Расстояние ближайшего сближения

Расстояние между центрами внешне касающихся объектов

Расстояние наибольшего сближения двух объектов — это расстояние между их центрами, когда они внешне касаются друг друга . Объекты могут представлять собой геометрические фигуры или физические частицы с четко определенными границами. Расстояние наибольшего сближения иногда называют расстоянием контакта.

Для простейших объектов, сфер , расстояние наибольшего сближения представляет собой просто сумму их радиусов. Для несферических объектов расстояние наибольшего сближения является функцией ориентации объектов, и его расчет может быть затруднен. Максимальная плотность упаковки твердых частиц, важная проблема, вызывающая постоянный интерес ^[1] , зависит от расстояния их наибольшего сближения.

Взаимодействия частиц обычно зависят от их разделения, а расстояние наибольшего сближения играет важную роль в определении поведения конденсированных систем.

Исключенный объем

Исключенный объем частиц (объем, исключенный из центров других частиц из-за присутствия одной) является ключевым параметром в таких описаниях; ^{[2] [3]} для расчета исключенного объема требуется расстояние наибольшего сближения. Исключенный объем одинаковых сфер всего в четыре раза превышает объем одной сферы . Для других анизотропных объектов исключенный объем зависит от ориентации, и его расчет может оказаться на удивление трудным. ^[4] Простейшими формами после сфер являются эллипсы и эллипсоиды; им было уделено значительное внимание ^[5] , однако их исключенный объем неизвестен. Вьейяр Барон смог предложить критерий перекрытия двух эллипсов. Его результаты были полезны для компьютерного моделирования систем твердых частиц и для решения проблем упаковки с использованием моделирования Монте-Карло .

Два внешне касательных эллипса

Единственная анизотропная форма, исключенный объем которой может быть выражен аналитически, — это сфероцилиндр ; решение этой проблемы — классическая работа Онсагера. ^[6] Проблема была решена путем рассмотрения расстояния между двумя отрезками линий, которые являются центральными линиями цилиндров с крышками. Результаты для других форм недоступны. Зависимость расстояния наибольшего сближения от ориентации имеет удивительные последствия. Системы твердых частиц, взаимодействия которых имеют только энтропийный характер, могут стать упорядоченными. Твердые сфероцилиндры образуют не только ориентационно-упорядоченные нематические, но и позиционно-упорядоченные смектические фазы. ^[7] Здесь система отказывается от некоторого (ориентационного и даже позиционного) беспорядка, чтобы обрести беспорядок и энтропию в другом месте.

Случай двух эллипсов

Вьейяр Барон первым исследовал эту проблему и, хотя он не получил результата для расстояния наибольшего сближения, вывел критерий перекрытия для двух эллипсов. Его окончательные результаты были полезны для изучения фазового поведения твердых частиц и проблемы упаковки с использованием моделирования Монте-Карло . Хотя критерии перекрытия были разработаны, ^{[8] [9]} аналитические решения для расстояния наибольшего сближения и местоположения точки контакта стали доступны лишь недавно. ^{[10] [11]} Подробности расчетов приведены в работе. ^[12] Подпрограмма Fortran 90 представлена ​​в Ref. ^[13]

Процедура состоит из трёх шагов:

1. Преобразование двух касательных эллипсов и , центры которых соединены вектором , в окружность и эллипс , центры которых соединены вектором . После преобразования круг и эллипс остаются касательными. ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle E_{2}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle C_{1}'}$ ${\displaystyle E_{2}'}$ ${\displaystyle d'}$ ${\displaystyle C_{1}'}$ ${\displaystyle E_{2}'}$
2. Определение дистанции наибольшего сближения аналитическим способом . Это требует соответствующего решения уравнения четвертой степени . Норма считается. ${\displaystyle d'}$ ${\displaystyle C_{1}'}$ ${\displaystyle E_{2}'}$ ${\displaystyle n'}$
3. Определение расстояния наибольшего сближения и положения точки контакта и путем обратных преобразований векторов и . ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle E_{2}}$ ${\displaystyle d'}$ ${\displaystyle n'}$

Вход:

• длины полуосей , ${\displaystyle a_{1},b_{1},a_{2},b_{2}}$
• единичные векторы вдоль главных осей обоих эллипсов и ${\displaystyle k_{1}}$ ${\displaystyle k_{2}}$
• единичный вектор , соединяющий центры двух эллипсов. ${\displaystyle d}$

Выход:

• расстояние между центрами, когда эллипсы и касаются снаружи , и ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle E_{2}}$
• расположение точки контакта с точки зрения , . ${\displaystyle k_{1}}$ ${\displaystyle k_{2}}$

Случай двух эллипсоидов

Рассмотрим два эллипсоида , каждый из которых имеет заданную форму и ориентацию , центры которых лежат на прямой с заданным направлением . Мы хотим определить расстояние между центрами, когда эллипсоиды находятся в точечном внешнем контакте. Расстояние наибольшего сближения зависит от формы эллипсоидов и их ориентации. Аналитического решения этой проблемы не существует, поскольку для определения расстояния требуется решение полиномиального уравнения шестого порядка . Здесь разрабатывается алгоритм определения этого расстояния на основе аналитических результатов для расстояния наибольшего сближения эллипсов в 2D, который может быть реализован численно. Подробности приведены в публикациях. ^{[14] [15]} Подпрограммы предоставляются в двух форматах: Fortran90 ^[16] и C. ^[17]

Алгоритм состоит из трёх шагов.

1. Построение плоскости, содержащей линию, соединяющую центры двух эллипсоидов, и нахождение уравнений эллипсов, образованных пересечением этой плоскости и эллипсоидов .
2. Определение расстояния наибольшего сближения эллипсов; это расстояние между центрами эллипсов, когда они находятся в точечном внешнем контакте.
3. Вращение плоскости до тех пор, пока расстояние наибольшего сближения эллипсов не станет максимальным . Расстояние наибольшего сближения эллипсоидов и есть это максимальное расстояние.

Смотрите также

• Апсис
• Ударный параметр

Рекомендации

1. Торквато, С.; Цзяо, Ю. (2009). «Плотные упаковки платоновых и архимедовых тел». Природа . 460 (7257). ООО «Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа»: 876–879. arXiv : 0908.4107 . дои : 10.1038/nature08239. ISSN  0028-0836. PMID  19675649. S2CID  52819935.
2. TL Hill, Введение в статистическую термодинамику (Аддисон Уэсли, Лондон, 1960)
3. Т. А. Виттен и П. А. Пинкус, Структурированные жидкости (Oxford University Press, Оксфорд, 2004).
4. Силы, рост и форма в мягком конденсированном веществе: на стыке физики и биологии, изд. А.Т. Скельтроп и А.В. Белушкин (NATO Science Series II: Mathematics, Physics and Chemistry, 2009),
5. Донев, Александр; Стиллинджер, Фрэнк Х.; Чайкин, ПМ; Торквато, Сальваторе (23 июня 2004 г.). «Необычайно плотные кристаллические упаковки эллипсоидов». Письма о физических отзывах . 92 (25). Американское физическое общество (APS): 255506. arXiv : cond-mat/0403286 . doi : 10.1103/physrevlett.92.255506. ISSN  0031-9007. PMID  15245027. S2CID  7982407.
6. Онсагер, Ларс (1949). «Влияние формы на взаимодействие коллоидных частиц». Анналы Нью-Йоркской академии наук . 51 (4). Уайли: 627–659. doi :10.1111/j.1749-6632.1949.tb27296.x. ISSN  0077-8923. S2CID  84562683.
7. Френкель, Даан. (10 сентября 1987 г.). «Возвращение к сфероцилиндрам Онзагера». Журнал физической химии . 91 (19). Американское химическое общество (ACS): 4912–4916. дои : 10.1021/j100303a008. hdl : 1874/8823 . ISSN  0022-3654.
8. Вьейяр-Барон, Жак (15 мая 1972 г.). «Фазовые переходы классической системы жесткого эллипса». Журнал химической физики . 56 (10). Издательство AIP: 4729–4744. дои : 10.1063/1.1676946. ISSN  0021-9606.
9. Перрам, Джон В.; Вертхайм, М.С. (1985). «Статистическая механика жестких эллипсоидов. I. Алгоритм перекрытия и контактная функция». Журнал вычислительной физики . 58 (3). Эльзевир Б.В.: 409–416. дои : 10.1016/0021-9991(85)90171-8. ISSN  0021-9991.
10. X. Чжэн и П. Палффи-Мухорай, «Расстояние наибольшего сближения двух произвольных жестких эллипсов в двух измерениях», Electronic Liquid Crystal Communications. Архивировано 5 марта 2016 г. в Wayback Machine , 2007 г.
11. Чжэн, Сяоюй; Палффи-Мухорай, Питер (26 июня 2007 г.). «Расстояние наибольшего сближения двух произвольных твердых эллипсов в двух измерениях». Физический обзор E . 75 (6): 061709. arXiv : 0911.3420 . doi : 10.1103/physreve.75.061709. ISSN  1539-3755. PMID  17677285. S2CID  7576313.
12. X. Чжэн и П. Палффи-Мухорай, Полная версия, содержащая алгоритм точки контакта, 4 мая 2009 г.
13. Подпрограмма Fortran90 для определения расстояния контакта и точки контакта для двумерных эллипсов, авторы X. Чжэн и П. Палффи-Мухорай, май 2009 г.
14. Чжэн, Сяоюй; Иглесиас, Уайлдер; Палффи-Мухорай, Питер (20 мая 2009 г.). «Расстояние наибольшего сближения двух произвольных жестких эллипсоидов». Физический обзор E . 79 (5). Американское физическое общество (APS): 057702. doi : 10.1103/physreve.79.057702. ISSN  1539-3755. ПМИД  19518604.
15. X. Чжэн, В. Иглесиас, П. Палффи-Мухорай, «Расстояние наибольшего сближения двух произвольных твердых эллипсоидов», Electronic Liquid Crystal Communications, 2008 г.
16. Подпрограмма Fortran90 для определения расстояния наибольшего сближения эллипсоидов
17. Подпрограмма C для определения расстояния наибольшего сближения эллипсоидов