Дель

Векторный дифференциальный оператор

Оператор Del,
представленный
символом набла

Del , или набла — оператор , используемый в математике (особенно в векторном исчислении ) как векторный дифференциальный оператор , обычно обозначаемый символом набла ∇ . Применительно к функции , определенной в одномерной области, он обозначает стандартную производную функции, определенной в исчислении . Применительно к полю (функции, определенной в многомерной области), оно может обозначать любую из трех операций в зависимости от способа его применения: градиент или (локально) крутой наклон скалярного поля (или иногда векторное поле , как в уравнениях Навье–Стокса ); дивергенция векторного поля ; или ротор (вращение) векторного поля.

Del — это очень удобное математическое обозначение для этих трех операций (градиент, дивергенция и ротор), которое упрощает написание и запоминание многих уравнений . Символ del (или набла) можно формально определить как трехмерный векторный оператор, три компонента которого являются соответствующими операторами частных производных . Как векторный оператор, он может действовать на скалярные и векторные поля тремя разными способами, вызывая три различные дифференциальные операции: во-первых, он может действовать на скалярные поля посредством «формального» скалярного умножения — чтобы получить векторное поле, называемое градиентом. ; во-вторых, он может действовать на векторные поля посредством «формального» скалярного произведения , создавая скалярное поле, называемое дивергенцией; и, наконец, он может действовать на векторные поля посредством «формального» векторного произведения , создавая векторное поле, называемое ротором. Эти «формальные» продукты не обязательно коммутируют с другими операторами или продуктами. Эти три применения, подробно описанные ниже, суммируются следующим образом:

• Градиент: ${\displaystyle \operatorname {grad} f=\nabla f}$
• Дивергенция: ${\displaystyle \operatorname {div} {\vec {v}}=\nabla \cdot {\vec {v}}}$
• Завиток: ${\displaystyle \operatorname {curl} {\vec {v}}=\nabla \times {\vec {v}}}$

Определение

В декартовой системе координат с координатами и стандартным базисом del является векторным оператором, компонентами которого являются операторы частных производных ; то есть, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$ ${\displaystyle \{{\vec {e}}_{1},\dots ,{\vec {e}}_{n}\}}$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ ${\displaystyle {\partial \over \partial x_{1}},\dots ,{\partial \over \partial x_{n}}}$

${\displaystyle \nabla =\sum _{i=1}^{n}{\vec {e}}_{i}{\partial \over \partial x_{i}}=\left({\partial \over \partial x_{1}},\ldots ,{\partial \over \partial x_{n}}\right)}$

Где выражение в круглых скобках представляет собой вектор-строку. В трехмерной декартовой системе координат с координатами и стандартным базисом или единичными векторами осей del записывается как ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle \{{\vec {e}}_{x},{\vec {e}}_{y},{\vec {e}}_{z}\}}$

${\displaystyle \nabla =\mathbf {e} _{x}{\partial \over \partial x}+\mathbf {e} _{y}{\partial \over \partial y}+\mathbf {e} _{z}{\partial \over \partial z}=\left({\partial \over \partial x},{\partial \over \partial y},{\partial \over \partial z}\right)}$

Как векторный оператор, del естественным образом действует на скалярные поля посредством скалярного умножения и естественным образом действует на векторные поля посредством скалярного произведения и векторного произведения.

Точнее, для любого скалярного поля и любого векторного поля , если определить ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbf {F} =(F_{x},F_{y},F_{z})}$

${\displaystyle \left(\mathbf {e} _{i}{\partial \over \partial x_{i}}\right)f:={\partial \over \partial x_{i}}(\mathbf {e} _{i}f)={\partial f \over \partial x_{i}}\mathbf {e} _{i}}$

${\displaystyle \left(\mathbf {e} _{i}{\partial \over \partial x_{i}}\right)\cdot \mathbf {F} :={\partial \over \partial x_{i}}(\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {F} )={\partial F_{i} \over \partial x_{i}}}$

${\displaystyle \left(\mathbf {e} _{x}{\partial \over \partial x}\right)\times \mathbf {F} :={\partial \over \partial x}(\mathbf {e} _{x}\times \mathbf {F} )={\partial \over \partial x}(0,-F_{z},F_{y})}$

${\displaystyle \left(\mathbf {e} _{y}{\partial \over \partial y}\right)\times \mathbf {F} :={\partial \over \partial y}(\mathbf {e} _{y}\times \mathbf {F} )={\partial \over \partial y}(F_{z},0,-F_{x})}$

${\displaystyle \left(\mathbf {e} _{z}{\partial \over \partial z}\right)\times \mathbf {F} :={\partial \over \partial z}(\mathbf {e} _{z}\times \mathbf {F} )={\partial \over \partial z}(-F_{y},F_{x},0),}$

тогда, используя приведенное выше определение , можно написать ${\displaystyle \nabla }$

${\displaystyle \nabla f=\left(\mathbf {e} _{x}{\partial \over \partial x}\right)f+\left(\mathbf {e} _{y}{\partial \over \partial y}\right)f+\left(\mathbf {e} _{z}{\partial \over \partial z}\right)f={\partial f \over \partial x}\mathbf {e} _{x}+{\partial f \over \partial y}\mathbf {e} _{y}+{\partial f \over \partial z}\mathbf {e} _{z}}$

и

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} =\left(\mathbf {e} _{x}{\partial \over \partial x}\cdot \mathbf {F} \right)+\left(\mathbf {e} _{y}{\partial \over \partial y}\cdot \mathbf {F} \right)+\left(\mathbf {e} _{z}{\partial \over \partial z}\cdot \mathbf {F} \right)={\partial F_{x} \over \partial x}+{\partial F_{y} \over \partial y}+{\partial F_{z} \over \partial z}}$

и

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {F} &=\left(\mathbf {e} _{x}{\partial \over \partial x}\times \mathbf {F} \right)+\left(\mathbf {e} _{y}{\partial \over \partial y}\times \mathbf {F} \right)+\left(\mathbf {e} _{z}{\partial \over \partial z}\times \mathbf {F} \right)\\&={\partial \over \partial x}(0,-F_{z},F_{y})+{\partial \over \partial y}(F_{z},0,-F_{x})+{\partial \over \partial z}(-F_{y},F_{x},0)\\&=\left({\partial F_{z} \over \partial y}-{\partial F_{y} \over \partial z}\right)\mathbf {e} _{x}+\left({\partial F_{x} \over \partial z}-{\partial F_{z} \over \partial x}\right)\mathbf {e} _{y}+\left({\partial F_{y} \over \partial x}-{\partial F_{x} \over \partial y}\right)\mathbf {e} _{z}\end{aligned}}}$

Пример:

${\displaystyle f(x,y,z)=x+y+z}$

${\displaystyle \nabla f=\mathbf {e} _{x}{\partial f \over \partial x}+\mathbf {e} _{y}{\partial f \over \partial y}+\mathbf {e} _{z}{\partial f \over \partial z}=\left(1,1,1\right)}$

Del также может быть выражена в других системах координат, см., например, del в цилиндрических и сферических координатах .

Использование обозначений

Del используется как сокращенная форма для упрощения многих длинных математических выражений. Чаще всего он используется для упрощения выражений для градиента , дивергенции , ротора , производной по направлению и лапласиана .

Градиент

Векторная производная скалярного поля называется градиентом и ее можно представить как: ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \operatorname {grad} f={\partial f \over \partial x}{\vec {e}}_{x}+{\partial f \over \partial y}{\vec {e}}_{y}+{\partial f \over \partial z}{\vec {e}}_{z}=\nabla f}$

Он всегда указывает в направлении наибольшего увеличения и имеет величину , равную максимальной скорости увеличения в этой точке — точно так же, как стандартная производная. В частности, если холм определен как функция высоты над плоскостью , градиент в данном месте будет вектором в плоскости xy (отображаемым как стрелка на карте), указывающим в самом крутом направлении. Величина градиента — это величина этого самого крутого склона. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle h(x,y)}$

В частности, это обозначение является мощным, потому что правило произведения градиента очень похоже на случай 1d-производной:

${\displaystyle \nabla (fg)=f\nabla g+g\nabla f}$

Однако правила скалярного произведения не оказываются простыми, о чем свидетельствует:

${\displaystyle \nabla ({\vec {u}}\cdot {\vec {v}})=({\vec {u}}\cdot \nabla ){\vec {v}}+({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {u}}+{\vec {u}}\times (\nabla \times {\vec {v}})+{\vec {v}}\times (\nabla \times {\vec {u}})}$

Дивергенция

Дивергенция векторного поля представляет собой скалярное поле , которое можно представить как: ${\displaystyle {\vec {v}}(x,y,z)=v_{x}{\vec {e}}_{x}+v_{y}{\vec {e}}_{y}+v_{z}{\vec {e}}_{z}}$

${\displaystyle \operatorname {div} {\vec {v}}={\partial v_{x} \over \partial x}+{\partial v_{y} \over \partial y}+{\partial v_{z} \over \partial z}=\nabla \cdot {\vec {v}}}$

Дивергенция — это примерно мера увеличения векторного поля в том направлении, в котором оно указывает; но точнее, это мера тенденции этого поля сходиться к определенной точке или расходиться от нее.

Силу нотации del демонстрирует следующее правило произведения:

${\displaystyle \nabla \cdot (f{\vec {v}})=(\nabla f)\cdot {\vec {v}}+f(\nabla \cdot {\vec {v}})}$

Формула векторного произведения немного менее интуитивна, поскольку это произведение не является коммутативным:

${\displaystyle \nabla \cdot ({\vec {u}}\times {\vec {v}})=(\nabla \times {\vec {u}})\cdot {\vec {v}}-{\vec {u}}\cdot (\nabla \times {\vec {v}})}$

Завиток

Ротор векторного поля — это векторная функция, которую можно представить как: ${\displaystyle {\vec {v}}(x,y,z)=v_{x}{\vec {e}}_{x}+v_{y}{\vec {e}}_{y}+v_{z}{\vec {e}}_{z}}$

${\displaystyle \operatorname {curl} {\vec {v}}=\left({\partial v_{z} \over \partial y}-{\partial v_{y} \over \partial z}\right){\vec {e}}_{x}+\left({\partial v_{x} \over \partial z}-{\partial v_{z} \over \partial x}\right){\vec {e}}_{y}+\left({\partial v_{y} \over \partial x}-{\partial v_{x} \over \partial y}\right){\vec {e}}_{z}=\nabla \times {\vec {v}}}$

Изгиб в определенной точке пропорционален крутящему моменту на оси, которому подверглась бы крошечная вертушка, если бы она была центрирована в этой точке.

Операцию векторного произведения можно представить как псевдодетерминант :

${\displaystyle \nabla \times {\vec {v}}=\left|{\begin{matrix}{\vec {e}}_{x}&{\vec {e}}_{y}&{\vec {e}}_{z}\\[2pt]{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\[2pt]v_{x}&v_{y}&v_{z}\end{matrix}}\right|}$

Силу обозначений снова демонстрирует правило произведения:

${\displaystyle \nabla \times (f{\vec {v}})=(\nabla f)\times {\vec {v}}+f(\nabla \times {\vec {v}})}$

Правило для векторного произведения оказывается непростым:

${\displaystyle \nabla \times ({\vec {u}}\times {\vec {v}})={\vec {u}}\,(\nabla \cdot {\vec {v}})-{\vec {v}}\,(\nabla \cdot {\vec {u}})+({\vec {v}}\cdot \nabla )\,{\vec {u}}-({\vec {u}}\cdot \nabla )\,{\vec {v}}}$

Производная по направлению

Производная скалярного поля по направлению определяется как: ${\displaystyle f(x,y,z)}$ ${\displaystyle {\vec {a}}(x,y,z)=a_{x}{\vec {e}}_{x}+a_{y}{\vec {e}}_{y}+a_{z}{\vec {e}}_{z}}$

${\displaystyle {\vec {a}}\cdot \operatorname {grad} f=a_{x}{\partial f \over \partial x}+a_{y}{\partial f \over \partial y}+a_{z}{\partial f \over \partial z}={\vec {a}}\cdot (\nabla f)}$

Это дает скорость изменения поля в направлении , масштабированную по величине . В операторной записи элемент в круглых скобках можно рассматривать как единую связную единицу; Гидродинамика широко использует это соглашение, называя его конвективной производной — «движущейся» производной жидкости. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\vec {a}}}$ ${\displaystyle {\vec {a}}}$

Обратите внимание, что это оператор, который преобразует скаляр в скаляр. Его можно расширить для работы с вектором, работая отдельно с каждым из его компонентов. ${\displaystyle ({\vec {a}}\cdot \nabla )}$

лапласиан

Оператор Лапласа — это скалярный оператор, который можно применять как к векторным, так и к скалярным полям; для декартовых систем координат он определяется как:

${\displaystyle \Delta ={\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}=\nabla \cdot \nabla =\nabla ^{2}}$

а определение более общих систем координат дается в векторном лапласиане .

Лапласиан повсеместно встречается в современной математической физике , появляясь, например, в уравнении Лапласа , уравнении Пуассона , уравнении теплопроводности , волновом уравнении и уравнении Шрёдингера .

Матрица Гессе

Хотя обычно представляет собой лапласиан , иногда также представляет собой матрицу Гессе . Первое относится к внутреннему продукту , а второе — к диадному продукту : ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \nabla }$

${\displaystyle \nabla ^{2}=\nabla \cdot \nabla ^{T}}$.

Таким образом, относится ли это к матрице Лапласа или Гессе, зависит от контекста. ${\displaystyle \nabla ^{2}}$

Тензорная производная

Del также можно применить к векторному полю, в результате чего получится тензор . Тензорная производная векторного поля (в трех измерениях) представляет собой 9-членный тензор второго ранга, то есть матрицу 3×3, но ее можно обозначить просто как , где представляет собой двоичное произведение . Эта величина эквивалентна транспонированию матрицы Якоби векторного поля относительно пространства. Тогда дивергенцию векторного поля можно выразить как след этой матрицы. ${\displaystyle {\vec {v}}}$ ${\displaystyle \nabla \otimes {\vec {v}}}$ ${\displaystyle \otimes }$

При небольшом смещении изменение векторного поля определяется выражением: ${\displaystyle \delta {\vec {r}}}$

${\displaystyle \delta {\vec {v}}=(\nabla \otimes {\vec {v}})^{T}\cdot \delta {\vec {r}}}$

Правила продукта

Для векторного исчисления :

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla (fg)&=f\nabla g+g\nabla f\\\nabla ({\vec {u}}\cdot {\vec {v}})&={\vec {u}}\times (\nabla \times {\vec {v}})+{\vec {v}}\times (\nabla \times {\vec {u}})+({\vec {u}}\cdot \nabla ){\vec {v}}+({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {u}}\\\nabla \cdot (f{\vec {v}})&=f(\nabla \cdot {\vec {v}})+{\vec {v}}\cdot (\nabla f)\\\nabla \cdot ({\vec {u}}\times {\vec {v}})&={\vec {v}}\cdot (\nabla \times {\vec {u}})-{\vec {u}}\cdot (\nabla \times {\vec {v}})\\\nabla \times (f{\vec {v}})&=(\nabla f)\times {\vec {v}}+f(\nabla \times {\vec {v}})\\\nabla \times ({\vec {u}}\times {\vec {v}})&={\vec {u}}\,(\nabla \cdot {\vec {v}})-{\vec {v}}\,(\nabla \cdot {\vec {u}})+({\vec {v}}\cdot \nabla )\,{\vec {u}}-({\vec {u}}\cdot \nabla )\,{\vec {v}}\end{aligned}}}$

Для матричного исчисления (для которого можно записать ): ${\displaystyle {\vec {u}}\cdot {\vec {v}}}$ ${\displaystyle {\vec {u}}^{\text{T}}{\vec {v}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\mathbf {A} \nabla \right)^{\text{T}}{\vec {u}}&=\nabla ^{\text{T}}\left(\mathbf {A} ^{\text{T}}{\vec {u}}\right)-\left(\nabla ^{\text{T}}\mathbf {A} ^{\text{T}}\right){\vec {u}}\end{aligned}}}$

Другое интересное соотношение (см., например, уравнения Эйлера ) следующее, где – тензор внешнего произведения : ${\displaystyle {\vec {u}}\otimes {\vec {v}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot ({\vec {u}}\otimes {\vec {v}})=(\nabla \cdot {\vec {u}}){\vec {v}}+({\vec {u}}\cdot \nabla ){\vec {v}}\end{aligned}}}$

Вторые производные

Диаграмма DCG: простая диаграмма, изображающая все правила, относящиеся к вторым производным. D, C, G, L и CC обозначают дивергенцию, ротор, градиент, лапласиан и ротор ротора соответственно. Стрелки указывают на существование вторых производных. Синий кружок посередине представляет завиток завитка, тогда как два других красных кружка (пунктирные) означают, что DD и GG не существуют.

Когда del работает со скаляром или вектором, возвращается либо скаляр, либо вектор. Из-за разнообразия векторных произведений (скалярных, точечных, перекрестных) одно применение del уже приводит к трем основным производным: градиенту (скалярному произведению), дивергенции (скалярному произведению) и ротору (перекрестному произведению). Повторное применение этих трех видов производных друг к другу дает пять возможных вторых производных для скалярного поля f или векторного поля v ; использование скалярного лапласиана и векторного лапласиана дает еще два:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {div} (\operatorname {grad} f)&=\nabla \cdot (\nabla f)=\nabla ^{2}f\\\operatorname {curl} (\operatorname {grad} f)&=\nabla \times (\nabla f)\\\operatorname {grad} (\operatorname {div} {\vec {v}})&=\nabla (\nabla \cdot {\vec {v}})\\\operatorname {div} (\operatorname {curl} {\vec {v}})&=\nabla \cdot (\nabla \times {\vec {v}})\\\operatorname {curl} (\operatorname {curl} {\vec {v}})&=\nabla \times (\nabla \times {\vec {v}})\\\Delta f&=\nabla ^{2}f\\\Delta {\vec {v}}&=\nabla ^{2}{\vec {v}}\end{aligned}}}$

Они представляют интерес главным образом потому, что не всегда уникальны или независимы друг от друга. Пока функции ведут себя хорошо ( в большинстве случаев), две из них всегда равны нулю: ${\displaystyle C^{\infty }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {curl} (\operatorname {grad} f)&=\nabla \times (\nabla f)=0\\\operatorname {div} (\operatorname {curl} {\vec {v}})&=\nabla \cdot (\nabla \times {\vec {v}})=0\end{aligned}}}$

Два из них всегда равны:

${\displaystyle \operatorname {div} (\operatorname {grad} f)=\nabla \cdot (\nabla f)=\nabla ^{2}f=\Delta f}$

Три оставшиеся векторные производные связаны уравнением:

${\displaystyle \nabla \times \left(\nabla \times {\vec {v}}\right)=\nabla (\nabla \cdot {\vec {v}})-\nabla ^{2}{\vec {v}}}$

И один из них даже можно выразить с помощью тензорного произведения, если функции ведут себя хорошо:

${\displaystyle \nabla (\nabla \cdot {\vec {v}})=\nabla \cdot ({\vec {v}}\otimes \nabla )}$

Меры предосторожности

Большинство из вышеперечисленных свойств вектора (за исключением тех, которые явно зависят от дифференциальных свойств del — например, правила произведения) основаны только на перестановке символов и обязательно должны выполняться, если символ del заменяется любым другим вектором. Это часть ценности, которую можно получить, представив этот оператор в виде вектора.

Хотя часто можно заменить del вектором и получить векторную идентичность, сделав эти идентичности мнемоническими, обратное не обязательно надежно, поскольку del вообще не коммутирует.

Контрпример, демонстрирующий, что дивергенция ( ) и оператор переноса ( ) не коммутативны: ${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {v}}}$ ${\displaystyle {\vec {v}}\cdot \nabla }$

${\displaystyle {\begin{aligned}({\vec {u}}\cdot {\vec {v}})f&\equiv ({\vec {v}}\cdot {\vec {u}})f\\(\nabla \cdot {\vec {v}})f&=\left({\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\right)f={\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}f+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}f+{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}f\\({\vec {v}}\cdot \nabla )f&=\left(v_{x}{\frac {\partial }{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial }{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial }{\partial z}}\right)f=v_{x}{\frac {\partial f}{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial f}{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial f}{\partial z}}\\\Rightarrow (\nabla \cdot {\vec {v}})f&\neq ({\vec {v}}\cdot \nabla )f\\\end{aligned}}}$

Контрпример, основанный на дифференциальных свойствах del:

${\displaystyle {\begin{aligned}(\nabla x)\times (\nabla y)&=\left({\vec {e}}_{x}{\frac {\partial x}{\partial x}}+{\vec {e}}_{y}{\frac {\partial x}{\partial y}}+{\vec {e}}_{z}{\frac {\partial x}{\partial z}}\right)\times \left({\vec {e}}_{x}{\frac {\partial y}{\partial x}}+{\vec {e}}_{y}{\frac {\partial y}{\partial y}}+{\vec {e}}_{z}{\frac {\partial y}{\partial z}}\right)\\&=({\vec {e}}_{x}\cdot 1+{\vec {e}}_{y}\cdot 0+{\vec {e}}_{z}\cdot 0)\times ({\vec {e}}_{x}\cdot 0+{\vec {e}}_{y}\cdot 1+{\vec {e}}_{z}\cdot 0)\\&={\vec {e}}_{x}\times {\vec {e}}_{y}\\&={\vec {e}}_{z}\\({\vec {u}}x)\times ({\vec {u}}y)&=xy({\vec {u}}\times {\vec {u}})\\&=xy{\vec {0}}\\&={\vec {0}}\end{aligned}}}$

Центральное место в этих различиях занимает тот факт, что del — это не просто вектор; это векторный оператор . В то время как вектор — это объект, имеющий как величину, так и направление, del не имеет ни величины, ни направления, пока не воздействует на функцию.

По этой причине тождества, включающие del, должны быть получены с осторожностью, используя как векторные тождества, так и тождества дифференцирования , такие как правило произведения.

Смотрите также

• Del в цилиндрических и сферических координатах
• Обозначения для дифференцирования
• Тождества векторного исчисления
• Уравнения Максвелла
• Уравнения Навье – Стокса.
• Таблица математических символов
• Оператор Кабла

Рекомендации

• Уиллард Гиббс и Эдвин Бидвелл Уилсон (1901) Векторный анализ , издательство Йельского университета , 1960: Dover Publications .
• Шей, Х.М. (1997). Div, Grad, Curl и все такое: неформальный текст по векторному исчислению . Нью-Йорк: Нортон. ISBN 0-393-96997-5.
• Миллер, Джефф. «Самое раннее использование символов исчисления».
• Арнольд Ноймайер (26 января 1998 г.). Клив Молер (ред.). «История Наблы». Дайджест НС, том 98, выпуск 03. netlib.org.

Внешние ссылки

• Обзор неправильного использования ∇ в векторном анализе (1994) Тай, Чен