Производная по направлению

Мгновенная скорость изменения функции

Производная по направлению — это концепция исчисления многих переменных , которая измеряет скорость, с которой функция изменяется в определенном направлении в данной точке. ^{[ нужна цитата ]}

Производная по направлению дифференцируемой (скалярной) функции многих переменных вдоль заданного вектора v в данной точке x интуитивно представляет мгновенную скорость изменения функции, движущейся через x со скоростью, заданной v .

Производная по направлению скалярной функции f относительно вектора v в точке (например, положении) x может быть обозначена любым из следующих способов:

$${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=f'_{\mathbf {v} }(\mathbf {x} )=D_{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )=Df(\mathbf {x} )(\mathbf {v} )=\partial _{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )=\mathbf {v} \cdot {\nabla f(\mathbf {x} )}=\mathbf {v} \cdot {\frac {\partial f(\mathbf {x} )}{\partial \mathbf {x} }}.}$$

Таким образом, он обобщает понятие частной производной , в которой скорость изменения берется вдоль одной из криволинейных координатных кривых , при этом все остальные координаты постоянны. Производная по направлению является частным случаем производной Гато .

Определение

Контурный график , показывающий вектор градиента черным цветом и единичный вектор, масштабированный производной по направлению в направлении оранжевым цветом. Вектор градиента длиннее, потому что градиент указывает в направлении наибольшей скорости возрастания функции. ${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$

Производная по направлению скалярной функции

$${\displaystyle f(\mathbf {x} )=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$$

$${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},\ldots ,v_{n})}$$

функция[ ^1] ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}}$

$${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\lim _{h\to 0}{\frac {f(\mathbf {x} +h\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{h}}.}$$

Это определение действительно в широком диапазоне контекстов, например, когда норма вектора (и, следовательно, единичный вектор) не определена. ^[2]

Для дифференцируемых функций

Если функция f дифференцируема в точке x , то производная по направлению существует вдоль любого единичного вектора v в точке x, и она имеет

$${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\nabla f(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {v} }$$

где справа обозначает градиент , — скалярное произведение , а v — единичный вектор. ^[3] Это следует из определения пути и использования определения производной как предела, который можно вычислить вдоль этого пути, чтобы получить: ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle h(t)=x+tv}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\lim _{t\to 0}{\frac {f(x+tv)-f(x)-tDf(x)(v)}{t}}\\&=\lim _{t\to 0}{\frac {f(x+tv)-f(x)}{t}}-Df(x)(v)\\&=\nabla _{v}f(x)-Df(x)(v).\end{aligned}}}$$

Интуитивно понятно, что производная f по направлению в точке x представляет скорость изменения f в направлении v относительно времени при движении мимо x .

Использование только направления вектора

Угол α между касательной A и горизонталью будет максимальным, если плоскость сечения содержит направление градиента A.

В евклидовом пространстве некоторые авторы ^[4] определяют производную по направлению как произвольный ненулевой вектор v после нормализации , таким образом, она не зависит от его величины и зависит только от его направления. ^[5]

Это определение дает скорость увеличения f на единицу расстояния, пройденного в направлении, заданном v . В этом случае имеется

$${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\lim _{h\to 0}{\frac {f(\mathbf {x} +h\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{h|\mathbf {v} |}},}$$

fx

$${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\nabla f(\mathbf {x} )\cdot {\frac {\mathbf {v} }{|\mathbf {v} |}}.}$$

Ограничение на единичный вектор

В контексте функции в евклидовом пространстве некоторые тексты ограничивают вектор v единичным вектором . С учетом этого ограничения оба приведенных выше определения эквивалентны. ^[6]

Характеристики

Многие из знакомых свойств обычной производной справедливы и для производной по направлению. К ним относятся, для любых функций f и g, определенных в окрестности и дифференцируемых в точке p :

1. правило сумм :
   $${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }(f+g)=\nabla _{\mathbf {v} }f+\nabla _{\mathbf {v} }g.}$$
2. Правило постоянного фактора :для любой константы c
   $${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }(cf)=c\nabla _{\mathbf {v} }f.}$$
3. правило произведения (или правило Лейбница ):
   $${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }(fg)=g\nabla _{\mathbf {v} }f+f\nabla _{\mathbf {v} }g.}$$
4. Цепное правило : если g дифференцируемо в точке p , а h дифференцируемо в точке g ( p ), то
   $${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }(h\circ g)(\mathbf {p} )=h'(g(\mathbf {p} ))\nabla _{\mathbf {v} }g(\mathbf {p} ).}$$

В дифференциальной геометрии

Пусть M — дифференцируемое многообразие и p — точка M. Предположим, что f — функция, определенная в окрестности точки p и дифференцируемая в точке p . Если v является касательным вектором к M в точке p , то производная по направлению от f вдоль v , обозначаемая по-разному как df ( v ) (см. Внешняя производная ), (см. Ковариантная производная ), (см. Производная Ли ) или (см. Касательное пространство § Определение через выводы ), можно определить следующим образом. Пусть γ  : [−1, 1] → M — дифференцируемая кривая с γ (0) = p и γ ′(0) = v . Тогда производная по направлению определяется выражением ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }f(\mathbf {p} )}$ ${\displaystyle L_{\mathbf {v} }f(\mathbf {p} )}$ ${\displaystyle {\mathbf {v} }_{\mathbf {p} }(f)}$

$${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }f(\mathbf {p} )=\left.{\frac {d}{d\tau }}f\circ \gamma (\tau )\right|_{\tau =0}.}$$

γγγ (0) = pγ ′(0) = v

Производная Лия

Производная Ли векторного поля вдоль векторного поля определяется разностью двух производных по направлению (с нулевым кручением): ${\displaystyle W^{\mu }(x)}$ ${\displaystyle V^{\mu }(x)}$

$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{V}W^{\mu }=(V\cdot \nabla )W^{\mu }-(W\cdot \nabla )V^{\mu }.}$$

${\displaystyle \phi (x)}$

$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{V}\phi =(V\cdot \nabla )\phi .}$$

Тензор Римана

Производные по направлению часто используются во вводных выводах тензора кривизны Римана . Рассмотрим изогнутый прямоугольник с бесконечно малым вектором вдоль одного края и вдоль другого. Мы переносим ковектор вдоль then , а затем вычитаем сдвиг вдоль и then . Вместо построения производной по направлению с использованием частных производных мы используем ковариантную производную . Таким образом, оператор перевода for ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta '}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta '}$ ${\displaystyle \delta '}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta }$

$${\displaystyle 1+\sum _{\nu }\delta ^{\nu }D_{\nu }=1+\delta \cdot D,}$$

${\displaystyle \delta '}$

$${\displaystyle 1+\sum _{\mu }\delta '^{\mu }D_{\mu }=1+\delta '\cdot D.}$$

$${\displaystyle (1+\delta '\cdot D)(1+\delta \cdot D)S^{\rho }-(1+\delta \cdot D)(1+\delta '\cdot D)S^{\rho }=\sum _{\mu ,\nu }\delta '^{\mu }\delta ^{\nu }[D_{\mu },D_{\nu }]S_{\rho }.}$$

^[7]

$${\displaystyle [D_{\mu },D_{\nu }]S_{\rho }=\pm \sum _{\sigma }R^{\sigma }{}_{\rho \mu \nu }S_{\sigma },}$$

соглашения о знаках ${\displaystyle R}$

В теории групп

Переводы

В алгебре Пуанкаре мы можем определить бесконечно малый оператор сдвига P как

$${\displaystyle \mathbf {P} =i\nabla .}$$

iPсамосопряженным операторомλпредставление в гильбертовом пространстве[ ^8]

$${\displaystyle U({\boldsymbol {\lambda }})=\exp \left(-i{\boldsymbol {\lambda }}\cdot \mathbf {P} \right).}$$

$${\displaystyle U({\boldsymbol {\lambda }})=\exp \left({\boldsymbol {\lambda }}\cdot \nabla \right).}$$

fx

$${\displaystyle U({\boldsymbol {\lambda }})f(\mathbf {x} )=\exp \left({\boldsymbol {\lambda }}\cdot \nabla \right)f(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} +{\boldsymbol {\lambda }}).}$$

Доказательство последнего уравнения

В стандартном исчислении с одной переменной производная гладкой функции f ( x ) определяется как (для малого ε )

$${\displaystyle {\frac {df}{dx}}={\frac {f(x+\varepsilon )-f(x)}{\varepsilon }}.}$$

Это можно переставить, чтобы найти f ( x + ε ):

$${\displaystyle f(x+\varepsilon )=f(x)+\varepsilon \,{\frac {df}{dx}}=\left(1+\varepsilon \,{\frac {d}{dx}}\right)f(x).}$$

Отсюда следует, что это оператор перевода. Это мгновенно обобщается ^[9] на функции многих переменных f ( x ) ${\displaystyle [1+\varepsilon \,(d/dx)]}$

$${\displaystyle f(\mathbf {x} +{\boldsymbol {\varepsilon }})=\left(1+{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \nabla \right)f(\mathbf {x} ).}$$

Вот производная по направлению вдоль бесконечно малого смещения ε . Мы нашли бесконечно малую версию оператора перевода: ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \nabla }$

$${\displaystyle U({\boldsymbol {\varepsilon }})=1+{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \nabla .}$$

Очевидно, что групповой закон умножения ^[10] U ( g ) U ( f ) = U ( gf ) принимает вид

$${\displaystyle U(\mathbf {a} )U(\mathbf {b} )=U(\mathbf {a+b} ).}$$

Итак, предположим, что мы берем конечное смещение λ и делим его на N частей ( всюду подразумевается N → ∞), так что λ / N = ε . Другими словами,

$${\displaystyle {\boldsymbol {\lambda }}=N{\boldsymbol {\varepsilon }}.}$$

Тогда, применив U ( ε ) N раз, мы можем построить U ( λ ):

$${\displaystyle [U({\boldsymbol {\varepsilon }})]^{N}=U(N{\boldsymbol {\varepsilon }})=U({\boldsymbol {\lambda }}).}$$

Теперь мы можем подставить приведенное выше выражение для U( ε ):

$${\displaystyle [U({\boldsymbol {\varepsilon }})]^{N}=\left[1+{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \nabla \right]^{N}=\left[1+{\frac {{\boldsymbol {\lambda }}\cdot \nabla }{N}}\right]^{N}.}$$

Используя тождество ^[11]

$${\displaystyle \exp(x)=\left[1+{\frac {x}{N}}\right]^{N},}$$

у нас есть

$${\displaystyle U({\boldsymbol {\lambda }})=\exp \left({\boldsymbol {\lambda }}\cdot \nabla \right).}$$

А поскольку U ( ε ) f ( x ) = f ( x + ε ), мы имеем

$${\displaystyle [U({\boldsymbol {\varepsilon }})]^{N}f(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} +N{\boldsymbol {\varepsilon }})=f(\mathbf {x} +{\boldsymbol {\lambda }})=U({\boldsymbol {\lambda }})f(\mathbf {x} )=\exp \left({\boldsymbol {\lambda }}\cdot \nabla \right)f(\mathbf {x} ),}$$

КЭД

Техническое примечание: эта процедура возможна только потому, что группа сдвигов образует абелеву подгруппу ( подалгебру Картана ) в алгебре Пуанкаре. В частности, не следует принимать на веру групповой закон умножения U ( a ) U ( b ) = U ( a + b ). Заметим также, что Пуанкаре — связная группа Ли . Это группа преобразований T ( ξ ), описываемых непрерывным набором вещественных параметров . Закон группового умножения принимает вид ${\displaystyle \xi ^{a}}$

$${\displaystyle T({\bar {\xi }})T(\xi )=T(f({\bar {\xi }},\xi )).}$$

Принимая в качестве координат тождества, мы должны иметь ${\displaystyle \xi ^{a}=0}$

$${\displaystyle f^{a}(\xi ,0)=f^{a}(0,\xi )=\xi ^{a}.}$$

Реальные операторы в гильбертовом пространстве представляются унитарными операторами U ( T ( ξ )). В приведенных выше обозначениях мы подавили T ; теперь мы пишем U ( λ ) как U ( P ( λ )). Для небольшой окрестности единицы представление степенного ряда

$${\displaystyle U(T(\xi ))=1+i\sum _{a}\xi ^{a}t_{a}+{\frac {1}{2}}\sum _{b,c}\xi ^{b}\xi ^{c}t_{bc}+\cdots }$$

это довольно хорошо. Предположим, что U(T(ξ)) образует непроективное представление, т. е.

$${\displaystyle U(T({\bar {\xi }}))U(T(\xi ))=U(T(f({\bar {\xi }},\xi ))).}$$

Разложение f во вторую степень есть

$${\displaystyle f^{a}({\bar {\xi }},\xi )=\xi ^{a}+{\bar {\xi }}^{a}+\sum _{b,c}f^{abc}{\bar {\xi }}^{b}\xi ^{c}.}$$

После расширения уравнения умножения представления и приравнивания коэффициентов имеем нетривиальное условие

$${\displaystyle t_{bc}=-t_{b}t_{c}-i\sum _{a}f^{abc}t_{a}.}$$

Поскольку он по определению симметричен по своим индексам, мы имеем стандартный коммутатор алгебры Ли : ${\displaystyle t_{ab}}$

$${\displaystyle [t_{b},t_{c}]=i\sum _{a}(-f^{abc}+f^{acb})t_{a}=i\sum _{a}C^{abc}t_{a},}$$

где C — структурная константа . Генераторы переводов представляют собой операторы частных производных, которые коммутируют:

$${\displaystyle \left[{\frac {\partial }{\partial x^{b}}},{\frac {\partial }{\partial x^{c}}}\right]=0.}$$

Это означает, что структурные константы обращаются в нуль и, следовательно, исчезают и квадратичные коэффициенты в разложении f. Это означает, что f просто аддитивна:

$${\displaystyle f_{\text{abelian}}^{a}({\bar {\xi }},\xi )=\xi ^{a}+{\bar {\xi }}^{a},}$$

и, следовательно, для абелевых групп

$${\displaystyle U(T({\bar {\xi }}))U(T(\xi ))=U(T({\bar {\xi }}+\xi )).}$$

КЭД

Ротации

Оператор вращения также содержит производную по направлению. Оператор поворота на угол θ , т.е. на величину θ = | θ | вокруг оси , параллельной ${\displaystyle {\hat {\theta }}={\boldsymbol {\theta }}/\theta }$

$${\displaystyle U(R(\mathbf {\theta } ))=\exp(-i\mathbf {\theta } \cdot \mathbf {L} ).}$$

LSO(3)

$${\displaystyle \mathbf {L} ={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\end{pmatrix}}\mathbf {i} +{\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}}\mathbf {j} +{\begin{pmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\mathbf {k} .}$$

x

$${\displaystyle \mathbf {x} \rightarrow \mathbf {x} -\delta {\boldsymbol {\theta }}\times \mathbf {x} .}$$

$${\displaystyle U(R(\delta {\boldsymbol {\theta }}))f(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} -\delta {\boldsymbol {\theta }}\times \mathbf {x} )=f(\mathbf {x} )-(\delta {\boldsymbol {\theta }}\times \mathbf {x} )\cdot \nabla f.}$$

$${\displaystyle U(R(\delta \mathbf {\theta } ))=1-(\delta \mathbf {\theta } \times \mathbf {x} )\cdot \nabla .}$$

^[12]

$${\displaystyle U(R(\mathbf {\theta } ))=\exp(-(\mathbf {\theta } \times \mathbf {x} )\cdot \nabla ).}$$

Нормальная производная

Нормальная производная — это производная по направлению, взятая в направлении, нормальном (то есть ортогональном ) к некоторой поверхности в пространстве или, в более общем смысле, вдоль нормального векторного поля, ортогонального некоторой гиперповерхности . См., например , граничное условие Неймана . Если нормальное направление обозначается , то нормальную производную функции f иногда обозначают как . В других обозначениях ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\textstyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {n} }}}$

$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {n} }}=\nabla f(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {n} =\nabla _{\mathbf {n} }{f}(\mathbf {x} )={\frac {\partial f}{\partial \mathbf {x} }}\cdot \mathbf {n} =Df(\mathbf {x} )[\mathbf {n} ].}$$

В механике сплошных сред твердого тела

Некоторые важные результаты в механике сплошной среды требуют производных векторов по векторам и тензоров по векторам и тензорам. ^[13] Направленная директива обеспечивает систематический способ поиска этих производных.

Ниже приведены определения производных по направлению для различных ситуаций. Предполагается, что функции достаточно гладкие, чтобы можно было брать производные.

Производные скалярнозначных функций векторов

Пусть f (v) — вещественная функция вектора v. Тогда производная f (v) по v (или в точке v) — это вектор, определенный через скалярное произведение , где любой вектор u равен

$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =Df(\mathbf {v} )[\mathbf {u} ]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~f(\mathbf {v} +\alpha ~\mathbf {u} )\right]_{\alpha =0}}$$

для всех векторов u. Вышеупомянутое скалярное произведение дает скаляр, а если u - единичный вектор, дает производную от f по направлению в точке v в направлении u.

Характеристики:

1. Если тогда ${\displaystyle f(\mathbf {v} )=f_{1}(\mathbf {v} )+f_{2}(\mathbf {v} )}$ ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial \mathbf {v} }}+{\frac {\partial f_{2}}{\partial \mathbf {v} }}\right)\cdot \mathbf {u} }$
2. Если тогда ${\displaystyle f(\mathbf {v} )=f_{1}(\mathbf {v} )~f_{2}(\mathbf {v} )}$ ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} \right)~f_{2}(\mathbf {v} )+f_{1}(\mathbf {v} )~\left({\frac {\partial f_{2}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} \right)}$
3. Если тогда ${\displaystyle f(\mathbf {v} )=f_{1}(f_{2}(\mathbf {v} ))}$ ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} ={\frac {\partial f_{1}}{\partial f_{2}}}~{\frac {\partial f_{2}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} }$

Производные векторных функций векторов

Пусть f(v) — вектор-функция вектора v. Тогда производная f(v) по v (или в точке v) — это тензор второго порядка, определенный через его скалярное произведение, причем любой вектор u равен

$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =D\mathbf {f} (\mathbf {v} )[\mathbf {u} ]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~\mathbf {f} (\mathbf {v} +\alpha ~\mathbf {u} )\right]_{\alpha =0}}$$

для всех векторов u. Вышеупомянутое скалярное произведение дает вектор, а если u является единичным вектором, дает производную направления f в точке v в направлении u.

Характеристики:

1. Если тогда ${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {v} )=\mathbf {f} _{1}(\mathbf {v} )+\mathbf {f} _{2}(\mathbf {v} )}$ ${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =\left({\frac {\partial \mathbf {f} _{1}}{\partial \mathbf {v} }}+{\frac {\partial \mathbf {f} _{2}}{\partial \mathbf {v} }}\right)\cdot \mathbf {u} }$
2. Если тогда ${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {v} )=\mathbf {f} _{1}(\mathbf {v} )\times \mathbf {f} _{2}(\mathbf {v} )}$ ${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =\left({\frac {\partial \mathbf {f} _{1}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} \right)\times \mathbf {f} _{2}(\mathbf {v} )+\mathbf {f} _{1}(\mathbf {v} )\times \left({\frac {\partial \mathbf {f} _{2}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} \right)}$
3. Если тогда ${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {v} )=\mathbf {f} _{1}(\mathbf {f} _{2}(\mathbf {v} ))}$ ${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} ={\frac {\partial \mathbf {f} _{1}}{\partial \mathbf {f} _{2}}}\cdot \left({\frac {\partial \mathbf {f} _{2}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} \right)}$

Производные скалярнозначных функций тензоров второго порядка

Пусть – вещественная функция тензора второго порядка . Тогда производная по (или при ) по направлению представляет собой тензор второго порядка, определяемый как ${\displaystyle f({\boldsymbol {S}})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$ ${\displaystyle f({\boldsymbol {S}})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {T}}}$

$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=Df({\boldsymbol {S}})[{\boldsymbol {T}}]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~f({\boldsymbol {S}}+\alpha ~{\boldsymbol {T}})\right]_{\alpha =0}}$$

для всех тензоров второго порядка . ${\displaystyle {\boldsymbol {T}}}$

Характеристики:

1. Если тогда ${\displaystyle f({\boldsymbol {S}})=f_{1}({\boldsymbol {S}})+f_{2}({\boldsymbol {S}})}$ ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}+{\frac {\partial f_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}\right):{\boldsymbol {T}}}$
2. Если тогда ${\displaystyle f({\boldsymbol {S}})=f_{1}({\boldsymbol {S}})~f_{2}({\boldsymbol {S}})}$ ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)~f_{2}({\boldsymbol {S}})+f_{1}({\boldsymbol {S}})~\left({\frac {\partial f_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)}$
3. Если тогда ${\displaystyle f({\boldsymbol {S}})=f_{1}(f_{2}({\boldsymbol {S}}))}$ ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}={\frac {\partial f_{1}}{\partial f_{2}}}~\left({\frac {\partial f_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)}$

Производные тензорнозначных функций тензоров второго порядка

Пусть – тензорная функция второго порядка от тензора второго порядка . Тогда производная по (или по ) по направлению представляет собой тензор четвертого порядка, определяемый как ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {T}}}$

$${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {F}}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=D{\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})[{\boldsymbol {T}}]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~{\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}}+\alpha ~{\boldsymbol {T}})\right]_{\alpha =0}}$$

для всех тензоров второго порядка . ${\displaystyle {\boldsymbol {T}}}$

Характеристики:

1. Если тогда ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})={\boldsymbol {F}}_{1}({\boldsymbol {S}})+{\boldsymbol {F}}_{2}({\boldsymbol {S}})}$ ${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {F}}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=\left({\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{1}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}+{\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}\right):{\boldsymbol {T}}}$
2. Если тогда ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})={\boldsymbol {F}}_{1}({\boldsymbol {S}})\cdot {\boldsymbol {F}}_{2}({\boldsymbol {S}})}$ ${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {F}}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=\left({\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{1}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)\cdot {\boldsymbol {F}}_{2}({\boldsymbol {S}})+{\boldsymbol {F}}_{1}({\boldsymbol {S}})\cdot \left({\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)}$
3. Если тогда ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})={\boldsymbol {F}}_{1}({\boldsymbol {F}}_{2}({\boldsymbol {S}}))}$ ${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {F}}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}={\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{1}}{\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}}:\left({\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)}$
4. Если тогда ${\displaystyle f({\boldsymbol {S}})=f_{1}({\boldsymbol {F}}_{2}({\boldsymbol {S}}))}$ ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}={\frac {\partial f_{1}}{\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}}:\left({\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)}$

Смотрите также

• Del в цилиндрических и сферических координатах  - математический оператор градиента в некоторых системах координат.
• Дифференциальная форма  - выражение, которое можно интегрировать по региону.
• Связь Эресмана  - конструкция дифференциальной геометрии на расслоениях
• Производная Фреше  - производная, определенная в нормированных пространствах.
• Производная Гато  - обобщение концепции производной по направлению.
• Обобщения производной  - Фундаментальная конструкция дифференциального исчисления
• Полудифференцируемость
• Производная Адамара
• Производная Лия  - производная в дифференциальной геометрии.
• Производная материала  - скорость изменения некоторой физической величины материального элемента в поле скорости.
• Тензор структуры  - Тензор, связанный с градиентами.
• Тензорная производная (механика сплошных сред)
• Полная производная  - Тип производной в математике.

Примечания

1. Р. Вреде; М. Р. Шпигель (2010). Продвинутое исчисление (3-е изд.). Серия набросков Шаума. ISBN 978-0-07-162366-7.
2. Применимость распространяется на функции над пространствами без метрики и на дифференцируемые многообразия , например, в общей теории относительности .
3. Если скалярное произведение не определено, градиент также не определен; однако для дифференцируемого f производная по направлению все еще определена, и аналогичное соотношение существует с внешней производной.
4. Томас, Джордж Б. младший; и Финни, Росс Л. (1979) Исчисление и аналитическая геометрия , Addison-Wesley Publ. Co., пятое издание, с. 593.
5. Обычно это предполагает евклидово пространство - например, функция нескольких переменных обычно не имеет определения величины вектора и, следовательно, единичного вектора.
6. Хьюз Халлетт, Дебора ; МакКаллум, Уильям Г .; Глисон, Эндрю М. (1 января 2012 г.). Исчисление: одно- и многомерное . Джон Уайли. п. 780. ИСБН 9780470888612. ОСЛК  828768012.
7. Зи, А. (2013). Коротко о гравитации Эйнштейна . Принстон: Издательство Принстонского университета. п. 341. ИСБН 9780691145587.
8. Вайнберг, Стивен (1999). Квантовая теория полей (Перепечатано (с корр.). Ред.). Кембридж [ua]: Cambridge Univ. Нажимать. ISBN 9780521550017.
9. Зи, А. (2013). Коротко о гравитации Эйнштейна . Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN 9780691145587.
10. Кэхилл, Кевин Кэхилл (2013). Физическая математика (Отв. ред.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1107005211.
11. Ларсон, Рон; Эдвардс, Брюс Х. (2010). Исчисление одной переменной (9-е изд.). Бельмонт: Брукс/Коул. ISBN 9780547209982.
12. Шанкар, Р. (1994). Принципы квантовой механики (2-е изд.). Нью-Йорк: Kluwer Academic / Пленум. п. 318. ИСБН 9780306447907.
13. Дж. Э. Марсден и Т. Дж. Р. Хьюз, 2000, Математические основы эластичности , Дувр.

Рекомендации

• Хильдебранд, ФБ (1976). Расширенное исчисление для приложений . Прентис Холл. ISBN 0-13-011189-9.
• К. Ф. Райли; член парламента Хобсон; С. Дж. Бенс (2010). Математические методы в физике и технике . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-86153-3.
• Шапиро, А. (1990). «О понятиях направленной дифференцируемости». Журнал теории оптимизации и приложений . 66 (3): 477–487. дои : 10.1007/BF00940933. S2CID  120253580.

Внешние ссылки

СМИ, связанные с направленной производной, на Викискладе?

• Производные по направлению в MathWorld .
• Производная по направлению в PlanetMath .