Теория тонкого тела

В гидродинамике и электростатике теория тонких тел — это методология , которая может быть использована для использования гибкости тела, чтобы получить приближение к полю, окружающему его, и/или чистому эффекту поля на тело. Основные приложения — стоксово течение — при очень низких числах Рейнольдса — и в электростатике .

Теория течения Стокса

Рассмотрим тонкое тело длиной и типичным диаметром с , окруженное жидкостью с вязкостью , движение которой регулируется уравнениями Стокса . Обратите внимание, что парадокс Стокса подразумевает, что предел бесконечного соотношения сторон является сингулярным, поскольку течение Стокса не может существовать вокруг бесконечного цилиндра. ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle 2a}$ ${\displaystyle \ell \gg a}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \ell /a\rightarrow \infty }$

Теория тонкого тела позволяет нам вывести приблизительное соотношение между скоростью тела в каждой точке по его длине и силой на единицу длины, испытываемой телом в этой точке.

Пусть ось тела описывается как , где - координата длины дуги, а - время. В силу гибкости тела сила, действующая на жидкость на поверхности тела, может быть аппроксимирована распределением Стокса вдоль оси с плотностью силы на единицу длины. предполагается, что изменяется только на длинах, намного больших , а скорость жидкости на поверхности, прилегающей к , хорошо аппроксимируется как . ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}(s,t)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {f}}(s)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {f}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}(s,t)}$ ${\displaystyle \partial {\boldsymbol {X}}/\partial t}$

Скорость жидкости в общей точке, обусловленная таким распределением, может быть записана в терминах интеграла тензора Озеена (названного в честь Карла Вильгельма Озеена ), который действует как функция Грина для одного Стокса. Мы имеем ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}})=\int _{0}^{\ell }{\frac {{\boldsymbol {f}}(s)}{8\pi \mu }}\cdot \left({\frac {\mathbf {I} }{|{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {X}}|}}+{\frac {({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {X}})({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {X}})}{|{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {X}}|^{3}}}\right)\,\mathrm {d} s}$

где — единичный тензор. ${\displaystyle \mathbf {I} }$

Затем можно использовать асимптотический анализ , чтобы показать, что вклад ведущего порядка в интеграл для точки на поверхности тела, смежной с положением, исходит от распределения силы в . Поскольку , мы приближаем . Затем мы получаем ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$ ${\displaystyle s_{0}}$ ${\displaystyle |s-s_{0}|=O(a)}$ ${\displaystyle a\ll \ell }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {f}}(s)\approx {\boldsymbol {f}}(s_{0})}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {X}}}{\partial t}}\sim {\frac {\ln(\ell /a)}{4\pi \mu }}{\boldsymbol {f}}(s)\cdot {\Bigl (}\mathbf {I} +{\boldsymbol {X}}'{\boldsymbol {X}}'{\Bigr )}}$

где . ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}'=\partial {\boldsymbol {X}}/\partial s}$

Выражение можно инвертировать, чтобы получить плотность силы с точки зрения движения тела:

${\displaystyle {\boldsymbol {f}}(s)\sim {\frac {4\pi \mu }{\ln(\ell /a)}}{\frac {\partial {\boldsymbol {X}}}{\partial t}}\cdot {\Bigl (}\mathbf {I} -\textstyle {\frac {1}{2}}{\boldsymbol {X}}'{\boldsymbol {X}}'{\Bigr )}}$

Два канонических результата, которые следуют сразу, относятся к силе сопротивления жесткого цилиндра (длина , радиус ), движущегося со скоростью , параллельной его оси или перпендикулярной ей. Параллельный случай дает ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle u}$

${\displaystyle F\sim {\frac {2\pi \mu \ell u}{\ln(\ell /a)}}}$

в то время как перпендикулярный случай дает

${\displaystyle F\sim {\frac {4\pi \mu \ell u}{\ln(\ell /a)}}}$

с разницей всего в два раза.

Обратите внимание, что доминирующая шкала длины в приведенных выше выражениях — это большая длина ; меньшая длина имеет лишь слабый эффект через логарифм соотношения сторон. В результатах теории тонкого тела есть поправки к логарифму, поэтому даже для относительно больших значений погрешности не будут такими уж малыми. ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle O(1)}$ ${\displaystyle \ell /a}$

Ссылки

• Batchelor, GK (1970), "Теория тонких тел для частиц произвольного поперечного сечения в стоксовом потоке", J. Fluid Mech. , 44 (3): 419–440, Bibcode : 1970JFM....44..419B, doi : 10.1017/S002211207000191X, S2CID  121986116
• Кокс, Р. Г. (1970), «Движение длинных тонких тел в вязкой жидкости. Часть 1. Общая теория», J. Fluid Mech. , 44 (4): 791–810, Bibcode : 1970JFM....44..791C, doi : 10.1017/S002211207000215X, S2CID  118908560
• Хинч, Э.Дж. (1991), Методы возмущений , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-37897-0