Интеграл объема

В математике (особенно в исчислении с несколькими переменными ) объемный интеграл (∭) относится к интегралу по трехмерной области; то есть это частный случай кратных интегралов . Объемные интегралы особенно важны в физике для многих приложений, например, для расчета плотности потока или расчета массы на основе соответствующей функции плотности.

В координатах

Это также может означать тройной интеграл внутри области функции и обычно записывается как: $D\subset \mathbb {R} ^{3}$ $f(x,y,z),$

\iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz.

Интеграл по объему в цилиндрических координатах равен

\iiint _{D}f(\rho ,\varphi ,z)\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz,

сферических координатах соглашениях

\varphi

\theta

\iiint _{D}f(r,\theta ,\varphi )r^{2}\sin \theta \,dr\,d\theta \,d\varphi .

Пример

Интегрирование уравнения по единичному кубу дает следующий результат: $f(x,y,z)=1$

\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}1\,dx\,dy\,dz=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}(1-0)\,dy\,dz=\int _{0}^{1}\left(1-0\right)dz=1-0=1

Таким образом, объем единичного куба равен 1, как и ожидалось. Однако это довольно тривиально, а интеграл по объему гораздо более эффективен. Например, если у нас есть скалярная функция плотности единичного куба, то интеграл по объему даст общую массу куба. Например, для функции плотности:

{\begin{cases}f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} \\f:(x,y,z)\mapsto x+y+z\end{cases}}

\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}(x+y+z)\,dx\,dy\,dz=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{2}}+y+z\right)dy\,dz=\int _{0}^{1}(1+z)\,dz={\frac {3}{2}}

Смотрите также

Внешние ссылки

«Кратный интеграл», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
Вайсштейн, Эрик В. «Объемный интеграл». Математический мир .