Уравнение завихренности

Уравнение, описывающее эволюцию завихренности частицы жидкости при ее движении

Уравнение завихренности гидродинамики описывает эволюцию завихренности ω частицы жидкости при ее движении вместе со своим потоком ; то есть локальное вращение жидкости (в терминах векторного исчисления это ротор скорости потока ) . Основное уравнение:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {D{\boldsymbol {\omega }}}{Dt}}&={\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla ){\boldsymbol {\omega }}\\&=({\boldsymbol {\omega }}\cdot \nabla )\mathbf {u} -{\boldsymbol {\omega }}(\nabla \cdot \mathbf {u} )+{\frac {1}{\rho ^{2}}}\nabla \rho \times \nabla p+\nabla \times \left({\frac {\nabla \cdot \tau }{\rho }}\right)+\nabla \times \left({\frac {\mathbf {B} }{\rho }}\right)\end{aligned}}}$

где ⁠Д/Дт⁠ — оператор производной материала , u — скорость потока , ρ — локальная плотность жидкости , p — локальное давление , τ — тензор вязких напряжений , а B представляет собой сумму внешних массовых сил . Первый исходный член в правой части представляет растяжение вихря .

Уравнение справедливо при отсутствии каких-либо сосредоточенных моментов и линейных сил для сжимаемой ньютоновской жидкости . В случае несжимаемого потока (т. е. с низким числом Маха ) и изотропных жидкостей с консервативными объемными силами уравнение упрощается до уравнения переноса завихренности :

${\displaystyle {\frac {D{\boldsymbol {\omega }}}{Dt}}=\left({\boldsymbol {\omega }}\cdot \nabla \right)\mathbf {u} +\nu \nabla ^{2}{\boldsymbol {\omega }}}$

где ν — кинематическая вязкость , — оператор Лапласа . При дальнейшем предположении о двумерном потоке уравнение упрощается до: ${\displaystyle \nabla ^{2}}$

${\displaystyle {\frac {D{\boldsymbol {\omega }}}{Dt}}=\nu \nabla ^{2}{\boldsymbol {\omega }}}$

Физическая интерпретация

• Термин ⁠Д ω/Дт⁠ в левой части — материальная производная вектора завихренности ω . Он описывает скорость изменения завихренности движущейся частицы жидкости. Это изменение можно объяснить нестационарностью потока ( ⁠∂ ω/∂ т⁠ , нестационарный член ) или из-за движения частицы жидкости при движении из одной точки в другую ( ( u ∙ ∇) ω , член конвекции ).
• Член ( ω ∙ ∇) u в правой части описывает растяжение или наклон завихренности из-за градиентов скорости потока. Заметим, что ( ω ∙ ∇) u — векторная величина, так как ω ∙ ∇ — скалярный дифференциальный оператор, а ∇ u — девятиэлементная тензорная величина.
• Член ω (∇ ∙ u ) описывает растяжение завихренности вследствие сжимаемости потока. Это следует из уравнения непрерывности Навье-Стокса , а именно где v = ⁠ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\rho \mathbf {u} \right)&=0\\\Longleftrightarrow \nabla \cdot \mathbf {u} &=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {d\rho }{dt}}={\frac {1}{v}}{\frac {dv}{dt}}\end{aligned}}}$$1/ρ⁠ — удельный объём жидкого элемента. Можно думать о ∇ ∙ u как о мере сжимаемости потока. Иногда в термин включается отрицательный знак.
• Термин ⁠1/р ²⁠ ∇ ρ × ∇ p — бароклинический термин . Он объясняет изменения завихренности вследствие пересечения поверхностей плотности и давления.
• Термин ∇ × ( ⁠∇ ∙ τ/ρ⁠ ) ​​учитывает диффузию завихренности из-за вязких эффектов.
• Член ∇ × B учитывает изменения, вызванные внешними массовыми силами. Это силы, которые распространяются по трехмерной области жидкости, такие как гравитация или электромагнитные силы . (В отличие от сил, которые действуют только на поверхность (например, сопротивление стены) или линию (например, поверхностное натяжение вокруг мениска ).

Упрощения

• В случае консервативных объемных сил ∇ × B = 0 .
• Для баротропной жидкости ∇ ρ × ∇ p = 0 . Это также верно для жидкости постоянной плотности (включая несжимаемую жидкость), где ∇ ρ = 0 . Обратите внимание, что это не то же самое, что несжимаемый поток , для которого нельзя пренебрегать баротропным членом.
• Для невязких жидкостей тензор вязкости τ равен нулю.

Таким образом, для невязкой баротропной жидкости с консервативными массовыми силами уравнение завихренности упрощается до

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\boldsymbol {\omega }}{\rho }}\right)=\left({\frac {\boldsymbol {\omega }}{\rho }}\right)\cdot \nabla \mathbf {u} }$

Альтернативно, в случае несжимаемой, невязкой жидкости с консервативными массовыми силами,

${\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {\omega }}}{dt}}={\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla ){\boldsymbol {\omega }}=({\boldsymbol {\omega }}\cdot \nabla )\mathbf {u} }$^[1]

Краткий обзор дополнительных случаев и упрощений см. также. ^[2] Об уравнении завихренности в теории турбулентности в контексте течений в океанах и атмосфере см. ^[3]

Вывод

Уравнение завихренности можно вывести из уравнения Навье – Стокса сохранения углового момента . В отсутствие каких-либо сосредоточенных моментов и линейных сил получаем:

${\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}={\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} =-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+{\frac {\nabla \cdot \tau }{\rho }}+{\frac {\mathbf {B} }{\rho }}}$

Теперь завихренность определяется как ротор вектора скорости потока; взятие ротора уравнения количества движения дает искомое уравнение. При выводе уравнения полезны следующие тождества:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\omega }}&=\nabla \times \mathbf {u} \\\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} &=\nabla \left({\frac {1}{2}}\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} \right)-\mathbf {u} \times {\boldsymbol {\omega }}\\\nabla \times \left(\mathbf {u} \times {\boldsymbol {\omega }}\right)&=-{\boldsymbol {\omega }}\left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)+\left({\boldsymbol {\omega }}\cdot \nabla \right)\mathbf {u} -\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right){\boldsymbol {\omega }}\\[4pt]\nabla \cdot {\boldsymbol {\omega }}&=0\\[4pt]\nabla \times \nabla \phi &=0\end{aligned}}}$

где любое скалярное поле. ${\displaystyle \phi }$

Тензорные обозначения

Уравнение завихренности можно выразить в тензорной записи, используя соглашение Эйнштейна о суммировании и символ Леви-Чивита e _ijk :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {D\omega _{i}}{Dt}}&={\frac {\partial \omega _{i}}{\partial t}}+v_{j}{\frac {\partial \omega _{i}}{\partial x_{j}}}\\&=\omega _{j}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}-\omega _{i}{\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{j}}}+e_{ijk}{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial \rho }{\partial x_{j}}}{\frac {\partial p}{\partial x_{k}}}+e_{ijk}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \tau _{km}}{\partial x_{m}}}\right)+e_{ijk}{\frac {\partial B_{k}}{\partial x_{j}}}\end{aligned}}}$

В конкретных науках

Науки об атмосфере

В науках об атмосфере уравнение завихренности можно сформулировать в терминах абсолютной завихренности воздуха относительно инерциальной системы отсчета или завихренности относительно вращения Земли. Абсолютная версия

${\displaystyle {\frac {d\eta }{dt}}=-\eta \nabla _{\text{h}}\cdot \mathbf {v} _{\text{h}}-\left({\frac {\partial w}{\partial x}}{\frac {\partial v}{\partial z}}-{\frac {\partial w}{\partial y}}{\frac {\partial u}{\partial z}}\right)-{\frac {1}{\rho ^{2}}}\mathbf {k} \cdot \left(\nabla _{\text{h}}p\times \nabla _{\text{h}}\rho \right)}$

Здесь η — полярная ( z ) составляющая завихренности, ρ — плотность атмосферы , u , v и w — компоненты скорости ветра , а ∇ _h — двумерная (т.е. только горизонтальная компонента) del .

Смотрите также

• завихренность
• Уравнение баротропной завихренности
• Вихревое растяжение
• Бургеры вихрь

Рекомендации

1. Феттер, Александр Л.; Валецка, Джон Д. (2003). Теоретическая механика частиц и сплошных сред (1-е изд.). Дуврские публикации. п. 351. ИСБН 978-0-486-43261-8.
2. Берр, К.П. «Морская гидродинамика, лекция 9» (PDF) . Лекции Массачусетского технологического института .
3. Салмон, Ричард Л. «Лекции по геофизической гидродинамике, глава 4» (PDF) . Издательство Оксфордского университета; 1 издание (26 февраля 1998 г.) .

дальнейшее чтение

• Манна, Утпал; Шритаран, СС (2007). «Функционалы Ляпунова и локальная диссипативность для уравнения вихря в пространствах L ^p и Бесова». Дифференциальные и интегральные уравнения . 20 (5): 581–598. arXiv : 0802.2898 . дои : 10.57262/die/1356039440. S2CID  50701138.
• Барбу, В.; Шритаран, СС (2000). «M-аккретивное квантование уравнения вихря» (PDF) . В Балакришнане, А.В. (ред.). Полугруппы операторов: теория и приложения . Бостон: Биркхаузер. стр. 296–303.
• Кригель, AM (1983). «Вихревая эволюция». Геофизическая и астрофизическая гидродинамика . 24 (3): 213–223. Бибкод : 1983GApFD..24..213K. дои : 10.1080/03091928308209066.