Скорость изменения некоторой физической величины материального элемента в поле скорости.
В механике сплошной среды производная материала [ 1] [2] описывает скорость изменения во времени некоторой физической величины (например, тепла или импульса ) материального элемента , который подвергается зависящему от пространства и времени макроскопическому полю скорости . Материальная производная может служить связующим звеном между эйлеровым и лагранжевым описаниями деформации континуума . [3]
Например, в гидродинамике поле скорости — это скорость потока , а интересующей величиной может быть температура жидкости. В этом случае производная материала затем описывает изменение температуры определенного пакета жидкости со временем, когда он течет по своему пути (траектории).
Другие имена
Есть много других названий материального производного, в том числе:
- адвективная производная [4]
- конвективная производная [5]
- производная по движению [1]
- гидродинамическая производная [1]
- Производная Лагранжа [6]
- производная частицы [7]
- существенная производная [1]
- существенная производная [8]
- Производная Стокса [8]
- полная производная , [1] [9] хотя материальная производная на самом деле является частным случаем полной производной [9]
Определение
Материальная производная определяется для любого тензорного поля y , которое является макроскопическим , в том смысле, что оно зависит только от координат положения и времени, y = y ( x , t ) :
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {D} y}{\mathrm {D} t}}\equiv {\frac {\partial y}{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla y ,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
∇ yковариантная производнаяu ( x , t )скорость потокаu ·∇ yтензорную производную линии токаu ·(∇ y ) , так и как включающую производную( u ·∇) y[10]D / Dtu ·∇[2]адвекцияСкалярные и векторные поля
Например, для макроскопического скалярного поля φ ( x , t ) и макроскопического векторного поля A ( x , t ) определение становится следующим:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {D} \varphi }{\mathrm {D} t}}&\equiv {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\ mathbf {u} \cdot \nabla \varphi ,\\[3pt]{\frac {\mathrm {D} \mathbf {A} }{\mathrm {D} t}}&\equiv {\frac {\partial \ mathbf {A} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {A} .\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
В скалярном случае ∇ φ — это просто градиент скаляра, а ∇ A — ковариантная производная макроскопического вектора (который также можно рассматривать как матрицу Якоби A как функцию от x ). В частности, для скалярного поля в трехмерной декартовой системе координат ( x 1 , x 2 , x 3 ) компонентами скорости u являются u 1 , u 2 , u 3 , а конвективный член тогда:
![{\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \varphi =u_ {1}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{1}}}+u_{2}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{2}}}+u_{3}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{3}}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Разработка
Рассмотрим скалярную величину φ = φ ( x , t ) , где t — время, а x — положение. Здесь φ может быть некоторой физической переменной, такой как температура или химическая концентрация. Физическая величина, скалярная величина которой равна φ , существует в континууме и чья макроскопическая скорость представлена векторным полем u ( x , t ) .
(Общая) производная по времени φ разлагается с использованием правила многомерной цепочки :
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\mathrm {d} t}}\varphi (\mathbf {x},t)={\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+ {\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla \varphi .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Очевидно, что эта производная зависит от вектора
![{\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}\equiv {\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} {\mathrm {d} t}},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
выбранныйx ( t )частной производнойпостоянной![{\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {0} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Примером этого случая является пловец, стоящий на месте и рано утром ощущающий изменение температуры в озере: вода постепенно становится теплее из-за нагревания от солнца. В этом случае этого термина достаточно, чтобы описать скорость изменения температуры.![{\displaystyle {\partial \varphi }/{\partial t}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Если солнце не нагревает воду (т.е. ), но путь x ( t ) не стоит на месте, производная по времени φ может измениться из-за пути. Например, представьте, что пловец находится в неподвижном бассейне с водой, в помещении, не подверженном воздействию солнца. Один конец находится при постоянной высокой температуре, а другой конец - при постоянной низкой температуре. Плавая от одного конца к другому, пловец ощущает изменение температуры во времени, даже если температура в любой заданной (статической) точке является постоянной. Это связано с тем, что производная берется в месте смены места пловца, а второго члена справа достаточно, чтобы описать скорость изменения температуры. Датчик температуры, прикрепленный к пловцу, будет показывать, что температура меняется со временем просто из-за изменения температуры от одного конца бассейна к другому.![{\displaystyle {\partial \varphi }/{\partial t}=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla \varphi }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Производная материала, наконец, получается, когда путь x ( t ) выбирается так, чтобы скорость была равна скорости жидкости.
![{\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {u} .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
То есть путь следует потоку жидкости, описываемому полем скорости жидкости u . Итак, материальная производная скаляра φ равна
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \varphi }{\mathrm {D} t}}= {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \варфи .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Примером этого случая является легкая частица с нейтральной плавучестью, несущаяся по текущей реке и испытывающая при этом изменения температуры. Температура воды на местах может повышаться из-за того, что одна часть реки солнечная, а другая находится в тени, или вода в целом может нагреваться в течение дня. Изменения, вызванные движением частицы (которые сами по себе вызваны движением жидкости), называются адвекцией (или конвекцией, если переносится вектор).
Приведенное выше определение основывалось на физической природе потока жидкости; однако никакие законы физики не использовались (например, предполагалось, что легкая частица в реке будет следовать за скоростью воды), но оказывается, что многие физические концепции можно кратко описать с помощью материальной производной. Однако общий случай адвекции основан на сохранении массы потока жидкости; ситуация становится несколько иной, если адвекция происходит в неконсервативной среде.
Для скаляра выше рассматривался только путь. Для вектора градиент становится производной тензора ; для тензорных полей мы можем принять во внимание не только перемещение системы координат из-за движения жидкости, но также ее вращение и растяжение. Это достигается за счет верхней конвекционной производной по времени .
Ортогональные координаты
Можно показать, что в ортогональных координатах j -я компонента конвекционного члена материальной производной векторного поля определяется выражением [11]![{\displaystyle \mathbf {A} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle [\ left (\ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ right) \ mathbf {A} ] _ {j} = \ sum _ {i} {\ frac {u_ {i} {h_ {i} }}{\frac {\partial A_{j}}{\partial q^{i}}}+{\frac {A_{i}}{h_{i}h_{j}}}\left(u_{j }{\frac {\partial h_{j}}{\partial q^{i}}}-u_{i}{\frac {\partial h_{i}}{\partial q^{j}}}\right ),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где h i связаны с метрическими тензорами соотношением![{\displaystyle h_{i}={\sqrt {g_{ii}}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
В частном случае трехмерной декартовой системы координат ( x , y , z ), а A является 1-тензором (вектором с тремя компонентами), это просто:
![{\displaystyle (\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {A} = {\begin{pmatrix} \displaystyle u_ {x}{\frac {\partial A_ {x}}{\partial x}}+ u_{y}{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}+u_{z}{\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}\\\displaystyle u_{x }{\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial A_{y}}{\partial y}}+u_{z}{\frac {\ частичное A_{y}}{\partial z}}\\\displaystyle u_{x}{\frac {\partial A_{z}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial A_{ z}}{\partial y}}+u_{z}{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}\end{pmatrix}}={\frac {\partial (A_{x}, A_{y},A_{z})}{\partial (x,y,z)}}\mathbf {u} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где – матрица Якобиана .![{\displaystyle {\frac {\partial (A_{x},A_{y},A_{z})}{\partial (x,y,z)}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Смотрите также
Рекомендации
- ^ abcde
- ^ аб Бэтчелор, ГК (1967). Введение в гидродинамику . Издательство Кембриджского университета. стр. 72–73. ISBN 0-521-66396-2.
- ^ Тренберт, К.Э. (1993). Моделирование климатической системы . Издательство Кембриджского университета. п. 99. ИСБН 0-521-43231-6.
- ^ Майда, А. (2003). Введение в PDE и волны для атмосферы и океана . Курант Конспект лекций по математике. Том. 9. Американское математическое общество. п. 1. ISBN 0-8218-2954-8.
- ^ Окендон, Х .; Окендон, младший (2004). Волны и сжимаемый поток . Спрингер. п. 6. ISBN 0-387-40399-Х.
- ^ Меллор, GL (1996). Введение в физическую океанографию . Спрингер. п. 19. ISBN 1-56396-210-1.
- ^ Стокер, Джей-Джей (1992). Волны на воде: математическая теория с приложениями . Уайли. п. 5. ISBN 0-471-57034-6.
- ^ AB Грейнджер, РА (1995). Механика жидкости . Публикации Courier Dover. п. 30. ISBN 0-486-68356-7.
- ^ аб Ландау, LD ; Лифшиц, Э.М. (1987). Механика жидкости . Курс теоретической физики. Том. 6 (2-е изд.). Баттерворт-Хайнеманн. стр. 3–4 и 227. ISBN. 0-7506-2767-0.
- ^ Эмануэль, Г. (2001). Аналитическая гидродинамика (второе изд.). ЦРК Пресс. стр. 6–7. ISBN 0-8493-9114-8.
- ^ Эрик В. Вайсштейн . «Конвективный оператор». Математический мир . Проверено 22 июля 2008 г.
дальнейшее чтение