Уравнение Хагена–Пуазейля

Law describing the pressure drop in an incompressible and Newtonian fluid

В неидеальной динамике жидкости уравнение Хагена –Пуазейля , также известное как закон Хагена–Пуазейля , закон Пуазейля или уравнение Пуазейля , представляет собой физический закон , который определяет падение давления в несжимаемой и ньютоновской жидкости в ламинарном потоке, протекающем через длинную цилиндрическую трубу постоянного поперечного сечения. Его можно успешно применять к потоку воздуха в альвеолах легких , или потоку через питьевую соломинку или через иглу для подкожных инъекций . Он был экспериментально выведен независимо Жаном Леонаром Мари Пуазейлем в 1838 году ^[1] и Готхильфом Генрихом Людвигом Хагеном [ ^2] и опубликован Хагеном в 1839 году ^[1] , а затем Пуазейлем в 1840–41 и 1846 годах. ^[1] Теоретическое обоснование закона Пуазейля было дано Джорджем Стоксом в 1845 году. ^[3]

Предположения уравнения таковы: жидкость несжимаема и ньютонова ; поток ламинарный через трубу постоянного круглого сечения, которая существенно длиннее ее диаметра; и нет ускорения жидкости в трубе. Для скоростей и диаметров труб выше порогового значения фактический поток жидкости не ламинарный, а турбулентный , что приводит к большим перепадам давления, чем рассчитано по уравнению Хагена–Пуазейля.

Уравнение Пуазейля описывает падение давления из-за вязкости жидкости; в жидкости могут возникать и другие типы падения давления (см. демонстрацию здесь). ^[4] Например, давление, необходимое для того, чтобы вязкая жидкость преодолевала силу тяжести, будет включать в себя как то, что требуется в законе Пуазейля, так и то, что требуется в уравнении Бернулли , так что любая точка потока будет иметь давление больше нуля (иначе поток не возникнет).

Другой пример: когда кровь течет в более узкое сужение , ее скорость будет больше, чем в большем диаметре (из-за непрерывности объемного расхода ), а ее давление будет ниже, чем в большем диаметре ^[4] (из-за уравнения Бернулли). Однако вязкость крови вызовет дополнительное падение давления вдоль направления потока, которое пропорционально пройденному расстоянию ^[4] (согласно закону Пуазейля). Оба эффекта способствуют фактическому падению давления.

Уравнение

В стандартной нотации кинетики жидкости: ^{[5] [6] [7]}

${\displaystyle \Delta p={\frac {8\mu LQ}{\pi R^{4}}}={\frac {8\pi \mu LQ}{A^{2}}},}$

где

Δ p — разница давлений между двумя концами,

L — длина трубы,

μ — динамическая вязкость ,

Q — объемный расход ,

R — радиус трубы,

A — площадь поперечного сечения трубы.

Уравнение не выполняется вблизи входа в трубу. ^{[8] : 3}

Уравнение не выполняется в пределе низкой вязкости, широкой и/или короткой трубы. Низкая вязкость или широкая труба могут привести к турбулентному потоку, что делает необходимым использование более сложных моделей, таких как уравнение Дарси-Вейсбаха . Отношение длины к радиусу трубы должно быть больше 1/48 числа Рейнольдса , чтобы закон Хагена-Пуазейля был справедливым. ^[9] Если труба слишком короткая, уравнение Хагена-Пуазейля может привести к нефизически высоким скоростям потока; поток ограничен принципом Бернулли , при менее ограничительных условиях,

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta p={\frac {1}{2}}\rho {\overline {v}}_{\text{max}}^{2}&={\frac {1}{2}}\rho \left({\frac {Q_{\text{max}}}{\pi R^{2}}}\right)^{2}\\\Rightarrow \quad Q_{\max }{}&=\pi R^{2}{\sqrt {\frac {2\Delta p}{\rho }}},\end{aligned}}}$

поскольку в несжимаемом потоке невозможно иметь отрицательное (абсолютное) давление (не путать с манометрическим давлением ).

Связь с уравнением Дарси–Вейсбаха

Обычно поток Хагена–Пуазейля подразумевает не только соотношение для падения давления, указанное выше, но и полное решение для профиля ламинарного потока, который является параболическим. Однако результат для падения давления можно распространить на турбулентный поток, выведя эффективную турбулентную вязкость в случае турбулентного потока, хотя профиль потока в турбулентном потоке, строго говоря, на самом деле не параболический. В обоих случаях, ламинарном или турбулентном, падение давления связано с напряжением на стенке, которое определяет так называемый коэффициент трения. Напряжение на стенке можно определить феноменологически с помощью уравнения Дарси–Вайсбаха в области гидравлики , учитывая соотношение для коэффициента трения в терминах числа Рейнольдса. В случае ламинарного потока для круглого поперечного сечения:

${\displaystyle \Lambda ={\frac {64}{\mathrm {Re} }},\quad \mathrm {Re} ={\frac {\rho vd}{\mu }},}$

где Re — число Рейнольдса , ρ — плотность жидкости, а v — средняя скорость потока, которая составляет половину максимальной скорости потока в случае ламинарного течения. Более полезным оказывается определение числа Рейнольдса через среднюю скорость потока, поскольку эта величина остается хорошо определенной даже в случае турбулентного течения, тогда как максимальная скорость потока может не быть определена или, в любом случае, ее может быть трудно вывести. В этой форме закон аппроксимирует коэффициент трения Дарси , коэффициент потерь энергии (напора) , коэффициент потерь трения или коэффициент Дарси (трения) Λ в ламинарном течении при очень низких скоростях в цилиндрической трубе. Теоретический вывод несколько иной формы закона был сделан независимо Видманом в 1856 году и Нейманом и Э. Хагенбахом в 1858 году (1859, 1860). Хагенбах был первым, кто назвал этот закон законом Пуазейля.

Этот закон также очень важен в гемореологии и гемодинамике , обеих областях физиологии . ^[10]

Позднее, в 1891 году, закон Пуазейля был распространен на турбулентный поток Л. Р. Уилберфорсом на основе работы Хагенбаха.

Вывод

Уравнение Хагена–Пуазейля можно вывести из уравнений Навье–Стокса . Ламинарное течение через трубу однородного (круглого) поперечного сечения известно как течение Хагена–Пуазейля. Уравнения, управляющие течением Хагена–Пуазейля, можно вывести непосредственно из уравнений импульса Навье–Стокса в трехмерных цилиндрических координатах ( r , θ , x ), сделав следующий набор предположений:

1. Поток устойчивый ( ⁠∂.../∂ т⁠ = 0 ).
2. Радиальная и азимутальная составляющие скорости жидкости равны нулю ( u _r = u _θ = 0 ).
3. Течение осесимметрично ( ⁠∂.../∂ θ⁠ = 0 ).
4. Поток полностью развит ( ⁠∂ у _х/∂ х⁠ = 0 ). Однако здесь это можно доказать с помощью закона сохранения массы и приведенных выше предположений.

Тогда угловое уравнение в уравнениях импульса и уравнение непрерывности удовлетворяются тождественно. Радиальное уравнение импульса сводится к ⁠∂ п/∂ р⁠ = 0 , т.е. давление p является функцией только осевой координаты x . Для краткости используйте u вместо. Уравнение осевого импульса сводится к ${\displaystyle u_{x}}$

${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)={\frac {1}{\mu }}{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} x}}}$

где μ — динамическая вязкость жидкости. В приведенном выше уравнении левая часть является функцией только r , а правая часть — функцией только x , что подразумевает, что оба члена должны быть одной и той же константой. Оценка этой константы проста. Если мы возьмем длину трубы за L и обозначим разницу давлений между двумя концами трубы как Δ p (высокое давление минус низкое давление), то константа будет просто

${\displaystyle -{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} x}}={\frac {\Delta p}{L}}=G}$

Определено так, что G положительно. Решение:

${\displaystyle u=-{\frac {Gr^{2}}{4\mu }}+c_{1}\ln r+c_{2}}$

Поскольку u должно быть конечным при r = 0 , c ₁ = 0. Граничное условие отсутствия проскальзывания на стенке трубы требует, чтобы u = 0 при r = R (радиус трубы), что дает c ₂ = ⁠ГР ²/4 мк⁠ . Таким образом, в конечном итоге мы имеем следующий параболический профиль скорости :

${\displaystyle u={\frac {G}{4\mu }}\left(R^{2}-r^{2}\right).}$

Максимальная скорость достигается на центральной линии трубы ( r = 0 ), u _max = ⁠ГР ²/4 мк⁠ . Среднюю скорость можно получить путем интегрирования по поперечному сечению трубы ,

${\displaystyle {u}_{\mathrm {avg} }={\frac {1}{\pi R^{2}}}\int _{0}^{R}2\pi ru\mathrm {d} r={\tfrac {1}{2}}{u}_{\mathrm {max} }.}$

Легко измеряемая величина в экспериментах — объемный расход Q = π R ² u _avg . Перестановка этого дает уравнение Хагена–Пуазейля

${\displaystyle \Delta p={\frac {8\mu QL}{\pi R^{4}}}.}$

Тщательный вывод, начинающийся непосредственно с первых принципов

Альтернативный метод вывода уравнения Хагена–Пуазейля, хотя и более длинный, чем непосредственное использование уравнений Навье–Стокса , заключается в следующем.

Поток жидкости через трубу

a) Трубка, показывающая воображаемую пластинку. b) Поперечное сечение трубки показывает пластинку, движущуюся с разной скоростью. Те, что ближе к краю трубки, движутся медленно, а те, что ближе к центру, движутся быстро.

Предположим, что жидкость демонстрирует ламинарный поток . Ламинарный поток в круглой трубе предполагает, что существует группа круглых слоев (ламин) жидкости, каждый из которых имеет скорость, определяемую только их радиальным расстоянием от центра трубы. Также предположим, что центр движется быстрее всего, в то время как жидкость, касающаяся стенок трубы, неподвижна (из-за условия отсутствия проскальзывания ).

Чтобы определить движение жидкости, необходимо знать все силы, действующие на каждую пластинку:

1. Сила давления , толкающая жидкость через трубку, представляет собой изменение давления, умноженное на площадь: F = − A Δ p . Эта сила направлена ​​в направлении движения жидкости. Отрицательный знак исходит из обычного способа определения Δ p = p _end − p _top < 0 .
2. Эффект вязкости будет тянуться от более быстрой пластины, расположенной непосредственно ближе к центру трубки.
3. Эффект вязкости будет перемещать более медленную пластинку непосредственно к стенкам трубки.

Вязкость

Две жидкости движутся мимо друг друга в направлении x . Жидкость сверху движется быстрее и будет тянуться в отрицательном направлении нижней жидкостью, в то время как нижняя жидкость будет тянуться в положительном направлении верхней жидкостью.

Когда два слоя жидкости, соприкасающиеся друг с другом, движутся с разной скоростью, между ними будет существовать сдвигающая сила. Эта сила пропорциональна площади контакта A , градиенту скорости, перпендикулярному направлению потока ⁠Δvx​_​/Δ у⁠ , а константа пропорциональности (вязкость) определяется выражением

${\displaystyle F_{\text{viscosity, top}}=-\mu A{\frac {\Delta v_{x}}{\Delta y}}.}$

Знак минус здесь, потому что мы имеем дело с более быстро движущейся жидкостью (вверху на рисунке), которая замедляется более медленной жидкостью (внизу на рисунке). Согласно третьему закону движения Ньютона , сила, действующая на более медленную жидкость, равна и противоположна (нет знака минус) силе, действующей на более быструю жидкость. Это уравнение предполагает, что площадь контакта настолько велика, что мы можем игнорировать любые эффекты от краев, и что жидкости ведут себя как ньютоновские жидкости .

Более быстрая пластинка

Предположим, что мы вычисляем силу, действующую на пластину с радиусом r . Из уравнения выше нам нужно знать площадь контакта и градиент скорости . Представьте себе пластину как кольцо радиусом r , толщиной dr и длиной Δ x . Площадь контакта между пластиной и более быстрой пластиной — это просто площадь поверхности цилиндра: A = 2π r Δ x . Мы пока не знаем точной формы для скорости жидкости внутри трубки, но мы знаем (из нашего предположения выше), что она зависит от радиуса. Следовательно, градиент скорости — это изменение скорости относительно изменения радиуса на пересечении этих двух пластин. Это пересечение находится на радиусе r . Таким образом, учитывая, что эта сила будет положительной по отношению к движению жидкости (но производная скорости отрицательна), окончательная форма уравнения становится

${\displaystyle F_{\text{viscosity, fast}}=-2\pi r\mu \,\Delta x\,\left.{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} r}}\right|_{r}}$

где вертикальная черта и нижний индекс r после производной указывают, что ее следует брать на радиусе r .

Более медленная пластинка

Далее давайте найдем силу сопротивления со стороны более медленной пластины. Нам нужно вычислить те же значения, что мы сделали для силы со стороны более быстрой пластины. В этом случае площадь контакта равна r + d r вместо r . Также нам нужно помнить, что эта сила противоположна направлению движения жидкости и, следовательно, будет отрицательной (и что производная скорости отрицательна).

${\displaystyle F_{\text{viscosity, slow}}=2\pi (r+\mathrm {d} r)\mu \,\Delta x\left.{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} r}}\right|_{r+\mathrm {d} r}}$

Собираем все вместе

Чтобы найти решение для потока ламинарного слоя через трубу, нам нужно сделать одно последнее предположение. В трубе нет ускорения жидкости, и по первому закону Ньютона нет чистой силы. Если нет чистой силы, то мы можем сложить все силы вместе, чтобы получить ноль

${\displaystyle 0=F_{\text{pressure}}+F_{\text{viscosity, fast}}+F_{\text{viscosity, slow}}}$

или

${\displaystyle 0=-\Delta p2\pi r\,\mathrm {d} r-2\pi r\mu \,\Delta x\left.{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} r}}\right|_{r}+2\pi (r+\mathrm {d} r)\mu \,\Delta x\,\left.{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} r}}\right\vert _{r+\mathrm {d} r}.}$

Во-первых, чтобы все происходило в одной точке, используем первые два члена разложения градиента скорости в ряд Тейлора:

${\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} r}}\right|_{r+\mathrm {d} r}=\left.{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} r}}\right|_{r}+\left.{\frac {\mathrm {d} ^{2}v}{\mathrm {d} r^{2}}}\right|_{r}\,\mathrm {d} r.}$

Выражение справедливо для всех пластин. Группируем подобные члены и опускаем вертикальную черту, поскольку предполагается, что все производные находятся на радиусе r ,

${\displaystyle 0=-\Delta p2\pi r\,\mathrm {d} r+2\pi \mu \,\mathrm {d} r\,\Delta x{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} r}}+2\pi r\mu \,\mathrm {d} r\,\Delta x{\frac {\mathrm {d} ^{2}v}{\mathrm {d} r^{2}}}+2\pi \mu (\mathrm {d} r)^{2}\,\Delta x{\frac {\mathrm {d} ^{2}v}{\mathrm {d} r^{2}}}.}$

Наконец, представим это выражение в виде дифференциального уравнения , опустив квадратичный член в dr .

${\displaystyle {\frac {1}{\mu }}{\frac {\Delta p}{\Delta x}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}v}{\mathrm {d} r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} r}}}$

Приведенное выше уравнение совпадает с уравнением, полученным из уравнений Навье–Стокса, и вывод отсюда следует таким же, как и раньше.

Запуск течения Пуазейля в трубе

При постоянном градиенте давления G = − ⁠д п/д х⁠ применяется между двумя концами длинной трубы, поток не сразу приобретает профиль Пуазейля, а развивается со временем и достигает профиля Пуазейля в установившемся состоянии. Уравнения Навье–Стокса сводятся к

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {G}{\rho }}+\nu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)}$

с начальными и граничными условиями,

${\displaystyle u(r,0)=0,\quad u(R,t)=0.}$

Распределение скорости определяется выражением

${\displaystyle u(r,t)={\frac {G}{4\mu }}\left(R^{2}-r^{2}\right)-{\frac {2GR^{2}}{\mu }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\lambda _{n}^{3}}}{\frac {J_{0}(\lambda _{n}r/R)}{J_{1}(\lambda _{n})}}e^{-\lambda _{n}^{2}\nu t/R^{2}},\quad J_{0}\left(\lambda _{n}\right)=0}$

где J ₀ ( ⁠λ _н р/Р⁠ ) ​​— функция Бесселя первого рода нулевого порядка, а λ _n — положительные корни этой функции, а J ₁ ( λ _n ) — функция Бесселя первого рода порядка один. При t → ∞ восстанавливается решение Пуазейля. ^[11]

Течение Пуазейля в кольцевом сечении

Течение Пуазейля в кольцевом сечении

Если R ₁ — радиус внутреннего цилиндра, а R ₂ — радиус внешнего цилиндра, при постоянном градиенте приложенного давления между двумя концами G = − ⁠д п/д х⁠ , распределение скорости и объемный поток через кольцевую трубу

${\displaystyle {\begin{aligned}u(r)&={\frac {G}{4\mu }}\left(R_{1}^{2}-r^{2}\right)+{\frac {G}{4\mu }}\left(R_{2}^{2}-R_{1}^{2}\right){\frac {\ln r/R_{1}}{\ln R_{2}/R_{1}}},\\[6pt]Q&={\frac {G\pi }{8\mu }}\left[R_{2}^{4}-R_{1}^{4}-{\frac {\left(R_{2}^{2}-R_{1}^{2}\right)^{2}}{\ln R_{2}/R_{1}}}\right].\end{aligned}}}$

Когда R ₂ = R , R ₁ = 0 , исходная проблема восстанавливается. ^[12]

Течение Пуазейля в трубе с осциллирующим градиентом давления

Поток через трубы с колеблющимся градиентом давления находит применение в кровотоке через крупные артерии. ^{[13] [14] [15] [16]} Наложенный градиент давления определяется как

${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial x}}=-G-\alpha \cos \omega t-\beta \sin \omega t}$

где G , α и β — константы, а ω — частота. Поле скорости задается как

${\displaystyle u(r,t)={\frac {G}{4\mu }}\left(R^{2}-r^{2}\right)+[\alpha F_{2}+\beta (F_{1}-1)]{\frac {\cos \omega t}{\rho \omega }}+[\beta F_{2}-\alpha (F_{1}-1)]{\frac {\sin \omega t}{\rho \omega }}}$

где

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{1}(kr)&={\frac {\mathrm {ber} (kr)\mathrm {ber} (kR)+\mathrm {bei} (kr)\mathrm {bei} (kR)}{\mathrm {ber} ^{2}(kR)+\mathrm {bei} ^{2}(kR)}},\\[6pt]F_{2}(kr)&={\frac {\mathrm {ber} (kr)\mathrm {bei} (kR)-\mathrm {bei} (kr)\mathrm {ber} (kR)}{\mathrm {ber} ^{2}(kR)+\mathrm {bei} ^{2}(kR)}},\end{aligned}}}$

где ber и bei — функции Кельвина , а k ² = ⁠ρω/μ⁠ .

Плоский поток Пуазейля

Плоский поток Пуазейля

Плоское течение Пуазейля — это течение, создаваемое между двумя бесконечно длинными параллельными пластинами, разделенными расстоянием h с постоянным градиентом давления G = − ⁠д п/д х⁠ применяется в направлении потока. Поток по существу однонаправленный из-за бесконечной длины. Уравнения Навье–Стокса сводятся к

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} y^{2}}}=-{\frac {G}{\mu }}}$

с противоскользящим покрытием на обеих стенах

${\displaystyle u(0)=0,\quad u(h)=0}$

Следовательно, распределение скорости и объемный расход на единицу длины равны

${\displaystyle u(y)={\frac {G}{2\mu }}y(h-y),\quad Q={\frac {Gh^{3}}{12\mu }}.}$

Течение Пуазейля через некоторые некруглые поперечные сечения

Джозеф Буссинеск вывел профиль скорости и объемный расход в 1868 году для прямоугольного канала и труб с равносторонним треугольным поперечным сечением и для эллиптического поперечного сечения. ^[17] Джозеф Праудман вывел то же самое для равнобедренных треугольников в 1914 году. ^[18] Пусть G = − ⁠д п/д х⁠ — постоянный градиент давления, действующий в направлении, параллельном движению.

Скорость и объемный расход в прямоугольном канале высотой 0 ≤ y ≤ h и шириной 0 ≤ z ≤ l равны

${\displaystyle {\begin{aligned}u(y,z)&={\frac {G}{2\mu }}y(h-y)-{\frac {4Gh^{2}}{\mu \pi ^{3}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2n-1)^{3}}}{\frac {\sinh(\beta _{n}z)+\sinh[\beta _{n}(l-z)]}{\sinh(\beta _{n}l)}}\sin(\beta _{n}y),\quad \beta _{n}={\frac {(2n-1)\pi }{h}},\\[6pt]Q&={\frac {Gh^{3}l}{12\mu }}-{\frac {16Gh^{4}}{\pi ^{5}\mu }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2n-1)^{5}}}{\frac {\cosh(\beta _{n}l)-1}{\sinh(\beta _{n}l)}}.\end{aligned}}}$

Скорость и объемный расход в трубке с равносторонним треугольным поперечным сечением и длиной стороны ⁠2 ч./√ 3⁠ есть

${\displaystyle {\begin{aligned}u(y,z)&=-{\frac {G}{4\mu h}}(y-h)\left(y^{2}-3z^{2}\right),\\[6pt]Q&={\frac {Gh^{4}}{60{\sqrt {3}}\mu }}.\end{aligned}}}$

Скорость и объемный расход в прямоугольном равнобедренном треугольнике y = π , y ± z = 0 равны

${\displaystyle {\begin{aligned}u(y,z)&={\frac {G}{2\mu }}(y+z)(\pi -y)-{\frac {G}{\pi \mu }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\beta _{n}^{3}\sinh(2\pi \beta _{n})}}\left\{\sinh[\beta _{n}(2\pi -y+z)]\sin[\beta _{n}(y+z)]-\sinh[\beta _{n}(y+z)]\sin[\beta _{n}(y-z)]\right\},\quad \beta _{n}=n+{\tfrac {1}{2}},\\[6pt]Q&={\frac {G\pi ^{4}}{12\mu }}-{\frac {G}{2\pi \mu }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\beta _{n}^{5}}}\left[\coth(2\pi \beta _{n})+\csc(2\pi \beta _{n})\right].\end{aligned}}}$

Распределение скоростей для труб эллиптического сечения с полуосями a и b имеет вид ^[11]

${\displaystyle {\begin{aligned}u(y,z)&={\frac {G}{2\mu \left({\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}\right)}}\left(1-{\frac {y^{2}}{a^{2}}}-{\frac {z^{2}}{b^{2}}}\right),\\[6pt]Q&={\frac {\pi Ga^{3}b^{3}}{4\mu \left(a^{2}+b^{2}\right)}}.\end{aligned}}}$

Здесь, когда a = b , восстанавливается течение Пуазейля для круглой трубы, а когда a → ∞ , восстанавливается плоское течение Пуазейля. Также доступны более явные решения с поперечными сечениями, такими как сечения в форме улитки, сечения, имеющие форму круга с выемкой, следующего за полукругом, кольцевые сечения между гомофокальными эллипсами, кольцевые сечения между неконцентрическими окружностями, как рассмотрено Ратипом Беркером  [tr; de] . ^{[19] [20]}

Течение Пуазейля через произвольное поперечное сечение

Поток через произвольное поперечное сечение u ( y , z ) удовлетворяет условию, что u = 0 на стенках. Управляющее уравнение сводится к ^[21]

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}=-{\frac {G}{\mu }}.}$

Если мы введем новую зависимую переменную как

${\displaystyle U=u+{\frac {G}{4\mu }}\left(y^{2}+z^{2}\right),}$

то легко видеть, что задача сводится к интегрированию уравнения Лапласа

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}U}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}=0}$

удовлетворяющий условию

${\displaystyle U={\frac {G}{4\mu }}\left(y^{2}+z^{2}\right)}$

на стене.

Уравнение Пуазейля для идеального изотермического газа

Для сжимаемой жидкости в трубке объемный расход Q ( x ) и осевая скорость не постоянны вдоль трубки; но массовый расход постоянен по длине трубки. Объемный расход обычно выражается давлением на выходе. Когда жидкость сжимается или расширяется, выполняется работа, и жидкость нагревается или охлаждается. Это означает, что расход зависит от теплопередачи к жидкости и от нее. Для идеального газа в изотермическом случае, когда температура жидкости может уравновеситься с ее окружением, можно вывести приблизительное соотношение для падения давления. ^[22] Используя уравнение состояния идеального газа для процесса с постоянной температурой (т. е. является постоянной) и сохранение массового расхода (т. е. является постоянной), можно получить соотношение Qp = Q ₁ p ₁ = Q ₂ p _2. На коротком участке трубы можно предположить, что газ, текущий по трубе, несжимаем, поэтому закон Пуазейля можно использовать локально, ${\displaystyle p/\rho }$ ${\displaystyle {\dot {m}}=\rho Q}$

${\displaystyle -{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} x}}={\frac {8\mu Q}{\pi R^{4}}}={\frac {8\mu Q_{2}p_{2}}{\pi pR^{4}}}\quad \Rightarrow \quad -p{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} x}}={\frac {8\mu Q_{2}p_{2}}{\pi R^{4}}}.}$

Здесь мы предположили, что локальный градиент давления не слишком велик, чтобы иметь какие-либо эффекты сжимаемости. Хотя локально мы игнорировали эффекты изменения давления из-за изменения плотности, на больших расстояниях эти эффекты учитываются. Поскольку μ не зависит от давления, приведенное выше уравнение можно проинтегрировать по длине L, чтобы получить

${\displaystyle p_{1}^{2}-p_{2}^{2}={\frac {16\mu LQ_{2}p_{2}}{\pi R^{4}}}.}$

Следовательно, объемный расход на выходе из трубы определяется выражением

${\displaystyle Q_{2}={\frac {\pi R^{4}}{16\mu L}}\left({\frac {p_{1}^{2}-p_{2}^{2}}{p_{2}}}\right)={\frac {\pi R^{4}\left(p_{1}-p_{2}\right)}{8\mu L}}{\frac {\left(p_{1}+p_{2}\right)}{2p_{2}}}.}$

Это уравнение можно рассматривать как закон Пуазейля с дополнительным поправочным коэффициентом ⁠п ₁ + п ₂/2 п ₂⁠ выражает среднее давление относительно выходного давления.

Аналогия электрических цепей

Первоначально электричество понималось как вид жидкости. Эта гидравлическая аналогия все еще концептуально полезна для понимания цепей. Эта аналогия также используется для изучения частотной характеристики жидкостно-механических сетей с использованием инструментов цепей, в этом случае жидкостная сеть называется гидравлической цепью . Закон Пуазейля соответствует закону Ома для электрических цепей, V = IR . Поскольку результирующая сила, действующая на жидкость, равна Δ F = S Δ p , где S = π r ² , т.е. Δ F = π r ² Δ ​​P , то из закона Пуазейля следует, что

${\displaystyle \Delta F={\frac {8\mu LQ}{r^{2}}}}$.

Для электрических цепей пусть n будет концентрацией свободных заряженных частиц (в м ⁻³ ), а q * будет зарядом каждой частицы (в кулонах ). (Для электронов q * = e =1,6 × 10−19  Кл .) Тогда nQ — число частиц в объеме Q , а nQq * — ^их полный заряд. Это заряд, протекающий через поперечное сечение за единицу времени, т.е. ток I . Поэтому I = nQq * . Следовательно, Q = ⁠я/нк *⁠ , и

${\displaystyle \Delta F={\frac {8\mu LI}{nr^{2}q^{*}}}.}$

Но Δ F = Eq , где q — полный заряд в объеме трубки. Объем трубки равен π r ² L , поэтому число заряженных частиц в этом объеме равно n π r ² L , а их полный заряд равен q = n π r ² Lq * . Поскольку напряжение V = EL , то отсюда следует

${\displaystyle V={\frac {8\mu LI}{n^{2}\pi r^{4}\left(q^{*}\right)^{2}}}.}$

Это в точности закон Ома, где сопротивление R = ⁠В/я⁠ описывается формулой

${\displaystyle R={\frac {8\mu L}{n^{2}\pi r^{4}\left(q^{*}\right)^{2}}}}$.

Из этого следует, что сопротивление R пропорционально длине L резистора, что верно. Однако из этого также следует, что сопротивление R обратно пропорционально четвертой степени радиуса r , т.е. сопротивление R обратно пропорционально второй степени площади поперечного сечения S = π r ² резистора, что отличается от электрической формулы. Электрическое соотношение для сопротивления имеет вид

${\displaystyle R={\frac {\rho L}{S}},}$

где ρ — удельное сопротивление; т. е. сопротивление R обратно пропорционально площади поперечного сечения S резистора. ^[23] Причина , по которой закон Пуазейля приводит к другой формуле для сопротивления R, заключается в разнице между потоком жидкости и электрическим током. Электронный газ невязкий , поэтому его скорость не зависит от расстояния до стенок проводника. Сопротивление обусловлено взаимодействием между текущими электронами и атомами проводника. Поэтому закон Пуазейля и гидравлическая аналогия полезны только в определенных пределах при применении к электричеству. И закон Ома, и закон Пуазейля иллюстрируют явления переноса .

Медицинское применение – внутривенный доступ и доставка жидкости

Уравнение Хагена-Пуазейля полезно для определения сосудистого сопротивления и, следовательно, скорости потока внутривенных (IV) жидкостей , которая может быть достигнута с использованием различных размеров периферических и центральных канюль . Уравнение гласит, что скорость потока пропорциональна радиусу в четвертой степени, что означает, что небольшое увеличение внутреннего диаметра канюли дает значительное увеличение скорости потока внутривенных жидкостей. Радиус IV канюль обычно измеряется в «калибрах», которые обратно пропорциональны радиусу. Периферические IV канюли обычно доступны как (от большего к меньшему) 14G, 16G, 18G, 20G, 22G, 26G. Например, если предположить, что длины канюль равны, поток канюли 14G в 1,73 раза больше, чем у канюли 16G, и в 4,16 раза больше, чем у канюли 20G. В нем также говорится, что поток обратно пропорционален длине, что означает, что более длинные линии имеют более низкую скорость потока. Это важно помнить, поскольку в экстренных случаях многие врачи предпочитают более короткие и большие катетеры по сравнению с более длинными и узкими катетерами. Хотя это имеет меньшее клиническое значение, повышенное изменение давления ( ∆ p ) — например, путем нагнетания давления в мешок с жидкостью, сдавливания мешка или подвешивания мешка выше (относительно уровня канюли) — может быть использовано для ускорения скорости потока. Также полезно понимать, что вязкие жидкости будут течь медленнее (например, при переливании крови ).

Смотрите также

• Поток Куэтта
• Закон Дарси
• Пульс
• Волна
• Гидравлическая схема

Ссылки на цитируемую литературу

1. Sutera, Salvatore P.; Skalak, Richard (1993). «История закона Пуазейля». Annual Review of Fluid Mechanics . 25 : 1–19. Bibcode :1993AnRFM..25....1S. doi :10.1146/annurev.fl.25.010193.000245.
2. Szabó, István (1979). Geschichte der mechanischen Prinzipien und ihrer wichtigsten Anwendungen. Basel: Birkhäuser Verlag.
3. Stokes, G. G. (1845). "On the theories of the internal friction of fluids in motion, and of the equilibrium and motion of elastic solids". Transactions of the Cambridge Philosophical Society. 8: 287–341.
4. "Pressure". hyperphysics.phy-astr.gsu.edu. Retrieved 2019-12-15.
5. Kirby, B. J. (2010). Micro- and Nanoscale Fluid Mechanics: Transport in Microfluidic Devices. New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-11903-0. OCLC 665837940.
6. Bruus, H. (2007). Theoretical Microfluidics.
7. Pfitzner, J. (1976). "Poiseuille and his law" (PDF). Anaesthesia. 31 (2): 273–275. doi:10.1111/j.1365-2044.1976.tb11804.x. PMID 779509. S2CID 40607063. Archived from the original (PDF) on 2017-08-10.
8. Vogel, Steven (1981). Life in Moving Fluids: The Physical Biology of Flow. PWS Kent Publishers. ISBN 0-87150-749-8.
9. tec-science (2020-04-02). "Energetic analysis of the Hagen–Poiseuille law". tec-science. Retrieved 2020-05-07.
10. Determinants of blood vessel resistance.
11. Batchelor, George Keith (2000). "An Introduction to Fluid Dynamics". Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-66396-0.
12. Rosenhead, Louis, ed. (1963). Laminar Boundary Layers. Clarendon Press.
13. Sexl, T. (1930). "Über den von EG Richardson entdeckten 'Annulareffekt'". Zeitschrift für Physik. 61 (5–6): 349–362. Bibcode:1930ZPhy...61..349S. doi:10.1007/BF01340631. S2CID 119771908.
14. Lambossy, P. (1952). "Oscillations forcees d'un liquide incompressibile et visqueux dans un tube rigide et horizontal. Calcul de la force frottement". Helv. Phys. Acta. 25: 371–386.
15. Womersley, J. R. (1955). "Method for the calculation of velocity, rate of flow and viscous drag in arteries when the pressure gradient is known". Journal of Physiology. 127 (3): 553–563. doi:10.1113/jphysiol.1955.sp005276. PMC 1365740. PMID 14368548.
16. Uchida, S. (1956). "The pulsating viscous flow superposed on the steady laminar motion of incompressible fluid in a circular pipe". Zeitschrift für angewandte Mathematik und Physik. 7 (5): 403–422. Bibcode:1956ZaMP....7..403U. doi:10.1007/BF01606327. S2CID 123217023.
17. Boussinesq, Joseph (1868). "Mémoire sur l'influence des Frottements dans les Mouvements Réguliers des Fluids". J. Math. Pures Appl. 13 (2): 377–424.
18. Proudman, J. (1914). "Notes on the motion of viscous liquids in channels". The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. 28 (163): 30–36. doi:10.1080/14786440708635179.
19. Berker, R. (1963). "Intégration des équations du mouvement d'un fluide visqueux incompressible" [Integration of the equations of motion of a viscous incompressible fluid]. Handbuch der Physik. Vol. 3. pp. 1–384.
20. Drazin, Philip G.; Riley, Norman (2006). The Navier–Stokes equations: a classification of flows and exact solutions. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-68162-9.
21. Curle, Samuel Newby; Davies, H. J. (1971). Modern Fluid Dynamics. Vol. 1, Incompressible Flow. Van Nostrand Reinhold.
22. Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. (1987). Fluid Mechanics. Pergamon Press. p. 55, problem 6. ISBN 0-08-033933-6.
23. Fütterer, C.; et al. (2004). "Injection and flow control system for microchannels". Lab on a Chip. 4 (4): 351–356. doi:10.1039/B316729A. PMID 15269803.

References

• Sutera, S. P.; Skalak, R. (1993). "The history of Poiseuille's law". Annual Review of Fluid Mechanics. 25: 1–19. Bibcode:1993AnRFM..25....1S. doi:10.1146/annurev.fl.25.010193.000245..
• Пфицнер, Дж. (1976). «Пуазейль и его закон». Анестезия . Т. 31, № 2 (опубликовано в марте 1976 г.). С. 273–5. doi :10.1111/j.1365-2044.1976.tb11804.x. PMID  779509..
• Беннетт, КО; Майерс, ДЖ. Э. (1962). Передача импульса, тепла и массы . McGraw-Hill..

Внешние ссылки

• Закон Пуазейля для степенной неньютоновской жидкости
• Закон Пуазейля в слегка сужающейся трубке
• Калькулятор уравнения Хагена-Пуазейля