След (линейная алгебра)

Сумма элементов на главной диагонали

В линейной алгебре след квадратной матрицы A , обозначаемый tr( A ) , [ ^1] определяется как сумма элементов на главной диагонали (от верхнего левого угла к нижнему правому) матрицы A. След определяется только для квадратной матрицы ( n × n ).

Можно доказать, что след вещественной матрицы представляет собой сумму ее (комплексных) собственных значений (считающихся с кратностью). Также можно доказать, что tr( AB ) = tr( BA ) для любых двух матриц A и B подходящих размеров. Это означает, что подобные матрицы имеют один и тот же след. Как следствие, можно определить след линейного оператора , отображающего конечномерное векторное пространство в себя, поскольку все матрицы, описывающие такой оператор относительно базиса, подобны.

След связан с производной определителя ( см. формулу Якоби ).

Определение

След квадратной матрицы A размера n × n определяется как ^[1] ​​[ ^{2] [3] : 34}

$${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}=a_{11}+a_{22}+\dots +a_{nn}}$$

a _iii-iAAдействительными числамикомплексными числамиполя F.

Пример

Пусть A — матрица, причем

$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&3\\11&5&2\\6&12&-5\end{pmatrix}}}$$

Затем

$${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\sum _{i=1}^{3}a_{ii}=a_{11}+a_{22}+a_{33}=1+5+(-5)=1}$$

Характеристики

Основные свойства

След является линейным отображением . То есть ^{[1] [2]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tr} (\mathbf {A} +\mathbf {B} )&=\operatorname {tr} (\mathbf {A} )+\operatorname {tr} (\mathbf {B} )\\\operatorname {tr} (c\mathbf {A} )&=c\operatorname {tr} (\mathbf {A} )\end{aligned}}}$$

ABскаляров c^{[3] : 34}

Матрица и ее транспонирование имеют один и тот же след: ^{[1] [2] [3] : 34}

$${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\right).}$$

Это следует непосредственно из того, что транспонирование квадратной матрицы не затрагивает элементы вдоль главной диагонали.

След продукта

След квадратной матрицы, являющейся произведением двух вещественных матриц, можно переписать как сумму поэлементных произведений их элементов, т. е. как сумму всех элементов их произведения Адамара . Говоря прямо, если A и B — две действительные матрицы размера m × n , то:

$${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\mathbf {B} \right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\mathsf {T}}\right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {B} ^{\mathsf {T}}\mathbf {A} \right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {B} \mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\right)=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{ij}\;.}$$

Если рассматривать любую действительную матрицу размера m × n как вектор длины mn (операция, называемая векторизацией ), то описанная выше операция над A и B совпадает со стандартным скалярным произведением . Согласно приведенному выше выражению, tr( A ^⊤ A ) представляет собой сумму квадратов и, следовательно, неотрицательна и равна нулю тогда и только тогда, когда A равно нулю. ^{[4] : 7} Кроме того, как отмечено в приведенной выше формуле, tr( A ^⊤ B ) = tr( B ^⊤ A ) . Они демонстрируют положительную определенность и симметрию, необходимые для внутреннего продукта ; tr( A ^⊤ B ) принято называть скалярным произведением Фробениуса A и B . Это естественный скалярный продукт в векторном пространстве всех действительных матриц фиксированных размеров. Норма , полученная из этого внутреннего продукта, называется нормой Фробениуса и удовлетворяет субмультипликативному свойству, что можно доказать с помощью неравенства Коши – Шварца :

$${\displaystyle 0\leq \left[\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} )\right]^{2}\leq \operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{2}\right)\operatorname {tr} \left(\mathbf {B} ^{2}\right)\leq \left[\operatorname {tr} (\mathbf {A} )\right]^{2}\left[\operatorname {tr} (\mathbf {B} )\right]^{2}\ ,}$$

ABположительные полуопределенные матрицыматричном исчислениистатистике

Внутренний продукт Фробениуса можно расширить до эрмитова внутреннего продукта в комплексном векторном пространстве всех комплексных матриц фиксированного размера, заменив B его комплексно-сопряженным .

Симметрию внутреннего произведения Фробениуса можно более точно сформулировать следующим образом: матрицы в следе произведения можно переключать местами без изменения результата. Если A и B представляют собой вещественные или комплексные матрицы m × n и n × m соответственно, то ^{[1] [2] [3] : 34  [примечание 1]}

${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} )=\operatorname {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} )}$

Это примечательно как тем фактом, что AB обычно не равно BA , так и тем, что след любого из них обычно не равен tr( A )tr( B ) . ^{[примечание 2]} Инвариантность следа по подобию , означающая, что tr( A ) = tr( P ⁻¹ AP ) для любой квадратной матрицы A и любой обратимой матрицы P тех же размеров, является фундаментальным следствием. Это доказывается

$${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\mathbf {P} ^{-1}(\mathbf {A} \mathbf {P} )\right)=\operatorname {tr} \left((\mathbf {A} \mathbf {P} )\mathbf {P} ^{-1}\right)=\operatorname {tr} (\mathbf {A} ).}$$

линейных преобразований,

Кроме того, для реальных векторов-столбцов и след внешнего продукта эквивалентен внутреннему продукту: ${\displaystyle \mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\mathbf {b} \mathbf {a} ^{\textsf {T}}\right)=\mathbf {a} ^{\textsf {T}}\mathbf {b} }$

Циклическое свойство

В более общем смысле, трасса инвариантна относительно круговых сдвигов , то есть

${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} \mathbf {C} \mathbf {D} )=\operatorname {tr} (\mathbf {B} \mathbf {C} \mathbf {D} \mathbf {A} )=\operatorname {tr} (\mathbf {C} \mathbf {D} \mathbf {A} \mathbf {B} )=\operatorname {tr} (\mathbf {D} \mathbf {A} \mathbf {B} \mathbf {C} ).}$

Это известно как циклическое свойство .

Произвольные перестановки не допускаются: как правило,

$${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} \mathbf {C} )\neq \operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {C} \mathbf {B} ).}$$

Однако если рассматриваются произведения трех симметричных матриц, допускается любая перестановка, поскольку:

$${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} \mathbf {C} )=\operatorname {tr} \left(\left(\mathbf {A} \mathbf {B} \mathbf {C} \right)^{\mathsf {T}}\right)=\operatorname {tr} (\mathbf {C} \mathbf {B} \mathbf {A} )=\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {C} \mathbf {B} ),}$$

След продукта Кронекера

След кронекеровского произведения двух матриц есть произведение их следов:

$${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )=\operatorname {tr} (\mathbf {A} )\operatorname {tr} (\mathbf {B} ).}$$

Характеристика следа

Следующие три свойства:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tr} (\mathbf {A} +\mathbf {B} )&=\operatorname {tr} (\mathbf {A} )+\operatorname {tr} (\mathbf {B} ),\\\operatorname {tr} (c\mathbf {A} )&=c\operatorname {tr} (\mathbf {A} ),\\\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} )&=\operatorname {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} ),\end{aligned}}}$$

с точностью долинейный функционал^{[заметка 3]} ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(xy)=f(yx),}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} }$

Для матриц введение нормализации приводит к равенству следа. ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle f(\mathbf {I} )=n}$ ${\displaystyle f}$

След как сумма собственных значений

Для любой вещественной или комплексной матрицы A размера n × n существует

${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}}$

где λ ₁ , ..., λ _n — собственные значения оператора A , подсчитанные с кратностью. Это справедливо, даже если A — действительная матрица и некоторые (или все) собственные значения являются комплексными числами. Это можно рассматривать как следствие существования жордановой канонической формы вместе с обсуждавшейся выше подобием-инвариантностью следа.

След коммутатора

Когда оба A и B являются матрицами размера n × n , след (теоретического кольца) коммутатора A и B исчезает: tr([ A , B ]) = 0 , потому что tr( AB ) = tr( BA ) и tr является линейным. Это можно сформулировать так: «след представляет собой отображение алгебр Ли gl _n → k от операторов к скалярам», поскольку коммутатор скаляров тривиален (это абелева алгебра Ли ). В частности, используя инвариантность подобия, следует, что единичная матрица никогда не похожа на коммутатор какой-либо пары матриц.

И наоборот, любая квадратная матрица с нулевым следом представляет собой линейную комбинацию коммутаторов пар матриц. ^{[примечание 4]} Более того, любая квадратная матрица с нулевым следом унитарно эквивалентна квадратной матрице с диагональю, состоящей из всех нулей.

Следы особых видов матриц

• След единичной матрицы размера n × n — это размерность пространства, а именно n .

$${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\mathbf {I} _{n}\right)=n}$$

Это приводит к обобщению размерности с использованием трассировки .

• След эрмитовой матрицы веществен, потому что элементы на диагонали вещественны.
• След матрицы перестановок — это количество неподвижных точек соответствующей перестановки, поскольку диагональный член a _ii равен 1, если i -я точка фиксирована, и 0 в противном случае.
• След матрицы проекции — это размерность целевого пространства.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P} _{\mathbf {X} }&=\mathbf {X} \left(\mathbf {X} ^{\mathsf {T}}\mathbf {X} \right)^{-1}\mathbf {X} ^{\mathsf {T}}\\[3pt]\Longrightarrow \operatorname {tr} \left(\mathbf {P} _{\mathbf {X} }\right)&=\operatorname {rank} (\mathbf {X} ).\end{aligned}}}$$

Матрица P _X идемпотентна.

• В более общем смысле, след любой идемпотентной матрицы , т.е. матрицы с A ² = A , равен ее собственному рангу .
• След нильпотентной матрицы равен нулю.

Когда характеристика основного поля равна нулю, справедливо и обратное: если tr( Ak ⁾ = 0 для всех k , то A нильпотентно.

Когда характеристика n > 0 положительна, тождество в n измерениях является контрпримером, как , но тождество не является нильпотентным. ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\mathbf {I} _{n}^{k}\right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {I} _{n}\right)=n\equiv 0}$

Связь с характеристическим полиномом

След матрицы — это коэффициент в характеристическом многочлене , возможно, с измененным знаком, в соответствии с соглашением в определении характеристического многочлена. ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle t^{n-1}}$

Связь с собственными значениями

Если A — линейный оператор, представленный квадратной матрицей с действительными или комплексными элементами, и если λ ₁ , ..., λ _n — собственные значения оператора A (перечислены в соответствии с их алгебраическими кратностями ), то

${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\sum _{i}\lambda _{i}}$

Это следует из того, что A всегда подобна своей жордановой форме — верхней треугольной матрице , имеющей λ ₁ , ..., λ _n на главной диагонали. Напротив, определитель A является произведением его собственных значений ; то есть,

$${\displaystyle \det(\mathbf {A} )=\prod _{i}\lambda _{i}.}$$

Все изложенное в настоящем параграфе применимо и к любой квадратной матрице с коэффициентами в алгебраически замкнутом поле .

Производные отношения

Если ΔA — квадратная матрица с небольшими элементами, а I обозначает единичную матрицу , то мы имеем приблизительно

$${\displaystyle \det(\mathbf {I} +\mathbf {\Delta A} )\approx 1+\operatorname {tr} (\mathbf {\Delta A} ).}$$

Именно это означает, что след является производной детерминантной функции в единичной матрице. Формула Якоби

$${\displaystyle d\det(\mathbf {A} )=\operatorname {tr} {\big (}\operatorname {adj} (\mathbf {A} )\cdot d\mathbf {A} {\big )}}$$

является более общим и описывает дифференциал определителя произвольной квадратной матрицы в терминах следа и сопряженного числа матрицы.

Отсюда (или из связи следа с собственными значениями) можно вывести связь между функцией следа, матричной показательной функцией и определителем:

$${\displaystyle \det(\exp(\mathbf {A} ))=\exp(\operatorname {tr} (\mathbf {A} )).}$$

Соответствующая характеристика следа применима к линейным векторным полям . Учитывая матрицу A , определите векторное поле F на Rn как ^F ( x ) = Ax . Компоненты этого векторного поля являются линейными функциями (заданными строками A ). Его дивергенция div F является постоянной функцией, значение которой равно tr( A ) .

По теореме о дивергенции это можно интерпретировать в терминах потоков: если F ( x ) представляет скорость жидкости в месте x , а U — область в R ⁿ , чистый поток жидкости из U определяется выражением tr ( A ) · vol( U ) , где vol ( U ) — объём U .

След является линейным оператором, следовательно, он коммутирует с производной:

$${\displaystyle d\operatorname {tr} (\mathbf {X} )=\operatorname {tr} (d\mathbf {X} ).}$$

След линейного оператора

В общем случае, учитывая некоторое линейное отображение f  : V → V ( где V — конечномерное векторное пространство ), мы можем определить след этого отображения, рассматривая след матричного представления f , то есть выбирая базис для V и описываем f как матрицу относительно этого базиса и берем след этой квадратной матрицы. Результат не будет зависеть от выбранного базиса, поскольку разные базисы будут давать одинаковые матрицы , что обеспечивает возможность независимого от базиса определения следа линейного отображения.

Такое определение можно дать, используя канонический изоморфизм между пространством End( V ) линейных отображений на V и V ⊗ V * , где V * — пространство , двойственное к V. Пусть v находится в V , и пусть g находится в V * . Тогда след неразложимого элемента v ⊗ g определяется как g ( v ) ; след общего элемента определяется линейностью. След линейного отображения f  : V → V тогда можно определить как след в указанном выше смысле элемента из V ⊗ V * , соответствующего f при упомянутом выше каноническом изоморфизме. Используя явный базис для V и соответствующий двойственный базис для V * , можно показать, что это дает то же определение следа, что и данное выше.

Численные алгоритмы

Стохастический оценщик

След можно объективно оценить с помощью «трюка Хатчинсона»: ^[5]

Для любой матрицы и любого случайного значения мы имеем . (Доказательство: непосредственно расширить ожидание.) ${\displaystyle W\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ ${\displaystyle u\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle E[uu^{T}]=I}$ ${\displaystyle E[u^{T}Wu]=tr(W)}$

Обычно случайный вектор выбирается из (нормального распределения) или ( распределения Радемахера ). ${\displaystyle N(0,I)}$ ${\displaystyle \{\pm n^{-1/2}\}^{n}}$

Были разработаны более сложные стохастические оценки следа. ^[6]

Приложения

Если действительная матрица 2 x 2 имеет нулевой след, ее квадрат является диагональной матрицей .

След комплексной матрицы 2×2 используется для классификации преобразований Мёбиуса . Сначала матрица нормализуется, чтобы ее определитель стал равен единице. Тогда, если квадрат следа равен 4, соответствующее преобразование является параболическим . Если квадрат находится в интервале [0,4) , он эллиптический . Наконец, если квадрат больше 4, преобразование является локсодромным . См. классификацию преобразований Мёбиуса .

Трассировка используется для определения символов представлений групп . Два представления A , B  : G → GL ( V ) группы G эквивалентны (с точностью до замены базиса на V ), если tr( A ( g )) = tr( B ( g )) для всех g ∈ G.

След также играет центральную роль в распределении квадратичных форм .

Алгебра Ли

След представляет собой отображение алгебр Ли из алгебры Ли линейных операторов на n -мерном пространстве ( матрицы n × n с элементами в ) в алгебру Ли K скаляров; поскольку K абелев (скобка Ли исчезает), тот факт, что это отображение алгебр Ли, является в точности утверждением об исчезновении следа скобки: ${\displaystyle \operatorname {tr} :{\mathfrak {gl}}_{n}\to K}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}}$ ${\displaystyle K}$

$${\displaystyle \operatorname {tr} ([\mathbf {A} ,\mathbf {B} ])=0{\text{ for each }}\mathbf {A} ,\mathbf {B} \in {\mathfrak {gl}}_{n}.}$$

Часто говорят, что ядром этого отображения является матрица, след которой равен нулю .бесследный илибез следов , и эти матрицы образуютпростую алгебру Ли , которая являетсяалгеброй Лиспециальнойлинейной группыматриц с определителем 1. Специальная линейная группа состоит из матриц, которые не меняют объема, а специальнаялинейная алгебра Ли— это матрицы, не изменяющие объёмбесконечно малыхмножеств. ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}}$

Фактически, существует внутреннее разложение операторов/матриц в прямую сумму на бесследовые операторы/матрицы и скалярные операторы/матрицы. Карта проекции на скалярные операторы может быть выражена через след, а именно: ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}={\mathfrak {sl}}_{n}\oplus K}$

$${\displaystyle \mathbf {A} \mapsto {\frac {1}{n}}\operatorname {tr} (\mathbf {A} )\mathbf {I} .}$$

Формально, можно составить след ( карту единиц ) с картой единиц «включения скаляров », чтобы получить отображение карты на скаляры и умножить на n . Деление на n делает это проекцией, давая формулу, приведенную выше. ${\displaystyle K\to {\mathfrak {gl}}_{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}\to {\mathfrak {gl}}_{n}}$

В терминах коротких точных последовательностей имеем

$${\displaystyle 0\to {\mathfrak {sl}}_{n}\to {\mathfrak {gl}}_{n}{\overset {\operatorname {tr} }{\to }}K\to 0}$$

$${\displaystyle 1\to \operatorname {SL} _{n}\to \operatorname {GL} _{n}{\overset {\det }{\to }}K^{*}\to 1}$$

групп Лиn- ${\displaystyle K^{*}=K\setminus \{0\}}$ ${\displaystyle 1/n}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}={\mathfrak {sl}}_{n}\oplus K}$

$${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}\neq \operatorname {SL} _{n}\times K^{*}.}$$

Билинейные формы

Билинейная форма (где X , Y — квадратные матрицы)

$${\displaystyle B(\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )=\operatorname {tr} (\operatorname {ad} (\mathbf {X} )\operatorname {ad} (\mathbf {Y} ))\quad {\text{where }}\operatorname {ad} (\mathbf {X} )\mathbf {Y} =[\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]=\mathbf {X} \mathbf {Y} -\mathbf {Y} \mathbf {X} }$$

формой Киллинга

Трассировка определяет билинейную форму:

$${\displaystyle (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )\mapsto \operatorname {tr} (\mathbf {X} \mathbf {Y} ).}$$

Форма симметрична, невырождена ^{[примечание 5]} и ассоциативна в том смысле, что:

$${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {X} [\mathbf {Y} ,\mathbf {Z} ])=\operatorname {tr} ([\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]\mathbf {Z} ).}$$

Для сложной простой алгебры Ли (такой как _n ) каждая такая билинейная форма пропорциональна друг другу; в частности , к ^{форме Киллинга .} ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}}$

Две матрицы X и Y называются ортогональными по следу , если

$${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {X} \mathbf {Y} )=0.}$$

Существует обобщение общего представления алгебры Ли , такого, что является гомоморфизмом алгебр Ли. Форма следа на определяется, как указано выше. Билинейная форма ${\displaystyle (\rho ,{\mathfrak {g}},V)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho :{\mathfrak {g}}\rightarrow {\text{End}}(V).}$ ${\displaystyle {\text{tr}}_{V}}$ ${\displaystyle {\text{End}}(V)}$

$${\displaystyle \phi (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )={\text{tr}}_{V}(\rho (\mathbf {X} )\rho (\mathbf {Y} ))}$$

Обобщения

Понятие следа матрицы обобщается на ядерный класс компактных операторов в гильбертовых пространствах , а аналог нормы Фробениуса называется нормой Гильберта–Шмидта .

Если K — оператор ядерного класса, то для любого ортонормированного базиса след определяется выражением ${\displaystyle (e_{n})_{n}}$

$${\displaystyle \operatorname {tr} (K)=\sum _{n}\left\langle e_{n},Ke_{n}\right\rangle ,}$$

^[7]

Частичный след — это еще одно обобщение операторного следа. След линейного оператора Z , живущего в пространстве-произведении A ⊗ B , равен частичным следам над A и B :

$${\displaystyle \operatorname {tr} (Z)=\operatorname {tr} _{A}\left(\operatorname {tr} _{B}(Z)\right)=\operatorname {tr} _{B}\left(\operatorname {tr} _{A}(Z)\right).}$$

Дополнительные свойства и обобщение частичного следа см. в разделе « Отслеживаемые моноидальные категории» .

Если A — общая ассоциативная алгебра над полем k , то след на A часто определяется как любое отображение tr: A ↦ k , которое обращается в нуль на коммутаторах; tr([ a , b ] ) = 0 для всех a , b ∈ A. Такой след не определен однозначно; его всегда можно изменить, по крайней мере, умножением на ненулевой скаляр.

Суперслед — это обобщение следа на случай супералгебр .

Операция сжатия тензора обобщает след на произвольные тензоры.

Следы на языке тензорных произведений

Для векторного пространства V существует естественное билинейное отображение V × V ^∗ → F , заданное путем отправки ( v , φ ) в скаляр φ( v ) . Из универсального свойства тензорного произведения V ⊗ V ^∗ автоматически следует, что это билинейное отображение индуцируется линейным функционалом на V ⊗ V ^∗ . ^[8]

Аналогично, существует естественное билинейное отображение V × V ^∗ → Hom( V , V ) , заданное отправкой ( v , φ) в линейное отображение w ↦ φ( w ) v . Универсальное свойство тензорного произведения, как оно использовалось ранее, говорит о том, что это билинейное отображение индуцируется линейным отображением V ⊗ V ^∗ → Hom( V , V ) . Если V конечномерно, то это линейное отображение является линейным изоморфизмом . ^[8] Этот фундаментальный факт является прямым следствием существования (конечного) базиса V , и его также можно сформулировать так, что любое линейное отображение V → V можно записать как сумму (конечного числа) ранга один. линейные карты. Составление обратного изоморфизма с полученным выше линейным функционалом приводит к линейному функционалу на Hom( V , V ) . Этот линейный функционал точно такой же, как и след.

Используя определение следа как суммы диагональных элементов, матричную формулу tr( AB ) = tr( BA ) доказать несложно, и она была приведена выше. В настоящей перспективе мы рассматриваем линейные карты S и T и рассматриваем их как суммы карт ранга один, так что существуют линейные функционалы φ _i и ψ _j и ненулевые векторы v _i и w _j такие, что S ( u ) знак равно Σ φ _я ( ты ) v _я и Т ( ты ) знак равно Σ ψ _j ( ты ) ш _j для любого ты в V . Затем

${\displaystyle (S\circ T)(u)=\sum _{i}\varphi _{i}\left(\sum _{j}\psi _{j}(u)w_{j}\right)v_{i}=\sum _{i}\sum _{j}\psi _{j}(u)\varphi _{i}(w_{j})v_{i}}$

для любого u в V . Линейное отображение ранга один u ↦ ψ _j ( u ) φ _i ( w _j ) v _i имеет след ψ _j ( v _i ) φ _i ( w _j ), и поэтому

${\displaystyle \operatorname {tr} (S\circ T)=\sum _{i}\sum _{j}\psi _{j}(v_{i})\varphi _{i}(w_{j})=\sum _{j}\sum _{i}\varphi _{i}(w_{j})\psi _{j}(v_{i}).}$

Следуя той же процедуре с обратными S и T , можно найти точно такую ​​же формулу, доказывая, что tr( S ∘ T ) равно tr( T ∘ S ) .

Приведенное выше доказательство можно рассматривать как основанное на тензорных произведениях, учитывая, что фундаментальное тождество End( V ) с V ⊗ V ^∗ эквивалентно выразимости любого линейного отображения как суммы линейных отображений первого ранга. Таким образом, доказательство можно записать в обозначениях тензорных произведений. Затем можно рассмотреть полилинейное отображение V × V ^∗ × V × V ^∗ → V ⊗ V ^∗ , заданное отправкой ( v , φ , w , ψ ) в φ ( w ) v ⊗ ψ . Дальнейшая композиция с картой трасс приводит к φ ( w ) ψ ( v ) , и это не изменится, если вместо этого начать с ( w , ψ , v , φ ) . Можно также рассмотреть билинейное отображение End( V ) × End( V ) → End( V ) , заданное отправкой ( f , g ) в композицию f ∘ g , которая затем индуцируется линейным отображением End( V ) ⊗ End ( V ) → Конец( V ) . Видно, что это совпадает с линейным отображением V ⊗ V ^∗ ⊗ V ⊗ V ^∗ → V ⊗ V ^∗ . Установленная симметрия при композиции с картой трасс затем устанавливает равенство двух трасс. ^[8]

Для любого конечномерного векторного пространства V существует естественное линейное отображение F → V ⊗ V ' ; на языке линейных карт он присваивает скаляру c линейное отображение c ⋅id _V . Иногда это называется картой кооценки , а след V ⊗ V ' → F называется картой оценки . ^[8] Эти структуры могут быть аксиоматизированы для определения категориальных следов в абстрактной теории категорий .

Смотрите также

• След тензора относительно метрического тензора
• Характеристическая функция
• Трассировка поля
• Неравенство Голдена – Томпсона
• Особый след
• Теорема Шпехта
• Класс трассировки
• Отследить личность
• Отслеживание неравенств
• неравенство следов фон Неймана

Примечания

1. Это следует из определения матричного произведения :
   $${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} )=\sum _{i=1}^{m}\left(\mathbf {A} \mathbf {B} \right)_{ii}=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{ji}=\sum _{j=1}^{n}\sum _{i=1}^{m}b_{ji}a_{ij}=\sum _{j=1}^{n}\left(\mathbf {B} \mathbf {A} \right)_{jj}=\operatorname {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} ).}$$
2. Например, если
   $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},\quad \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}},}$$
   тогда продукт
   $${\displaystyle \mathbf {AB} ={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}},}$$
   и следы: tr( AB ) = 1 ≠ 0 ⋅ 0 знак равно tr( A )tr( B ) .
3. Доказательство: пусть стандартный базис и обратите внимание, что тогда и только тогда, когда и ${\displaystyle e_{ij}}$ ${\displaystyle f\left(e_{ij}\right)=0}$ ${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle f\left(e_{jj}\right)=f\left(e_{11}\right)}$
   $${\displaystyle f(\mathbf {A} )=\sum _{i,j}[\mathbf {A} ]_{ij}f\left(e_{ij}\right)=\sum _{i}[\mathbf {A} ]_{ii}f\left(e_{11}\right)=f\left(e_{11}\right)\operatorname {tr} (\mathbf {A} ).}$$
   Более абстрактно это соответствует разложению
   $${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}={\mathfrak {sl}}_{n}\oplus k,}$$
   as (эквивалентно ) определяет след, на котором есть дополнение к скалярным матрицам, и оставляет одну степень свободы: любое такое отображение определяется его значением на скалярах, которое является одним скалярным параметром и, следовательно, все они кратны следу, ненулевому значению. такая карта. ${\displaystyle \operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA)}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} ([A,B])=0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n},}$
4. Доказательство: это полупростая алгебра Ли , и, следовательно, каждый элемент в ней представляет собой линейную комбинацию коммутаторов некоторых пар элементов, в противном случае производная алгебра была бы собственным идеалом. ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}}$
5. Это следует из того, что tr( A * A ) = 0 тогда и только тогда, когда A = 0 .

Рекомендации

1. «Ранг, след, определитель, транспонирование и обращение матриц». fourier.eng.hmc.edu . Проверено 9 сентября 2020 г.
2. Вайсштейн, Эрик В. (2003). «След (матрица)». В Вайсштейне, Эрик В. (ред.). CRC Краткая энциклопедия математики (второе издание оригинального издания 1999 г.). Бока-Ратон, Флорида: Chapman & Hall . дои : 10.1201/9781420035223. ISBN 1-58488-347-2. МР  1944431. Збл  1079.00009 . Проверено 9 сентября 2020 г.
3. Липшуц, Сеймур; Липсон, Марк (сентябрь 2005 г.). Очерк теории и проблем линейной алгебры Шаума . МакГроу-Хилл. ISBN 9780070605022.
4. Хорн, Роджер А.; Джонсон, Чарльз Р. (2013). Матричный анализ (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521839402.
5. Хатчинсон, МФ (январь 1989 г.). «Стохастическая оценка следа матрицы влияния для сглаживающих сплайнов Лапласа». Коммуникации в статистике – моделирование и вычисления . 18 (3): 1059–1076. дои : 10.1080/03610918908812806. ISSN  0361-0918.
6. Аврон, Хаим; Толедо, Сиван (11 апреля 2011 г.). «Рандомизированные алгоритмы оценки следа неявной симметричной положительной полуопределенной матрицы». Журнал АКМ . 58 (2): 8:1–8:34. дои : 10.1145/1944345.1944349. ISSN  0004-5411. S2CID  5827717.
7. Тешль, Г. (30 октября 2014 г.). Математические методы в квантовой механике . Аспирантура по математике. Том. 157 (2-е изд.). Американское математическое общество. ISBN 978-1470417048.
8. Кассель, Кристиан (1995). Квантовые группы . Тексты для аспирантов по математике . Том. 155. Нью-Йорк: Springer-Verlag . дои : 10.1007/978-1-4612-0783-2. ISBN 0-387-94370-6. МР  1321145. Збл  0808.17003.

• Гантмахер, Франция (1959). Теория матриц. Том. 1, 2 . Перевод К. А. Гирша . Нью-Йорк: Издательская компания Челси . МР  0107649.
• Хорн, Роджер А .; Джонсон, Чарльз Р. (2013). Матричный анализ (второе издание оригинальной редакции 1985 г.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-54823-6. МР  2978290.
• Стрэнг, Гилберт (2004). Линейная алгебра и ее приложения (четвертое издание, оригинальная редакция 1976 г.). Cengage Обучение . ISBN 978-0030105678.

Внешние ссылки

• «След квадратной матрицы», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]