Уравнения Навье – Стокса.

Уравнения, описывающие движение вязких жидких веществ

Уравнения Навье–Стокса ( / n æ v ˈ j eɪ s t oʊ k s / nav- YAY STOHKS ) представляют собой уравнения в частных производных , описывающие движение вязких жидких веществ. Они были названы в честь французского инженера и физика Клода-Луи Навье и ирландского физика и математика Джорджа Габриэля Стоукса . Они разрабатывались в течение нескольких десятилетий постепенного построения теорий, с 1822 г. (Навье) по 1842–1850 гг. (Стоукс).

Уравнения Навье-Стокса математически выражают баланс импульса для ньютоновских жидкостей и используют закон сохранения массы . Иногда они сопровождаются уравнением состояния, связывающим давление , температуру и плотность . ^[1] Они возникают в результате применения второго закона Исаака Ньютона к движению жидкости вместе с предположением, что напряжение в жидкости представляет собой сумму диффузионного вязкостного члена (пропорционального градиенту скорости ) и члена давления - следовательно, описывающего вязкий поток. . Разница между ними и тесно связанными уравнениями Эйлера заключается в том, что уравнения Навье – Стокса учитывают вязкость , тогда как уравнения Эйлера моделируют только невязкое течение . В результате уравнения Навье-Стокса представляют собой параболическое уравнение и, следовательно, обладают лучшими аналитическими свойствами за счет меньшей математической структуры (например, они никогда не являются полностью интегрируемыми ).

Уравнения Навье – Стокса полезны, поскольку они описывают физику многих явлений, представляющих научный и инженерный интерес. Их можно использовать для моделирования погоды, океанских течений , течения воды в трубе и потока воздуха вокруг крыла . Уравнения Навье-Стокса в их полной и упрощенной формах помогают при проектировании самолетов и автомобилей, изучении кровотока , проектировании электростанций , анализе загрязнения и многих других задачах. В сочетании с уравнениями Максвелла их можно использовать для моделирования и изучения магнитогидродинамики .

Уравнения Навье–Стокса представляют большой интерес и в чисто математическом смысле. Несмотря на широкий спектр практического использования, еще не доказано, всегда ли гладкие решения существуют в трех измерениях, т. е. являются ли они бесконечно дифференцируемыми (или даже просто ограниченными) во всех точках области . Это называется проблемой существования и гладкости Навье – Стокса . Институт математики Клея назвал эту задачу одной из семи наиболее важных открытых проблем математики и предложил премию в 1 миллион долларов США за решение или контрпример. ^{[2] [3]}

Скорость потока

Решением уравнений является скорость потока . Это векторное поле — каждой точке жидкости в любой момент интервала времени оно дает вектор, направление и величина которого совпадают со скоростью жидкости в этой точке пространства и в этот момент времени. Обычно его изучают в трех пространственных измерениях и одном временном измерении, хотя в качестве моделей часто используются двухмерные (пространственные) и стационарные случаи, а аналоги более высоких измерений изучаются как в чистой, так и в прикладной математике. После расчета поля скорости другие интересующие величины, такие как давление или температура, могут быть найдены с использованием динамических уравнений и соотношений. Это отличается от того, что обычно можно увидеть в классической механике , где решениями обычно являются траектории положения частицы или отклонения континуума . Изучение скорости, а не положения имеет больше смысла для жидкости, хотя для целей визуализации можно вычислять различные траектории . В частности, линии тока векторного поля, интерпретируемые как скорость потока, представляют собой пути, по которым могла бы двигаться безмассовая частица жидкости. Эти пути представляют собой интегральные кривые , производная которых в каждой точке равна векторному полю, и они могут визуально представлять поведение векторного поля в определенный момент времени.

Общие уравнения непрерывной среды

Уравнение количества движения Навье – Стокса может быть получено как частная форма уравнения количества движения Коши , общая конвективная форма которого равна

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \mathbf {u} }{\mathrm {D} t}}={\frac {1}{\rho }}\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {g} .}$$

тензор напряжений Кошидевиаторное напряжение ${\textstyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\textstyle {\boldsymbol {\tau }}}$ ${\textstyle -p\mathbf {I} }$

Уравнение импульса Коши (конвективная форма)

${\displaystyle \rho {\frac {\mathrm {D} \mathbf {u} }{\mathrm {D} t}}=-\nabla p+\nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}+\rho \,\mathbf {f} }$

где

• ${\textstyle {\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}}$— материальная производная , определяемая как , ${\textstyle {\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla }$
• ${\textstyle \rho }$- (массовая) плотность,
• ${\textstyle \mathbf {u} }$скорость потока,
• ${\textstyle \nabla \cdot \,}$это расхождение ,
• ${\textstyle p}$это давление ,
• ${\textstyle t}$это время ,
• ${\textstyle {\boldsymbol {\tau }}}$– тензор девиаторных напряжений , имеющий порядок 2,
• ${\textstyle \mathbf {f} }$представляет ускорения тела, действующие на континуум, например гравитацию , инерционные ускорения , электростатические ускорения и так далее.

В этой форме очевидно, что в предположении невязкой жидкости – отсутствия девиаторного напряжения – уравнения Коши сводятся к уравнениям Эйлера .

Предполагая сохранение массы , с известными свойствами дивергенции и градиента мы можем использовать уравнение неразрывности массы, которое представляет массу единицы объема однородной жидкости относительно пространства и времени (т. е. материальную производную ) любого конечного объема ( V ) для представления изменения скорости в жидких средах: ${\displaystyle {\frac {\mathbf {D} }{\mathbf {Dt} }}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathbf {D} m}{\mathbf {Dt} }}&={\iiint \limits _{V}}({{\frac {\mathbf {D} \rho }{\mathbf {Dt} }}+\rho (\nabla \cdot \mathbf {u} )})dV\\{\frac {\mathbf {D} \rho }{\mathbf {Dt} }}+\rho (\nabla \cdot {\mathbf {u} })&={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+({\nabla \rho })\cdot {\mathbf {u} }+{\rho }(\nabla \cdot \mathbf {u} )={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot ({\rho \mathbf {u} })=0\end{aligned}}}$$

• ${\textstyle {\frac {\mathrm {D} m}{\mathrm {D} t}}}$— материальная производная массы единицы объема ( плотность , ) , ${\displaystyle \rho }$
• ${\textstyle {\iiint \limits _{V}}(F(x_{1},x_{2},x_{3},t))dV}$— математическая операция интегрирования по объёму ( V ),
• ${\textstyle {\frac {\partial }{\partial t}}}$— математический оператор частной производной ,
• ${\textstyle \nabla \cdot \mathbf {u} \,}$– дивергенция скорости потока ( ), которая представляет собой скалярное поле , ^{Примечание 1} ${\displaystyle \mathbf {u} }$
• ${\textstyle {\nabla \rho }\,}$– градиент плотности ( ), который является векторной производной скалярного поля , Примечание 1 ${\displaystyle \rho }$

^{Примечание 1. Обратитесь к математическому оператору del, представленному символом набла ( ) . ${\displaystyle \nabla }$}

прийти к сохраняющейся форме уравнений движения. Часто пишут: ^[4]

Уравнение импульса Коши (форма сохранения)

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(\rho \,\mathbf {u} )+\nabla \cdot (\rho \,\mathbf {u} \otimes \mathbf {u} )=-\nabla p+\nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}+\rho \,\mathbf {f} }$

где – внешнее произведение скорости потока ( ): ${\textstyle \otimes }$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$

$${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} =\mathbf {u} \mathbf {u} ^{\mathrm {T} }}$$

Левая часть уравнения описывает ускорение и может состоять из зависящих от времени и конвективных компонентов (а также эффектов неинерциальных координат, если они присутствуют). Правая часть уравнения фактически представляет собой сумму гидростатических эффектов, расхождения девиаторного напряжения и массовых сил (таких как гравитация).

Все нерелятивистские уравнения баланса, такие как уравнения Навье-Стокса, можно вывести, начав с уравнений Коши и задав тензор напряжений через определяющее соотношение . Выражая тензор девиаторного (сдвигового) напряжения через вязкость и градиент скорости жидкости и предполагая постоянную вязкость, приведенные выше уравнения Коши приведут к уравнениям Навье – Стокса, приведенным ниже.

Конвективное ускорение

Пример конвекции. Хотя поток может быть устойчивым (не зависящим от времени), жидкость замедляется по мере движения вниз по расширяющемуся каналу (при условии несжимаемого или дозвукового сжимаемого потока), следовательно, в определенном положении происходит ускорение.

Существенной особенностью уравнения Коши и, следовательно, всех других уравнений сплошной среды (включая Эйлера и Навье – Стокса) является наличие конвективного ускорения: эффекта ускорения потока относительно пространства. Хотя отдельные частицы жидкости действительно испытывают ускорение, зависящее от времени, конвективное ускорение поля потока представляет собой пространственный эффект, одним из примеров является ускорение жидкости в сопле.

Сжимаемый поток

Примечание: здесь тензор девиаторных напряжений обозначен так, как это было в общих уравнениях сплошной среды и в сечении несжимаемого течения. ${\textstyle {\boldsymbol {\tau }}}$

Уравнение сжимаемого импульса Навье – Стокса является результатом следующих предположений о тензоре напряжений Коши: ^[5]

• напряжение является инвариантом Галилея : оно не зависит напрямую от скорости потока, а только от пространственных производных скорости потока. Таким образом, переменная напряжения — это тензорный градиент или, проще говоря, тензор скорости деформации : ${\textstyle \nabla \mathbf {u} }$ ${\textstyle {\boldsymbol {\varepsilon }}\left(\nabla \mathbf {u} \right)\equiv {\frac {1}{2}}\nabla \mathbf {u} +{\frac {1}{2}}\left(\nabla \mathbf {u} \right)^{T}}$
• девиаторное напряжение является линейным по этой переменной: , где не зависит от тензора скорости деформации, представляет собой тензор четвертого порядка, представляющий константу пропорциональности, называемую тензором вязкости или упругости , и : представляет собой двойное точечное произведение . ${\textstyle {\boldsymbol {\sigma }}({\boldsymbol {\varepsilon }})=-p\mathbf {I} +\mathbf {C} :{\boldsymbol {\varepsilon }}}$ ${\textstyle p}$ ${\textstyle \mathbf {C} }$
• жидкость предполагается изотропной , как газы и простые жидкости, и, следовательно, представляет собой изотропный тензор; кроме того, поскольку тензор девиаторных напряжений симметричен, с помощью разложения Гельмгольца его можно выразить через два скалярных параметра Ламе : вторую вязкость и динамическую вязкость , как это обычно бывает в линейной упругости : ${\textstyle \mathbf {C} }$ ${\textstyle \lambda }$ ${\textstyle \mu }$
  Определяющее уравнение линейного напряжения (выражение аналогично уравнению для упругого тела)

  ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}({\boldsymbol {\varepsilon }})=-p\mathbf {I} +\lambda \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})\mathbf {I} +2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}}$

  где – единичный тензор , – след тензора скорости деформации. Таким образом, это разложение можно явно определить как: ${\textstyle \mathbf {I} }$ ${\textstyle \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})}$

  $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p\mathbf {I} +\lambda (\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }\right).}$$

Поскольку след тензора скорости деформации в трех измерениях — это дивергенция (т.е. скорость расширения) потока:

$${\displaystyle \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})=\nabla \cdot \mathbf {u} .}$$

Учитывая это соотношение и поскольку след тождественного тензора в трех измерениях равен трем:

$${\displaystyle \operatorname {tr} ({\boldsymbol {I}})=3.}$$

след тензора напряжений в трех измерениях принимает вид:

$${\displaystyle \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})=-3p+(3\lambda +2\mu )\nabla \cdot \mathbf {u} .}$$

Итак, поочередно разложив тензор напряжений на изотропную и девиаторную части, как обычно в гидродинамике: ^[6]

$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-\left[p-\left(\lambda +{\tfrac {2}{3}}\mu \right)\left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)\right]\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {u} +\left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\mathrm {T} }-{\tfrac {2}{3}}\left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)\mathbf {I} \right)}$$

Вводя объемную вязкость , ${\textstyle \zeta }$

$${\displaystyle \zeta \equiv \lambda +{\tfrac {2}{3}}\mu ,}$$

приходим к линейному материальному уравнению в форме, обычно используемой в теплогидравлике : ^[5]

Определяющее уравнение линейного напряжения (выражение, используемое для жидкостей)

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-[p-\zeta (\nabla \cdot \mathbf {u} )]\mathbf {I} +\mu \left[\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }-{\tfrac {2}{3}}(\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} \right]}$

которую можно представить и в другом обычном виде: ^[7]

$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }\right)+\left(\zeta -{\frac {2}{3}}\mu \right)(\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} .}$$

Обратите внимание, что в сжимаемом случае давление больше не пропорционально члену изотропного напряжения , поскольку существует дополнительный член объемной вязкости: ${\displaystyle p=-{\frac {1}{3}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})+\zeta (\nabla \cdot \mathbf {u} )}$

и тензор девиаторных напряжений по-прежнему совпадает с тензором сдвиговых напряжений (т.е. девиаторное напряжение в ньютоновской жидкости не имеет нормальных компонентов напряжения), и в дополнение к несжимаемому случаю он имеет член сжимаемости, который пропорционален сдвиговой вязкости: ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}'}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}'={\boldsymbol {\tau }}=\mu \left[\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }-{\tfrac {2}{3}}(\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} \right]}$

Как объемная вязкость, так и динамическая вязкость не обязательно должны быть постоянными — как правило, они зависят от двух термодинамических переменных, если жидкость содержит один химический вид, скажем, например, давление и температуру. Любое уравнение, которое делает явным один из этих коэффициентов переноса в переменных сохранения, называется уравнением состояния . ^[8] ${\textstyle \zeta }$ ${\textstyle \mu }$

Наиболее общее из уравнений Навье – Стокса принимает вид

Уравнение количества движения Навье – Стокса ( конвективная форма )

${\displaystyle \rho {\frac {\mathrm {D} \mathbf {u} }{\mathrm {D} t}}=\rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} \right)=-\nabla p+\nabla \cdot \left\{\mu \left[\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }-{\tfrac {2}{3}}(\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} \right]\right\}+\nabla [\zeta (\nabla \cdot \mathbf {u} )]+\rho \mathbf {f} .}$

в индексной записи уравнение можно записать в виде ^[9]

Уравнение импульса Навье – Стокса ( индексное обозначение )

${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}+u_{k}{\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{k}}}\right)=-{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}+{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left[\mu \left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{k}}}+{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}-{\frac {2}{3}}\delta _{ik}{\frac {\partial u_{l}}{\partial x_{l}}}\right)\right]+{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left(\zeta {\frac {\partial u_{l}}{\partial x_{l}}}\right)+\rho f_{i}.}$

Соответствующее уравнение в форме сохранения можно получить, если учесть, что для уравнения неразрывности массы левая часть эквивалентна:

${\displaystyle \rho {\frac {\mathrm {D} \mathbf {u} }{\mathrm {D} t}}={\frac {\partial }{\partial t}}(\rho \mathbf {u} )+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} )}$

Чтобы дать наконец:

Уравнение импульса Навье – Стокса (консервативная форма )

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(\rho \mathbf {u} )+\nabla \cdot \left(\rho \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} +[p-\zeta (\nabla \cdot \mathbf {u} )]\mathbf {I} -\mu \left[\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }-{\tfrac {2}{3}}(\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} \right]\right)=\rho \mathbf {f} .}$

Помимо зависимости от давления и температуры, второй коэффициент вязкости также зависит от процесса, то есть второй коэффициент вязкости не является просто свойством материала. Пример: в случае звуковой волны с определенной частотой, которая попеременно сжимает и расширяет жидкий элемент, второй коэффициент вязкости зависит от частоты волны. Эта зависимость называется дисперсией . В некоторых случаях вторую вязкость можно считать постоянной, и в этом случае эффект объемной вязкости заключается в том, что механическое давление не эквивалентно термодинамическому давлению : ^[10], как показано ниже. ${\textstyle \zeta }$ ${\textstyle \zeta }$

$${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} ),}$$

$${\displaystyle {\bar {p}}\equiv p-\zeta \,\nabla \cdot \mathbf {u} ,}$$

^[11]гипотезой Стокса^[12][13] ${\textstyle \zeta =0}$ ${\textstyle \zeta =0}$

Уравнение импульса Навье – Стокса ( конвективная форма, гипотеза Стокса )

${\displaystyle \rho {\frac {\mathrm {D} \mathbf {u} }{\mathrm {D} t}}=\rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} \right)=-\nabla p+\nabla \cdot \left\{\mu \left[\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }-{\tfrac {2}{3}}(\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} \right]\right\}+\rho \mathbf {f} .}$

Если предположить, что динамическая µ и объемная вязкость однородны в пространстве, уравнения в конвективной форме можно еще больше упростить. Вычисляя дивергенцию тензора напряжений, поскольку дивергенция тензора равна , а дивергенция тензора равна , в конце концов приходим к уравнению количества движения Навье – Стокса для сжимаемой среды: ^[14] ${\displaystyle \zeta }$ ${\textstyle \nabla \mathbf {u} }$ ${\textstyle \nabla ^{2}\mathbf {u} }$ ${\textstyle \left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\mathrm {T} }}$ ${\textstyle \nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)}$

Уравнение количества движения Навье – Стокса с однородным сдвигом и объемной вязкостью ( конвективная форма )

${\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}=-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} +({\tfrac {1}{3}}\nu +\xi )\,\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )+\mathbf {f} .}$

где – материальная производная . – сдвиговая кинематическая вязкость , – объемная кинематическая вязкость. Левая часть меняет форму сохранения уравнения импульса Навье–Стокса. Перенося оператор скорости потока на левую сторону, мы также имеем: ${\textstyle {\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \xi }$

Уравнение количества движения Навье – Стокса с однородным сдвигом и объемной вязкостью ( конвективная форма )

${\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla -\nu \,\nabla ^{2}-({\tfrac {1}{3}}\nu +\xi )\,\nabla (\nabla \cdot )\right)\mathbf {u} =-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\mathbf {f} .}$

Член конвективного ускорения также можно записать как

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} =(\nabla \times \mathbf {u} )\times \mathbf {u} +{\tfrac {1}{2}}\nabla \mathbf {u} ^{2},}$$

вектор Лэмба ${\textstyle (\nabla \times \mathbf {u} )\times \mathbf {u} }$

В частном случае несжимаемого потока давление сдерживает поток так, что объем жидких элементов остается постоянным: изохорный поток приводит к соленоидальному полю скорости с . ^[15] ${\textstyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$

несжимаемый поток

Уравнение количества движения несжимаемой жидкости Навье–Стокса является результатом следующих предположений о тензоре напряжений Коши: ^[5]

• напряжение является инвариантом Галилея : оно не зависит напрямую от скорости потока, а только от пространственных производных скорости потока. Таким образом, переменная напряжения — это тензорный градиент . ${\textstyle \nabla \mathbf {u} }$
• жидкость предполагается изотропной , как газы и простые жидкости, и, следовательно, является изотропным тензором; кроме того, поскольку тензор девиаторных напряжений можно выразить через динамическую вязкость : ${\textstyle {\boldsymbol {\tau }}}$ ${\textstyle \mu }$
  Определяющее уравнение напряжения Стокса (выражение, используемое для несжимаемых упругих тел)

  ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}}$

  где

  $${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\tfrac {1}{2}}\left(\mathbf {\nabla u} +\mathbf {\nabla u} ^{\mathrm {T} }\right)}$$
  – тензор скорости деформации . Таким образом, это разложение можно выразить явно следующим образом: ^[5]
  Уравнение состояния напряжений Стокса (выражение, используемое для несжимаемых вязких жидкостей)

  ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mu \left[\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }\right]}$

Это материальное уравнение еще называют законом вязкости Ньютона . Динамическая вязкость μ не обязательно должна быть постоянной – в несжимаемых потоках она может зависеть от плотности и давления. Любое уравнение, которое явно определяет один из этих коэффициентов переноса в консервативных переменных, называется уравнением состояния . ^[8]

Дивергенция девиаторного напряжения в случае однородной вязкости определяется выражением:

$${\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}=2\mu \nabla \cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}=\mu \nabla \cdot \left(\nabla \mathbf {u} +\nabla \mathbf {u} ^{\mathrm {T} }\right)=\mu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} }$$

${\textstyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$

Несжимаемость исключает волны плотности и давления, такие как звуковые или ударные волны , поэтому это упрощение бесполезно, если эти явления представляют интерес. Предположение о несжимаемом потоке обычно хорошо сохраняется для всех жидкостей при низких числах Маха (скажем, примерно до 0,3 Маха), например, для моделирования воздушного ветра при нормальных температурах. ^{В [16]} уравнения Навье–Стокса для несжимаемой жидкости лучше всего визуализируются путем деления на плотность: ^[17]

Уравнения Навье–Стокса для несжимаемой жидкости с однородной вязкостью ( конвективная форма )

${\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}={\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} =\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} -{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\mathbf {f} .}$

где называется кинематической вязкостью . Изолируя скорость жидкости, можно также утверждать: ${\textstyle \nu ={\frac {\mu }{\rho }}}$

Уравнения Навье – Стокса для несжимаемой жидкости с постоянной вязкостью ( альтернативная конвективная форма )

${\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla -\nu \,\nabla ^{2}\right)\mathbf {u} =-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\mathbf {f} .}$

Если плотность постоянна во всей области жидкости или, другими словами, если все жидкие элементы имеют одинаковую плотность, то мы имеем ${\textstyle \rho }$

Уравнения Навье–Стокса для несжимаемой жидкости с постоянной плотностью и вязкостью ( конвективная форма )

${\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}=\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} -\nabla {\frac {p}{\rho }}+\mathbf {f} ,}$

где называется напором агрегата . ${\textstyle p/\rho }$

В несжимаемых потоках поле давления удовлетворяет уравнению Пуассона , ^[9]

${\displaystyle \nabla ^{2}p=-\rho {\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{k}}}{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}=-\rho {\frac {\partial ^{2}u_{i}u_{k}}{\partial x_{k}x_{i}}},}$

которое получается путем дивергенции уравнений количества движения.

Пример ламинарного потока

Профиль скорости (ламинарный поток):

$${\displaystyle u_{x}=u(y),\quad u_{y}=0,\quad u_{z}=0}$$

для направления x упростим уравнение Навье – Стокса:

$${\displaystyle 0=-{\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} x}}+\mu \left({\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} y^{2}}}\right)}$$

Проинтегрируйте дважды, чтобы найти профиль скорости с граничными условиями y = h , u = 0 , y = - h , u = 0 :

$${\displaystyle u={\frac {1}{2\mu }}{\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} x}}y^{2}+Ay+B}$$

Подставьте в это уравнение два граничных условия, чтобы получить два уравнения:

$${\displaystyle {\begin{aligned}0&={\frac {1}{2\mu }}{\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} x}}h^{2}+Ah+B\\0&={\frac {1}{2\mu }}{\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} x}}h^{2}-Ah+B\end{aligned}}}$$

Сложите и найдите B :

$${\displaystyle B=-{\frac {1}{2\mu }}{\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} x}}h^{2}}$$

Подставьте и решите А :

$${\displaystyle A=0}$$

Наконец, это дает профиль скорости:

$${\displaystyle u={\frac {1}{2\mu }}{\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} x}}\left(y^{2}-h^{2}\right)}$$

Стоит обратить внимание на значение каждого термина (сравните с уравнением импульса Коши ):

$${\displaystyle \overbrace {{\vphantom {\frac {}{}}}\underbrace {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}} _{\text{Variation}}+\underbrace {{\vphantom {\frac {}{}}}(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} } _{\text{Divergence}}} ^{\text{Inertia (per volume)}}=\overbrace {{\vphantom {\frac {\partial }{\partial }}}\underbrace {{\vphantom {\frac {}{}}}-\nabla w} _{\begin{smallmatrix}{\text{Internal}}\\{\text{source}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {{\vphantom {\frac {}{}}}\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} } _{\text{Diffusion}}} ^{\text{Divergence of stress}}+\underbrace {{\vphantom {\frac {}{}}}\mathbf {g} } _{\begin{smallmatrix}{\text{External}}\\{\text{source}}\end{smallmatrix}}.}$$

Член более высокого порядка, а именно дивергенция касательного напряжения , просто свелся к векторному члену Лапласа . ^[18] Этот член Лапласа можно интерпретировать как разницу между скоростью в точке и средней скоростью в небольшом окружающем объеме. Это означает, что для ньютоновской жидкости вязкость действует как диффузия импульса , почти так же, как теплопроводность . Фактически, пренебрегая членом конвекции, уравнения Навье-Стокса для несжимаемой жидкости приводят к векторному уравнению диффузии (а именно уравнениям Стокса ), но в целом член конвекции присутствует, поэтому уравнения Навье-Стокса для несжимаемой жидкости относятся к классу уравнений конвекции-диффузии . ${\textstyle \nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}}$ ${\textstyle \mu \nabla ^{2}\mathbf {u} }$

В обычном случае, когда внешнее поле является консервативным полем :

$${\displaystyle \mathbf {g} =-\nabla \varphi }$$

гидравлический напор

$${\displaystyle h\equiv w+\varphi }$$

наконец, можно сжать весь источник в один член, придя к уравнению несжимаемой Навье – Стокса с консервативным внешним полем:

$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} -\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} =-\nabla h.}$$

Фундаментальным уравнением гидравлики являются уравнения Навье – Стокса несжимаемой жидкости с однородной плотностью и вязкостью и консервативным внешним полем . Областью для этих уравнений обычно является трехмерное или менее мерное евклидово пространство , для которого обычно задается ортогональная система координат , чтобы описать систему скалярных дифференциальных уравнений в частных производных, которую необходимо решить. В трёхмерных ортогональных системах координат их 3: декартова , цилиндрическая и сферическая . Выражение векторного уравнения Навье-Стокса в декартовых координатах довольно просто и не сильно зависит от количества измерений используемого евклидова пространства, и это справедливо также для членов первого порядка (таких как вариационные и конвекционные) также в недекартовы ортогональные системы координат. Но для членов более высокого порядка (двух, возникающих из-за расхождения девиаторного напряжения, которое отличает уравнения Навье – Стокса от уравнений Эйлера) требуется некоторое тензорное исчисление для вывода выражения в недекартовых ортогональных системах координат. Частным случаем основного уравнения гидравлики является уравнение Бернулли .

Уравнение несжимаемой жидкости Навье – Стокса является составным и представляет собой сумму двух ортогональных уравнений:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}&=\Pi ^{S}\left(-(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} +\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} \right)+\mathbf {f} ^{S}\\\rho ^{-1}\,\nabla p&=\Pi ^{I}\left(-(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} +\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} \right)+\mathbf {f} ^{I}\end{aligned}}}$$

безвихревыетеоремы Гельмгольца ${\textstyle \Pi ^{S}}$ ${\textstyle \Pi ^{I}}$ ${\textstyle \Pi ^{S}+\Pi ^{I}=1}$ ${\textstyle \mathbf {f} ^{S}}$ ${\textstyle \mathbf {f} ^{I}}$

Явная функциональная форма оператора проектирования в 3D находится из теоремы Гельмгольца:

$${\displaystyle \Pi ^{S}\,\mathbf {F} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\nabla \times \int {\frac {\nabla ^{\prime }\times \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} V',\quad \Pi ^{I}=1-\Pi ^{S}}$$

интегро-дифференциальное уравнение,КулонаБио-Савара

Эквивалентная слабая или вариационная форма уравнения, которая, как доказано, дает то же решение по скорости, что и уравнение Навье – Стокса, ^[19], имеет вид:

$${\displaystyle \left(\mathbf {w} ,{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}\right)=-{\bigl (}\mathbf {w} ,\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} {\bigr )}-\nu \left(\nabla \mathbf {w} :\nabla \mathbf {u} \right)+\left(\mathbf {w} ,\mathbf {f} ^{S}\right)}$$

для бездивергентных пробных функций, удовлетворяющих соответствующим граничным условиям. Здесь проекции осуществляются за счет ортогональности пространств соленоидальных и безвихревых функций. Как мы увидим в следующем разделе, дискретная форма этого процесса в высшей степени подходит для расчета методом конечных элементов бездивергентного потока. Там можно будет ответить на вопрос: «Как определить проблемы, связанные с давлением (Пуазейля), с помощью определяющего уравнения без давления?». ${\textstyle \mathbf {w} }$

Отсутствие сил давления в основном уравнении скорости показывает, что это уравнение не является динамическим, а скорее кинематическим уравнением, в котором условие бездивергентности играет роль уравнения сохранения. Все это, казалось бы, опровергает частые утверждения о том, что несжимаемое давление обеспечивает условие отсутствия дивергенций.

Слабая форма уравнений Навье – Стокса несжимаемой жидкости.

Сильная форма

Рассмотрим уравнения Навье–Стокса несжимаемой жидкости для ньютоновской жидкости постоянной плотности в области ${\textstyle \rho }$

$${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{d}\quad (d=2,3)}$$

$${\displaystyle \partial \Omega =\Gamma _{D}\cup \Gamma _{N},}$$

граничные условия Дирихле^[20] ${\textstyle \Gamma _{D}}$ ${\textstyle \Gamma _{N}}$ ${\textstyle \Gamma _{D}\cap \Gamma _{N}=\emptyset }$

$${\displaystyle {\begin{cases}\rho {\dfrac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\rho (\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} -\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {u} ,p)=\mathbf {f} &{\text{ in }}\Omega \times (0,T)\\\nabla \cdot \mathbf {u} =0&{\text{ in }}\Omega \times (0,T)\\\mathbf {u} =\mathbf {g} &{\text{ on }}\Gamma _{D}\times (0,T)\\{\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {u} ,p){\hat {\mathbf {n} }}=\mathbf {h} &{\text{ on }}\Gamma _{N}\times (0,T)\\\mathbf {u} (0)=\mathbf {u} _{0}&{\text{ in }}\Omega \times \{0\}\end{cases}}}$$

${\textstyle \mathbf {u} }$вязкого напряжения,^[20] ${\textstyle p}$ ${\textstyle \mathbf {f} }$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$ ${\textstyle \Gamma _{N}}$ ${\textstyle {\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {u} ,p)}$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {u} ,p)=-p\mathbf {I} +2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}(\mathbf {u} ).}$$

тождественный тензорскорости деформации,^[20] ${\textstyle \mu }$ ${\textstyle \mathbf {I} }$ ${\textstyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(\mathbf {u} )}$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(\mathbf {u} )={\frac {1}{2}}\left(\left(\nabla \mathbf {u} \right)+\left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\mathrm {T} }\right).}$$

начальное условиесохранения массыуравнение неразрывности ${\textstyle \mathbf {g} }$ ${\textstyle \mathbf {h} }$ ${\textstyle \mathbf {u} _{0}}$

$${\displaystyle \nabla \cdot \left(\nabla \mathbf {f} \right)^{\mathrm {T} }=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {f} )}$$

^[20]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {u} ,p)&=\nabla \cdot \left(-p\mathbf {I} +2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}(\mathbf {u} )\right)\\&=-\nabla p+2\mu \nabla \cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}(\mathbf {u} )\\&=-\nabla p+2\mu \nabla \cdot \left[{\tfrac {1}{2}}\left(\left(\nabla \mathbf {u} \right)+\left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\mathrm {T} }\right)\right]\\&=-\nabla p+\mu \left(\Delta \mathbf {u} +\nabla \cdot \left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\mathrm {T} }\right)\\&=-\nabla p+\mu {\bigl (}\Delta \mathbf {u} +\nabla \underbrace {(\nabla \cdot \mathbf {u} )} _{=0}{\bigr )}=-\nabla p+\mu \,\Delta \mathbf {u} .\end{aligned}}}$$

^[20]

$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {u} ,p){\hat {\mathbf {n} }}=\left(-p\mathbf {I} +2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}(\mathbf {u} )\right){\hat {\mathbf {n} }}=-p{\hat {\mathbf {n} }}+\mu {\frac {\partial {\boldsymbol {u}}}{\partial {\hat {\mathbf {n} }}}}.}$$

Слабая форма

Чтобы найти слабую форму уравнений Навье–Стокса, сначала рассмотрим уравнение импульса ^[20]

$${\displaystyle \rho {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}-\mu \Delta \mathbf {u} +\rho (\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} +\nabla p=\mathbf {f} }$$

^[20] ${\textstyle \mathbf {v} }$ ${\textstyle V}$ ${\textstyle \Omega }$

$${\displaystyle \int \limits _{\Omega }\rho {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}\cdot \mathbf {v} -\int \limits _{\Omega }\mu \Delta \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} +\int \limits _{\Omega }\rho (\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} +\int \limits _{\Omega }\nabla p\cdot \mathbf {v} =\int \limits _{\Omega }\mathbf {f} \cdot \mathbf {v} }$$

^[20]

$${\displaystyle {\begin{aligned}-\int \limits _{\Omega }\mu \Delta \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} &=\int _{\Omega }\mu \nabla \mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {v} -\int \limits _{\partial \Omega }\mu {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial {\hat {\mathbf {n} }}}}\cdot \mathbf {v} \\\int \limits _{\Omega }\nabla p\cdot \mathbf {v} &=-\int \limits _{\Omega }p\nabla \cdot \mathbf {v} +\int \limits _{\partial \Omega }p\mathbf {v} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\end{aligned}}}$$

Используя эти соотношения, получаем: ^[20]

$${\displaystyle \int \limits _{\Omega }\rho {\dfrac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}\cdot \mathbf {v} +\int \limits _{\Omega }\mu \nabla \mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {v} +\int \limits _{\Omega }\rho (\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} -\int \limits _{\Omega }p\nabla \cdot \mathbf {v} =\int \limits _{\Omega }\mathbf {f} \cdot \mathbf {v} +\int \limits _{\partial \Omega }\left(\mu {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial {\hat {\mathbf {n} }}}}-p{\hat {\mathbf {n} }}\right)\cdot \mathbf {v} \quad \forall \mathbf {v} \in V.}$$

q,^[20] ${\textstyle Q}$ ${\textstyle \Omega }$

$${\displaystyle \int \limits _{\Omega }q\nabla \cdot \mathbf {u} =0.\quad \forall q\in Q.}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}V=\left[H_{0}^{1}(\Omega )\right]^{d}&=\left\{\mathbf {v} \in \left[H^{1}(\Omega )\right]^{d}:\quad \mathbf {v} =\mathbf {0} {\text{ on }}\Gamma _{D}\right\},\\Q&=L^{2}(\Omega )\end{aligned}}}$$

v^[20]

$${\displaystyle \int \limits _{\partial \Omega }\left(\mu {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial {\hat {\mathbf {n} }}}}-p{\hat {\mathbf {n} }}\right)\cdot \mathbf {v} =\underbrace {\int \limits _{\Gamma _{D}}\left(\mu {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial {\hat {\mathbf {n} }}}}-p{\hat {\mathbf {n} }}\right)\cdot \mathbf {v} } _{\mathbf {v} =\mathbf {0} {\text{ on }}\Gamma _{D}\ }+\int \limits _{\Gamma _{N}}\underbrace {{\vphantom {\int \limits _{\Gamma _{N}}}}\left(\mu {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial {\hat {\mathbf {n} }}}}-p{\hat {\mathbf {n} }}\right)} _{=\mathbf {h} {\text{ on }}\Gamma _{N}}\cdot \mathbf {v} =\int \limits _{\Gamma _{N}}\mathbf {h} \cdot \mathbf {v} .}$$

^[20]

$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{find }}\mathbf {u} \in L^{2}\left(\mathbb {R} ^{+}\;\left[H^{1}(\Omega )\right]^{d}\right)\cap C^{0}\left(\mathbb {R} ^{+}\;\left[L^{2}(\Omega )\right]^{d}\right){\text{ such that: }}\\[5pt]&\quad {\begin{cases}\displaystyle \int \limits _{\Omega }\rho {\dfrac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}\cdot \mathbf {v} +\int \limits _{\Omega }\mu \nabla \mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {v} +\int \limits _{\Omega }\rho (\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} -\int \limits _{\Omega }p\nabla \cdot \mathbf {v} =\int \limits _{\Omega }\mathbf {f} \cdot \mathbf {v} +\int \limits _{\Gamma _{N}}\mathbf {h} \cdot \mathbf {v} \quad \forall \mathbf {v} \in V,\\\displaystyle \int \limits _{\Omega }q\nabla \cdot \mathbf {u} =0\quad \forall q\in Q.\end{cases}}\end{aligned}}}$$

Дискретная скорость

При разделении проблемной области и определении базисных функций в разделенной области дискретная форма основного уравнения имеет вид

$${\displaystyle \left(\mathbf {w} _{i},{\frac {\partial \mathbf {u} _{j}}{\partial t}}\right)=-{\bigl (}\mathbf {w} _{i},\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} _{j}{\bigr )}-\nu \left(\nabla \mathbf {w} _{i}:\nabla \mathbf {u} _{j}\right)+\left(\mathbf {w} _{i},\mathbf {f} ^{S}\right).}$$

Базисные функции желательно выбирать, отражающие существенное свойство несжимаемого течения – элементы должны быть бездивергентными. Хотя скорость является интересующей переменной, существование функции тока или векторного потенциала необходимо по теореме Гельмгольца. Далее, для определения расхода жидкости при отсутствии градиента давления можно задать разность значений функции тока по 2D-каналу или линейный интеграл от тангенциальной составляющей векторного потенциала вокруг канала в 3D, при этом поток задается по теореме Стокса . В дальнейшем обсуждение будет ограничено 2D.

Далее мы ограничиваем обсуждение непрерывными конечными элементами Эрмита, имеющими по крайней мере первые производные степени свободы. Благодаря этому можно почерпнуть большое количество потенциальных треугольных и прямоугольных элементов из литературы по гибке пластин . Эти элементы имеют производные как компоненты градиента. В 2D градиент и ротор скаляра явно ортогональны, что определяется выражениями:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \varphi &=\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x}},\,{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)^{\mathrm {T} },\\[5pt]\nabla \times \varphi &=\left({\frac {\partial \varphi }{\partial y}},\,-{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)^{\mathrm {T} }.\end{aligned}}}$$

Принятие непрерывных пластинчатых элементов, замена производных степеней свободы местами и изменение знака соответствующей степени дает множество семейств элементов функции тока.

Взятие ротора элементов скалярной функции тока дает бездивергентные элементы скорости. ^{[21] [22]} Требование, чтобы элементы функции тока были непрерывными, гарантирует, что нормальная составляющая скорости непрерывна на границах разделов элементов, и это все, что необходимо для исчезновения расхождения на этих интерфейсах.

Граничные условия просты в применении. Функция тока постоянна на поверхностях без потока, при условиях скорости прилипания на поверхностях. Различия в функциях потока по открытым каналам определяют поток. На открытых границах не требуются граничные условия, хотя при некоторых проблемах можно использовать согласованные значения. Это все условия Дирихле.

Алгебраические уравнения, которые необходимо решить, просты в настройке, но, конечно, они нелинейны и требуют повторения линеаризованных уравнений.

Аналогичные соображения применимы к трехмерным измерениям, но расширение из 2D не происходит немедленно из-за векторной природы потенциала, и не существует простой связи между градиентом и ротором, как это было в 2D.

Восстановление давления

Восстановить давление из поля скоростей легко. Дискретное слабое уравнение для градиента давления:

$${\displaystyle (\mathbf {g} _{i},\nabla p)=-\left(\mathbf {g} _{i},\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} _{j}\right)-\nu \left(\nabla \mathbf {g} _{i}:\nabla \mathbf {u} _{j}\right)+\left(\mathbf {g} _{i},\mathbf {f} ^{I}\right)}$$

где тестовые/весовые функции являются безвихревыми. Можно использовать любой соответствующий скалярный конечный элемент. Однако поле градиента давления также может представлять интерес. В этом случае для давления можно использовать скалярные элементы Эрмита. В качестве тестовых/весовых функций можно выбрать элементы безвихревого вектора, полученные из градиента элемента давления. ${\textstyle \mathbf {g} _{i}}$

Неинерциальная система отсчета

Вращающаяся система отсчета вводит в уравнения некоторые интересные псевдосилы через производную материала . Рассмотрим стационарную инерциальную систему отсчета  и неинерциальную систему отсчета , которая перемещается со скоростью и вращается с угловой скоростью относительно неподвижной системы отсчета. Тогда уравнение Навье – Стокса, наблюдаемое в неинерциальной системе отсчета, принимает вид ${\textstyle K}$ ${\textstyle K'}$ ${\textstyle \mathbf {U} (t)}$ ${\textstyle \Omega (t)}$

Уравнение количества движения Навье – Стокса в неинерциальной системе отсчета

${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} \right)=-\nabla p+\nabla \cdot \left\{\mu \left[\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }-{\tfrac {2}{3}}(\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} \right]\right\}+\nabla [\zeta (\nabla \cdot \mathbf {u} )]+\rho \mathbf {f} -\rho \left[2\mathbf {\Omega } \times \mathbf {u} +\mathbf {\Omega } \times (\mathbf {\Omega } \times \mathbf {x} )+{\frac {\mathrm {d} \mathbf {U} }{\mathrm {d} t}}+{\frac {\mathrm {d} \mathbf {\Omega } }{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {x} \right].}$

Здесь и измеряются в неинерциальной системе отсчета. Первый член в скобках представляет собой ускорение Кориолиса , второй член обусловлен центробежным ускорением , третий член обусловлен линейным ускорением относительно , ​​а четвертый член обусловлен угловым ускорением относительно . ${\textstyle \mathbf {x} }$ ${\textstyle \mathbf {u} }$ ${\textstyle K'}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle K'}$ ${\textstyle K}$

Другие уравнения

Уравнения Навье – Стокса представляют собой строгое утверждение баланса импульсов. Чтобы полностью описать поток жидкости, необходимо больше информации, насколько это зависит от сделанных допущений. Эта дополнительная информация может включать в себя граничные данные ( прилипание , капиллярная поверхность и т. д.), сохранение массы, баланс энергии и/или уравнение состояния .

Уравнение неразрывности несжимаемой жидкости

Независимо от допущений о потоке, обычно необходимо утверждение о сохранении массы . Это достигается с помощью уравнения неразрывности массы , как обсуждалось выше в разделе «Общие уравнения сплошной среды» в этой статье, а именно:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathbf {D} m}{\mathbf {Dt} }}&={\iiint \limits _{V}}({{\frac {\mathbf {D} \rho }{\mathbf {Dt} }}+\rho (\nabla \cdot \mathbf {u} )})dV\\{\frac {\mathbf {D} \rho }{\mathbf {Dt} }}+\rho (\nabla \cdot {\mathbf {u} })&={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+({\nabla \rho })\cdot {\mathbf {u} }+{\rho }(\nabla \cdot \mathbf {u} )={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot ({\rho \mathbf {u} })=0\end{aligned}}}$$

плотностьнесжимаемойплотностиградиентплотностьплотностьнесжимаемой жидкости ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle ({\frac {\partial \rho }{\partial t}})}$ ${\displaystyle (\nabla \rho )}$ ${\displaystyle (0)}$ ${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla ({\rho \mathbf {u} })=0}$ ${\displaystyle \rho (\nabla {\cdot }{\mathbf {u} })=0}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle (\rho \neq 0)}$ ${\displaystyle (0)}$ ${\displaystyle \rho }$

$${\displaystyle (\nabla {\cdot {\mathbf {u} }})=0}$$

дивергенция векторанесжимаемой жидкостипотокасоленоидальным векторным полембездивергентным векторным полемвекторного оператора Лапласазавихренностинесжимаемой жидкости ${\textstyle (\nabla {\cdot {\mathbf {u} }})=0}$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle (0)}$ ${\displaystyle (\nabla ^{2}\mathbf {u} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {u} ))}$ ${\displaystyle ({\vec {\omega }}=\nabla \times \mathbf {u} )}$

$${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {u} =-(\nabla \times (\nabla \times \mathbf {u} ))=-(\nabla \times {\vec {\omega }})}$$

Функция потока для несжимаемой 2D-жидкости

Учет ротора уравнения Навье – Стокса для несжимаемой жидкости приводит к устранению давления. Это особенно легко увидеть, если предположить двумерный декартов поток (как в вырожденном трехмерном случае с отсутствием какой-либо зависимости от ), где уравнения сводятся к: ${\textstyle u_{z}=0}$ ${\textstyle z}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\rho \left({\frac {\partial u_{x}}{\partial t}}+u_{x}{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}\right)&=-{\frac {\partial p}{\partial x}}+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial y^{2}}}\right)+\rho g_{x}\\\rho \left({\frac {\partial u_{y}}{\partial t}}+u_{x}{\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}\right)&=-{\frac {\partial p}{\partial y}}+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial y^{2}}}\right)+\rho g_{y}.\end{aligned}}}$$

Дифференцирование первого по , второго по и вычитание полученных уравнений устранит давление и любую консервативную силу . Для несжимаемого потока определение функции потока через ${\textstyle y}$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle \psi }$

$${\displaystyle u_{x}={\frac {\partial \psi }{\partial y}};\quad u_{y}=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}}$$

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla ^{2}\psi \right)+{\frac {\partial \psi }{\partial y}}{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\nabla ^{2}\psi \right)-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial y}}\left(\nabla ^{2}\psi \right)=\nu \nabla ^{4}\psi }$$

где – двумерный бигармонический оператор , – кинематическая вязкость , . Мы также можем выразить это компактно, используя определитель Якобиана : ${\textstyle \nabla ^{4}}$ ${\textstyle \nu }$ ${\textstyle \nu ={\frac {\mu }{p}}}$

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla ^{2}\psi \right)+{\frac {\partial \left(\psi ,\nabla ^{2}\psi \right)}{\partial (y,x)}}=\nu \nabla ^{4}\psi .}$$

Это единственное уравнение вместе с соответствующими граничными условиями описывает двумерное течение жидкости, принимая в качестве параметра только кинематическую вязкость. Обратите внимание, что уравнение для ползущего потока получается, когда левая часть принимается равной нулю.

В осесимметричном потоке другая формулировка функции тока, называемая функцией тока Стокса , может использоваться для описания компонентов скорости несжимаемого потока с помощью одной скалярной функции.

Уравнение Навье–Стокса для несжимаемой жидкости представляет собой дифференциально-алгебраическое уравнение , имеющее ту неудобную особенность, что нет явного механизма продвижения давления во времени. Следовательно, было затрачено много усилий, чтобы устранить нагрузку со всего или части вычислительного процесса. Формулировка функции тока исключает давление, но только в двух измерениях и за счет введения высших производных и исключения скорости, которая является основной интересующей переменной.

Характеристики

Нелинейность

Уравнения Навье – Стокса в общем случае являются нелинейными уравнениями в частных производных и поэтому остаются почти в каждой реальной ситуации. ^{[23] [24]} В некоторых случаях, таких как одномерный поток и поток Стокса (или ползущий поток), уравнения можно упростить до линейных уравнений. Нелинейность затрудняет или делает невозможным решение большинства проблем и является основным фактором турбулентности, которую моделируют уравнения.

Нелинейность обусловлена ​​конвективным ускорением, которое представляет собой ускорение, связанное с изменением скорости в зависимости от положения. Следовательно, любой конвективный поток, турбулентный или нет, будет иметь нелинейность. Примером конвективного, но ламинарного (нетурбулентного) течения может служить прохождение вязкой жидкости (например, масла) через небольшое сужающееся сопло . Такие потоки, независимо от того, являются ли они точно решаемыми или нет, часто можно тщательно изучить и понять. ^[25]

Турбулентность

Турбулентность — это зависящее от времени хаотическое поведение, наблюдаемое во многих потоках жидкости. Обычно полагают, что это связано с инерцией жидкости в целом: кульминацией нестационарного и конвективного ускорения; следовательно, потоки, в которых инерционные эффекты невелики, имеют тенденцию быть ламинарными ( число Рейнольдса количественно определяет, насколько на поток влияет инерция). Считается, хотя и не известно наверняка, что уравнения Навье – Стокса правильно описывают турбулентность. ^[26]

Численное решение уравнений Навье – Стокса для турбулентного потока чрезвычайно сложно, и из-за существенно разных масштабов длины смешивания, которые участвуют в турбулентном потоке, устойчивое решение этого уравнения требует такого мелкого разрешения сетки, что время вычислений становится значительно меньше. невозможно для расчета или прямого численного моделирования . Попытки решить турбулентный поток с использованием ламинарного решателя обычно приводят к нестационарному во времени решению, которое не может сходиться должным образом. Чтобы противостоять этому, в практических приложениях вычислительной гидродинамики (CFD) при моделировании турбулентных потоков используются усредненные по времени уравнения, такие как усредненные по Рейнольдсу уравнения Навье – Стокса (RANS), дополненные моделями турбулентности . Некоторые модели включают модели Спаларта – Аллмараса , k – ω , k – ε и SST , которые добавляют множество дополнительных уравнений для замыкания уравнений RANS. Моделирование больших вихрей (LES) также можно использовать для численного решения этих уравнений. Этот подход требует больше вычислительных затрат (по времени и в памяти компьютера), чем RANS, но дает лучшие результаты, поскольку явно разрешает более крупные турбулентные масштабы.

Применимость

Вместе с дополнительными уравнениями (например, сохранения массы) и хорошо сформулированными граничными условиями уравнения Навье – Стокса, похоже, точно моделируют движение жидкости; даже турбулентные потоки кажутся (в среднем) согласующимися с реальными наблюдениями.

Уравнения Навье-Стокса предполагают, что изучаемая жидкость представляет собой континуум (она бесконечно делима и не состоит из таких частиц, как атомы или молекулы) и не движется с релятивистскими скоростями . В очень малых масштабах или в экстремальных условиях реальные жидкости, состоящие из дискретных молекул, будут давать результаты, отличные от результатов непрерывных жидкостей, смоделированных уравнениями Навье-Стокса. Например, капиллярность внутренних слоев жидкости проявляется при течении с большими градиентами. ^[27] Для большого числа Кнудсена в задаче уравнение Больцмана может быть подходящей заменой. ^[28] В противном случае, возможно, придется прибегнуть к молекулярной динамике или различным гибридным методам. ^[29]

Другим ограничением является просто сложный характер уравнений. Для распространенных семейств жидкостей существуют проверенные временем формулировки, но применение уравнений Навье – Стокса к менее распространенным семействам имеет тенденцию приводить к очень сложным формулировкам и часто к открытию исследовательских проблем. По этой причине эти уравнения обычно пишут для ньютоновских жидкостей , где модель вязкости линейна ; по-настоящему общих моделей течения других видов жидкостей (например, крови) не существует. ^[30]

Применение к конкретным проблемам

Уравнения Навье–Стокса, даже если они написаны явно для конкретных жидкостей, носят довольно общий характер, и их правильное применение к конкретным задачам может быть очень разнообразным. Частично это связано с тем, что существует огромное разнообразие проблем, которые можно моделировать: от таких простых, как распределение статического давления, до таких сложных, как многофазный поток , вызванный поверхностным натяжением .

Как правило, применение к конкретным проблемам начинается с некоторых предположений о потоке и формулировки начальных/граничных условий, за этим может последовать масштабный анализ для дальнейшего упрощения проблемы.

Визуализация (а) параллельного потока и (б) радиального потока.

Параллельный поток

Предположим, что устойчивый, параллельный, одномерный, неконвективный поток под давлением между параллельными пластинами, результирующая масштабированная (безразмерная) краевая задача :

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} y^{2}}}=-1;\quad u(0)=u(1)=0.}$$

Граничным условием является условие прилипания . Эта задача легко решается для поля течения:

$${\displaystyle u(y)={\frac {y-y^{2}}{2}}.}$$

С этого момента можно легко получить больше интересующих величин, таких как сила вязкого сопротивления или чистый расход.

Радиальный поток

Трудности могут возникнуть, когда задача немного усложнится. На вид скромным изменением параллельного потока, описанного выше, может быть радиальный поток между параллельными пластинами; это включает в себя конвекцию и, следовательно, нелинейность. Поле скорости может быть представлено функцией f ( z ) , которая должна удовлетворять:

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} z^{2}}}+Rf^{2}=-1;\quad f(-1)=f(1)=0.}$$

Это обыкновенное дифференциальное уравнение получается при написании уравнений Навье – Стокса и применении допущений о потоке (кроме того, для него решается градиент давления). Нелинейный член делает эту проблему очень сложной для аналитического решения ( можно найти длинное неявное решение , включающее эллиптические интегралы и корни кубических многочленов ). Проблемы с реальным существованием решений возникают для (приблизительно; это не √ 2 ), параметром является число Рейнольдса с соответствующим образом выбранными масштабами. ^[31] Это пример того, как предположения о потоке теряют свою применимость, а также пример сложности потоков с «высоким» числом Рейнольдса. ^[31] ${\textstyle R>1.41}$ ${\textstyle R}$

Конвекция

Типом естественной конвекции, которую можно описать уравнением Навье-Стокса, является конвекция Рэлея-Бенара . Это одно из наиболее часто изучаемых явлений конвекции из-за его аналитической и экспериментальной доступности.

Точные решения уравнений Навье–Стокса.

Существуют некоторые точные решения уравнений Навье – Стокса. Примерами вырожденных случаев — с нелинейными членами в уравнениях Навье-Стокса, равными нулю — являются поток Пуазейля , поток Куэтта и осциллирующий пограничный слой Стокса . Но существуют и более интересные примеры, решения полных нелинейных уравнений, такие как поток Джеффри-Гамеля , закрученный поток Кармана , поток критической точки , струя Ландау-Сквайра и вихрь Тейлора-Грина . ^{[32] [33] [34]} Обратите внимание, что существование этих точных решений не означает, что они устойчивы: турбулентность может развиваться при более высоких числах Рейнольдса.

При дополнительных допущениях составные части могут быть разделены. ^[35]

Двумерный пример

Например, в случае неограниченной плоской области с двумерным — несжимаемым и стационарным — течением в полярных координатах ( r , φ ) , компоненты скорости ( ur _, u _φ ) и давления p равны: [ ^36]

$${\displaystyle {\begin{aligned}u_{r}&={\frac {A}{r}},\\u_{\varphi }&=B\left({\frac {1}{r}}-r^{{\frac {A}{\nu }}+1}\right),\\p&=-{\frac {A^{2}+B^{2}}{2r^{2}}}-{\frac {2B^{2}\nu r^{\frac {A}{\nu }}}{A}}+{\frac {B^{2}r^{\left({\frac {2A}{\nu }}+2\right)}}{{\frac {2A}{\nu }}+2}}\end{aligned}}}$$

где A и B — произвольные константы. Это решение справедливо в области r ≥ 1 и при A < −2 ν .

В декартовых координатах, когда вязкость равна нулю ( ν = 0 ), это:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} (x,y)&={\frac {1}{x^{2}+y^{2}}}{\begin{pmatrix}Ax+By\\Ay-Bx\end{pmatrix}},\\p(x,y)&=-{\frac {A^{2}+B^{2}}{2\left(x^{2}+y^{2}\right)}}\end{aligned}}}$$

Трехмерный пример

Например, в случае неограниченной евклидовой области с трехмерным — несжимаемым, стационарным и с нулевой вязкостью ( ν = 0 ) — радиальным течением в декартовых координатах ( x , y , z ) вектор скорости v и давление p равны : ^{[ нужна цитата ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} (x,y,z)&={\frac {A}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}},\\p(x,y,z)&=-{\frac {A^{2}}{2\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}}.\end{aligned}}}$$

Имеется особенность в точке x = y = z = 0 .

Трехмерное стационарное вихревое решение

Проволочная модель линий тока вдоль расслоения Хопфа .

Стационарный пример без особенностей получается при рассмотрении потока вдоль линий расслоения Хопфа . Пусть – постоянный радиус внутренней катушки. Один набор решений дается следующим образом: ^[37] ${\textstyle r}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\rho (x,y,z)&={\frac {3B}{r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\p(x,y,z)&={\frac {-A^{2}B}{\left(r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3}}}\\\mathbf {u} (x,y,z)&={\frac {A}{\left(r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}}}{\begin{pmatrix}2(-ry+xz)\\2(rx+yz)\\r^{2}-x^{2}-y^{2}+z^{2}\end{pmatrix}}\\g&=0\\\mu &=0\end{aligned}}}$$

для произвольных констант и . Это решение в невязком газе (сжимаемой жидкости), плотность, скорость и давление которого вдали от начала координат обращаются к нулю. (Обратите внимание, что это не решение проблемы Клея «Миллениум», поскольку это относится к несжимаемым жидкостям, где – константа, и не имеет отношения к уникальности уравнений Навье – Стокса относительно каких-либо свойств турбулентности .) Также стоит указать на это. Выяснилось, что компоненты вектора скорости в точности соответствуют компонентам четверной параметризации Пифагора. При том же поле скоростей возможны и другие варианты плотности и давления: ${\textstyle A}$ ${\textstyle B}$ ${\textstyle \rho }$

Другие варианты плотности и давления

Другой выбор давления и плотности с тем же вектором скорости, указанным выше, — это вариант, при котором давление и плотность падают до нуля в начале координат и достигают максимума в центральной петле при z = 0 , x ² + y ² = r ² :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\rho (x,y,z)&={\frac {20B\left(x^{2}+y^{2}\right)}{\left(r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3}}}\\p(x,y,z)&={\frac {-A^{2}B}{\left(r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{4}}}+{\frac {-4A^{2}B\left(x^{2}+y^{2}\right)}{\left(r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{5}}}.\end{aligned}}}$$

Фактически, вообще говоря, существуют простые решения для любой полиномиальной функции f , плотность которой равна:

$${\displaystyle \rho (x,y,z)={\frac {1}{r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}}}f\left({\frac {x^{2}+y^{2}}{\left(r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}}}\right).}$$

Вязкие трехмерные периодические решения

Два примера периодических полностью трехмерных вязких решений описаны в ^[38] . Эти решения определены на трехмерном торе и характеризуются положительной и отрицательной спиральностью соответственно. Решение с положительной спиральностью имеет вид: ${\displaystyle \mathbb {T} ^{3}=[0,L]^{3}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}u_{x}&={\frac {4{\sqrt {2}}}{3{\sqrt {3}}}}\,U_{0}\left[\,\sin(kx-\pi /3)\cos(ky+\pi /3)\sin(kz+\pi /2)-\cos(kz-\pi /3)\sin(kx+\pi /3)\sin(ky+\pi /2)\,\right]e^{-3\nu k^{2}t}\\u_{y}&={\frac {4{\sqrt {2}}}{3{\sqrt {3}}}}\,U_{0}\left[\,\sin(ky-\pi /3)\cos(kz+\pi /3)\sin(kx+\pi /2)-\cos(kx-\pi /3)\sin(ky+\pi /3)\sin(kz+\pi /2)\,\right]e^{-3\nu k^{2}t}\\u_{z}&={\frac {4{\sqrt {2}}}{3{\sqrt {3}}}}\,U_{0}\left[\,\sin(kz-\pi /3)\cos(kx+\pi /3)\sin(ky+\pi /2)-\cos(ky-\pi /3)\sin(kz+\pi /3)\sin(kx+\pi /2)\,\right]e^{-3\nu k^{2}t}\end{aligned}}}$$

потока Бельтрамивихря Тейлора-Грина ${\displaystyle k=2\pi /L}$ ${\displaystyle U_{0}^{2}/2}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle p=p_{0}-\rho _{0}\|{\boldsymbol {u}}\|^{2}/2}$ ${\displaystyle p_{0}}$ ${\displaystyle \rho _{0}}$ ${\displaystyle \omega ={\sqrt {3}}\,k\,{\boldsymbol {u}}}$

Диаграммы Уайлда

Диаграммы Уайлда представляют собой бухгалтерские графики , которые соответствуют уравнениям Навье – Стокса посредством расширения возмущений фундаментальной механики сплошной среды . Подобно диаграммам Фейнмана в квантовой теории поля , эти диаграммы являются расширением техники Келдыша для неравновесных процессов в гидродинамике. Другими словами, эти диаграммы отображают графики (часто) турбулентных явлений в турбулентных жидкостях, позволяя коррелированным и взаимодействующим частицам жидкости подчиняться случайным процессам , связанным с псевдослучайными функциями в распределениях вероятностей . ^[39]

Представления в 3D

Обратите внимание, что в формулах этого раздела используются однострочные обозначения для частных производных, где, например, означает частную производную по , а означает частную производную второго порядка по . ${\textstyle \partial _{x}u}$ ${\textstyle u}$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle \partial _{y}^{2}f_{\theta }}$ ${\textstyle f_{\theta }}$ ${\textstyle y}$

В статье 2022 года представлено менее затратное, динамичное и рекуррентное решение уравнения Навье-Стокса для трехмерных турбулентных потоков жидкости. На достаточно коротких временных масштабах динамика турбулентности является детерминированной. ^[40]

Декартовы координаты

Из общей формы Навье-Стокса с вектором скорости, расширенным как , иногда называемым соответственно , , , мы можем явно записать векторное уравнение: ${\textstyle \mathbf {u} =(u_{x},u_{y},u_{z})}$ ${\textstyle u}$ ${\textstyle v}$ ${\textstyle w}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}x:\ &\rho \left({\partial _{t}u_{x}}+u_{x}\,{\partial _{x}u_{x}}+u_{y}\,{\partial _{y}u_{x}}+u_{z}\,{\partial _{z}u_{x}}\right)\\&\quad =-\partial _{x}p+\mu \left({\partial _{x}^{2}u_{x}}+{\partial _{y}^{2}u_{x}}+{\partial _{z}^{2}u_{x}}\right)+{\frac {1}{3}}\mu \ \partial _{x}\left({\partial _{x}u_{x}}+{\partial _{y}u_{y}}+{\partial _{z}u_{z}}\right)+\rho g_{x}\\\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}y:\ &\rho \left({\partial _{t}u_{y}}+u_{x}{\partial _{x}u_{y}}+u_{y}{\partial _{y}u_{y}}+u_{z}{\partial _{z}u_{y}}\right)\\&\quad =-{\partial _{y}p}+\mu \left({\partial _{x}^{2}u_{y}}+{\partial _{y}^{2}u_{y}}+{\partial _{z}^{2}u_{y}}\right)+{\frac {1}{3}}\mu \ \partial _{y}\left({\partial _{x}u_{x}}+{\partial _{y}u_{y}}+{\partial _{z}u_{z}}\right)+\rho g_{y}\\\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}z:\ &\rho \left({\partial _{t}u_{z}}+u_{x}{\partial _{x}u_{z}}+u_{y}{\partial _{y}u_{z}}+u_{z}{\partial _{z}u_{z}}\right)\\&\quad =-{\partial _{z}p}+\mu \left({\partial _{x}^{2}u_{z}}+{\partial _{y}^{2}u_{z}}+{\partial _{z}^{2}u_{z}}\right)+{\frac {1}{3}}\mu \ \partial _{z}\left({\partial _{x}u_{x}}+{\partial _{y}u_{y}}+{\partial _{z}u_{z}}\right)+\rho g_{z}.\end{aligned}}}$$

Обратите внимание, что гравитация учитывалась как массовая сила, и значения , , будут зависеть от ориентации силы тяжести относительно выбранного набора координат. ${\textstyle g_{x}}$ ${\textstyle g_{y}}$ ${\textstyle g_{z}}$

Уравнение непрерывности гласит:

$${\displaystyle \partial _{t}\rho +\partial _{x}(\rho u_{x})+\partial _{y}(\rho u_{y})+\partial _{z}(\rho u_{z})=0.}$$

Когда поток несжимаем, не меняется ни для одной частицы жидкости, а его материальная производная обращается в нуль: . Уравнение неразрывности сводится к: ${\textstyle \rho }$ ${\textstyle {\frac {\mathrm {D} \rho }{\mathrm {D} t}}=0}$

$${\displaystyle \partial _{x}u_{x}+\partial _{y}u_{y}+\partial _{z}u_{z}=0.}$$

Таким образом, для несжимаемой версии уравнения Навье–Стокса вторая часть вязких членов отпадает (см. Несжимаемое течение ).

Эта система четырех уравнений представляет собой наиболее часто используемую и изучаемую форму. Хотя это представление сравнительно более компактно, чем другие представления, оно все же представляет собой нелинейную систему уравнений в частных производных , для которой трудно найти решения.

Цилиндрические координаты

Замена переменных в декартовых уравнениях даст ^[16] следующие уравнения импульса для , и ^[41] ${\textstyle r}$ ${\textstyle \phi }$ ${\textstyle z}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}r:\ &\rho \left({\partial _{t}u_{r}}+u_{r}{\partial _{r}u_{r}}+{\frac {u_{\varphi }}{r}}{\partial _{\varphi }u_{r}}+u_{z}{\partial _{z}u_{r}}-{\frac {u_{\varphi }^{2}}{r}}\right)\\&\quad =-{\partial _{r}p}\\&\qquad +\mu \left({\frac {1}{r}}\partial _{r}\left(r{\partial _{r}u_{r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\partial _{\varphi }^{2}u_{r}}+{\partial _{z}^{2}u_{r}}-{\frac {u_{r}}{r^{2}}}-{\frac {2}{r^{2}}}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}\right)\\&\qquad +{\frac {1}{3}}\mu \partial _{r}\left({\frac {1}{r}}{\partial _{r}\left(ru_{r}\right)}+{\frac {1}{r}}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}+{\partial _{z}u_{z}}\right)\\&\qquad +\rho g_{r}\\[8px]\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi :\ &\rho \left({\partial _{t}u_{\varphi }}+u_{r}{\partial _{r}u_{\varphi }}+{\frac {u_{\varphi }}{r}}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}+u_{z}{\partial _{z}u_{\varphi }}+{\frac {u_{r}u_{\varphi }}{r}}\right)\\&\quad =-{\frac {1}{r}}{\partial _{\varphi }p}\\&\qquad +\mu \left({\frac {1}{r}}\ \partial _{r}\left(r{\partial _{r}u_{\varphi }}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\partial _{\varphi }^{2}u_{\varphi }}+{\partial _{z}^{2}u_{\varphi }}-{\frac {u_{\varphi }}{r^{2}}}+{\frac {2}{r^{2}}}{\partial _{\varphi }u_{r}}\right)\\&\qquad +{\frac {1}{3}}\mu {\frac {1}{r}}\partial _{\varphi }\left({\frac {1}{r}}{\partial _{r}\left(ru_{r}\right)}+{\frac {1}{r}}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}+{\partial _{z}u_{z}}\right)\\&\qquad +\rho g_{\varphi }\\[8px]\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}z:\ &\rho \left({\partial _{t}u_{z}}+u_{r}{\partial _{r}u_{z}}+{\frac {u_{\varphi }}{r}}{\partial _{\varphi }u_{z}}+u_{z}{\partial _{z}u_{z}}\right)\\&\quad =-{\partial _{z}p}\\&\qquad +\mu \left({\frac {1}{r}}\partial _{r}\left(r{\partial _{r}u_{z}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\partial _{\varphi }^{2}u_{z}}+{\partial _{z}^{2}u_{z}}\right)\\&\qquad +{\frac {1}{3}}\mu \partial _{z}\left({\frac {1}{r}}{\partial _{r}\left(ru_{r}\right)}+{\frac {1}{r}}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}+{\partial _{z}u_{z}}\right)\\&\qquad +\rho g_{z}.\end{aligned}}}$$

Компоненты гравитации, как правило, не являются постоянными, однако для большинства применений либо координаты выбираются так, чтобы компоненты гравитации были постоянными, либо предполагается, что гравитации противодействует поле давления (например, поток в горизонтальной трубе рассматривается как обычно без силы тяжести и без вертикального градиента давления). Уравнение непрерывности:

$${\displaystyle {\partial _{t}\rho }+{\frac {1}{r}}\partial _{r}\left(\rho ru_{r}\right)+{\frac {1}{r}}{\partial _{\varphi }\left(\rho u_{\varphi }\right)}+{\partial _{z}\left(\rho u_{z}\right)}=0.}$$

Это цилиндрическое представление уравнений Навье – Стокса для несжимаемой жидкости является вторым наиболее часто встречающимся (первое из них является декартовым, указанным выше). Цилиндрические координаты выбраны с учетом преимуществ симметрии, чтобы компонент скорости мог исчезнуть. Очень распространенным случаем является осесимметричное течение с предположением об отсутствии тангенциальной скорости ( ), а остальные величины не зависят от : ${\textstyle u_{\phi }=0}$ ${\textstyle \phi }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\rho \left({\partial _{t}u_{r}}+u_{r}{\partial _{r}u_{r}}+u_{z}{\partial _{z}u_{r}}\right)&=-{\partial _{r}p}+\mu \left({\frac {1}{r}}\partial _{r}\left(r{\partial _{r}u_{r}}\right)+{\partial _{z}^{2}u_{r}}-{\frac {u_{r}}{r^{2}}}\right)+\rho g_{r}\\\rho \left({\partial _{t}u_{z}}+u_{r}{\partial _{r}u_{z}}+u_{z}{\partial _{z}u_{z}}\right)&=-{\partial _{z}p}+\mu \left({\frac {1}{r}}\partial _{r}\left(r{\partial _{r}u_{z}}\right)+{\partial _{z}^{2}u_{z}}\right)+\rho g_{z}\\{\frac {1}{r}}\partial _{r}\left(ru_{r}\right)+{\partial _{z}u_{z}}&=0.\end{aligned}}}$$

Сферические координаты

В сферических координатах уравнения , и импульса имеют вид ^[16] (обратите внимание на используемое соглашение: полярный угол или широта , ^[42] ): ${\textstyle r}$ ${\textstyle \phi }$ ${\textstyle \theta }$ ${\textstyle \theta }$ ${\textstyle 0\leq \theta \leq \pi }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}r:\ &\rho \left({\partial _{t}u_{r}}+u_{r}{\partial _{r}u_{r}}+{\frac {u_{\varphi }}{r\sin \theta }}{\partial _{\varphi }u_{r}}+{\frac {u_{\theta }}{r}}{\partial _{\theta }u_{r}}-{\frac {u_{\varphi }^{2}+u_{\theta }^{2}}{r}}\right)\\&\quad =-{\partial _{r}p}\\&\qquad +\mu \left({\frac {1}{r^{2}}}\partial _{r}\left(r^{2}{\partial _{r}u_{r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\partial _{\varphi }^{2}u_{r}}+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}\partial _{\theta }\left(\sin \theta {\partial _{\theta }u_{r}}\right)-2{\frac {u_{r}+{\partial _{\theta }u_{\theta }}+u_{\theta }\cot \theta }{r^{2}}}-{\frac {2}{r^{2}\sin \theta }}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}\right)\\&\qquad +{\frac {1}{3}}\mu \partial _{r}\left({\frac {1}{r^{2}}}\partial _{r}\left(r^{2}u_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}\partial _{\theta }\left(u_{\theta }\sin \theta \right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}\right)\\&\qquad +\rho g_{r}\\[8px]\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi :\ &\rho \left({\partial _{t}u_{\varphi }}+u_{r}{\partial _{r}u_{\varphi }}+{\frac {u_{\varphi }}{r\sin \theta }}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}+{\frac {u_{\theta }}{r}}{\partial _{\theta }u_{\varphi }}+{\frac {u_{r}u_{\varphi }+u_{\varphi }u_{\theta }\cot \theta }{r}}\right)\\&\quad =-{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial _{\varphi }p}\\&\qquad +\mu \left({\frac {1}{r^{2}}}\partial _{r}\left(r^{2}{\partial _{r}u_{\varphi }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\partial _{\varphi }^{2}u_{\varphi }}+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}\partial _{\theta }\left(\sin \theta {\partial _{\theta }u_{\varphi }}\right)+{\frac {2\sin \theta {\partial _{\varphi }u_{r}}+2\cos \theta {\partial _{\varphi }u_{\theta }}-u_{\varphi }}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\right)\\&\qquad +{\frac {1}{3}}\mu {\frac {1}{r\sin \theta }}\partial _{\varphi }\left({\frac {1}{r^{2}}}\partial _{r}\left(r^{2}u_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}\partial _{\theta }\left(u_{\theta }\sin \theta \right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}\right)\\&\qquad +\rho g_{\varphi }\\[8px]\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\theta :\ &\rho \left({\partial _{t}u_{\theta }}+u_{r}{\partial _{r}u_{\theta }}+{\frac {u_{\varphi }}{r\sin \theta }}{\partial _{\varphi }u_{\theta }}+{\frac {u_{\theta }}{r}}{\partial _{\theta }u_{\theta }}+{\frac {u_{r}u_{\theta }-u_{\varphi }^{2}\cot \theta }{r}}\right)\\&\quad =-{\frac {1}{r}}{\partial _{\theta }p}\\&\qquad +\mu \left({\frac {1}{r^{2}}}\partial _{r}\left(r^{2}{\partial _{r}u_{\theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\partial _{\varphi }^{2}u_{\theta }}+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}\partial _{\theta }\left(\sin \theta {\partial _{\theta }u_{\theta }}\right)+{\frac {2}{r^{2}}}{\partial _{\theta }u_{r}}-{\frac {u_{\theta }+2\cos \theta {\partial _{\varphi }u_{\varphi }}}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\right)\\&\qquad +{\frac {1}{3}}\mu {\frac {1}{r}}\partial _{\theta }\left({\frac {1}{r^{2}}}\partial _{r}\left(r^{2}u_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}\partial _{\theta }\left(u_{\theta }\sin \theta \right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}\right)\\&\qquad +\rho g_{\theta }.\end{aligned}}}$$

Массовая преемственность будет звучать так:

$${\displaystyle {\partial _{t}\rho }+{\frac {1}{r^{2}}}\partial _{r}\left(\rho r^{2}u_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial _{\varphi }(\rho u_{\varphi })}+{\frac {1}{r\sin \theta }}\partial _{\theta }\left(\sin \theta \rho u_{\theta }\right)=0.}$$

Эти уравнения можно (слегка) уплотнить, например, путем учета вязких членов. Однако это нежелательно изменило бы структуру лапласиана и других величин. ${\textstyle {\frac {1}{r^{2}}}}$

Использование уравнений Навье – Стокса в играх

Уравнения Навье – Стокса широко используются в видеоиграх для моделирования широкого спектра природных явлений. Моделирование мелкомасштабных газообразных жидкостей, таких как огонь и дым, часто основывается на оригинальной статье Джоса Стама «Гидридная динамика в реальном времени для игр» ^[43] , в которой развивается один из методов, предложенных в более ранней, более известной работе Стама. статья «Стабильные жидкости» ^[44] 1999 года. Стэм предлагает моделирование устойчивой жидкости с использованием метода решения Навье – Стокса 1968 года в сочетании с безусловно устойчивой полулагранжевой схемой адвекции , впервые предложенной в 1992 году.

Более поздние реализации, основанные на этой работе, работают на графическом процессоре (GPU) игровой системы , а не на центральном процессоре (CPU), и достигают гораздо более высокой степени производительности. ^{[45] [46]} Многие улучшения были предложены к оригинальной работе Стэма, которая по своей сути страдает от высокого численного рассеяния как по скорости, так и по массе.

Введение в интерактивное моделирование жидкости можно найти в курсе ACM SIGGRAPH 2007 года «Моделирование жидкости для компьютерной анимации». ^[47]

Смотрите также

• Адемар Жан Клод Барре де Сен-Венан
• Уравнение Больцмана
• Уравнение импульса Коши
• Тензор напряжений Коши
• Теория Чепмена – Энскога
• Уравнение Черчилля – Бернштейна
• Эффект Коанды
• Вычислительная гидродинамика
• Механика сплошных сред
• Уравнение конвекции-диффузии
• Вывод уравнений Навье–Стокса.
• Уравнение Эйнштейна – Стокса
• Уравнения Эйлера
• Течение Хагена–Пуазейля из уравнений Навье–Стокса
• Проблемы премии тысячелетия
• Ньютоновская жидкость
• Обезразмеривание и масштабирование уравнений Навье – Стокса.
• Метод коррекции давления
• Примитивные уравнения
• Конвекция Рэлея – Бенара
• Транспортная теорема Рейнольдса
• Уравнения Стокса
• Сверхзвуковое обтекание плоской пластины
• уравнение Власова

Цитаты

1. Маклин, Дуг (2012). «Механика сплошной жидкости и уравнения Навье-Стокса». Понимание аэродинамики: аргументы из реальной физики . Джон Уайли и сыновья. стр. 13–78. ISBN 9781119967514. Основными соотношениями, составляющими уравнения НС, являются основные законы сохранения массы, импульса и энергии. Чтобы получить полный набор уравнений, нам также необходимо уравнение состояния, связывающее температуру, давление и плотность...
2. «Задачи Премии тысячелетия — уравнение Навье-Стокса», Claymath.org , Институт математики Клея, 27 марта 2017 г., заархивировано из оригинала 22 декабря 2015 г. , получено 2 апреля 2017 г.
3. Фефферман, Чарльз Л. «Существование и гладкость уравнения Навье – Стокса» (PDF) . Claymath.org . Математический институт Клея. Архивировано из оригинала (PDF) 15 апреля 2015 г. Проверено 2 апреля 2017 г.
4. Бэтчелор (1967), стр. 137 и 142.
5. Бэтчелор (1967), стр. 142–148.
6. Хорин, Александр Э.; Марсден, Джеррольд Э. (1993). Математическое введение в механику жидкости . п. 33.
7. Берд, Стюарт, Лайтфут, Транспортные явления, 1-е изд., 1960, экв. (3.2-11а)
8. Бэтчелор (1967) с. 165.
9. Ландау, Лев Давидович и Евгений Михайлович Лифшиц. Механика жидкости: Ландау и Лифшиц: Курс теоретической физики, Том 6. Том. 6. Эльзевир, 2013.
10. Ландау и Лифшиц (1987), стр. 44–45, 196.
11. Белый (2006) с. 67.
12. Стоукс, Г.Г. (2007). О теориях внутреннего трения движущихся жидкостей, равновесия и движения упругих тел.
13. Винченти, WG, Крюгер-младший, CH (1975). Введение в физическую газодинамику. Введение в физическую газодинамику/Хантингтон.
14. Бэтчелор (1967), стр. 147 и 154.
15. Бэтчелор (1967) с. 75.
16. См. Ачесон (1990).
17. Абдулкадиров, Руслан; Ляхов, Павел (22 февраля 2022 г.). «Оценки мягких решений уравнений Навье – Стокса в слабых пространствах Бесова – Морри типа Герца». Математика . 10 (5): 680. doi : 10.3390/math10050680 . ISSN  2227-7390.
18. Бэтчелор (1967), стр. 21 и 147.
19. Темам, Роджер (2001), Уравнения Навье – Стокса, теория и численный анализ , AMS Chelsea, стр. 107–112.
20. Квартерони, Альфио (25 апреля 2014 г.). Численные модели дифференциальных задач (Второе изд.). Спрингер. ISBN 978-88-470-5522-3.
21. Холдеман, Дж.Т. (2010), «Метод конечных элементов Эрмита для потока несжимаемой жидкости», Int. Дж. Нумер. Methods Fluids , 64 (4): 376–408, Bibcode : 2010IJNMF..64..376H, doi : 10.1002/fld.2154, S2CID  119882803
22. Холдеман, Дж. Т.; Ким, Дж.В. (2010), «Расчет несжимаемых тепловых потоков с использованием конечных элементов Эрмита», Comput. Мет. Прил. Мех. англ. , 199 (49–52): 3297–3304, Бибкод : 2010CMAME.199.3297H, doi : 10.1016/j.cma.2010.06.036
23. Поттер, М.; Виггерт, округ Колумбия (2008). Механика жидкости . Очерки Шаума. МакГроу-Хилл. ISBN 978-0-07-148781-8.
24. Арис, Р. (1989). Векторы, тензоры и основные уравнения механики жидкости . Дуврские публикации. ISBN 0-486-66110-5.
25. Паркер, CB (1994). Энциклопедия физики МакГроу Хилла (2-е изд.). МакГроу-Хилл. ISBN 0-07-051400-3.
26. Энциклопедия физики (2-е издание), Р.Г. Лернер , Г.Л. Тригг, издатели VHC, 1991, ISBN (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, ISBN (VHC Inc.) 0-89573-752-3
27. Горбань, АН; Карлин, И.В. (2016), «Помимо уравнений Навье – Стокса: капиллярность идеального газа», Современная физика (обзорная статья), 58 (1): 70–90, arXiv : 1702.00831 , Bibcode : 2017ConPh..58...70G , doi : 10.1080/00107514.2016.1256123, S2CID  55317543
28. Черсиньяни, К. (2002), «Уравнение Больцмана и гидродинамика», Фридлендер, С.; Серр, Д. (ред.), Справочник по математической гидродинамике , вып. 1, Амстердам: Северная Голландия, стр. 1–70, ISBN. 978-0444503305
29. Не, XB; Чен, С.Ю.; Роббинс, Миссури (2004), «Гибридный метод континуума и молекулярной динамики для потока микро- и наножидкостей», Журнал механики жидкости (исследовательская статья), 500 : 55–64, Bibcode : 2004JFM...500... 55N, doi : 10.1017/S0022112003007225, S2CID  122867563
30. Оттингер, Х.К. (2012), Стохастические процессы в полимерных жидкостях , Берлин, Гейдельберг: Springer Science & Business Media, doi : 10.1007/978-3-642-58290-5, ISBN 9783540583530
31. Шах, Тасним Мохаммад (1972). «Анализ многосеточного метода». Технический отчет NASA Sti/Recon N. 91 : 23418. Бибкод : 1989STIN...9123418S.
32. Ван, CY (1991), «Точные решения стационарных уравнений Навье – Стокса», Annual Review of Fluid Mechanics , 23 : 159–177, Bibcode : 1991AnRFM..23..159W, doi : 10.1146/annurev. эт.23.010191.001111
33. Ландау и Лифшиц (1987), стр. 75–88.
34. Этье, Чехия; Штайнман, Д.А. (1994), «Точные полностью трехмерные решения Навье – Стокса для сравнительного анализа», Международный журнал численных методов в жидкостях , 19 (5): 369–375, Бибкод : 1994IJNMF..19..369E, doi : 10.1002/ флд.1650190502
35. «Уравнения Навье-Стокса». www.claudino.webs.com . Архивировано из оригинала 19 июня 2015 г. Проверено 11 марта 2023 г.
36. Ладыженская О.А. (1969), Математическая теория течения вязкой несжимаемой жидкости (2-е изд.), с. предисловие, xi
37. Камчатно, А. М. (1982), Топологические солитоны в магнитной гидродинамике (PDF) , заархивировано (PDF) из оригинала 28 января 2016 г.
38. Антуоно, М. (2020), «Трепериодические полностью трехмерные аналитические решения для уравнений Навье – Стокса», Journal of Fluid Mechanics , 890 , Bibcode : 2020JFM...890A..23A, doi : 10.1017/jfm .2020.126, S2CID  216463266
39. МакКомб, WD (2008), Методы перенормировки: руководство для начинающих , Oxford University Press, стр. 121–128, ISBN 978-0-19-923652-7
40. Технологический институт Джорджии (29 августа 2022 г.). «Физики открывают новую динамическую основу турбулентности». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 119 (34). Phys.org : e2120665119. дои : 10.1073/pnas.2120665119. ПМЦ 9407532 . PMID  35984901. S2CID  251693676. 
41. де' Микиели Виттури, Маттиа, уравнения Навье – Стокса в цилиндрических координатах , получено 26 декабря 2016 г.
42. Эрик В. Вайсштейн (26 октября 2005 г.), Сферические координаты, MathWorld , получено 22 января 2008 г.
43. Стам, Джос (2003), Гидродинамика в реальном времени для игр (PDF) , S2CID  9353969, заархивировано из оригинала (PDF) 5 августа 2020 г.
44. Стам, Джос (1999), Stable Fluids (PDF) , заархивировано (PDF) из оригинала 15 июля 2019 г.
45. Харрис, Марк Дж. (2004), «38», GPUGems - Быстрое моделирование гидродинамики на графическом процессоре
46. Сандер, П.; Татарчук Н.; Митчелл, Дж.Л. (2007), «9.6», ShaderX5 - Явное отсечение раннего Z для эффективного моделирования потока жидкости , стр. 553–564
47. Роберт Бридсон; Маттиас Мюллер-Фишер. «Моделирование жидкости для компьютерной анимации». www.cs.ubc.ca.​

Общие ссылки

• Ачесон, ди-джей (1990), Элементарная гидродинамика, Оксфордская серия прикладной математики и вычислительной техники, Oxford University Press , ISBN 978-0-19-859679-0
• Бэтчелор, Г.К. (1967), Введение в гидродинамику , издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-66396-0
• Карри, И.Г. (1974), Фундаментальная механика жидкостей , McGraw-Hill , ISBN 978-0-07-015000-3
• В. Жиро и П. А. Равиар. Методы конечных элементов для уравнений Навье – Стокса: теория и алгоритмы . Ряд Спрингера по вычислительной математике. Спрингер-Верлаг, 1986.
• Ландау, LD ; Лифшиц Э.М. (1987), Механика жидкости , вып.  Курс теоретической физики, том 6 (2-е исправленное изд.), Pergamon Press, ISBN 978-0-08-033932-0, OCLC  15017127
• Полянин А.Д.; Кутепов А.М.; Вязьмин А.В.; Казенин Д.А. (2002), Гидродинамика, массо- и теплоперенос в химической технологии , Тейлор и Фрэнсис, Лондон, ISBN 978-0-415-27237-7
• Рифминг, Инге Л. (1991), Dynamique des Fludes , Политехнические и университетские романды.
• Смитс, Александр Дж. (2014), Физическое введение в механику жидкости , Wiley, ISBN 0-47-1253499 
• Темам, Роджер (1984): Уравнения Навье – Стокса: теория и численный анализ , ACM Chelsea Publishing, ISBN 978-0-8218-2737-6 
• Уайт, Фрэнк М. (2006), Поток вязкой жидкости , McGraw-Hill , ISBN 978-0-07-124493-0

Внешние ссылки

• Упрощенный вывод уравнений Навье – Стокса.
• Трехмерная нестационарная форма уравнений Навье – Стокса Исследовательский центр Гленна, НАСА