ,
и поэтому
В любом случае, тензор скорости деформации E ( p , t ) выражает скорость, с которой изменяется средняя скорость в среде по мере удаления от точки p – за исключением изменений, вызванных вращением среды вокруг p как твердого тела. , которые не меняют относительные расстояния частиц и лишь вносят вклад во вращательную часть вязкого напряжения за счет вращения самих отдельных частиц. (Эти изменения включают в себя завихренность потока, которая представляет собой ротор (вращательный) ∇ × v скорости; который также является антисимметричной частью градиента скорости ∇ v .)
Тензор вязких напряжений представляет собой лишь линейную аппроксимацию напряжений вокруг точки p и не учитывает члены более высокого порядка своего ряда Тейлора . Однако практически во всех практических ситуациях этими членами можно пренебречь, поскольку они становятся пренебрежимо малыми на размерах, где вязкое напряжение генерируется и влияет на движение среды. То же самое можно сказать и о тензоре скорости деформации E как о представлении картины скоростей вокруг p .
Таким образом, линейных моделей, представленных тензорами E и ε , почти всегда достаточно для описания вязкого напряжения и скорости деформации вокруг точки с целью моделирования ее динамики . В частности, скорость локальной деформации E ( p , t ) является единственным свойством скоростного потока, которое напрямую влияет на вязкое напряжение ε ( p , t ) в данной точке.
С другой стороны, связь между E и ε может быть весьма сложной и сильно зависит от состава, физического состояния и микроскопической структуры материала. Он также часто бывает очень нелинейным и может зависеть от деформаций и напряжений, ранее испытываемых материалом, который сейчас находится вокруг рассматриваемой точки.
Среду называют ньютоновской , если вязкое напряжение ε ( p , t ) является линейной функцией скорости деформации E ( p , t ) , и эта функция в остальном не зависит от напряжений и движения жидкости вокруг точки p . Ни одна реальная жидкость не является идеально ньютоновской, но многие важные жидкости, включая газы и воду, можно считать таковыми, если напряжения течения и скорости деформации не слишком высоки.
В общем, линейная связь между двумя тензорами второго порядка представляет собой тензор четвертого порядка. В частности, в ньютоновской среде вязкое напряжение и скорость деформации связаны тензором вязкости μ :
Коэффициент вязкости µ — это свойство ньютоновского материала, которое по определению не зависит иначе от v или σ .
Тензор скорости деформации E ( p , t ) симметричен по определению, поэтому он имеет только шесть линейно независимых элементов. Следовательно, тензор вязкости μ имеет только 6 × 9 = 54 степени свободы, а не 81. В большинстве жидкостей тензор вязких напряжений также симметричен, что еще больше уменьшает количество параметров вязкости до 6 × 6 = 36.
В отсутствие вращательных эффектов тензор вязких напряжений будет симметричным. Как и любой симметричный тензор, тензор вязких напряжений ε может быть выражен как сумма бесследового симметричного тензора ε s и скалярного кратного ε v единичного тензора . В координатной форме
Это разложение не зависит от системы координат и поэтому физически значимо. Постоянная часть ε v тензора вязких напряжений проявляется как своего рода давление, или объемное напряжение, которое действует одинаково и перпендикулярно на любую поверхность, независимо от ее ориентации. В отличие от обычного гидростатического давления, оно может появляться только при изменении напряжения, противодействуя этому изменению; и оно может быть отрицательным.
В ньютоновской среде, которая является изотропной (т. е. свойства которой одинаковы во всех направлениях), каждая часть тензора напряжений связана с соответствующей частью тензора скорости деформации.
где E v и E s — скалярная изотропная часть тензора скорости деформации E с нулевым следом , а µ v и µ s — два действительных числа. [2] Таким образом, в этом случае тензор вязкости ц имеет только два независимых параметра.
Часть E s с нулевым следом E представляет собой симметричный тензор 3 × 3, который описывает скорость, с которой среда деформируется в результате сдвига, игнорируя любые изменения в ее объеме. Таким образом , часть ε s с нулевым следом ε представляет собой знакомое вязкое напряжение сдвига , которое связано с прогрессирующей деформацией сдвига . Это вязкое напряжение, которое возникает в жидкости, движущейся по трубке с однородным поперечным сечением ( течение Пуазейля ) или между двумя параллельными движущимися пластинами ( течение Куэтта ), и сопротивляется этим движениям.
Часть E v из E действует как скалярный множитель (например, ε v ), средняя скорость расширения среды вокруг рассматриваемой точки. (В любой системе координат она представляется диагональной матрицей 3 × 3 с одинаковыми значениями по диагонали.) Численно она равна1/3дивергенции скорости _
что, в свою очередь, представляет собой относительную скорость изменения объема жидкости из-за потока.
Следовательно, скалярная часть ε v от ε представляет собой напряжение, которое можно наблюдать, когда материал сжимается или расширяется с одинаковой скоростью во всех направлениях. Оно проявляется в виде дополнительного давления , которое появляется только при сжатии материала, но (в отличие от истинного гидростатического давления) пропорционально скорости изменения сжатия, а не величине сжатия, и исчезает, как только объем перестает изменяться.
Эта часть вязкого напряжения, обычно называемая объемной вязкостью или объемной вязкостью, часто важна в вязкоупругих материалах и отвечает за затухание волн давления в среде. Объемной вязкостью можно пренебречь, когда материал можно считать несжимаемым (например, при моделировании течения воды в канале).
Коэффициент μ v , часто обозначаемый η , называется коэффициентом объемной вязкости (или «второй вязкости»); а μs — коэффициент общей (сдвиговой) вязкости.
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{ij} &=\varepsilon _{ij}^{\text{v}}+\varepsilon _{ij}^{\text{s}}\\[3pt ]\varepsilon _{ij}^{\text{v}}&={\frac {1}{3}}\delta _{ij}\sum _{k}\varepsilon _{kk}\\\varepsilon _ {ij}^{\text{s}}&=\varepsilon _{ij}-{\frac {1}{3}}\delta _{ij}\sum _{k}\varepsilon _{kk}\, .\end{выровнено}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d329a1b04269e3ebb07ade6ea534734f145da774)
