Производная материала

Скорость изменения некоторой физической величины материального элемента в поле скорости.

В механике сплошной среды производная материала [ ^{1] [2]} описывает скорость изменения во времени некоторой физической величины (например, тепла или импульса ) материального элемента , который подвергается зависящему от пространства и времени макроскопическому полю скорости . Материальная производная может служить связующим звеном между эйлеровым и лагранжевым описаниями деформации континуума . ^[3]

Например, в гидродинамике поле скорости — это скорость потока , а интересующей величиной может быть температура жидкости . В этом случае производная материала затем описывает изменение температуры определенного пакета жидкости во времени, когда он течет по своему пути (траектории).

Другие имена

Есть много других названий материального производного, в том числе:

• адвективная производная ^[4]
• конвективная производная ^[5]
• производная по движению ^[1]
• гидродинамическая производная ^[1]
• Производная Лагранжа ^[6]
• производная частицы ^[7]
• существенная производная ^[1]
• существенная производная ^[8]
• Производная Стокса ^[8]
• полная производная , ^{[1] [9]} хотя материальная производная на самом деле является частным случаем полной производной ^[9]

Определение

Материальная производная определяется для любого тензорного поля y , которое является макроскопическим , в том смысле, что оно зависит только от координат положения и времени, y = y ( x , t ) :

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} y}{\mathrm {D} t}}\equiv {\frac {\partial y}{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla y,}$$

∇ yковариантная производнаяu ( x , t )скорость потокаu ·∇ yпроизводную линии токаu ·(∇ y )производную линии тока по направлению( u ·∇) y^[10]D / Dtu ·∇^[2]адвекция

Скалярные и векторные поля

Например, для макроскопического скалярного поля φ ( x , t ) и макроскопического векторного поля A ( x , t ) определение становится следующим:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {D} \varphi }{\mathrm {D} t}}&\equiv {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \varphi ,\\[3pt]{\frac {\mathrm {D} \mathbf {A} }{\mathrm {D} t}}&\equiv {\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {A} .\end{aligned}}}$$

В скалярном случае ∇ φ — это просто градиент скаляра, а ∇ A — ковариантная производная макроскопического вектора (который также можно рассматривать как матрицу Якоби A как функцию от x ). В частности, для скалярного поля в трехмерной декартовой системе координат ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) компоненты скорости u равны u ₁ , u ₂ , u ₃ , а конвективный член тогда:

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \varphi =u_{1}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{1}}}+u_{2}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{2}}}+u_{3}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{3}}}.}$$

Разработка

Рассмотрим скалярную величину φ = φ ( x , t ) , где t — время, а x — положение. Здесь φ может быть некоторой физической переменной, такой как температура или химическая концентрация. Физическая величина, скалярная величина которой равна φ , существует в континууме и чья макроскопическая скорость представлена ​​векторным полем u ( x , t ) .

(Полная) производная по времени φ разлагается с использованием правила многомерной цепочки :

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\varphi (\mathbf {x} ,t)={\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla \varphi .}$$

Очевидно, эта производная зависит от вектора

$${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}\equiv {\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} }{\mathrm {d} t}},}$$

выбранныйx ( t )частной производнойпостоянной ${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {0} }$ ${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=0}$

Примером этого случая является пловец, стоящий на месте и рано утром ощущающий изменение температуры в озере: вода постепенно становится теплее из-за нагревания от солнца. В этом случае этого термина достаточно, чтобы описать скорость изменения температуры. ${\displaystyle {\partial \varphi }/{\partial t}}$

Если солнце не нагревает воду (т.е. ), но путь x ( t ) не стоит на месте, производная по времени φ может измениться из-за пути. Например, представьте, что пловец находится в неподвижном бассейне с водой, в помещении, не подверженном воздействию солнца. Один конец находится при постоянной высокой температуре, а другой конец - при постоянной низкой температуре. Плавая от одного конца к другому, пловец ощущает изменение температуры во времени, даже если температура в любой заданной (статической) точке является постоянной. Это связано с тем, что производная берется в месте смены места пловца, а второго члена справа достаточно, чтобы описать скорость изменения температуры. Датчик температуры, прикрепленный к пловцу, будет показывать изменение температуры со временем просто из-за изменения температуры от одного конца бассейна к другому. ${\displaystyle {\partial \varphi }/{\partial t}=0}$ ${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla \varphi }$

Производная материала, наконец, получается, когда путь x ( t ) выбирается так, чтобы скорость была равна скорости жидкости.

$${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {u} .}$$

То есть путь следует потоку жидкости, описываемому полем скорости жидкости u . Итак, материальная производная скаляра φ равна

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \varphi }{\mathrm {D} t}}={\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \varphi .}$$

Примером этого случая является легкая частица с нейтральной плавучестью, несущаяся по текущей реке и испытывающая при этом изменения температуры. Температура воды на местах может повышаться из-за того, что одна часть реки солнечная, а другая находится в тени, или вода в целом может нагреваться в течение дня. Изменения, вызванные движением частицы (которые сами по себе вызваны движением жидкости), называются адвекцией (или конвекцией, если переносится вектор).

Приведенное выше определение основывалось на физической природе потока жидкости; однако никакие законы физики не использовались (например, предполагалось, что легкая частица в реке будет следовать за скоростью воды), но оказывается, что многие физические концепции можно кратко описать с помощью материальной производной. Однако общий случай адвекции основан на сохранении массы потока жидкости; ситуация становится несколько иной, если адвекция происходит в неконсервативной среде.

Для скаляра выше рассматривался только путь. Для вектора градиент становится производной тензора ; для тензорных полей мы можем принять во внимание не только перемещение системы координат из-за движения жидкости, но также ее вращение и растяжение. Это достигается за счет верхней конвекционной производной по времени .

Ортогональные координаты

Можно показать, что в ортогональных координатах j -я компонента конвекционного члена материальной производной определяется выражением ^[11]

$${\displaystyle [\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {A} ]_{j}=\sum _{i}{\frac {u_{i}}{h_{i}}}{\frac {\partial A_{j}}{\partial q^{i}}}+{\frac {A_{i}}{h_{i}h_{j}}}\left(u_{j}{\frac {\partial h_{j}}{\partial q^{i}}}-u_{i}{\frac {\partial h_{i}}{\partial q^{j}}}\right),}$$

где h _i связаны с метрическими тензорами соотношением

$${\displaystyle h_{i}={\sqrt {g_{ii}}}.}$$

В частном случае трехмерной декартовой системы координат ( x , y , z ), а A является 1-тензором (вектором с тремя компонентами), это просто:

$${\displaystyle (\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}\displaystyle u_{x}{\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}+u_{z}{\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}\\\displaystyle u_{x}{\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial A_{y}}{\partial y}}+u_{z}{\frac {\partial A_{y}}{\partial z}}\\\displaystyle u_{x}{\frac {\partial A_{z}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial A_{z}}{\partial y}}+u_{z}{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}\end{pmatrix}}={\frac {\partial (A_{x},A_{y},A_{z})}{\partial (x,y,z)}}\mathbf {u} }$$

где – матрица Якобиана . ${\displaystyle {\frac {\partial (A_{x},A_{y},A_{z})}{\partial (x,y,z)}}}$

Смотрите также

• Уравнения Навье – Стокса.
• Уравнения Эйлера (гидродинамика)
• Производная (обобщения)
• Производная лжи
• Связь Леви-Чивита
• Пространственное ускорение
• Пространственный градиент

Рекомендации

1. Bird, РБ; Стюарт, МЫ; Лайтфут, EN (2007). Транспортные явления (пересмотренное второе изд.). Джон Уайли и сыновья. п. 83. ИСБН 978-0-470-11539-8.
2. Бэтчелор, ГК (1967). Введение в гидродинамику . Издательство Кембриджского университета. стр. 72–73. ISBN 0-521-66396-2.
3. Тренберт, К.Э. (1993). Моделирование климатической системы . Издательство Кембриджского университета. п. 99. ИСБН 0-521-43231-6.
4. Майда, А. (2003). Введение в PDE и волны для атмосферы и океана . Курант Конспект лекций по математике. Том. 9. Американское математическое общество. п. 1. ISBN 0-8218-2954-8.
5. Окендон, Х .; Окендон, младший (2004). Волны и сжимаемый поток . Спрингер. п. 6. ISBN 0-387-40399-Х.
6. Меллор, GL (1996). Введение в физическую океанографию . Спрингер. п. 19. ISBN 1-56396-210-1.
7. Стокер, Джей-Джей (1992). Волны на воде: математическая теория с приложениями . Уайли. п. 5. ISBN 0-471-57034-6.
8. Грейнджер, РА (1995). Механика жидкости . Публикации Courier Dover. п. 30. ISBN 0-486-68356-7.
9. Ландау, LD ; Лифшиц, Э.М. (1987). Механика жидкости . Курс теоретической физики. Том. 6 (2-е изд.). Баттерворт-Хайнеманн. стр. 3–4 и 227. ISBN . 0-7506-2767-0.
10. Эмануэль, Г. (2001). Аналитическая гидродинамика (второе изд.). ЦРК Пресс. стр. 6–7. ISBN 0-8493-9114-8.
11. Эрик В. Вайсштейн . «Конвективный оператор». Математический мир . Проверено 22 июля 2008 г.

дальнейшее чтение

• Коэн, Ира М.; Кунду, Пиджуш К (2008). Механика жидкости (4-е изд.). Академическая пресса . ISBN 978-0-12-373735-9.
• Лай, Майкл; Кремль, Эрхард; Рубен, Дэвид (2010). Введение в механику сплошных сред (4-е изд.). Эльзевир. ISBN 978-0-7506-8560-3.