Плотность упаковки или доля упаковки в некотором пространстве — это доля пространства, заполненная фигурами, составляющими упаковку. Проще говоря, это отношение объема тел в пространстве к объему самого пространства. В задачах упаковки целью обычно является получение упаковки максимально возможной плотности.
Если K 1 ,..., K n — измеримые подмножества компактного пространства с мерой X и их внутренности попарно не пересекаются, то набор [ K i ] является упаковкой в X и плотность его упаковки равна
Если упаковываемое пространство бесконечно по мере, как, например, евклидово пространство , принято определять плотность как предел плотностей, проявляемых в шарах все большего и большего радиуса. Если B t — шар радиуса t с центром в начале координат, то плотность упаковки [ K i : i ∈ ] равна
Поскольку этот предел не всегда существует, также полезно определить верхнюю и нижнюю плотности как верхний и нижний пределы вышеуказанных значений соответственно. Если плотность существует, то верхняя и нижняя плотности равны. При условии, что любой шар евклидова пространства пересекает лишь конечное число элементов упаковки и диаметры элементов ограничены сверху, плотность (верхняя, нижняя) не зависит от выбора начала координат и µ ( K i ∩ B t ) можно заменить на µ ( K i ) для каждого элемента, пересекающего B t . [1] Шар также можно заменить расширением какого-либо другого выпуклого тела, но, как правило, полученные плотности не равны.
Часто интересуются упаковками, предназначенными для использования элементов определенного набора поставок. Например, коллекция снабжения может представлять собой набор всех шаров заданного радиуса. Оптимальная плотность упаковки или константа упаковки , связанная с набором ресурсов, представляет собой верхнюю границу верхних плотностей, полученных упаковками, которые являются поднаборами набора ресурсов. Если совокупность поставок состоит из выпуклых тел ограниченного диаметра, то существует упаковка, плотность упаковки которой равна константе упаковки, и эта константа упаковки не меняется, если шарики в определении плотности заменить расширениями какого-либо другого выпуклого тела. . [1]
Особый интерес представляют все евклидовы движения фиксированного выпуклого тела K. В этом случае мы называем константу упаковки константой упаковки K . Гипотеза Кеплера касается константы упаковки трехмерных шаров. Гипотеза упаковки Улама утверждает, что трехшарики имеют наименьшую константу упаковки среди всех выпуклых тел. Все перемещения фиксированного тела также представляют собой общую представляющую интерес коллекцию, определяющую константу трансляционной упаковки этого тела.
