Функция потока

Функция для несжимаемых бездивергентных течений в двух измерениях

Линии тока – линии с постоянным значением функции тока – для потенциального обтекания кругового цилиндра несжимаемой жидкостью в однородном натекании.

В гидродинамике определены два типа функции тока :

• Двумерная (или лагранжевая) функция тока, введенная Жозефом Луи Лагранжем в 1781 году ^[1] , определена для несжимаемых ( бездивергентных ) течений в двух измерениях.
• Функция тока Стокса , названная в честь Джорджа Габриэля Стокса , ^[2] определена для несжимаемых трехмерных потоков с осевой симметрией .

Свойства потоковых функций делают их полезными для анализа и графической иллюстрации потоков.

Оставшаяся часть этой статьи описывает функцию двумерного потока.

Двумерная функция потока

Предположения

Двумерная функция тока основана на следующих предположениях:

• Пространство трехмерно.
• Поле течения можно описать как двумерное плоское течение с вектором скорости

${\displaystyle \quad \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}u(x,y)\\v(x,y)\\0\end{bmatrix}}.}$

• Скорость удовлетворяет уравнению неразрывности для несжимаемого потока:

${\displaystyle \quad {\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}=0.}$

Хотя в принципе функция потока не требует использования определенной системы координат, для удобства в представленном здесь описании используется правосторонняя декартова система координат с координатами . ${\displaystyle (x,y,z)}$

Классическое определение

Объемный поток через кривую между точками и ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P.}$

Лэмб и Бэтчелор определяют функцию тока для поля скорости несжимаемого потока следующим образом. ^[3] Дана точка и точка , ${\displaystyle \psi (x,y,t)}$ ${\displaystyle (u(t),v(t))}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \psi =\int _{A}^{P}\left(u\,{\text{d}}y-v\,{\text{d}}x\right)}$

– интеграл скалярного произведения вектора скорости потока и нормали к элементу кривой. Другими словами, функция тока – это объемный поток через кривую . Точка — это просто контрольная точка, которая определяет, где функция потока равна нулю. Сдвиг приводит к добавлению константы к функции потока в точке . ${\displaystyle (u,v)}$ ${\displaystyle (+{\text{d}}y,-{\text{d}}x)}$ ${\displaystyle ({\text{d}}x,{\text{d}}y).}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle AP}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle P}$

Бесконечно малый сдвиг положения приводит к изменению функции тока: ${\displaystyle \delta P=(\delta x,\delta y)}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle \delta \psi =u\,\delta y-v\,\delta x}$.

Из точного дифференциала

${\displaystyle \delta \psi ={\frac {\partial \psi }{\partial x}}\,\delta x+{\frac {\partial \psi }{\partial y}}\,\delta y,}$

компоненты скорости потока по отношению к функции потока должны быть ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle u={\frac {\partial \psi }{\partial y}},\qquad v=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}.}$

Векторная формулировка

Скорость можно выразить через функцию тока как ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \mathbf {u} =-R\,\nabla \psi }$

где – матрица вращения , соответствующая вращению против часовой стрелки вокруг положительной оси: ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle 3\times 3}$ ${\displaystyle 90^{\circ }}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle R=R_{z}(90^{\circ })={\begin{bmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}}.}$

Учитывая , что приведенное выше уравнение можно решить для , получив ${\displaystyle R^{-1}=R^{\operatorname {T} }=-R}$ ${\displaystyle \nabla \psi }$

${\displaystyle \nabla \psi =R\,\mathbf {u} .}$

Эта форма компактна и подчеркивает геометрическую связь между векторами и . ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \nabla \psi }$

С точки зрения векторного потенциала

Используя функцию тока, можно выразить скорость через векторный потенциал ${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}}$

${\displaystyle \mathbf {u} =\nabla \times {\boldsymbol {\psi }}}$

где и – единичный вектор, направленный в положительном направлении. Это также можно записать как векторное векторное произведение ${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}=\psi \mathbf {z} }$ ${\displaystyle \mathbf {z} }$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle \mathbf {u} =\nabla \psi \times \mathbf {z} }$

где мы использовали тождество векторного исчисления

${\displaystyle \nabla \times \left(\psi \mathbf {z} \right)=\psi \nabla \times \mathbf {z} +\nabla \psi \times \mathbf {z} .}$

Альтернативное определение

Альтернативное определение, иногда используемое в метеорологии и океанографии , — это

${\displaystyle \psi '=-\psi .}$

Эвристический вывод

Рассмотрим две различные точки A и B в двумерном плоском потоке. Предположим, что расстояние между этими двумя точками , очень мало, и между ними проходит поток потока со средней скоростью, перпендикулярной линии АВ. Тогда объемный расход на единицу толщины на участке AB определяется выражением ${\displaystyle \delta n}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \delta \psi }$

${\displaystyle \delta \psi =q\,\delta n}$.

Решая это выражение для и затем принимая предел как , получаем ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \delta n\rightarrow 0}$

${\displaystyle q={\frac {\partial \psi }{\partial n}}}$.

Теперь рассмотрим двумерное плоское течение относительно системы координат. Предположим, наблюдатель смотрит вдоль произвольной оси координат в направлении возрастания и видит поток, пересекающий ось слева направо . Принято соглашение о знаках, при котором скорость потока положительна .

Поток в декартовых координатах

Наблюдая за потоком в элементарный квадрат в декартовой системе координат xy , мы имеем:

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta \psi &=u\,\delta y\,\\\delta \psi &=-v\,\delta x\,\end{aligned}}}$

где скорость потока параллельна и в направлении оси x, а скорость потока параллельна и в направлении оси y. Решение этих уравнений для и соответственно, а затем принятие предела как (т.е. как и ), дает ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \delta n\rightarrow 0}$ ${\displaystyle \delta x\rightarrow 0}$ ${\displaystyle \delta y\rightarrow 0}$

${\displaystyle u={\frac {\partial \psi }{\partial y}},\qquad v=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}.}$

Связь с завихренностью

В двумерном плоском потоке вектор завихренности , определяемый как , уменьшается до , где ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \omega \,\mathbf {z} }$

${\displaystyle \omega =-\nabla ^{2}\psi }$

или

${\displaystyle \omega =+\nabla ^{2}\psi '}$

Это формы уравнения Пуассона .

Линии тока — это кривые уровня функции потока.

Рассмотрим двумерное плоское течение с двумя бесконечно близкими точками и . Из исчисления мы имеем это ${\displaystyle P=(x,y)}$ ${\displaystyle Q=(x+dx,y+dy)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (x+dx,y+dy)-\psi (x,y)&={\partial \psi \over \partial x}dx+{\partial \psi \over \partial y}dy\\&=\nabla \psi \cdot d\mathbf {r} \end{aligned}}}$

Предположим, принимает одно и то же значение, скажем , в двух точках и . Тогда это дает ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle 0=\nabla \psi \cdot d\mathbf {r} ,}$

подразумевая, что вектор нормален к кривой . Если мы сможем показать, что везде , используя формулу для через , то мы докажем результат. Из этого легко следует, ${\displaystyle \nabla \psi }$ ${\displaystyle \psi =C}$ ${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \psi =0}$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \psi ={\partial \psi \over \partial y}{\partial \psi \over \partial x}+\left(-{\partial \psi \over \partial x}\right){\partial \psi \over \partial y}=0.}$

Условия существования

Несложно показать, что для двумерного плоского течения удовлетворяется уравнение роторной дивергенции. ${\displaystyle \mathbf {u} }$

${\displaystyle (\nabla \cdot \mathbf {u} )\,\mathbf {z} =-\nabla \times (R\,\mathbf {u} )}$

где – матрица вращения , соответствующая вращению против часовой стрелки вокруг положительной оси. Это уравнение справедливо независимо от того, является ли поток несжимаемым. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle 3\times 3}$ ${\displaystyle 90^{\circ }}$ ${\displaystyle z}$

Если поток несжимаем (т. е. ), то уравнение роторной дивергенции дает ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$

${\displaystyle \mathbf {0} =\nabla \times (R\,\mathbf {u} )}$.

Тогда по теореме Стокса линейный интеграл по каждому замкнутому контуру обращается в нуль. ${\displaystyle R\,\mathbf {u} }$

${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }(R\,\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {\Gamma } =0.}$

Следовательно, линейный интеграл не зависит от пути. Наконец, согласно обратной теореме о градиенте , существует скалярная функция такая, что ${\displaystyle R\,\mathbf {u} }$ ${\displaystyle \psi (x,y)}$

${\displaystyle R\,\mathbf {u} =\nabla \psi }$.

Здесь представлена ​​функция потока. ${\displaystyle \psi }$

И наоборот, если функция потока существует, то . Подстановка этого результата в уравнение роторной дивергенции дает (т. е. поток несжимаем). ${\displaystyle R\,\mathbf {u} =\nabla \psi }$ ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$

Таким образом, функция тока для двумерного плоского течения существует тогда и только тогда, когда поток несжимаем.

Потенциальный поток

Для двумерного потенциального потока линии тока перпендикулярны эквипотенциальным линиям. В сочетании с потенциалом скорости функция тока может использоваться для получения комплексного потенциала. Другими словами, функция тока учитывает соленоидальную часть двумерного разложения Гельмгольца , а потенциал скорости — безвихревую часть .

Краткое описание свойств

Основные свойства двумерных функций потока можно резюмировать следующим образом:

1. Компоненты x и y скорости потока в данной точке задаются частными производными функции тока в этой точке.
2. Значение функции тока постоянно вдоль каждой линии тока (линии тока представляют собой траектории частиц в установившемся потоке). То есть каждая линия тока представляет собой кривую уровня функции потока.
3. Разница между значениями функции тока в любых двух точках дает объемный расход (или объемный поток ) через отрезок линии, соединяющий две точки.
4. Если два несжимаемых поля потока наложены друг на друга, то функция тока результирующего поля потока представляет собой алгебраическую сумму функций тока двух исходных полей. То есть функция тока линейна по скорости потока.

Смотрите также

• Элементарный поток

Рекомендации

Цитаты

1. Лагранж, Ж.-Л. (1868), «Mémoire sur la theorie du Mouvement des Fludes (в: Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin, год 1781)», Oevres de Lagrange, vol. Том IV, стр. 695–748.
2. Стоукс, Г.Г. (1842), «Об устойчивом движении несжимаемых жидкостей», Труды Кембриджского философского общества , 7 : 439–453, Бибкод : 1848TCaPS...7..439S
   Перепечатано в: Stokes, GG (1880), Mathematical and Physical Papers, Volume I, Cambridge University Press, стр. 1–16.
3. Лэмб (1932, стр. 62–63) и Бэтчелор (1967, стр. 75–79)

Источники

• Бэтчелор, Г.К. (1967), Введение в гидродинамику , издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-09817-3
• Лэмб, Х. (1932), Гидродинамика (6-е изд.), Cambridge University Press, переиздано Dover Publications, ISBN 0-486-60256-7
• Мэсси, бакалавр наук; Уорд-Смит, Дж. (1998), Механика жидкостей (7-е изд.), Великобритания: Нельсон Торнс
• Уайт, FM (2003), Механика жидкости (5-е изд.), Нью-Йорк: McGraw-Hill.
• Гамелен, TW (2001), Комплексный анализ , Нью-Йорк: Springer, ISBN 0-387-95093-1
• «Streamfunction», Словарь метеорологии AMS , Американское метеорологическое общество , получено 30 января 2014 г.

Внешние ссылки

• Интерактивное веб-приложение Joukowsky Transform