Дифференцируемая функция

Математическая функция, производная которой существует

Дифференцируемая функция

В математике дифференцируемая функция одной действительной переменной — это функция , производная которой существует в каждой точке ее области определения . Другими словами, график дифференцируемой функции имеет невертикальную касательную в каждой внутренней точке ее области определения. Дифференцируемая функция является гладкой (функция локально хорошо аппроксимируется линейной функцией в каждой внутренней точке) и не содержит излома, угла или точки возврата .

Если x0 является внутренней точкой области определения функции f , то f называется дифференцируемой в точке _x0, если _{производная} существует . Другими словами, график f имеет невертикальную касательную в точке ( x ₀ , f ( x ₀ ) ) . Говорят, что f дифференцируема на U , если она дифференцируема в каждой точке U. f называется непрерывно дифференцируемой, если ее производная также является непрерывной функцией в области определения функции . Вообще говоря, f называется классом, если ее первые производные существуют и непрерывны в области определения функции . ${\displaystyle f'(x_{0})}$ ${\textstyle f}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\textstyle f^{\prime }(x),f^{\prime \prime }(x),\ldots ,f^{(k)}(x)}$ ${\textstyle f}$

Для функции многих переменных, как показано здесь, ее дифференцируемость является чем-то более сложным, чем существование ее частных производных.

Дифференцируемость вещественных функций одной переменной

Функция , определенная на открытом множестве , называется дифференцируемой , если ее производная ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$ ${\textstyle U\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle a\in U}$

${\displaystyle f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}$

существует. Это означает, что функция непрерывна в точке a .

Эту функцию f называют дифференцируемой на U , если она дифференцируема в каждой точке U. Таким образом , в этом случае производная f является функцией из U в ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Непрерывная функция не обязательно дифференцируема, но дифференцируемая функция обязательно непрерывна (в каждой точке, где она дифференцируема), как показано ниже (в разделе «Дифференцируемость и непрерывность»). Функция называется непрерывно дифференцируемой, если ее производная также является непрерывной функцией; существуют функции, которые дифференцируемы, но не непрерывно дифференцируемы (пример приведен в разделе Классы дифференцируемости).

Дифференцируемость и непрерывность

Функция абсолютного значения непрерывна (т.е. не имеет разрывов). Она дифференцируема всюду, кроме точки x = 0, где она делает резкий поворот при пересечении оси y .

Касп на графике непрерывной функции. В нуле функция непрерывна, но не дифференцируема.

Если f дифференцируема в точке x0 , то f также должна быть непрерывной в _точке x0 _. В частности, любая дифференцируемая функция должна быть непрерывной в каждой точке своей области определения. Обратное неверно : непрерывная функция не обязательно должна быть дифференцируемой. Например, функция с изгибом, точкой возврата или вертикальной касательной может быть непрерывной, но не дифференцируемой в месте аномалии.

Большинство функций, встречающихся на практике, имеют производные во всех или почти в каждой точках. Однако результат Стефана Банаха утверждает, что набор функций, имеющих производную в некоторой точке, является скудным набором в пространстве всех непрерывных функций. ^[1] Неформально это означает, что дифференцируемые функции очень нетипичны среди непрерывных функций. Первым известным примером функции, непрерывной всюду, но нигде не дифференцируемой, является функция Вейерштрасса .

Классы дифференцируемости

Дифференцируемые функции могут быть локально аппроксимированы линейными функциями.

Функция с for и дифференцируема. Однако эта функция не является непрерывно дифференцируемой. ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)}$ ${\displaystyle x\neq 0}$ ${\displaystyle f(0)=0}$

Говорят, что функция ${\textstyle f}$непрерывно дифференцируема , если производнаясуществует и сама является непрерывной функцией. Хотя производная дифференцируемой функции никогда не имеетскачка, она может иметьсущественный разрыв. Например, функция дифференцируема в точке 0, т.к. существует. Однако изправил дифференцированияследует , что нет предела. Такимобразом, этот пример показывает существование функции, которая является дифференцируемой, но не непрерывно дифференцируемой (т. е. производная не является непрерывной функцией). Тем не менее,из теоремы Дарбуследует, что производная любой функции удовлетворяет заключениютеоремы о промежуточном значении. ${\textstyle f^{\prime }(x)}$ $${\displaystyle f(x)\;=\;{\begin{cases}x^{2}\sin(1/x)&{\text{ if }}x\neq 0\\0&{\text{ if }}x=0\end{cases}}}$$ $${\displaystyle f'(0)=\lim _{\varepsilon \to 0}\left({\frac {\varepsilon ^{2}\sin(1/\varepsilon )-0}{\varepsilon }}\right)=0}$$ ${\displaystyle x\neq 0,}$ $${\displaystyle f'(x)=2x\sin(1/x)-\cos(1/x)\;,}$$ ${\displaystyle x\to 0.}$

Подобно тому, как непрерывные функции называют принадлежащими к классу, ${\displaystyle C^{0},}$ непрерывно дифференцируемые функции иногда называют принадлежащими к классу ${\displaystyle C^{1}}$ . Функция относится к классу ${\displaystyle C^{2}}$ , если первая и вторая производные функции существуют и непрерывны. В более общем смысле говорят, что функция относится к классу ${\displaystyle C^{k}}$ , если все первые производные существуют и непрерывны. Если производные существуют для всех положительных целых чисел, функция является гладкой или, что то же самое, класса ${\displaystyle k}$ ${\textstyle f^{\prime }(x),f^{\prime \prime }(x),\ldots ,f^{(k)}(x)}$ ${\displaystyle f^{(n)}}$ ${\textstyle n,}$ ${\displaystyle C^{\infty }.}$

Дифференцируемость в более высоких размерностях

Функция нескольких действительных переменных f : Rm → Rn называется дифференцируемой в точке x ₀ ^, если существует линейное отображение J : Rm ^→ Rn ^{такое ,} что

${\displaystyle \lim _{\mathbf {h} \to \mathbf {0} }{\frac {\|\mathbf {f} (\mathbf {x_{0}} +\mathbf {h} )-\mathbf {f} (\mathbf {x_{0}} )-\mathbf {J} \mathbf {(h)} \|_{\mathbf {R} ^{n}}}{\|\mathbf {h} \|_{\mathbf {R} ^{m}}}}=0.}$

Если функция дифференцируема в точке _x0 , то все частные производные существуют в точке _x0 , а линейное отображение J задается матрицей Якобиана , в данном случае матрицей размера n × m . Похожая формулировка многомерной производной обеспечивается фундаментальной леммой о приращении , найденной в исчислении с одной переменной.

Если все частные производные функции существуют в окрестности точки x0 и непрерывны в точке x0 , _то функция дифференцируема в этой _точке x0 _.

Однако существование частных производных (или даже всех производных по направлению ) не гарантирует, что функция дифференцируема в точке. Например, функция f : R ² → R , определенная формулой

$${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}x&{\text{if }}y\neq x^{2}\\0&{\text{if }}y=x^{2}\end{cases}}}$$

не дифференцируема в точке (0, 0) , но все частные производные и производные по направлению существуют в этой точке. Для непрерывного примера функция

${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}y^{3}/(x^{2}+y^{2})&{\text{if }}(x,y)\neq (0,0)\\0&{\text{if }}(x,y)=(0,0)\end{cases}}}$

не дифференцируема в точке (0, 0) , но опять же существуют все частные производные и производные по направлению.

Дифференцируемость в комплексном анализе

В комплексном анализе комплексная дифференцируемость определяется с использованием того же определения, что и действительные функции с одной переменной. Это допускается благодаря возможности деления комплексных чисел . Итак, функция называется дифференцируемой, если ${\textstyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ ${\textstyle x=a}$

${\displaystyle f'(a)=\lim _{\underset {h\in \mathbb {C} }{h\to 0}}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.}$

Хотя это определение похоже на дифференцируемость действительных функций с одной переменной, однако оно является более ограничительным условием. Функция , которая является комплексно-дифференцируемой в точке, автоматически дифференцируема в этой точке, если рассматривать ее как функцию . Это потому, что комплексная дифференцируемость подразумевает, что ${\textstyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ ${\textstyle x=a}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle \lim _{\underset {h\in \mathbb {C} }{h\to 0}}{\frac {|f(a+h)-f(a)-f'(a)h|}{|h|}}=0.}$

Однако функция может быть дифференцируемой как функция многих переменных, но не быть комплексно-дифференцируемой. Например, дифференцируема в каждой точке, рассматриваемая как действительная функция с двумя переменными , но не является комплексно-дифференцируемой в любой точке, поскольку предел не существует (например, он зависит от угла подхода). ${\textstyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f(z)={\frac {z+{\overline {z}}}{2}}}$ ${\displaystyle f(x,y)=x}$ ${\textstyle \lim _{h\to 0}{\frac {h+{\bar {h}}}{2h}}}$

Любая функция, комплексно-дифференцируемая в окрестности точки, называется голоморфной в этой точке. Такая функция обязательно бесконечно дифференцируема и фактически аналитична .

Дифференцируемые функции на многообразиях

Если M — дифференцируемое многообразие , действительная или комплекснозначная функция f на M называется дифференцируемой в точке p, если она дифференцируема относительно некоторой (или любой) координатной карты, определенной вокруг p . Если M и N — дифференцируемые многообразия, функция f :  M  →  N называется дифференцируемой в точке p, если она дифференцируема относительно некоторых (или любых) координатных карт, определенных вокруг p и f ( p ).

Смотрите также

• Обобщения производной
• Полудифференцируемость
• Дифференцируемое программирование

Рекомендации

1. Банах, С. (1931). «Über die Baire'sche Kategorie gewisser Funktionenmengen». Студия Матем. 3 (1): 174–179. дои : 10.4064/см-3-1-174-179 .. Цитируется Хьюиттом, Э.; Стромберг, К. (1963). Реальный и абстрактный анализ . Спрингер-Верлаг. Теорема 17.8.