Теория Чепмена – Энскога

Структура статистической механики

Теория Чепмена-Энскога обеспечивает основу, в которой уравнения гидродинамики газа могут быть получены из уравнения Больцмана . Этот метод оправдывает феноменологические определяющие соотношения , возникающие в гидродинамических описаниях, таких как уравнения Навье – Стокса . При этом получаются выражения для различных коэффициентов переноса, таких как теплопроводность и вязкость, через молекулярные параметры. Таким образом, теория Чепмена-Энскога представляет собой важный шаг в переходе от микроскопического описания, основанного на частицах, к континуальному гидродинамическому описанию.

Теория названа в честь Сиднея Чепмена и Дэвида Энскога , которые представили ее независимо в 1916 и 1917 годах. ^[1]

Описание

Отправной точкой теории Чепмена-Энскога является уравнение Больцмана для одночастичной функции распределения : ${\displaystyle f(\mathbf {r} ,\mathbf {v} ,t)}$

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+\mathbf {v\cdot } {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} }}+{\frac {\mathbf {F} }{m}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}={\hat {C}}f,}$

где – нелинейный интегральный оператор, моделирующий эволюцию при межчастичных столкновениях. Эта нелинейность затрудняет решение полного уравнения Больцмана и мотивирует разработку приближенных методов, таких как метод, предоставляемый теорией Чепмена-Энскога. ${\displaystyle {\hat {C}}}$ ${\displaystyle f}$

Учитывая эту отправную точку, различные предположения, лежащие в основе уравнения Больцмана, переносятся и на теорию Чепмена-Энскога. Самый основной из них требует разделения масштаба между продолжительностью столкновения и средним свободным временем между столкновениями : . Это условие гарантирует, что столкновения являются четко определенными событиями в пространстве и времени, и выполняется, если безразмерный параметр мал, где – диапазон межчастичных взаимодействий, – плотность чисел. ^[2] В дополнение к этому предположению, теория Чепмена-Энскога также требует, чтобы это было намного меньше, чем любые внешние временные масштабы . Это временные рамки, связанные с членами левой части уравнения Больцмана, которые описывают изменения состояния газа на макроскопических длинах. Обычно их значения определяются начальными/граничными условиями и/или внешними полями. Такое разделение масштабов означает, что столкновительный член в правой части уравнения Больцмана намного меньше, чем потоковые члены в левой части. Таким образом, приближенное решение можно найти из ${\displaystyle \tau _{\mathrm {c} }}$ ${\displaystyle \tau _{\mathrm {f} }}$ ${\displaystyle \tau _{\mathrm {c} }\ll \tau _{\mathrm {f} }}$ ${\displaystyle \gamma \equiv r_{\mathrm {c} }^{3}n}$ ${\displaystyle r_{\mathrm {c} }}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \tau _{\mathrm {f} }}$ ${\displaystyle \tau _{\text{ext}}}$

${\displaystyle {\hat {C}}f=0.}$

Можно показать, что решение этого уравнения является гауссовским :

${\displaystyle f=n(\mathbf {r} ,t)\left({\frac {m}{2\pi k_{B}T(\mathbf {r} ,t)}}\right)^{3/2}\exp \left[-{\frac {m\left(\mathbf {v} -\mathbf {v} _{0}(\mathbf {r} ,t)\right)^{2}}{2k_{B}T(\mathbf {r} ,t)}}\right],}$

где – масса молекулы, – постоянная Больцмана . ^[3] Говорят, что газ находится в локальном равновесии , если он удовлетворяет этому уравнению. ^[4] Предположение о локальном равновесии приводит непосредственно к уравнениям Эйлера , которые описывают жидкости без диссипации, т.е. с теплопроводностью и вязкостью, равными . Основная цель теории Чепмена-Энскога - систематическое получение обобщений уравнений Эйлера, учитывающих диссипацию. Это достигается путем выражения отклонений от локального равновесия в виде пертурбативного ряда по числу Кнудсена , которое мало, если . Концептуально полученные гидродинамические уравнения описывают динамическое взаимодействие между свободным потоком и межчастичными столкновениями. Последние имеют тенденцию подталкивать газ к локальному равновесию, тогда как первые воздействуют на пространственные неоднородности, выводя газ из локального равновесия. ^[5] Когда число Кнудсена порядка 1 или больше, газ в рассматриваемой системе не может быть описан как жидкость. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle k_{B}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\text{Kn}}}$ ${\displaystyle \tau _{\mathrm {f} }\ll \tau _{\text{ext}}}$

К первому порядку относятся уравнения Навье–Стокса . Второй и третий порядки приводят соответственно к уравнениям Бернетта и суперуравнениям Бернетта. ${\displaystyle {\text{Kn}}}$

Математическая формулировка

Поскольку число Кнудсена не появляется в уравнении Больцмана явно, а скорее неявно в терминах функции распределения и граничных условий, вводится фиктивная переменная для отслеживания соответствующих порядков в разложении Чепмена – Энскога: ${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+\mathbf {v\cdot } {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} }}+{\frac {\mathbf {F} }{m}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}={\frac {1}{\varepsilon }}{\hat {C}}f.}$

Малый означает, что коллизионный член доминирует над потоковым членом , что то же самое, что сказать, что число Кнудсена мало. Таким образом, подходящей формой разложения Чепмена – Энскога является ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle {\hat {C}}f}$ ${\displaystyle \mathbf {v\cdot } {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} }}+{\frac {\mathbf {F} }{m}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}}$

${\displaystyle f=f^{(0)}+\varepsilon f^{(1)}+\varepsilon ^{2}f^{(2)}+\cdots \ .}$

Решения, которые можно формально разложить таким образом, известны как нормальные решения уравнения Больцмана. ^[6] Этот класс решений исключает непертурбативные вклады (такие как ), которые появляются в пограничных слоях или вблизи внутренних ударных слоев . Таким образом, теория Чепмена-Энскога ограничивается ситуациями, в которых такими решениями можно пренебречь. ${\displaystyle e^{-1/\varepsilon }}$

Подстановка этого разложения и приравнивание порядков приводит к иерархии ${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle {\begin{aligned}J(f^{(0)},f^{(0)})&=0\\2J(f^{(0)},f^{(n)})&=\left({\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {v\cdot } {\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}+{\frac {\mathbf {F} }{m}}\cdot {\frac {\partial }{\partial \mathbf {v} }}\right)f^{(n-1)}-\sum _{m=1}^{n-1}J(f^{(n)},f^{(n-m)}),\qquad n>0,\end{aligned}}}$

где – интегральный оператор, линейный по обоим аргументам, удовлетворяющий условиям и . Решение первого уравнения является гауссовским: ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle J(f,g)=J(g,f)}$ ${\displaystyle J(f,f)={\hat {C}}f}$

${\displaystyle f^{(0)}=n'(\mathbf {r} ,t)\left({\frac {m}{2\pi k_{B}T'(\mathbf {r} ,t)}}\right)^{3/2}\exp \left[-{\frac {m\left(\mathbf {v} -\mathbf {v} '_{0}(\mathbf {r} ,t)\right)^{2}}{2k_{B}T'(\mathbf {r} ,t)}}\right].}$

для некоторых функций , , и . Выражение для предполагает связь этих функций с физическими гидродинамическими полями, определяемыми как моменты : ${\displaystyle n'(\mathbf {r} ,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {v} '_{0}(\mathbf {r} ,t)}$ ${\displaystyle T'(\mathbf {r} ,t)}$ ${\displaystyle f^{(0)}}$ ${\displaystyle f(\mathbf {r} ,\mathbf {v} ,t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}n(\mathbf {r} ,t)&=\int f\,d\mathbf {v} \\n(\mathbf {r} ,t)v_{0}(\mathbf {r} ,t)&=\int \mathbf {v} f\,d\mathbf {v} \\n(\mathbf {r} ,t)T(\mathbf {r} ,t)&=\int {\frac {m}{3k_{B}}}\mathbf {v} ^{2}f\,d\mathbf {v} .\end{aligned}}}$

Однако с чисто математической точки зрения эти два набора функций не обязательно одинаковы (поскольку они равны по определению). Действительно, систематически продвигаясь по иерархии, можно обнаружить, что, как и , каждая также содержит произвольные функции и связь которых с физическими гидродинамическими полями априори неизвестна. Одно из ключевых упрощающих предположений теории Чепмена-Энскога состоит в том, чтобы предположить, что эти произвольные функции могут быть записаны через точные гидродинамические поля и их пространственные градиенты. Другими словами, пространственная и временная зависимость проявляется лишь неявно через гидродинамические поля. Это утверждение физически правдоподобно, поскольку малые числа Кнудсена соответствуют гидродинамическому режиму, при котором состояние газа определяется исключительно гидродинамическими полями. В случае функции , , и предполагаются в точности равными физическим гидродинамическим полям. ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \varepsilon =0}$ ${\displaystyle f^{(0)}}$ ${\displaystyle f^{(n)}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{(0)}}$ ${\displaystyle n'(\mathbf {r} ,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {v} '_{0}(\mathbf {r} ,t)}$ ${\displaystyle T'(\mathbf {r} ,t)}$

Хотя эти предположения физически правдоподобны, остается вопрос, действительно ли существуют решения, удовлетворяющие этим свойствам. Точнее, нужно показать, что существуют решения, удовлетворяющие

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \sum _{n=1}^{\infty }\varepsilon ^{n}f^{(n)}\,d\mathbf {v} =0=\int \sum _{n=1}^{\infty }\varepsilon ^{n}f^{(n)}\mathbf {v} ^{2}\,d\mathbf {v} \\\int \sum _{n=1}^{\infty }\varepsilon ^{n}f^{(n)}v_{i}\,d\mathbf {v} =0,\qquad i\in \{x,y,z\}.\end{aligned}}}$

Более того, даже если такие решения существуют, остается дополнительный вопрос: охватывают ли они полный набор нормальных решений уравнения Больцмана, т. е. не представляют ли они искусственное ограничение исходного разложения по . Одним из ключевых технических достижений теории Чепмена-Энскога является положительный ответ на оба этих вопроса. ^[6] Таким образом, по крайней мере на формальном уровне, подход Чепмена-Энскога не теряет общности. ${\displaystyle \varepsilon }$

С учетом этих формальных соображений можно приступить к расчету . Результат: ^[1] ${\displaystyle f^{(1)}}$

${\displaystyle f^{(1)}=\left[-{\frac {1}{n}}\left({\frac {2k_{B}T}{m}}\right)^{1/2}\mathbf {A} (\mathbf {v} )\cdot \nabla \ln T-{\frac {2}{n}}\mathbb {B(\mathbf {v} )\colon \nabla } \mathbf {v} _{0}\right]f^{(0)},}$

где – вектор и тензор , каждый из которых является решением линейного неоднородного интегрального уравнения , которое можно решить явно с помощью полиномиального разложения. Здесь двоеточие обозначает двойное точечное произведение для тензоров , . ${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {v} )}$ ${\displaystyle \mathbb {B} (\mathbf {v} )}$ ${\displaystyle \mathbb {T} :\mathbb {T'} =\sum _{i}\sum _{j}T_{ij}T'_{ji}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle \mathbb {T'} }$

Прогнозы

Установлено , что в первом порядке по числу Кнудсена тепловой поток подчиняется закону теплопроводности Фурье , ^[7] ${\displaystyle \mathbf {q} ={\frac {m}{2}}\int f\mathbf {v} ^{2}\mathbf {v} \,d\mathbf {v} }$

${\displaystyle \mathbf {q} =-\lambda \nabla T,}$

а тензор потока импульса-потока — это тензор ньютоновской жидкости , ^[7] ${\displaystyle \mathbf {\sigma } =m\int (\mathbf {v} -\mathbf {v} _{0})(\mathbf {v} -\mathbf {v} _{0})^{\mathsf {T}}f\,\mathrm {d} \mathbf {v} }$

${\displaystyle \mathbf {\sigma } =p\mathbb {I} -\mu \left(\nabla \mathbf {v_{0}} +\nabla \mathbf {v_{0}} ^{T}\right)+{\frac {2}{3}}\mu (\nabla \cdot \mathbf {v_{0}} )\mathbb {I} ,}$

с тождественным тензором. Здесь и – теплопроводность и вязкость. Их можно рассчитать явно через молекулярные параметры путем решения линейного интегрального уравнения; В таблице ниже суммированы результаты для нескольких важных молекулярных моделей ( – масса молекулы и – константа Больцмана). ^[8] ${\displaystyle \mathbb {I} }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle k_{B}}$

Имея эти результаты, легко получить уравнения Навье – Стокса. Учет моментов скорости уравнения Больцмана приводит к точным уравнениям баланса гидродинамических полей , , и : ${\displaystyle n(\mathbf {r} ,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}(\mathbf {r} ,t)}$ ${\displaystyle T(\mathbf {r} ,t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial n}{\partial t}}+\nabla \cdot \left(n\mathbf {v} _{0}\right)&=0\\{\frac {\partial \mathbf {v} _{0}}{\partial t}}+\mathbf {v} _{0}\cdot \nabla \mathbf {v} _{0}-{\frac {\mathbf {F} }{m}}+{\frac {1}{n}}\nabla \cdot \mathbf {\sigma } &=0\\{\frac {\partial T}{\partial t}}+\mathbf {v} _{0}\cdot \nabla T+{\frac {2}{3k_{B}n}}\left(\mathbf {\sigma :} \nabla \mathbf {v} _{0}+\nabla \cdot \mathbf {q} \right)&=0.\end{aligned}}}$

Как и в предыдущем разделе, двоеточие обозначает двойное скалярное произведение , . Подставив вместо и выражения Чепмена–Энскога , приходим к уравнениям Навье–Стокса. ${\displaystyle \mathbb {T} :\mathbb {T'} =\sum _{i}\sum _{j}T_{ij}T'_{ji}}$ ${\displaystyle \mathbf {q} }$ ${\displaystyle \sigma }$

Сравнение с экспериментом

Важным предсказанием теории Чепмена-Энскога является то, что вязкость не зависит от плотности (это можно увидеть для каждой молекулярной модели в таблице 1, но на самом деле она не зависит от модели). Этот противоречивый результат восходит к Джеймсу Клерку Максвеллу , который вывел его в 1860 году на основе более элементарных кинетических аргументов. ^[11] Это хорошо проверено экспериментально для газов обычной плотности. ${\displaystyle \mu }$

С другой стороны, теория предсказывает, что это действительно зависит от температуры. Для жестких упругих сфер прогнозируемый масштаб равен , в то время как другие модели обычно демонстрируют большее изменение в зависимости от температуры. Например, для молекул, которые с силой отталкивают друг друга, прогнозируемый масштаб равен , где . Принятие , соответствующего , показывает разумное согласие с экспериментально наблюдаемым масштабированием для гелия. Для более сложных газов согласие не столь хорошее, скорее всего, из-за пренебрежения силами притяжения. ^[13] Действительно, модель Леннарда-Джонса , которая включает в себя притяжения, может быть приведена в большее соответствие с экспериментом (хотя и за счет более непрозрачной зависимости; см. запись Леннарда-Джонса в таблице 1). ^[14] Для лучшего согласия с экспериментальными данными, чем то, что было получено с использованием модели Леннарда-Джонса , использовался более гибкий потенциал Ми , ^[15] дополнительная гибкость этого потенциала позволяет точно прогнозировать транспортные свойства смесей. различных сферически-симметричных молекул. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu \propto T^{1/2}}$ ${\displaystyle \propto r^{-\nu }}$ ${\displaystyle \mu \propto T^{s}}$ ${\displaystyle s=1/2+2/(\nu -1)}$ ${\displaystyle s=0.668}$ ${\displaystyle \nu \approx 12.9}$ ${\displaystyle T}$

Теория Чепмена-Энскога также предсказывает простую связь между теплопроводностью и вязкостью в форме , где - удельная теплоемкость при постоянном объеме и является чисто численным фактором. По прогнозам, для сферически-симметричных молекул его значение будет очень близко к слегка зависящему от модели образом. Например, жесткие упругие сферы имеют , а молекулы с силой отталкивания имеют (последнее отклонение в таблице 1 не учитывается). Частный случай молекул Максвелла (сила отталкивания ) имеет именно такое значение. ^[16] Поскольку , и могут быть измерены непосредственно в экспериментах, простой экспериментальной проверкой теории Чепмена-Энскога является измерение сферически симметричных благородных газов . Таблица 2 показывает, что существует разумное согласие между теорией и экспериментом. ^[12] ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \lambda =f\mu c_{v}}$ ${\displaystyle c_{v}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 2.5}$ ${\displaystyle f\approx 2.522}$ ${\displaystyle \propto r^{-13}}$ ${\displaystyle f\approx 2.511}$ ${\displaystyle \propto r^{-5}}$ ${\displaystyle f=2.5}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle c_{v}}$ ${\displaystyle f}$

Расширения

Основные принципы теории Чепмена-Энскога можно распространить на более разнообразные физические модели, включая газовые смеси и молекулы с внутренними степенями свободы. В режиме высокой плотности теория может быть адаптирована для учета столкновительного переноса импульса и энергии, т.е. переноса по диаметру молекулы во время столкновения, а не по средней длине свободного пробега ( между столкновениями). Включение этого механизма предсказывает плотностную зависимость вязкости при достаточно высокой плотности, что также наблюдается экспериментально. Получение поправок, используемых для учета переноса во время столкновения для мягких молекул (т.е. молекул Леннарда-Джонса или Ми ), в целом нетривиально, но успех был достигнут при применении теории возмущений Баркера-Хендерсона для точного описания этих эффектов с точностью до критическая плотность различных смесей жидкостей. ^[15]

Можно также провести теорию в более высоком порядке по числу Кнудсена. В частности, вклад второго порядка был рассчитан Бернеттом. ^[17] Однако в общих обстоятельствах эти поправки более высокого порядка могут не дать надежных улучшений теории первого порядка из-за того, что расширение Чепмена-Энскога не всегда сходится. ^[18] (С другой стороны, считается, что разложение, по крайней мере, асимптотично для решений уравнения Больцмана, и в этом случае усечение на низком порядке все еще дает точные результаты.) ^[19] Даже если поправки более высокого порядка действительно позволяют улучшить в данной системе интерпретация соответствующих гидродинамических уравнений до сих пор дискуссионна. ^[20] ${\displaystyle f^{(2)}}$

Пересмотренная теория Энскога

Распространение теории Чепмена-Энскога для многокомпонентных смесей на повышенные плотности, в частности, плотности, при которых кообъем смеси не пренебрежимо мал, было осуществлено в серии работ Э.Г.Д. Коэна и других, ^{[21] [22] [ 23] [24] [25]} и была придумана пересмотренная теория Энскога (RET). Успешный вывод RET последовал за несколькими предыдущими попытками того же самого, но которые дали результаты, которые оказались несовместимыми с необратимой термодинамикой . Отправной точкой для разработки RET является модифицированная форма уравнения Больцмана для функции распределения -частиц по скоростям: ${\displaystyle s}$

${\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial t}}+\mathrm {v} _{i}\cdot {\frac {\partial }{\partial \mathrm {r} }}+{\frac {\mathrm {F} _{i}}{m_{i}}}\cdot {\frac {\partial }{\partial \mathrm {v} _{i}}}\right)f_{i}=\sum _{j}S_{ij}(f_{i},f_{j})}$

где - скорость частиц вида , в положении и времени , - масса частицы, - внешняя сила, и ${\displaystyle \mathrm {v_{i}} (\mathrm {r} ,t)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \mathrm {r} }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle \mathrm {F} _{i}}$

${\displaystyle S_{ij}(f_{i},f_{j})=\iiint \left[g_{ij}(\sigma _{ij}\mathrm {k} )f_{i}'(\mathrm {r} )f_{j}'(\mathrm {r} +\sigma _{ij}\mathrm {k} )-g_{ij}(-\sigma _{ij}\mathrm {k} )f_{i}(\mathrm {r} )f_{j}(\mathrm {r} -\sigma _{ij}\mathrm {k} )\right]d\tau }$

Отличие этого уравнения от классической теории Чепмена-Энскога заключается в операторе потока , в рамках которого оценивается распределение скоростей двух частиц в разных точках пространства, разделенных , где - единичный вектор вдоль линии, соединяющей центры двух частиц массы. Еще одно существенное отличие связано с введением коэффициентов , которые отражают повышенную вероятность столкновений из-за исключенного объема. Классические уравнения Чепмена-Энскога восстанавливаются установкой и . ${\displaystyle S_{ij}}$ ${\displaystyle \sigma _{ij}\mathrm {k} }$ ${\displaystyle \mathrm {k} }$ ${\displaystyle g_{ij}}$ ${\displaystyle \sigma _{ij}=0}$ ${\displaystyle g_{ij}(\sigma _{ij}\mathrm {k} )=1}$

Важным моментом для успеха RET является выбор факторов , которые интерпретируются как функция парного распределения, оцениваемая на расстоянии контакта . Здесь следует отметить важный фактор: для получения результатов, согласующихся с необратимой термодинамикой , необходимо рассматривать как функционалы полей плотности, а не как функции локальной плотности. ${\displaystyle g_{ij}}$ ${\displaystyle \sigma _{ij}}$ ${\displaystyle g_{ij}}$

Результаты пересмотренной теории Энскога

Одним из первых результатов, полученных с помощью RET, который отличается от результатов классической теории Чепмена-Энскога, является уравнение состояния . В то время как из классической теории Чепмена-Энскога восстанавливается закон идеального газа, RET, разработанный для жестких упругих сфер, дает уравнение давления

${\displaystyle {\frac {p}{nkT}}=1+{\frac {2\pi n}{3}}\sum _{i}\sum _{j}x_{i}x_{j}\sigma _{ij}^{3}g_{ij}}$,

которое согласуется с уравнением состояния Карнахана-Старлинга и сводится к закону идеального газа в пределе бесконечного разбавления (т.е. когда ) ${\displaystyle n\sum _{i}\sum _{j}x_{i}x_{j}\sigma _{ij}^{3}\ll 1}$

Для коэффициентов переноса : вязкости , теплопроводности , диффузии и термодиффузии RET предоставляет выражения, которые точно сводятся к выражениям, полученным из классической теории Чепмена-Энскога в пределе бесконечного разбавления. Однако RET предсказывает зависимость теплопроводности от плотности , которую можно выразить как

${\displaystyle \lambda =(1+n\alpha _{\lambda })\lambda _{0}+n^{2}T^{1/2}\lambda _{\sigma }}$

где и — относительно слабые функции состава, температуры и плотности, а — теплопроводность, полученная из классической теории Чепмена-Энскога. ${\displaystyle \alpha _{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda _{\sigma }}$ ${\displaystyle \lambda _{0}}$

Аналогично полученное выражение для вязкости можно записать как

${\displaystyle \mu =(1+nT\alpha _{\mu })\mu _{0}+n^{2}T^{1/2}\mu _{\sigma }}$

со слабыми функциями состава, температуры и плотности, а также значением, полученным из классической теории Чепмена-Энскога. ${\displaystyle \alpha _{\mu }}$ ${\displaystyle \mu _{\sigma }}$ ${\displaystyle \mu _{0}}$

Для коэффициентов диффузии и коэффициентов термодиффузии картина несколько сложнее. Однако одним из основных преимуществ RET по сравнению с классической теорией Чепмена-Энскога является то, что предсказывается зависимость коэффициентов диффузии от термодинамических факторов, т.е. производных химических потенциалов по составу. Кроме того, RET не предсказывает строгой зависимости

${\displaystyle D\sim {\frac {1}{n}},\quad D_{T}\sim {\frac {1}{n}}}$

для всех плотностей, а скорее предсказывает, что коэффициенты будут уменьшаться медленнее с плотностью при высоких плотностях, что хорошо согласуется с экспериментами. Эти модифицированные зависимости плотности также позволяют RET предсказать зависимость коэффициента Соре от плотности :

${\displaystyle S_{T}={\frac {D_{T}}{D}},\quad \left({\frac {\partial S_{T}}{\partial n}}\right)_{T}\neq 0}$,

в то время как классическая теория Чепмена-Энскога предсказывает, что коэффициент Соре, как вязкость и теплопроводность, не зависит от плотности.

Приложения

Хотя пересмотренная теория Энскога дает много преимуществ по сравнению с классической теорией Чепмена-Энскога, ценой этого является то, что ее значительно сложнее применять на практике. В то время как классическая теория Чепмена-Энскога может быть применена к сколь угодно сложным сферическим потенциалам при наличии достаточно точных и быстрых процедур интегрирования для оценки требуемых интегралов столкновений , пересмотренная теория Энскога, в дополнение к этому, требует знания контактного значения парной функции распределения.

Для смесей твердых сфер эту величину можно вычислить без больших затруднений, но для более сложных межмолекулярных потенциалов получить ее вообще нетривиально. Однако определенный успех был достигнут при оценке контактного значения парной функции распределения для жидкостей Ми (которая состоит из частиц, взаимодействующих посредством обобщенного потенциала Леннарда-Джонса ) и использовании этих оценок для прогнозирования транспортных свойств плотных газовых смесей и сверхкритических жидкостей. . ^[15]

Применение RET к частицам, взаимодействующим посредством реалистичных потенциалов, также ставит перед проблемой определения разумного «диаметра контакта» для мягких частиц. Хотя они однозначно определены для твердых сфер, до сих пор не существует общепринятого значения, которое следует использовать для контактного диаметра мягких частиц.

Смотрите также

• Транспортные явления
• Кинетическая теория газов
• Уравнение Больцмана
• Уравнения Навье – Стокса.
• Закон Фурье
• Ньютоновская жидкость

Примечания

1. Чепмен, Сидней; Коулинг, Т.Г. (1970), Математическая теория неоднородных газов (3-е изд.), Cambridge University Press
2. Балеску, Раду (1975), Равновесная и неравновесная статистическая механика , John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-04600-4
3. Черчиньяни, Карло (1975), Теория и применение уравнения Больцмана , Elsevier, стр. 78–79, ISBN 978-0-444-19450-3
4. Балеску, с. 450
5. Балеску, с. 451
6. Град, Гарольд (1958), «Принципы кинетической теории газов», в Флюгге, С. (ред.), Энциклопедия физики , том. XII, Springer-Verlag, стр. 205–294.
7. Берд, Р. Брайон; Армстронг, Роберт С.; Хассагер, Оле (1987), Динамика полимерных жидкостей, Том 1: Механика жидкости (2-е изд.), John Wiley & Sons, стр. 10–11.
8. Чепмен и Коулинг, глава 10.
9. Чепмен и Коулинг, с. 172
10. Чепмен и Коулинг, с. 185
11. Максвелл, Джеймс (1860), «V. Иллюстрации динамической теории газов. — Часть I. О движении и столкновениях совершенно упругих сфер», Philosophical Magazine , 19 (124): 19–32, doi : 10.1080/ 14786446008642818
12. Чепмен и Коулинг с. 249
13. Чепмен и Коулинг, стр. 230–232.
14. Чепмен и Коулинг, стр. 235–237.
15. Джервелл, Вегард Г.; Вильгельмсен, Ойвинд (08 июня 2023 г.). «Пересмотренная теория Энскога для жидкостей Ми: прогнозирование коэффициентов диффузии, коэффициентов термодиффузии, вязкости и теплопроводности». Журнал химической физики . 158 (22). дои : 10.1063/5.0149865. ISSN  0021-9606.
16. Чепмен и Коулинг, стр. 247.
17. Бернетт, Д. (1936), «Распределение молекулярных скоростей и среднее движение в неоднородном газе», Труды Лондонского математического общества , 40 : 382, ​​doi : 10.1112/plms/s2-40.1.382
18. Сантос, Андрес; Брей, Дж. Хавьер; Дафти, Джеймс В. (1986), «Расхождение расширения Чепмена-Энскога», Physical Review Letters , 56 (15): 1571–1574, Бибкод : 1986PhRvL..56.1571S, doi : 10.1103/PhysRevLett.56.1571, PMID  10032711
19. Град, Гарольд (1963), «Асимптотическая теория уравнения Больцмана», Физика жидкостей , 6 (2): 147, Бибкод : 1963PhFl....6..147G, doi : 10.1063/1.1706716
20. Гарсиа-Колин, LS; Веласко, РМ; Урибе, Ф.Дж. (2008), «Помимо уравнений Навье-Стокса: гидродинамика Бернетта», Physics Reports , 465 (4): 149–189, Bibcode : 2008PhR...465..149G, doi : 10.1016/j.physrep. 2008.04.010
21. Лопес де Аро, М.; Коэн, EGD; Кинкейд, Дж. М. (1 марта 1983 г.). «Теория Энскога для многокомпонентных смесей. I. Теория линейного переноса». Журнал химической физики . 78 (5): 2746–2759. дои : 10.1063/1.444985. ISSN  0021-9606.
22. Кинкейд, Дж. М.; Лопес де Аро, М.; Коэн, EGD (1 ноября 1983 г.). «Теория Энскога для многокомпонентных смесей. II. Взаимная диффузия». Журнал химической физики . 79 (9): 4509–4521. дои : 10.1063/1.446388. ISSN  0021-9606.
23. Лопес де Аро, М.; Коэн, EGD (1 января 1984 г.). «Теория Энскога для многокомпонентных смесей. III. Транспортные свойства плотных бинарных смесей с одним индикаторным компонентом». Журнал химической физики . 80 (1): 408–415. дои : 10.1063/1.446463. ISSN  0021-9606.
24. Кинкейд, Дж. М.; Коэн, EGD; Лопес де Аро, М. (15 января 1987 г.). «Теория Энскога для многокомпонентных смесей. IV. Термическая диффузия». Журнал химической физики . 86 (2): 963–975. дои : 10.1063/1.452243. ISSN  0021-9606.
25. Ван Бейерен, Х.; Эрнст, М.Х. (март 1973 г.). «Нелинейное уравнение Энскога-Больцмана». Буквы по физике А. 43 (4): 367–368. дои : 10.1016/0375-9601(73)90346-0.

Рекомендации

Классическая монография по теме:

• Чепмен, Сидней; Коулинг, Т.Г. (1970), Математическая теория неоднородных газов (3-е изд.), Cambridge University Press

Содержит техническое введение в нормальные решения уравнения Больцмана:

• Град, Гарольд (1958), «Принципы кинетической теории газов», в Флюгге, С. (ред.), Энциклопедия физики , том. XII, Springer-Verlag, стр. 205–294.