На объект, движущийся в газе или жидкости, действует сила , направленная противоположно его движению. Конечная скорость достигается, когда сила сопротивления равна по величине, но противоположна по направлению силе, толкающей объект. Показана сфера в потоке Стокса с очень низким числом Рейнольдса .
Поток Стокса (названный в честь Джорджа Габриэля Стокса ), также называемый ползучим потоком или ползучим движением , [1] представляет собой тип потока жидкости , в котором адвективные инерционные силы малы по сравнению с вязкими силами. [2] Число Рейнольдса низкое , т.е. Это типичная ситуация в потоках, где скорости жидкости очень малы, вязкость очень велика или масштабы длины потока очень малы. Ползучее течение было впервые изучено для понимания процесса смазки . В природе этот тип течения встречается при плавании микроорганизмов и сперматозоидов . [3] В технологии это происходит в красках , устройствах MEMS и в потоке вязких полимеров в целом.
Уравнения движения потока Стокса, называемые уравнениями Стокса, представляют собой линеаризацию уравнений Навье – Стокса и, таким образом, могут быть решены рядом хорошо известных методов для линейных дифференциальных уравнений. [4] Основной функцией Грина потока Стокса является функция Стокса , которая связана с особой точечной силой, встроенной в поток Стокса. Из ее производных можно получить и другие фундаментальные решения . [5] Стокслет был впервые выведен Осеном в 1927 году, хотя Хэнкок не называл его таковым до 1953 года. [6] Фундаментальные решения в замкнутой форме для обобщенных нестационарных течений Стокса и Озеена , связанных с произвольными нестационарными поступательными и вращательными движениями, были получены для ньютоновской [7] и микрополярной [8] жидкостей.
Уравнения Стокса
Уравнение движения стоксова потока можно получить путем линеаризации стационарных уравнений Навье – Стокса . Предполагается, что инерционные силы пренебрежимо малы по сравнению с вязкими силами, и исключение инерционных членов баланса количества движения в уравнениях Навье – Стокса сводит его к балансу количества движения в уравнениях Стокса: [1]
где – напряжение (сумма вязких и сжимающих напряжений), [9] [10] и приложенная массовая сила. Полные уравнения Стокса также включают уравнение сохранения массы , обычно записываемое в форме:
где плотность жидкости и скорость жидкости. Для получения уравнений движения несжимаемого потока предполагается, что плотность постоянна.
Более того, иногда можно рассматривать нестационарные уравнения Стокса, в которых этот член добавляется к левой части уравнения баланса импульса. [1]
Характеристики
Уравнения Стокса представляют собой значительное упрощение полных уравнений Навье – Стокса , особенно в несжимаемом ньютоновском случае. [2] [4] [9] [10] Они представляют собой упрощение высшего порядка полных уравнений Навье – Стокса, справедливое в отмеченном пределе.
Мгновенность
Поток Стокса не зависит от времени, кроме зависящих от времени граничных условий . Это означает, что при заданных граничных условиях потока Стокса поток можно найти, не зная течения в любой другой момент времени.
обратимость времени
Непосредственное следствие мгновенности, обратимость во времени, означает, что обращенный во времени поток Стокса решает те же уравнения, что и исходный поток Стокса. Это свойство иногда можно использовать (в сочетании с линейностью и симметрией граничных условий) для получения результатов о потоке без его полного решения. Обратимость во времени означает, что трудно смешать две жидкости, используя ползущий поток.Обратимость стоксовых потоков во времени: краситель был введен в вязкую жидкость, зажатую между двумя концентрическими цилиндрами (верхняя панель). Затем основной цилиндр вращается, чтобы срезать краситель по спирали, если смотреть сверху. Краситель кажется смешанным с жидкостью, если смотреть сбоку (средняя панель). Затем вращение меняется на противоположное, возвращая цилиндр в исходное положение. Краситель «растворяется» (нижняя панель). Обратное обращение не является идеальным, поскольку происходит некоторая диффузия красителя. [11] [12]
Хотя эти свойства верны для несжимаемых ньютоновских потоков Стокса, нелинейный и иногда зависящий от времени характер неньютоновских жидкостей означает, что они не выполняются в более общем случае.
Парадокс Стокса
Интересное свойство потока Стокса известно как парадокс Стокса : не может быть стоксова потока жидкости вокруг диска в двух измерениях; или, что то же самое, тот факт, что не существует нетривиального решения уравнений Стокса вокруг бесконечно длинного цилиндра. [13]
Демонстрация обратимости времени
Система Тейлора -Куэтта может создавать ламинарные потоки, в которых концентрические цилиндры жидкости движутся мимо друг друга по видимой спирали. [14] Жидкость, такая как кукурузный сироп с высокой вязкостью, заполняет зазор между двумя цилиндрами, при этом цветные области жидкости видны через прозрачный внешний цилиндр. Цилиндры вращаются друг относительно друга с низкой скоростью, что вместе с высокой вязкостью жидкости и тонкостью зазора дает низкое число Рейнольдса , так что кажущееся смешение цветов на самом деле является ламинарным и затем может быть обращено примерно к исходное состояние. Это создает эффектную демонстрацию того, как жидкость смешивается, а затем размешивается, меняя направление миксера. [15] [16] [17]
Несжимаемое течение ньютоновских жидкостей
В общем случае несжимаемой ньютоновской жидкости уравнения Стокса принимают (векторизованный) вид:
где – скорость жидкости, – градиент давления , – динамическая вязкость и приложенная массовая сила. Полученные уравнения являются линейными по скорости и давлению и, следовательно, могут использовать преимущества различных средств решения линейных дифференциальных уравнений. [4]
Декартовы координаты
С вектором скорости, расширенным как и аналогично вектору объемной силы , мы можем явно написать векторное уравнение:
Мы приходим к этим уравнениям, делая предположения, что плотность является постоянной. [9]
Методы решения
По потоковой функции
Уравнение несжимаемого ньютоновского течения Стокса может быть решено методом функции тока в плоском или трехмерном осесимметричном случаях.
По функции Грина: Стокслет
Линейность уравнений Стокса в случае несжимаемой ньютоновской жидкости означает существование функции Грина , . Функция Грина находится путем решения уравнений Стокса с заменой вынуждающего члена точечной силой, действующей в начале координат, и граничными условиями, исчезающими на бесконечности:
где – дельта-функция Дирака и представляет собой точечную силу, действующую в начале координат. Решение для давления p и скорости u с | ты | и p, исчезающее на бесконечности, определяется формулой [1]
Для описания используются термины Стокслета и решение точечной силы . Аналогично точечному заряду в электростатике , заряд Стокса свободен везде, кроме начала координат, где он содержит силу силы .
Для распределения непрерывной силы (плотности) решение (снова исчезающее на бесконечности) может быть построено путем суперпозиции:
Такое интегральное представление скорости можно рассматривать как понижение размерности: от трехмерного уравнения в частных производных к двумерному интегральному уравнению для неизвестных плотностей. [1]
По решению Папковича–Нейбера
Решение Папковича –Нейбера представляет поля скорости и давления несжимаемого ньютоновского стоксова потока через два гармонических потенциала.
Методом граничных элементов
Некоторые задачи, например эволюция формы пузырька в стоксовом потоке, пригодны для численного решения методом граничных элементов . Этот метод можно применять как к 2-, так и к 3-мерным потокам.
Некоторые геометрии
Поток Хеле-Шоу
Поток Хеле-Шоу является примером геометрии, для которой силы инерции пренебрежимо малы. Он определяется двумя параллельными пластинами, расположенными очень близко друг к другу, причем пространство между пластинами занято частично жидкостью, частично препятствиями в виде цилиндров с образующими, перпендикулярными пластинам. [9]
Теория стройного тела
Теория тонкого тела в стоксовом течении представляет собой простой приближенный метод определения поля безвихревого течения вокруг тел, длина которых велика по сравнению с их шириной. Основой метода является выбор распределения особенностей течения вдоль линии (поскольку тело тонкое) так, чтобы их безвихревое течение в сочетании с однородным потоком приблизительно удовлетворяло условию нулевой нормальной скорости. [9]
Сферические координаты
Общее решение Лэмба возникает из-за того, что давление удовлетворяет уравнению Лапласа и может быть разложено в ряд твердых сферических гармоник в сферических координатах. В результате решение уравнений Стокса можно записать:
где и – сплошные сферические гармоники порядка :
и являются соответствующими полиномами Лежандра . Решение Лэмба можно использовать для описания движения жидкости как внутри, так и вне сферы. Например, его можно использовать для описания движения жидкости вокруг сферической частицы с заданным поверхностным потоком, так называемого квирмера , или для описания течения внутри сферической капли жидкости. Для внутренних потоков термины с опускаются, а для внешних потоков термины с опускаются (часто для внешних потоков предполагается соглашение, позволяющее избежать индексации отрицательными числами). [1]
Теоремы
Решение Стокса и связанная с ним теорема Гельмгольца
Здесь суммировано сопротивление лобовому сопротивлению движущейся сферы, также известное как решение Стокса. Для сферы радиуса , движущейся со скоростью , в стоксовской жидкости с динамической вязкостью сила сопротивления определяется выражением: [9]
Теорема взаимности Лоренца утверждает связь между двумя потоками Стокса в одной и той же области. Рассмотрим область, заполненную жидкостью, ограниченную поверхностью . Пусть поля скорости и решат уравнения Стокса в области , каждое с соответствующими полями напряжений и . Тогда имеет место следующее равенство:
Где находится нормальный блок на поверхности . Теорему взаимности Лоренца можно использовать, чтобы показать, что поток Стокса «передает» без изменений общую силу и крутящий момент от внутренней замкнутой поверхности к внешней охватывающей поверхности. [1] Теорему взаимности Лоренца также можно использовать для связи скорости плавания микроорганизма, такого как цианобактерия , со скоростью поверхности, которая определяется деформациями формы тела посредством ресничек или жгутиков . [19]
Теорема взаимности Лоренца также использовалась в контексте упругогидродинамической теории для определения подъемной силы, действующей на твердый объект, движущийся по касательной к поверхности упругой границы раздела при низких числах Рейнольдса . [20] [21]
Законы Факсена
Законы Факсена представляют собой прямые соотношения, которые выражают мультипольные моменты через окружающий поток и его производные. Впервые разработанные Хильдингом Факсеном для расчета силы и крутящего момента на сфере, они принимают следующую форму:
где – динамическая вязкость, – радиус частицы, – окружающий поток, – скорость частицы, – угловая скорость фонового потока, – угловая скорость частицы.
Законы Факсена можно обобщить для описания моментов других форм, таких как эллипсоиды, сфероиды и сферические капли. [1]
^ abcdefghi Ким, С. и Каррила, С.Дж. (2005) Микрогидродинамика: принципы и избранные приложения , Дувр. ISBN 0-486-44219-5 .
^ Аб Кирби, Би Джей (2010). Микро- и наномеханика жидкости: транспорт в микрофлюидных устройствах. Издательство Кембриджского университета. ISBN978-0-521-11903-0.
^ Дюсенбери, Дэвид Б. (2009). Жизнь в микромасштабе . Издательство Гарвардского университета, Кембридж, Массачусетс, ISBN 978-0-674-03116-6
^ abc Leal, LG (2007). Расширенные явления переноса: механика жидкости и процессы конвективного переноса .
^ Чванг А. и Ву Т. (1974). «Гидромеханика потока с малыми числами Рейнольдса. Часть 2. Метод сингулярности для потоков Стокса». Архивировано 7 марта 2012 г. на Wayback Machine . Дж. Гидромеханика. 62 (6), ч. 4, 787–815.
^ Бреннен, Кристофер Э. «Особенности в потоке Стокса» (PDF) . Caltech.edu . п. 1 . Проверено 18 июля 2021 г.
^ Шу, Цзянь-Цзюнь; Чван, Аллен Т. (2001). «Обобщенные фундаментальные решения для нестационарных вязких течений». Физический обзор E . 63 (5): 051201. arXiv : 1403.3247 . Бибкод : 2001PhRvE..63e1201S. doi : 10.1103/PhysRevE.63.051201. PMID 11414893. S2CID 22258027.
^ Шу, Цзянь-Цзюнь; Ли, Дж. С. (2008). «Фундаментальные решения для микрополярных жидкостей». Журнал инженерной математики . 61 (1): 69–79. arXiv : 1402.5023 . Бибкод : 2008JEnMa..61...69S. дои : 10.1007/s10665-007-9160-8. S2CID 3450011.
^ ab Хаппель, Дж. и Бреннер, Х. (1981) Гидродинамика с низким числом Рейнольдса , Springer. ISBN 90-01-37115-9 .
^ Хеллер, Джон П. (1960). «Несмешиваемая демонстрация». Американский журнал физики . 28 (4): 348–353. Бибкод : 1960AmJPh..28..348H. дои : 10.1119/1.1935802.
^ Эйрих, Фредерик, изд. (1967). Реология: теория и приложения. Нью-Йорк: Академическая пресса. п. 23. ISBN9780122343049. Проверено 18 июля 2021 г.
^ К. Дэвид Андерек, С. С. Лю и Гарри Л. Суинни (1986). Режимы течения в круговой системе Куэтта с независимо вращающимися цилиндрами. Журнал механики жидкости, 164, стр. 155–183 doi:10.1017/S0022112086002513
^ Дюсенбери, Дэвид Б. (2009). Жизнь в микромасштабе , стр.46. Издательство Гарвардского университета, Кембридж, Массачусетс, ISBN 978-0-674-03116-6 .
^ Архивировано в Ghostarchive и Wayback Machine: «Ламинарный поток». YouTube .
^ «Документ без названия».
^ Пейн, Ле; WH Пелл (1960). «Задача Стокса о течении для класса осесимметричных тел». Журнал механики жидкости . 7 (4): 529–549. Бибкод : 1960JFM.....7..529P. дои : 10.1017/S002211206000027X. S2CID 122685039.
^ Стоун, Ховард А.; Сэмюэл, Аравинтан Д.Т. (ноябрь 1996 г.). «Размещение микроорганизмов за счет искажений поверхности». Письма о физических отзывах . 19. 77 (19): 4102–4104. Бибкод : 1996PhRvL..77.4102S. doi : 10.1103/PhysRevLett.77.4102. ПМИД 10062388.
^ Дадди-Мусса-Идер, А.; Раллабанди, Б.; Гекле, С.; Стоун, ХА (август 2018 г.). «Теорема взаимности для предсказания нормальной силы, действующей на частицу, перемещающуюся параллельно эластичной мембране». Физический обзор жидкостей . 3 (8): 084101. arXiv : 1804.08429 . Бибкод : 2018PhRvF...3h4101D. doi : 10.1103/PhysRevFluids.3.084101. S2CID 55619671.