Функция потока

Функция для несжимаемых бездивергентных течений в двух измерениях

Линии тока – линии с постоянным значением функции тока – для обтекания кругового цилиндра несжимаемым потенциальным потоком.

В гидродинамике определяются два типа функции потока :

• Двумерная (или Лагранжева) функция тока, введенная Жозефом Луи Лагранжем в 1781 году ^[1], определена для несжимаемых ( бездивергентных ) двумерных потоков .
• Функция тока Стокса , названная в честь Джорджа Габриэля Стокса , ^[2] определена для несжимаемых трехмерных потоков с осесимметрией .

Свойства функций потока делают их полезными для анализа и графического представления потоков.

Оставшаяся часть статьи посвящена описанию двумерной функции потока.

Двумерная функция потока

Предположения

Двумерная функция потока основана на следующих предположениях:

• Пространственная область трехмерна.
• Поле течения можно описать как двумерный плоский поток с вектором скорости

${\displaystyle \quad \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}u(x,y,t)\\v(x,y,t)\\0\end{bmatrix}}.}$

• Скорость удовлетворяет уравнению неразрывности для несжимаемого потока:

${\displaystyle \quad \nabla \cdot \mathbf {u} =0.}$

Хотя в принципе функция потока не требует использования определенной системы координат, для удобства в представленном здесь описании используется правая декартова система координат с координатами . ${\displaystyle (x,y,z)}$

Вывод

Тестовая поверхность

Рассмотрим две точки и на плоскости и кривую , также на плоскости, которая их соединяет. Тогда каждая точка на кривой имеет координату . Пусть общая длина кривой будет . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle AP}$ ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle AP}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle AP}$ ${\displaystyle L}$

Предположим, что лентообразная поверхность создана путем расширения кривой вверх до горизонтальной плоскости , где — толщина потока. Тогда поверхность имеет длину , ширину и площадь . Назовем это тестовой поверхностью . ${\displaystyle AP}$ ${\displaystyle z=b}$ ${\displaystyle (b>0)}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b\,L}$

Поток через тестовую поверхность

Объемный поток через тестовую поверхность, соединяющую точки и ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P.}$

Общий объемный поток через тестовую поверхность равен

${\displaystyle Q(x,y,t)=\int _{0}^{b}\int _{0}^{L}\mathbf {u} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} s\,\mathrm {d} z}$

где — параметр длины дуги, определенный на кривой , при этом в точке и в точке . Здесь — единичный вектор, перпендикулярный тестовой поверхности, т.е. ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle AP}$ ${\displaystyle s=0}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle s=L}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$

${\displaystyle \mathbf {n} \,\mathrm {d} s=-R\,\mathrm {d} \mathbf {r} ={\begin{bmatrix}\mathrm {d} y\\-\mathrm {d} x\\0\end{bmatrix}}}$

где — матрица вращения, соответствующая вращению против часовой стрелки вокруг положительной оси: ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle 3\times 3}$ ${\displaystyle 90^{\circ }}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle R=R_{z}(90^{\circ })={\begin{bmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}}.}$

Подынтегральное выражение в выражении для не зависит от , поэтому внешний интеграл можно оценить так, чтобы получить ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle Q(x,y,t)=b\,\int _{A}^{P}\left(u\,\mathrm {d} y-v\,\mathrm {d} x\right)}$

Классическое определение

Лэмб и Бэтчелор определяют функцию потока следующим образом. ^[3] ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \psi (x,y,t)=\int _{A}^{P}\left(u\,\mathrm {d} y-v\,\mathrm {d} x\right)}$

Используя выражение, полученное выше для полного объемного потока, это можно записать как ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle \psi (x,y,t)={\frac {Q(x,y,t)}{b}}}$.

Проще говоря, функция потока — это объемный поток через исследуемую поверхность на единицу толщины, где толщина измеряется перпендикулярно плоскости потока. ${\displaystyle \psi }$

Точка — это опорная точка, которая определяет, где функция потока тождественно равна нулю. Ее положение выбирается более или менее произвольно и, будучи однажды выбранным, обычно остается фиксированным. ${\displaystyle A}$

Бесконечно малое смещение положения точки приводит к следующему изменению функции тока: ${\displaystyle \mathrm {d} P=(\mathrm {d} x,\mathrm {d} y)}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle \mathrm {d} \psi =u\,\mathrm {d} y-v\,\mathrm {d} x}$.

Из точного дифференциала

${\displaystyle \mathrm {d} \psi ={\frac {\partial \psi }{\partial x}}\,\mathrm {d} x+{\frac {\partial \psi }{\partial y}}\,\mathrm {d} y,}$

поэтому компоненты скорости потока по отношению к функции потока должны быть ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle u={\frac {\partial \psi }{\partial y}},\qquad v=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}.}$

Обратите внимание, что функция потока линейна по скорости. Следовательно, если два несжимаемых поля потока накладываются друг на друга, то функция потока результирующего поля потока является алгебраической суммой функций потока двух исходных полей.

Эффект смещения положения точки отсчета

Рассмотрим сдвиг положения опорной точки, скажем, с на . Обозначим функцию потока относительно смещенной опорной точки : ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A'}$ ${\displaystyle \psi '}$ ${\displaystyle A'}$

${\displaystyle \psi '(x,y,t)=\int _{A'}^{P}\left(u\,\mathrm {d} y-v\,\mathrm {d} x\right).}$

Тогда функция потока смещается на

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \psi (t)&=\psi '(x,y,t)-\psi (x,y,t)\\&=\int _{A'}^{A}\left(u\,\mathrm {d} y-v\,\mathrm {d} x\right),\end{aligned}}}$

что подразумевает следующее:

• Смещение положения точки отсчета фактически добавляет константу (для стационарного потока) или функцию только времени (для нестационарного потока) к функции потока в каждой точке . ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle P}$
• Сдвиг функции тока, , равен полному объемному потоку, на единицу толщины, через поверхность, которая простирается от точки до точки . Следовательно , тогда и только тогда, когда и лежат на одной линии тока. ${\displaystyle \Delta \psi }$ ${\displaystyle A'}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Delta \psi =0}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A'}$

С точки зрения вращения вектора

Скорость можно выразить через функцию тока как ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \mathbf {u} =-R\,\nabla \psi }$

где — матрица вращения, соответствующая вращению против часовой стрелки вокруг положительной оси. Решение приведенного выше уравнения для дает эквивалентную форму ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle 3\times 3}$ ${\displaystyle 90^{\circ }}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \nabla \psi }$

${\displaystyle \nabla \psi =R\,\mathbf {u} .}$

Из этих форм сразу видно, что векторы и являются ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \nabla \psi }$

• перпендикуляр: ${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \psi =0}$
• одинаковой длины: . ${\displaystyle |\mathbf {u} |=|\nabla \psi |}$

Кроме того, компактность формы вращения облегчает манипуляции (например, см. Условие существования).

В терминах векторного потенциала и поверхностей потока

Используя функцию тока, можно выразить скорость через векторный потенциал ${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}}$

${\displaystyle \mathbf {u} =\nabla \times {\boldsymbol {\psi }}}$

где , и — единичный вектор, указывающий в положительном направлении. Это также можно записать как векторное векторное произведение ${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}=\psi \,\mathbf {z} }$ ${\displaystyle \mathbf {z} }$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle \mathbf {u} =\nabla \psi \times \mathbf {z} }$

где мы использовали тождество векторного исчисления

${\displaystyle \nabla \times \left(\psi \mathbf {z} \right)=\psi \nabla \times \mathbf {z} +\nabla \psi \times \mathbf {z} .}$

Заметив , что и определив , можно выразить поле скорости как ${\displaystyle \mathbf {z} =\nabla z}$ ${\displaystyle \phi =z}$

${\displaystyle \mathbf {u} =\nabla \psi \times \nabla \phi .}$

Эта форма показывает, что уровенные поверхности и уровенные поверхности (т.е. горизонтальные плоскости) образуют систему ортогональных поверхностей потока . ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle z}$

Альтернативное (противоположное по знаку) определение

Альтернативное определение, иногда используемое в метеорологии и океанографии , звучит так:

${\displaystyle \psi '=-\psi .}$

Отношение к завихренности

В двумерном плоском потоке вектор завихренности , определяемый как , уменьшается до , где ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \omega \,\mathbf {z} }$

${\displaystyle \omega =-\nabla ^{2}\psi }$

или

${\displaystyle \omega =+\nabla ^{2}\psi '}$

Это формы уравнения Пуассона .

Отношение к линиям потока

Рассмотрим двумерный плоский поток с двумя бесконечно близкими точками , лежащими в одной горизонтальной плоскости. Из исчисления соответствующая бесконечно малая разность между значениями функции потока в двух точках равна ${\displaystyle P=(x,y,z)}$ ${\displaystyle P'=(x+dx,y+dy,z)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} \psi (x,y,t)&=\psi (x+\mathrm {d} x,y+\mathrm {d} y,t)-\psi (x,y,t)\\&={\partial \psi \over \partial x}\mathrm {d} x+{\partial \psi \over \partial y}\mathrm {d} y\\&=\nabla \psi \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} \end{aligned}}}$

Предположим, что принимает одно и то же значение, скажем , в двух точках и . Тогда это дает ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P'}$

${\displaystyle 0=\nabla \psi \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} ,}$

подразумевая, что вектор нормален к поверхности . Поскольку везде (например, см. В терминах вращения вектора), каждая линия тока соответствует пересечению определенной поверхности потока и определенной горизонтальной плоскости. Следовательно, в трех измерениях однозначная идентификация любой определенной линии тока требует указания соответствующих значений как функции потока, так и высоты ( координаты). ${\displaystyle \nabla \psi }$ ${\displaystyle \psi =C}$ ${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \psi =0}$ ${\displaystyle z}$

Развитие здесь предполагает, что область пространства трехмерна. Концепция функции потока может быть также разработана в контексте области двумерного пространства. В этом случае множества уровня функции потока являются кривыми, а не поверхностями, а линии тока являются кривыми уровня функции потока. Следовательно, в двух измерениях однозначная идентификация любой конкретной линии тока требует указания только соответствующего значения функции потока.

Состояние существования

Легко показать, что для двумерного плоского потока выполняется уравнение вихревой дивергенции ${\displaystyle \mathbf {u} }$

${\displaystyle (\nabla \cdot \mathbf {u} )\,\mathbf {z} =-\nabla \times (R\,\mathbf {u} )}$

где — матрица вращения, соответствующая вращению против часовой стрелки вокруг положительной оси. Это уравнение справедливо независимо от того, является ли поток несжимаемым. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle 3\times 3}$ ${\displaystyle 90^{\circ }}$ ${\displaystyle z}$

Если поток несжимаем (т.е. ), то уравнение вихреобразования дает ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$

${\displaystyle \mathbf {0} =\nabla \times (R\,\mathbf {u} )}$.

Тогда по теореме Стокса линейный интеграл по каждому замкнутому контуру равен нулю. ${\displaystyle R\,\mathbf {u} }$

${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }(R\,\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {\Gamma } =0.}$

Следовательно, линейный интеграл не зависит от пути. Наконец, по обратной теореме о градиенте существует скалярная функция, такая что ${\displaystyle R\,\mathbf {u} }$ ${\displaystyle \psi (x,y,t)}$

${\displaystyle R\,\mathbf {u} =\nabla \psi }$.

Здесь представлена ​​функция потока. ${\displaystyle \psi }$

Наоборот, если функция потока существует, то . Подстановка этого результата в уравнение вихревой дивергенции дает (т.е. поток несжимаем). ${\displaystyle R\,\mathbf {u} =\nabla \psi }$ ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$

Подводя итог, можно сказать, что функция тока для двумерного плоского течения существует тогда и только тогда, когда течение несжимаемо.

Потенциальный поток

Для двумерного потенциального потока линии тока перпендикулярны эквипотенциальным линиям. Взятая вместе с потенциалом скорости , функция потока может быть использована для получения комплексного потенциала. Другими словами, функция потока учитывает соленоидальную часть двумерного разложения Гельмгольца , в то время как потенциал скорости учитывает безвихревую часть.

Резюме свойств

Основные свойства двумерных функций потока можно обобщить следующим образом:

1. X- и y -компоненты скорости потока в данной точке определяются частными производными функции тока в этой точке.
2. Значение функции тока постоянно вдоль каждой линии тока (линии тока представляют собой траектории частиц в стационарном потоке). То есть в двух измерениях каждая линия тока представляет собой кривую уровня функции тока.
3. Разница между значениями функции потока в любых двух точках дает объемный поток через вертикальную поверхность, соединяющую две точки.

Двумерная функция тока для потоков с постоянной во времени плотностью

Если плотность жидкости неизменна во времени во всех точках потока, т. е.

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0}$,

тогда уравнение неразрывности (например, см. Уравнение неразрывности#Гидродинамика ) для двумерного плоского потока становится

${\displaystyle \nabla \cdot (\rho \,\mathbf {u} )=0.}$

В этом случае функция потока определяется таким образом, что ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \rho \,u={\frac {\partial \psi }{\partial y}},\quad \rho \,v=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}}$

и представляет собой поток массы (а не объемный поток) на единицу толщины через испытываемую поверхность.

Смотрите также

• Элементарный поток

Ссылки

Цитаты

1. Лагранж, Ж.-Л. (1868), «Mémoire sur la theorie du Mouvement des Fludes (в: Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin, год 1781)», Oevres de Lagrange, vol. Том IV, стр. 695–748.
2. Стокс, Г. Г. (1842), «Об устойчивом движении несжимаемых жидкостей», Труды Кембриджского философского общества , 7 : 439–453, Bibcode : 1848TCaPS...7..439S
   Перепечатано в: Stokes, GG (1880), Mathematical and Physical Papers, Volume I, Cambridge University Press, стр. 1–16
3. Лэмб (1932, стр. 62–63) и Бэтчелор (1967, стр. 75–79)

Источники

• Бэтчелор, Г.К. (1967), Введение в гидродинамику , Cambridge University Press, ISBN 0-521-09817-3
• Лэмб, Х. (1932), Гидродинамика (6-е изд.), Cambridge University Press, переиздано Dover Publications, ISBN 0-486-60256-7
• Мэсси, Б.С.; Уорд-Смит, Дж. (1998), Механика жидкостей (7-е изд.), Великобритания: Нельсон Торнес
• Уайт, FM (2003), Механика жидкостей (5-е изд.), Нью-Йорк: McGraw-Hill
• Gamelin, TW (2001), Комплексный анализ , Нью-Йорк: Springer, ISBN 0-387-95093-1
• "Streamfunction", AMS Glossary of Meteorology , Американское метеорологическое общество , получено 30.01.2014

Внешние ссылки

• Интерактивное веб-приложение Joukowsky Transform