Консервативное векторное поле

Векторное поле, являющееся градиентом некоторой функции.

В векторном исчислении консервативное векторное поле — это векторное поле , которое является градиентом некоторой функции . ^[1] Консервативное векторное поле обладает тем свойством, что его линейный интеграл не зависит от пути; выбор пути между двумя точками не меняет значения линейного интеграла. Независимость линейного интеграла от пути эквивалентна консервативности векторного поля под линейным интегралом. Консервативное векторное поле также является безвихревым; в трех измерениях это означает, что он имеет исчезающий ротор . Безвихревое векторное поле обязательно консервативно при условии, что область односвязна .

Консервативные векторные поля естественным образом появляются в механике : это векторные поля, представляющие силы физических систем , в которых сохраняется энергия . ^[2] Для консервативной системы работа , совершаемая при движении по пути в конфигурационном пространстве, зависит только от конечных точек пути, поэтому можно определить потенциальную энергию , которая не зависит от фактического пройденного пути.

Неформальное обращение

В двух- и трехмерном пространстве существует неоднозначность при взятии интеграла между двумя точками, поскольку существует бесконечно много путей между двумя точками - помимо прямой линии, образованной между двумя точками, можно выбрать изогнутый путь из двух точек. большей длины, как показано на рисунке. Поэтому, вообще говоря, значение интеграла зависит от пройденного пути. Однако в частном случае консервативного векторного поля значение интеграла не зависит от пройденного пути, что можно рассматривать как крупномасштабное сокращение всех элементов, не имеющих компонента вдоль прямой линии между две точки. Чтобы визуализировать это, представьте себе двух человек, поднимающихся на скалу; один решает взобраться на скалу, поднимаясь по ней вертикально, а второй решает идти по извилистой тропе, длина которой превышает высоту скалы, но лишь под небольшим углом к ​​горизонту. Хотя два путешественника выбрали разные маршруты, чтобы подняться на вершину утеса, на вершине они оба получили одинаковое количество потенциальной гравитационной энергии. Это потому, что гравитационное поле консервативно. ${\displaystyle d{R}}$

Изображение двух возможных путей интеграции. Зелёным цветом обозначен простейший возможный путь; синий показывает более извилистую кривую

Интуитивное объяснение

Литография М. К. Эшера « Восхождение и спуск» иллюстрирует неконсервативное векторное поле, которое невозможно представить как градиент изменяющейся высоты над землей (гравитационный потенциал) при движении по лестнице. Силовое поле, испытываемое тем, кто движется по лестнице, неконсервативно в том смысле, что можно вернуться в исходную точку, поднимаясь больше, чем спускаясь, или наоборот, что приводит к ненулевой работе силы тяжести. На настоящей лестнице высота над землей представляет собой скалярное потенциальное поле: нужно подняться вверх ровно на столько же, сколько пройти вниз, чтобы вернуться на то же место, и в этом случае работа силы тяжести в сумме равна нулю. Это предполагает независимость работы, выполняемой на лестнице, от пути; эквивалентно, испытываемое силовое поле является консервативным (см. следующий раздел: Независимость от пути и консервативное векторное поле). Ситуация, изображенная на гравюре, невозможна.

Определение

Векторное поле , где - открытое подмножество , называется консервативным, если существует ( непрерывно дифференцируемое ) скалярное поле ^[3] на таком, что ${\displaystyle \mathbf {v} :U\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle U}$

$${\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \varphi .}$$

Здесь обозначает градиент .​ Поскольку непрерывно дифференцируема, непрерывна. Когда приведенное выше уравнение выполняется, называется скалярным потенциалом для . ${\displaystyle \nabla \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

Фундаментальная теорема векторного исчисления гласит, что любое векторное поле можно выразить как сумму консервативного векторного поля и соленоидального поля .

Независимость от пути и консервативное векторное поле

Независимость пути

Линейный интеграл векторного поля называется независимым от пути, если он зависит только от двух конечных точек целого пути, независимо от того, какой путь между ними выбран: ^[4] ${\displaystyle \mathbf {v} }$

$${\displaystyle \int _{P_{1}}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} =\int _{P_{2}}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} }$$

для любой пары целочисленных путей и между заданной парой конечных точек пути в . ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle U}$

Независимость от пути также эквивалентно выражается как

$${\displaystyle \int _{P_{c}}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} =0}$$

${\displaystyle P_{c}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle P_{c}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle \int _{P_{c}}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} =\int _{P_{1}}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} +\int _{P_{2}}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} =\int _{P_{1}}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} -\int _{-P_{2}}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} =0}$$

${\displaystyle -P_{2}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\textstyle \displaystyle \int _{P_{1}}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} =\int _{-P_{2}}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} .}$

Консервативное векторное поле

Ключевым свойством консервативного векторного поля является то, что его интеграл по пути зависит только от конечных точек этого пути, а не от конкретного пройденного маршрута. Другими словами, если это консервативное векторное поле, то его линейный интеграл не зависит от пути. Предположим, что для некоторого ( непрерывно дифференцируемого ) скалярного поля ^[3] оно является открытым подмножеством (как и консервативное векторное поле, которое является непрерывным) и является дифференцируемым путем (т. е. оно может быть параметризовано дифференцируемой функцией ) в с начальная точка и конечная точка . Тогда градиентная теорема (также называемая фундаментальной теоремой исчисления для линейных интегралов ) утверждает, что ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \varphi }$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

$${\displaystyle \int _{P}\mathbf {v} \cdot d{\mathbf {r} }=\varphi (B)-\varphi (A).}$$

Это справедливо как следствие определения линейного интеграла , цепного правила и второй фундаментальной теоремы исчисления . в линейном интеграле является точным дифференциалом для ортогональной системы координат (например, декартовых , цилиндрических или сферических координат ). Поскольку теорема о градиенте применима для дифференцируемого пути, независимость от пути консервативного векторного поля над кусочно-дифференциальными кривыми также доказывается доказательством для каждой компоненты дифференцируемой кривой. ^[5] ${\displaystyle \mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} =\nabla {\varphi }\cdot d\mathbf {r} }$

На данный момент доказано, что консервативное векторное поле не зависит от линейного интеграла. И наоборот, если непрерывное векторное поле (линейный интеграл) не зависит от пути, то оно является консервативным векторным полем , поэтому справедливо следующее двуусловное утверждение: ^[4] ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

Для непрерывного векторного поля , где - открытое подмножество , оно консервативно тогда и только тогда, когда его линейный интеграл по пути в не зависит от пути, а это означает, что линейный интеграл зависит только от обеих конечных точек пути независимо от того, какой путь между ними выбран. ${\displaystyle \mathbf {v} :U\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle U}$

Доказательство этого обратного утверждения состоит в следующем.

Линейные интегральные пути используются для доказательства следующего утверждения: если линейный интеграл векторного поля не зависит от пути, то векторное поле является консервативным векторным полем.

${\displaystyle \mathbf {v} }$представляет собой непрерывное векторное поле, линейный интеграл которого не зависит от пути. Затем давайте создадим функцию, определенную как ${\displaystyle \varphi }$

$${\displaystyle \varphi (x,y)=\int _{a,b}^{x,y}\mathbf {v} \cdot d{\mathbf {r} }}$$

${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle (x,y)}$

Давайте выберем путь, показанный слева на правом рисунке, где используется двумерная декартова система координат . Второй сегмент этого пути параллелен оси, поэтому изменений вдоль оси нет . Линейный интеграл по этому пути равен ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

$${\displaystyle \int _{a,b}^{x,y}\mathbf {v} \cdot d{\mathbf {r} }=\int _{a,b}^{x_{1},y}\mathbf {v} \cdot d{\mathbf {r} }+\int _{x_{1},y}^{x,y}\mathbf {v} \cdot d{\mathbf {r} }.}$$

${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

$${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial x}}={\frac {\partial }{\partial x}}\int _{a,b}^{x,y}\mathbf {v} \cdot d{\mathbf {r} }={\frac {\partial }{\partial x}}\int _{a,b}^{x_{1},y}\mathbf {v} \cdot d{\mathbf {r} }+{\frac {\partial }{\partial x}}\int _{x_{1},y}^{x,y}\mathbf {v} \cdot d{\mathbf {r} }=0+{\frac {\partial }{\partial x}}\int _{x_{1},y}^{x,y}\mathbf {v} \cdot d{\mathbf {r} }}$$

${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle {\displaystyle \mathbf {v} }=P(x,y)\mathbf {i} +Q(x,y)\mathbf {j} }$ ${\displaystyle \mathbf {i} }$ ${\displaystyle \mathbf {j} }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle d\mathbf {r} =dx\mathbf {i} +dy\mathbf {j} }$

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\varphi (x,y)={\frac {\partial }{\partial x}}\int _{x_{1},y}^{x,y}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} ={\frac {\partial }{\partial x}}\int _{x_{1},y}^{x,y}P(t,y)dt=P(x,y)}$$

второй основной теоремы исчисления

Аналогичный подход для линейного интегрального пути, показанного справа на правом рисунке, приводит к следующему результату: ${\textstyle {\frac {\partial }{\partial y}}\varphi (x,y)=Q(x,y)}$

$${\displaystyle \mathbf {v} =P(x,y)\mathbf {i} +Q(x,y)\mathbf {j} ={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\mathbf {j} =\nabla \varphi }$$

декартовой системы координатсферической системы координатЗдесь

Безвихревые векторные поля

Вышеупомянутое векторное поле , определенное на , т. е. с удалением всех координат на -оси (поэтому это не односвязное пространство), имеет нулевой ротор и, следовательно, является безвихревым. Однако он не консервативен и не имеет независимости от пути. ${\displaystyle \mathbf {v} =\left(-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}},{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}},0\right)}$ ${\displaystyle U=\mathbb {R} ^{3}\setminus \{(0,0,z)\mid z\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle U}$

Пусть (3-мерное пространство) и пусть ( непрерывно дифференцируемое ) векторное поле с открытым подмножеством . Тогда называется безвихревым, если его ротор находится всюду в , т. е. если ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle \mathbf {v} :U\to \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {0} }$ ${\displaystyle U}$

$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {v} \equiv \mathbf {0} .}$$

По этой причине такие векторные поля иногда называют векторными полями без скручиваний или векторными полями без скручиваний. Их еще называют продольными векторными полями .

Идентичность векторного исчисления заключается в том, что для любого ( непрерывно дифференцируемого до 2-й производной ) скалярного поля на мы имеем ${\displaystyle C^{2}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle U}$

$${\displaystyle \nabla \times (\nabla \varphi )\equiv \mathbf {0} .}$$

Следовательно, каждое консервативное векторное поле в является также безвихревым векторным полем в ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ . Этот результат можно легко доказать, выразив его в декартовой системе координат с помощью теоремы Шварца (также называемой теоремой Клеро о равенстве смешанных частей). ${\displaystyle \nabla \times (\nabla \varphi )}$

При условии, что это односвязное открытое пространство (грубо говоря, цельное открытое пространство без дыры внутри него), верно и обратное: каждое безвихревое векторное поле в односвязном открытом пространстве является консервативным векторным полем в . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle U}$

Приведенное выше утверждение, вообще говоря, неверно, если оно не является односвязным. Пусть с удалением всех координат на -оси (так что это не односвязное пространство), т.е. Теперь определите векторное поле на ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle U=\mathbb {R} ^{3}\setminus \{(0,0,z)\mid z\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle U}$

$${\displaystyle \mathbf {v} (x,y,z)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\left(-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}},{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}},0\right).}$$

Тогда имеет нулевой ротор всюду в ( at всюду в ), т. е. является безвихревым. Однако обращение вокруг единичной окружности в -плоскости равно ; в полярных координатах , , поэтому интеграл по единичной окружности равен ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {v} \equiv \mathbf {0} }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {e} _{\phi }/r}$

$${\displaystyle \oint _{C}\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{\phi }~d{\phi }=2\pi .}$$

Следовательно, он не обладает свойством независимости от пути, обсуждавшимся выше, поэтому не является консервативным, даже если место , где определено, не является односвязным открытым пространством. ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {v} \equiv \mathbf {0} }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

Скажем еще раз, в односвязной открытой области безвихревое векторное поле обладает свойством независимости от пути (то есть консервативно). Это можно доказать непосредственно, используя теорему Стокса : ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

$${\displaystyle \oint _{P_{c}}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} =\iint _{A}(\nabla \times \mathbf {v} )\cdot d\mathbf {a} =0}$$

в односвязной открытой области любое векторное поле, обладающее свойством независимости от пути (поэтому оно является консервативным векторным полем), также должно быть безвихревым, и наоборот. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P_{c}}$ ${\displaystyle C^{1}}$

Абстракция

Более абстрактно, при наличии римановой метрики векторные поля соответствуют дифференциальным -формам ${\displaystyle 1}$ . Консервативные векторные поля соответствуют точным -формам , т. е. формам, являющимся внешней производной функции (скалярного поля) на . Безвихревые векторные поля соответствуют замкнутым -формам , т. е. таким -формам , что . Так как любая точная форма замкнута, то любое консервативное векторное поле безвихревое. И наоборот, все замкнутые -формы точны, если односвязно . ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle d\phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle d\omega =0}$ ${\displaystyle d^{2}=0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle U}$

завихренность

Завихренность векторного поля можно определить следующим образом : ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\nabla \times \mathbf {v} .}$$

Завихренность безвихревого поля всюду равна нулю. ^[6] Теорема Кельвина о циркуляции утверждает, что жидкость, которая является безвихревой в невязком потоке , останется безвихревой. Этот результат можно получить из уравнения переноса завихренности , полученного путем использования ротора уравнений Навье – Стокса .

Для двумерного поля завихренность выступает мерой локального вращения элементов жидкости. Обратите внимание, что завихренность ничего не говорит о глобальном поведении жидкости. Жидкость, движущаяся по прямой, может иметь завихренность, а жидкость, движущаяся по кругу, может быть безвихревой.

Консервативные силы

Примеры потенциальных и градиентных полей в физике:

•  Скалярные поля, скалярные потенциалы:
  • V _G , гравитационный потенциал
  • W _pot , (гравитационная или электростатическая) потенциальная энергия
  • V _C , Кулоновский потенциал
•  Векторные поля, поля градиента:
  • G , _{гравитационное} ускорение
  • F , (гравитационная или электростатическая) сила
  • E , напряженность электрического поля

Если векторное поле, связанное с силой, консервативно, то такая сила называется консервативной силой . ${\displaystyle \mathbf {F} }$

Наиболее яркими примерами консервативных сил являются гравитационная сила и электрическая сила, связанная с электростатическим полем. Согласно закону тяготения Ньютона сила гравитации , действующая на массу за счет массы , находящейся на расстоянии от , подчиняется уравнению ${\displaystyle \mathbf {F} _{G}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle m}$

$${\displaystyle \mathbf {F} _{G}=-{\frac {GmM}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }},}$$

где гравитационная постоянная и единичный вектор , направленный в сторону . Сила тяжести консервативна, потому что , где ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{G}=-\nabla \Phi _{G}}$

$${\displaystyle \Phi _{G}~{\stackrel {\text{def}}{=}}-{\frac {GmM}{r}}}$$

- гравитационная потенциальная энергия . Другими словами, гравитационное поле , связанное с гравитационной силой, представляет собой градиент гравитационного потенциала , связанный с гравитационной потенциальной энергией . Можно показать, что любое векторное поле вида консервативно, если оно интегрируемо. ${\displaystyle {\frac {\mathbf {F} _{G}}{m}}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{G}}$ ${\displaystyle {\frac {\Phi _{G}}{m}}}$ ${\displaystyle \Phi _{G}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} =F(r){\hat {\mathbf {r} }}}$ ${\displaystyle F(r)}$

Для консервативных сил независимость от пути можно интерпретировать как означающую, что работа, совершаемая при движении от точки к точке, не зависит от выбранного пути движения (зависит только от точек и ), и что работа , совершаемая при обходе простой замкнутой цикл это : ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 0}$

$${\displaystyle W=\oint _{C}\mathbf {F} \cdot d{\mathbf {r} }=0.}$$

Полная энергия частицы, движущейся под действием консервативных сил, сохраняется в том смысле, что потеря потенциальной энергии преобразуется в равное количество кинетической энергии, или наоборот.

Смотрите также

• Векторное поле Бельтрами
• Консервативная сила
• Консервативная система
• Комплексное ламеллярное векторное поле
• Разложение Гельмгольца
• Лапласово векторное поле
• Продольные и поперечные векторные поля
• Соленоидальное векторное поле

Рекомендации

1. Марсден, Джеррольд ; Тромба, Энтони (2003). Векторное исчисление (Пятое изд.). WHFreedman и компания. стр. 550–561.
2. Джордж Б. Арфкен и Ханс Дж. Вебер, Математические методы для физиков , 6-е издание, Elsevier Academic Press (2005)
3. Для того , чтобы быть независимым от пути, не обязательно непрерывно дифференцируемым, достаточно условия дифференцируемости, поскольку теорема о градиенте , которая доказывает независимость от пути , не требует непрерывной дифференцируемости. Должна быть причина, по которой определение консервативных векторных полей требует непрерывной дифференцируемости . ${\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \nabla \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$
4. Стюарт, Джеймс (2015). «16.3 Основная теорема о линейных интегралах»". Исчисление (8-е изд.). Cengage Learning. стр. 1127–1134. ISBN 978-1-285-74062-1.
5. Необходимо проверить, существуют ли точные дифференциалы для неортогональных систем координат.
6. Липманн, HW ; Рошко, А. (1993) [1957], Элементы газовой динамики , Courier Dover Publications, ISBN 0-486-41963-0, стр. 194–196.

дальнейшее чтение

• Ачесон, диджей (1990). Элементарная гидродинамика . Издательство Оксфордского университета. ISBN 0198596790.