Поток Бельтрами

В гидродинамике потоки Бельтрами — это течения, в которых вектор завихренности и вектор скорости параллельны друг другу. Другими словами, поток Бельтрами — это поток, в котором вектор Лэмба равен нулю. Он назван в честь итальянского математика Эудженио Бельтрами в связи с выводом им векторного поля Бельтрами , а первоначальные разработки в области гидродинамики были сделаны русским ученым Ипполитом С. Громекой в ​​1881 году. ^{[1] [2]} ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

Описание

Поскольку вектор завихренности и вектор скорости параллельны друг другу, можно написать ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} =0,\quad {\boldsymbol {\omega }}=\alpha (\mathbf {x} ,t)\mathbf {v} ,}$

где – некоторая скалярная функция. Одним из непосредственных последствий течения Бельтрами является то, что он никогда не может быть плоским или осесимметричным потоком, поскольку в этих потоках завихренность всегда перпендикулярна полю скорости. Другое важное следствие можно понять, рассмотрев уравнение завихренности несжимаемой жидкости. ${\displaystyle \alpha (\mathbf {x} ,t)}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla ){\boldsymbol {\omega }}-({\boldsymbol {\omega }}\cdot \nabla )\mathbf {v} =\nu \nabla ^{2}{\boldsymbol {\omega }}+\nabla \times f,}$

где – внешние объемные силы, такие как гравитационное поле, электрическое поле и т. д., – кинематическая вязкость. Поскольку и параллельны, нелинейные члены в приведенном выше уравнении тождественно равны нулю . Таким образом, потоки Бельтрами удовлетворяют линейному уравнению ${\displaystyle \mathbf {f} }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle (\mathbf {v} \cdot \nabla ){\boldsymbol {\omega }}=({\boldsymbol {\omega }}\cdot \nabla )\mathbf {v} =0}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial t}}=\nu \nabla ^{2}{\boldsymbol {\omega }}+\nabla \times f.}$

Когда компоненты завихренности удовлетворяют простому уравнению теплопроводности . ${\displaystyle \mathbf {f} =0}$

Тркальский поток

Виктор Тркал рассматривал течения Бельтрами без каких-либо внешних сил в 1919 г. ^[3] для скалярной функции , т.е. ${\displaystyle \alpha (\mathbf {x} ,t)=c={\text{constant}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial t}}=\nu \nabla ^{2}{\boldsymbol {\omega }},\quad {\boldsymbol {\omega }}=c\mathbf {v} .}$

Введем следующее разделение переменных

${\displaystyle \mathbf {v} =e^{-c^{2}\nu t}\mathbf {g} (\mathbf {x} ),}$

тогда уравнение, которому удовлетворяет, становится ${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {x} )}$

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {g} =c\mathbf {g} .}$

Этому уравнению удовлетворяют функции Чандрасекара – Кендалла .

Обобщенный поток Бельтрами

Обобщенный поток Бельтрами удовлетворяет условию ^[4]

${\displaystyle \nabla \times (\mathbf {v} \times {\boldsymbol {\omega }})=0}$

которое является менее ограничительным, чем условие Бельтрами . В отличие от нормального течения Бельтрами, обобщенное течение Бельтрами можно изучать для плоских и осесимметричных течений. ${\displaystyle \mathbf {v} \times {\boldsymbol {\omega }}=0}$

Стационарные плоские течения

Для устойчивого обобщенного потока Бельтрами имеем и, поскольку он также плоский, имеем . Представляем функцию потока ${\displaystyle \nabla ^{2}{\boldsymbol {\omega }}=0,\ \nabla \times (\mathbf {v} \times {\boldsymbol {\omega }})=0}$ ${\displaystyle \mathbf {v} =(u,v,0),\ {\boldsymbol {\omega }}=(0,0,\zeta )}$

${\displaystyle u={\frac {\partial \psi }{\partial y}},\quad v=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}},\quad \Rightarrow \quad \nabla ^{2}\psi =-\zeta .}$

Интеграция дает . Итак, полное решение возможно, если оно удовлетворяет всем следующим трем уравнениям: ${\displaystyle \nabla \times (\mathbf {v} \times {\boldsymbol {\omega }})=0}$ ${\displaystyle \zeta =-f(\psi )}$

${\displaystyle \nabla ^{2}\psi =-\zeta ,\quad \nabla ^{2}\zeta =0,\quad \zeta =-f(\psi ).}$

Рассмотрен частный случай, когда поле течения имеет однородную завихренность . Ван (1991) ^[5] дал обобщенное решение как ${\displaystyle f(\psi )=C={\text{constant}}}$

${\displaystyle \zeta =\psi +A(x,y),\quad A(x,y)=ax+by}$

предполагая линейную функцию для . Подставив это в уравнение завихренности и введя разделение переменных с разделяющей константой, получим: ${\displaystyle A(x,y)}$ ${\displaystyle \psi (x,y)=X(x)Y(y)}$ ${\displaystyle \lambda ^{2}}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}X}{dx^{2}}}+{\frac {b}{\nu }}{\frac {dX}{dx}}-\lambda ^{2}X=0,\quad {\frac {d^{2}Y}{dy^{2}}}-{\frac {a}{\nu }}{\frac {dY}{dy}}+\lambda ^{2}Y=0.}$

Решение, полученное при различных вариантах выбора, может интерпретироваться по-разному, например, представляет собой поток за равномерной сеткой, представляет собой поток, созданный растягивающейся пластиной, представляет собой поток в угол, представляет собой асимптотический профиль всасывания и т. д. ${\displaystyle a,\ b,\ \lambda }$ ${\displaystyle a=0,\ b=-U,\lambda ^{2}>0}$ ${\displaystyle a=-U,\ b=0,\lambda ^{2}=0}$ ${\displaystyle a=-U,\ b=U,\lambda ^{2}=0}$ ${\displaystyle a=-V,\ b=-U,\lambda ^{2}=0}$

Нестационарные плоские течения

Здесь,

${\displaystyle \nabla ^{2}\psi =-\zeta ,\quad {\frac {\partial \zeta }{\partial t}}=\nabla ^{2}\zeta ,\quad \zeta =-f(\psi ,t)}$.

Затухающие вихри Тейлора

Г.И. Тейлор дал решение для частного случая , когда , где является постоянной в 1923 году. ^[6] Он показал, что разделение удовлетворяет уравнению, а также ${\displaystyle \zeta =K\psi }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \psi =e^{-\nu \lambda t}\Psi (x,y)}$

${\displaystyle \nabla ^{2}\Psi =-\lambda \Psi .}$

Тейлор также рассмотрел пример затухающей системы вихрей, вращающихся попеременно в противоположных направлениях и расположенных в виде прямоугольной системы.

${\displaystyle \Psi =A\cos {\frac {\pi x}{d}}\cos {\frac {\pi y}{d}}}$

которое удовлетворяет приведенному выше уравнению с , где длина квадрата, образованного вихрем. Следовательно, эта система вихрей затухает по мере ${\displaystyle \lambda =2\pi ^{2}/d^{2}}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle \psi =A\cos \left({\frac {\pi x}{d}}\right)\cos \left({\frac {\pi y}{d}}\right)e^{-{\frac {2\pi ^{2}}{d^{2}}}\nu t}.}$

О. Уолш обобщил вихревое решение Тейлора в 1992 году. ^[7] Решение Уолша имеет вид , где и ${\displaystyle \mathbf {v} =e^{-\nu \lambda t}\mathbf {u} (x,y)}$ ${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {u} =-\lambda \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0.}$

Стационарные осесимметричные течения

Вот у нас есть . Интегрирование дает и три уравнения: ${\displaystyle \mathbf {v} =\left(u_{r},0,u_{z}\right),\ {\boldsymbol {\omega }}=(0,\zeta ,0)}$ ${\displaystyle \nabla \times (\mathbf {v} \times {\boldsymbol {\omega }})=0}$ ${\displaystyle \zeta =rf(\psi )}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial z}}\right)+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}=-\zeta ,\quad \nabla ^{2}\zeta =0,\quad \zeta =rf(\psi )}$

Первое уравнение — это уравнение Хикса . Маррис и Асуани (1977) ^[8] показали, что единственным возможным решением является то , а остальные уравнения сводятся к ${\displaystyle f(\psi )=C={\text{constant}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial r^{2}}}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}+Cr^{2}=0}$

Простой набор решений приведенного выше уравнения:

${\displaystyle \psi (r,z)=c_{1}r^{4}+c_{2}r^{2}z^{2}+c_{3}r^{2}+c_{4}r^{2}z+c_{5}\left(r^{6}-12r^{4}z^{2}+8r^{2}z^{4}\right),\quad C=-\left(8c_{1}+2c_{2}\right)}$

${\displaystyle c_{1},c_{4}\neq 0,\ c_{2},c_{3},c_{5}=0}$представляет собой течение двух противоположных вращательных потоков на параболической поверхности, представляет собой вращательное течение на плоской стенке, представляет собой эллипсоидальный вихрь потока (частный случай – сферический вихрь Хилла), представляет собой тип тороидального вихря и т. д. ${\displaystyle c_{2}\neq 0,c_{1},c_{3},c_{4},c_{5}=0}$ ${\displaystyle c_{1},c_{2},c_{3}\neq 0,\ c_{4},c_{5}=0}$ ${\displaystyle c_{1},c_{3},c_{5}\neq 0,\ c_{2},c_{4}=0}$

Однородное решение для, как показал Беркер ^[9] ${\displaystyle C=0}$

${\displaystyle \psi =r\left[A_{k}J_{1}(kr)+B_{k}Y_{1}(kr)\right]\left(C_{k}e^{kz}+D_{k}e^{-kz}\right)}$

где – функция Бесселя первого рода и функция Бесселя второго рода соответственно. Частным случаем указанного решения является течение Пуазейля для цилиндрической геометрии со скоростями испарения на стенках. Чиа-Шун Йи в 1958 году нашел решение проблемы стекания Пуазейля в раковину, когда . ^[10] ${\displaystyle J_{1}(kr),Y_{1}(kr)}$ ${\displaystyle C=2,\,c_{1}=-1/4,\,c_{3}=1/2,\,c_{2}=c_{4}=c_{5}=B_{k}=C_{k}=0}$

Течение Бельтрами в механике жидкости.

Поля Бельтрами представляют собой классическое устойчивое решение уравнения Эйлера . Поля Бельтрами играют важную роль в механике (идеальной) жидкости в равновесии, поскольку сложность ожидается только от этих полей.

Смотрите также

• Поток Громеки – Арнольда – Бельтрами – Чилдресса (GABC)

Рекомендации

1. Громека, И. «Некоторые случаи движения несжимаемой жидкости». Учёные записки Казанского университета (1881): 76–148.
2. Трусделл, Клиффорд . Кинематика завихренности. Том. 954. Блумингтон: Издательство Индианского университета, 1954.
3. Тркал, В. «Замечание о гидродинамике вязких жидкостей». Кас. Тихоокеанское стандартное время. Мат, Fys 48 (1919): 302–311.
4. Дразин, Филип Г. и Норман Райли . Уравнения Навье – Стокса: классификация течений и точные решения. № 334. Издательство Кембриджского университета, 2006.
5. Ван, CY 1991 Точные решения стационарных уравнений Навье – Стокса, Annu. Преподобный Fluid Mech. 23, 159–177.
6. Тейлор, Г.И. «LXXV. О распаде вихрей в вязкой жидкости». Философский журнал и журнал науки Лондона, Эдинбурга и Дублина 46.274 (1923): 671–674.
7. Уолш, О. (1992). Вихревые решения уравнений Навье-Стокса. В книге «Уравнения Навье-Стокса II — теория и численные методы» (стр. 306–309). Шпрингер, Берлин, Гейдельберг.
8. Маррис, AW и М.Г. Асуани. «О общей невозможности управляемых осесимметричных движений Навье – Стокса». Архив рациональной механики и анализа 63.2 (1977): 107–153.
9. Беркер, Р. «Интеграция уравнений движения несжимаемой вязкой жидкости. Handbuch der Physik». (1963).
10. Йих, CS (1959). Два решения для невязкого вращательного потока с угловыми вихрями. Журнал механики жидкости, 5 (1), 36–40.