Характер (математика)

В математике символ (чаще всего) представляет собой особый вид функции от группы к полю (например, комплексные числа ). Есть как минимум два различных, но пересекающихся значения. ^[1] Другие варианты использования слова «персонаж» почти всегда ограничены.

Мультипликативный характер

Мультипликативный характер (или линейный характер , или просто характер ) в группе G — это гомоморфизм группы из G в мультипликативную группу поля (Артин, 1966), обычно поля комплексных чисел . Если G — любая группа, то множество Ch( G ) этих морфизмов образует абелеву группу при поточечном умножении.

Эта группа называется группой символов G. Иногда рассматриваются только унитарные символы (при этом изображение находится в единичном круге ); другие такие гомоморфизмы тогда называются квазихарактерами . Персонажи Дирихле можно рассматривать как частный случай этого определения.

Мультипликативные характеры линейно независимы , т.е. если это разные характеры группы G , то из этого следует, что . ${\displaystyle \chi _{1},\chi _{2},\ldots ,\chi _{n}}$ ${\displaystyle a_{1}\chi _{1}+a_{2}\chi _{2}+\dots +a_{n}\chi _{n}=0}$ ${\displaystyle a_{1}=a_{2}=\cdots =a_{n}=0}$

Характер представления

Характер представления группы G в конечномерном векторном пространстве V над полем F — это след представления (Серр , 1977), т.е. ${\displaystyle \chi :G\to F}$ ${\displaystyle \phi \colon G\to \mathrm {GL} (V)}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \chi _{\phi }(g)=\operatorname {Tr} (\phi (g))}$для ${\displaystyle g\in G}$

В общем случае след не является групповым гомоморфизмом, и множество следов не образует группу. Символы одномерных представлений идентичны одномерным представлениям, поэтому приведенное выше понятие мультипликативного характера можно рассматривать как частный случай многомерных символов. Изучение представлений с использованием символов называется « теорией символов », а одномерные символы в этом контексте также называются «линейными персонажами».

Альтернативное определение

Если ограничиться конечной абелевой группой с представлением в (т. е .), следующее альтернативное определение будет эквивалентно приведенному выше (Для абелевых групп каждое матричное представление разлагается в прямую сумму представлений . Для неабелевых групп исходное определение будет таким: более общий, чем этот): ${\displaystyle 1\times 1}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (V)=\mathrm {GL} (1,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle 1\times 1}$

Характер группы – это групповой гомоморфизм, т.е. для всех ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle (G,\cdot )}$ ${\displaystyle \chi :G\rightarrow \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle \chi (x\cdot y)=\chi (x)\chi (y)}$ ${\displaystyle x,y\in G.}$

Если – конечная абелева группа, характеры играют роль гармоник. Для бесконечных абелевых групп приведенное выше будет заменено на где находится группа круга . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \chi :G\to \mathbb {T} }$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$

Смотрите также

• Группа персонажей
• Дирихле персонаж
• Хариш-Чандра персонаж
• Hecke персонаж
• Бесконечно малый символ
• Альтернативный персонаж
• Характеристика (математика)
• Двойственность Понтрягина

Рекомендации

1. «Персонаж в nLab». ncatlab.org . Проверено 31 октября 2017 г.

• Артин, Эмиль (1966), Теория Галуа , Математические лекции Нотр-Дама, номер 2, Артур Нортон Милгрэм (перепечатанные Dover Publications, 1997), ISBN 978-0-486-62342-9 Лекции, прочитанные в Университете Нотр-Дам
• Серр, Жан-Пьер (1977), Линейные представления конечных групп , Тексты для аспирантов по математике , том. 42, Перевод второго французского издания Леонарда Л. Скотта, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, doi : 10.1007/978-1-4684-9458-7, ISBN 0-387-90190-6, МР  0450380

Внешние ссылки

• «Характер группы», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]