Направленная производная

Мгновенная скорость изменения функции

Направленная производная — это понятие в многомерном исчислении , которое измеряет скорость, с которой функция изменяется в определенном направлении в заданной точке. ^{[ необходима ссылка ]}

Направленная производная многомерной дифференцируемой (скалярной) функции вдоль заданного вектора v в заданной точке x интуитивно представляет мгновенную скорость изменения функции, движущейся через x со скоростью, заданной v .

Направленная производная скалярной функции f по вектору v в точке (например, позиции) x может быть обозначена любым из следующих способов: $${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=f'_{\mathbf {v} }(\mathbf {x} )=D_{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )=Df(\mathbf {x} )(\mathbf {v} )=\partial _{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )=\mathbf {v} \cdot {\nabla f(\mathbf {x} )}=\mathbf {v} \cdot {\frac {\partial f(\mathbf {x} )}{\partial \mathbf {x} }}.}$$

Таким образом, она обобщает понятие частной производной , в которой скорость изменения берется вдоль одной из криволинейных координатных кривых , а все остальные координаты постоянны. Направленная производная является частным случаем производной Гато .

Определение

Контурный график , показывающий вектор градиента черным цветом, а единичный вектор, масштабированный производной по направлению в оранжевом цвете. Вектор градиента длиннее, поскольку градиент указывает в направлении наибольшей скорости роста функции. ${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$

Направленная производная скалярной функции вдоль вектора — это функция, определяемая пределом [ ^1] $${\displaystyle f(\mathbf {x} )=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$$ $${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},\ldots ,v_{n})}$$ ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}}$ $${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\lim _{h\to 0}{\frac {f(\mathbf {x} +h\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{h}}.}$$

Это определение справедливо в широком диапазоне контекстов, например, когда норма вектора (и, следовательно, единичного вектора) не определена. ^[2]

Для дифференцируемых функций

Если функция f дифференцируема в точке x , то производная по направлению существует вдоль любого единичного вектора v в точке x, и имеем

$${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\nabla f(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {v} }$$

где справа обозначает градиент , — скалярное произведение , а v — единичный вектор. ^[3] Это следует из определения пути и использования определения производной как предела, который можно вычислить вдоль этого пути, чтобы получить: ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle h(t)=x+tv}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\lim _{t\to 0}{\frac {f(x+tv)-f(x)-tDf(x)(v)}{t}}\\&=\lim _{t\to 0}{\frac {f(x+tv)-f(x)}{t}}-Df(x)(v)\\&=\nabla _{v}f(x)-Df(x)(v).\end{aligned}}}$$

Интуитивно понятно, что производная по направлению f в точке x представляет собой скорость изменения f в направлении v по отношению к времени при движении мимо x .

Используя только направление вектора

Угол α между касательной A и горизонталью будет максимальным , если секущая плоскость содержит направление градиента A.

В евклидовом пространстве некоторые авторы ^[4] определяют производную по направлению как производную по отношению к произвольному ненулевому вектору v после нормализации , таким образом, не зависящую от его величины и зависящую только от его направления. ^[5]

Это определение дает скорость увеличения f на единицу расстояния, пройденного в направлении, заданном v . В этом случае, имеем или в случае, если f дифференцируема в точке x , $${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\lim _{h\to 0}{\frac {f(\mathbf {x} +h\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{h|\mathbf {v} |}},}$$ $${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\nabla f(\mathbf {x} )\cdot {\frac {\mathbf {v} }{|\mathbf {v} |}}.}$$

Ограничение единичным вектором

В контексте функции на евклидовом пространстве некоторые тексты ограничивают вектор v единичным вектором . С этим ограничением оба приведенных выше определения эквивалентны. ^[6]

Характеристики

Многие из известных свойств обычной производной справедливы для производной по направлению. Они включают в себя, для любых функций f и g, определенных в окрестности и дифференцируемых в точке p :

1. Правило суммы : $${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }(f+g)=\nabla _{\mathbf {v} }f+\nabla _{\mathbf {v} }g.}$$
2. Правило постоянного множителя : для любой константы c , $${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }(cf)=c\nabla _{\mathbf {v} }f.}$$
3. Правило произведения (или правило Лейбница ): $${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }(fg)=g\nabla _{\mathbf {v} }f+f\nabla _{\mathbf {v} }g.}$$
4. Правило цепочки : Если g дифференцируема в точке p и h дифференцируема в точке g ( p ), то $${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }(h\circ g)(\mathbf {p} )=h'(g(\mathbf {p} ))\nabla _{\mathbf {v} }g(\mathbf {p} ).}$$

В дифференциальной геометрии

Пусть M — дифференцируемое многообразие , а p — точка M. Предположим, что f — функция, определенная в окрестности p и дифференцируемая в точке p . Если v — касательный вектор к M в точке p , то производная по направлению функции f вдоль v , обозначаемая по-разному как df ( v ) (см. Внешняя производная ), (см. Ковариантная производная ), (см. Производная Ли ) или (см. Касательное пространство § Определение через деривации ), может быть определена следующим образом. Пусть γ  : [−1, 1] → M — дифференцируемая кривая с γ (0) = p и γ ′(0) = v . Тогда производная по направлению определяется как Это определение можно доказать независимо от выбора γ , при условии, что γ выбрано предписанным образом так, что γ (0) = p и γ ′(0) = v . ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }f(\mathbf {p} )}$ ${\displaystyle L_{\mathbf {v} }f(\mathbf {p} )}$ ${\displaystyle {\mathbf {v} }_{\mathbf {p} }(f)}$ $${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }f(\mathbf {p} )=\left.{\frac {d}{d\tau }}f\circ \gamma (\tau )\right|_{\tau =0}.}$$

Производная Ли

Производная Ли векторного поля вдоль векторного поля задается разностью двух производных по направлению (с нулевым кручением): В частности, для скалярного поля производная Ли сводится к стандартной производной по направлению: ${\displaystyle W^{\mu }(x)}$ ${\displaystyle V^{\mu }(x)}$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{V}W^{\mu }=(V\cdot \nabla )W^{\mu }-(W\cdot \nabla )V^{\mu }.}$$ ${\displaystyle \phi (x)}$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{V}\phi =(V\cdot \nabla )\phi .}$$

Тензор Римана

Направленные производные часто используются во вводных выводах тензора кривизны Римана . Рассмотрим изогнутый прямоугольник с бесконечно малым вектором вдоль одного края и вдоль другого. Мы переносим ковектор вдоль , а затем вычитаем перенос вдоль и затем . Вместо построения направленной производной с использованием частных производных мы используем ковариантную производную . Оператор переноса для равен , таким образом , и для , Разница между двумя путями равна , тогда Можно утверждать ^[7] , что некоммутативность ковариантных производных измеряет кривизну многообразия: где — тензор кривизны Римана, а знак зависит от соглашения автора о знаках . ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta '}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta '}$ ${\displaystyle \delta '}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta }$ $${\displaystyle 1+\sum _{\nu }\delta ^{\nu }D_{\nu }=1+\delta \cdot D,}$$ ${\displaystyle \delta '}$ $${\displaystyle 1+\sum _{\mu }\delta '^{\mu }D_{\mu }=1+\delta '\cdot D.}$$ $${\displaystyle (1+\delta '\cdot D)(1+\delta \cdot D)S^{\rho }-(1+\delta \cdot D)(1+\delta '\cdot D)S^{\rho }=\sum _{\mu ,\nu }\delta '^{\mu }\delta ^{\nu }[D_{\mu },D_{\nu }]S_{\rho }.}$$ $${\displaystyle [D_{\mu },D_{\nu }]S_{\rho }=\pm \sum _{\sigma }R^{\sigma }{}_{\rho \mu \nu }S_{\sigma },}$$ ${\displaystyle R}$

В теории групп

Переводы

В алгебре Пуанкаре мы можем определить бесконечно малый оператор сдвига P как ( i гарантирует, что P является самосопряженным оператором ) Для конечного смещения λ унитарное представление гильбертова пространства для сдвигов имеет вид ^[8] Используя приведенное выше определение бесконечно малого оператора сдвига, мы видим, что конечный оператор сдвига является экспоненциальной производной по направлению: Это оператор сдвига в том смысле, что он действует на многомерные функции f ( x ) как $${\displaystyle \mathbf {P} =i\nabla .}$$ $${\displaystyle U({\boldsymbol {\lambda }})=\exp \left(-i{\boldsymbol {\lambda }}\cdot \mathbf {P} \right).}$$ $${\displaystyle U({\boldsymbol {\lambda }})=\exp \left({\boldsymbol {\lambda }}\cdot \nabla \right).}$$ $${\displaystyle U({\boldsymbol {\lambda }})f(\mathbf {x} )=\exp \left({\boldsymbol {\lambda }}\cdot \nabla \right)f(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} +{\boldsymbol {\lambda }}).}$$

Доказательство последнего уравнения

В стандартном одномерном исчислении производная гладкой функции f ( x ) определяется как (для малых ε ) Это можно переставить, чтобы найти f ( x + ε ): Отсюда следует, что — оператор переноса. Это мгновенно обобщается ^[9] на многомерные функции f ( x ) Здесь — производная по направлению вдоль бесконечно малого смещения ε . Мы нашли бесконечно малую версию оператора переноса: Очевидно, что закон группового умножения ^[10] U ( g ) U ( f )= U ( gf ) принимает вид Итак, предположим, что мы берем конечное смещение λ и делим его на N частей ( N →∞ подразумевается всюду), так что λ / N = ε . Другими словами, тогда, применяя U ( ε ) N раз, мы можем построить U ( λ ): Теперь мы можем подставить наше приведенное выше выражение для U( ε ): Используя тождество ^[11], мы имеем И поскольку U ( ε ) f ( x ) = f ( x + ε ), мы имеем QED $${\displaystyle {\frac {df}{dx}}={\frac {f(x+\varepsilon )-f(x)}{\varepsilon }}.}$$ $${\displaystyle f(x+\varepsilon )=f(x)+\varepsilon \,{\frac {df}{dx}}=\left(1+\varepsilon \,{\frac {d}{dx}}\right)f(x).}$$ ${\displaystyle [1+\varepsilon \,(d/dx)]}$ $${\displaystyle f(\mathbf {x} +{\boldsymbol {\varepsilon }})=\left(1+{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \nabla \right)f(\mathbf {x} ).}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \nabla }$ $${\displaystyle U({\boldsymbol {\varepsilon }})=1+{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \nabla .}$$ $${\displaystyle U(\mathbf {a} )U(\mathbf {b} )=U(\mathbf {a+b} ).}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\lambda }}=N{\boldsymbol {\varepsilon }}.}$$ $${\displaystyle [U({\boldsymbol {\varepsilon }})]^{N}=U(N{\boldsymbol {\varepsilon }})=U({\boldsymbol {\lambda }}).}$$ $${\displaystyle [U({\boldsymbol {\varepsilon }})]^{N}=\left[1+{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \nabla \right]^{N}=\left[1+{\frac {{\boldsymbol {\lambda }}\cdot \nabla }{N}}\right]^{N}.}$$ $${\displaystyle \exp(x)=\left[1+{\frac {x}{N}}\right]^{N},}$$ $${\displaystyle U({\boldsymbol {\lambda }})=\exp \left({\boldsymbol {\lambda }}\cdot \nabla \right).}$$ $${\displaystyle [U({\boldsymbol {\varepsilon }})]^{N}f(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} +N{\boldsymbol {\varepsilon }})=f(\mathbf {x} +{\boldsymbol {\lambda }})=U({\boldsymbol {\lambda }})f(\mathbf {x} )=\exp \left({\boldsymbol {\lambda }}\cdot \nabla \right)f(\mathbf {x} ),}$$

В качестве технического примечания, эта процедура возможна только потому, что группа трансляций образует абелеву подгруппу ( подалгебру Картана ) в алгебре Пуанкаре. В частности, закон умножения групп U ( a ) U ( b ) = U ( a + b ) не следует принимать как должное. Мы также отметим, что Пуанкаре является связной группой Ли . Это группа преобразований T ( ξ ), которые описываются непрерывным набором действительных параметров . Закон умножения групп принимает вид Взяв в качестве координат тождества, мы должны иметь Фактические операторы в гильбертовом пространстве представлены унитарными операторами U ( T ( ξ )). В приведенных выше обозначениях мы опустили T ; теперь мы записываем U ( λ ) как U ( P ( λ )). Для небольшой окрестности вокруг тождества представление степенного ряда довольно хорошее. Предположим, что U(T(ξ)) образуют непроективное представление, т. е. Разложение f во вторую степень равно После разложения уравнения умножения представления и приравнивания коэффициентов мы имеем нетривиальное условие Поскольку по определению симметрично по своим индексам, мы имеем стандартный коммутатор алгебры Ли : с C — структурной константой . Генераторы для трансляций — это операторы частных производных, которые коммутируют: Это означает, что структурные константы обращаются в нуль, и, таким образом, квадратичные коэффициенты в разложении f также обращаются в нуль. Это означает, что f просто аддитивна: и, таким образом, для абелевых групп QED ${\displaystyle \xi ^{a}}$ $${\displaystyle T({\bar {\xi }})T(\xi )=T(f({\bar {\xi }},\xi )).}$$ ${\displaystyle \xi ^{a}=0}$ $${\displaystyle f^{a}(\xi ,0)=f^{a}(0,\xi )=\xi ^{a}.}$$ $${\displaystyle U(T(\xi ))=1+i\sum _{a}\xi ^{a}t_{a}+{\frac {1}{2}}\sum _{b,c}\xi ^{b}\xi ^{c}t_{bc}+\cdots }$$ $${\displaystyle U(T({\bar {\xi }}))U(T(\xi ))=U(T(f({\bar {\xi }},\xi ))).}$$ $${\displaystyle f^{a}({\bar {\xi }},\xi )=\xi ^{a}+{\bar {\xi }}^{a}+\sum _{b,c}f^{abc}{\bar {\xi }}^{b}\xi ^{c}.}$$ $${\displaystyle t_{bc}=-t_{b}t_{c}-i\sum _{a}f^{abc}t_{a}.}$$ ${\displaystyle t_{ab}}$ $${\displaystyle [t_{b},t_{c}]=i\sum _{a}(-f^{abc}+f^{acb})t_{a}=i\sum _{a}C^{abc}t_{a},}$$ $${\displaystyle \left[{\frac {\partial }{\partial x^{b}}},{\frac {\partial }{\partial x^{c}}}\right]=0.}$$ $${\displaystyle f_{\text{abelian}}^{a}({\bar {\xi }},\xi )=\xi ^{a}+{\bar {\xi }}^{a},}$$ $${\displaystyle U(T({\bar {\xi }}))U(T(\xi ))=U(T({\bar {\xi }}+\xi )).}$$

Вращения

Оператор вращения также содержит производную по направлению. Оператор вращения для угла θ , т.е. на величину θ = | θ | вокруг оси, параллельной , равен Здесь L — векторный оператор, который генерирует SO(3) : Можно геометрически показать, что бесконечно малый поворот вправо изменяет вектор положения x на Поэтому мы ожидаем при бесконечно малом повороте: Из этого следует, что Следуя той же процедуре возведения в степень, что и выше, мы приходим к оператору вращения в базисе положения, который является экспоненциальной производной по направлению: ^[12] ${\displaystyle {\hat {\theta }}={\boldsymbol {\theta }}/\theta }$ $${\displaystyle U(R(\mathbf {\theta } ))=\exp(-i\mathbf {\theta } \cdot \mathbf {L} ).}$$ $${\displaystyle \mathbf {L} ={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\end{pmatrix}}\mathbf {i} +{\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}}\mathbf {j} +{\begin{pmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\mathbf {k} .}$$ $${\displaystyle \mathbf {x} \rightarrow \mathbf {x} -\delta {\boldsymbol {\theta }}\times \mathbf {x} .}$$ $${\displaystyle U(R(\delta {\boldsymbol {\theta }}))f(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} -\delta {\boldsymbol {\theta }}\times \mathbf {x} )=f(\mathbf {x} )-(\delta {\boldsymbol {\theta }}\times \mathbf {x} )\cdot \nabla f.}$$ $${\displaystyle U(R(\delta \mathbf {\theta } ))=1-(\delta \mathbf {\theta } \times \mathbf {x} )\cdot \nabla .}$$ $${\displaystyle U(R(\mathbf {\theta } ))=\exp(-(\mathbf {\theta } \times \mathbf {x} )\cdot \nabla ).}$$

Нормальная производная

Нормальная производная — это производная по направлению, взятая в направлении, нормальном (то есть ортогональном ) к некоторой поверхности в пространстве, или, в более общем смысле, вдоль нормального векторного поля, ортогонального к некоторой гиперповерхности . См., например, граничное условие Неймана . Если нормальное направление обозначено как , то нормальная производная функции f иногда обозначается как . В других обозначениях, ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\textstyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {n} }}}$ $${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {n} }}=\nabla f(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {n} =\nabla _{\mathbf {n} }{f}(\mathbf {x} )={\frac {\partial f}{\partial \mathbf {x} }}\cdot \mathbf {n} =Df(\mathbf {x} )[\mathbf {n} ].}$$

В механике сплошных сред твердых тел

Несколько важных результатов в механике сплошной среды требуют производных векторов по векторам и тензоров по векторам и тензорам. ^[13] Направленная директива обеспечивает систематический способ нахождения этих производных.

Определения производных по направлению для различных ситуаций приведены ниже. Предполагается, что функции достаточно гладкие, чтобы можно было взять производные.

Производные скалярных функций векторов

Пусть f (v) — вещественная функция вектора v. Тогда производная f (v) по v (или по v) — это вектор, определяемый через его скалярное произведение с любым вектором u, равным

$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =Df(\mathbf {v} )[\mathbf {u} ]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~f(\mathbf {v} +\alpha ~\mathbf {u} )\right]_{\alpha =0}}$$

для всех векторов u. Вышеприведенное скалярное произведение дает скаляр, а если u — единичный вектор, то дает производную по направлению f в точке v в направлении u.

Характеристики:

1. Если тогда ${\displaystyle f(\mathbf {v} )=f_{1}(\mathbf {v} )+f_{2}(\mathbf {v} )}$ ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial \mathbf {v} }}+{\frac {\partial f_{2}}{\partial \mathbf {v} }}\right)\cdot \mathbf {u} }$
2. Если тогда ${\displaystyle f(\mathbf {v} )=f_{1}(\mathbf {v} )~f_{2}(\mathbf {v} )}$ ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} \right)~f_{2}(\mathbf {v} )+f_{1}(\mathbf {v} )~\left({\frac {\partial f_{2}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} \right)}$
3. Если тогда ${\displaystyle f(\mathbf {v} )=f_{1}(f_{2}(\mathbf {v} ))}$ ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} ={\frac {\partial f_{1}}{\partial f_{2}}}~{\frac {\partial f_{2}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} }$

Производные векторнозначных функций векторов

Пусть f(v) — векторная функция вектора v. Тогда производная f(v) по v (или по v) — это тензор второго порядка, определяемый через его скалярное произведение с любым вектором u, равным

$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =D\mathbf {f} (\mathbf {v} )[\mathbf {u} ]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~\mathbf {f} (\mathbf {v} +\alpha ~\mathbf {u} )\right]_{\alpha =0}}$$

для всех векторов u. Вышеприведенное скалярное произведение дает вектор, и если u — единичный вектор, дает производную по направлению от f в точке v, в направлении u.

Характеристики:

1. Если тогда ${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {v} )=\mathbf {f} _{1}(\mathbf {v} )+\mathbf {f} _{2}(\mathbf {v} )}$ ${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =\left({\frac {\partial \mathbf {f} _{1}}{\partial \mathbf {v} }}+{\frac {\partial \mathbf {f} _{2}}{\partial \mathbf {v} }}\right)\cdot \mathbf {u} }$
2. Если тогда ${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {v} )=\mathbf {f} _{1}(\mathbf {v} )\times \mathbf {f} _{2}(\mathbf {v} )}$ ${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =\left({\frac {\partial \mathbf {f} _{1}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} \right)\times \mathbf {f} _{2}(\mathbf {v} )+\mathbf {f} _{1}(\mathbf {v} )\times \left({\frac {\partial \mathbf {f} _{2}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} \right)}$
3. Если тогда ${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {v} )=\mathbf {f} _{1}(\mathbf {f} _{2}(\mathbf {v} ))}$ ${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} ={\frac {\partial \mathbf {f} _{1}}{\partial \mathbf {f} _{2}}}\cdot \left({\frac {\partial \mathbf {f} _{2}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} \right)}$

Производные скалярных функций тензоров второго порядка

Пусть — вещественная функция тензора второго порядка . Тогда производная по (или при ) по направлению — это тензор второго порядка , определяемый как для всех тензоров второго порядка . ${\displaystyle f({\boldsymbol {S}})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$ ${\displaystyle f({\boldsymbol {S}})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {T}}}$ $${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=Df({\boldsymbol {S}})[{\boldsymbol {T}}]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~f({\boldsymbol {S}}+\alpha ~{\boldsymbol {T}})\right]_{\alpha =0}}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {T}}}$

Характеристики:

1. Если тогда ${\displaystyle f({\boldsymbol {S}})=f_{1}({\boldsymbol {S}})+f_{2}({\boldsymbol {S}})}$ ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}+{\frac {\partial f_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}\right):{\boldsymbol {T}}}$
2. Если тогда ${\displaystyle f({\boldsymbol {S}})=f_{1}({\boldsymbol {S}})~f_{2}({\boldsymbol {S}})}$ ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)~f_{2}({\boldsymbol {S}})+f_{1}({\boldsymbol {S}})~\left({\frac {\partial f_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)}$
3. Если тогда ${\displaystyle f({\boldsymbol {S}})=f_{1}(f_{2}({\boldsymbol {S}}))}$ ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}={\frac {\partial f_{1}}{\partial f_{2}}}~\left({\frac {\partial f_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)}$

Производные тензорнозначных функций тензоров второго порядка

Пусть — тензорная функция второго порядка тензора второго порядка . Тогда производная по (или при ) в направлении — это тензор четвертого порядка, определяемый как для всех тензоров второго порядка . ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {T}}}$ $${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {F}}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=D{\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})[{\boldsymbol {T}}]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~{\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}}+\alpha ~{\boldsymbol {T}})\right]_{\alpha =0}}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {T}}}$

Характеристики:

1. Если тогда ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})={\boldsymbol {F}}_{1}({\boldsymbol {S}})+{\boldsymbol {F}}_{2}({\boldsymbol {S}})}$ ${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {F}}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=\left({\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{1}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}+{\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}\right):{\boldsymbol {T}}}$
2. Если тогда ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})={\boldsymbol {F}}_{1}({\boldsymbol {S}})\cdot {\boldsymbol {F}}_{2}({\boldsymbol {S}})}$ ${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {F}}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=\left({\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{1}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)\cdot {\boldsymbol {F}}_{2}({\boldsymbol {S}})+{\boldsymbol {F}}_{1}({\boldsymbol {S}})\cdot \left({\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)}$
3. Если тогда ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})={\boldsymbol {F}}_{1}({\boldsymbol {F}}_{2}({\boldsymbol {S}}))}$ ${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {F}}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}={\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{1}}{\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}}:\left({\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)}$
4. Если тогда ${\displaystyle f({\boldsymbol {S}})=f_{1}({\boldsymbol {F}}_{2}({\boldsymbol {S}}))}$ ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}={\frac {\partial f_{1}}{\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}}:\left({\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)}$

Смотрите также

• Del в цилиндрических и сферических координатах  – Математический оператор градиента в некоторых системах координат
• Дифференциальная форма  – выражение, которое может быть интегрировано по области.
• Связность Эресмана  – дифференциальная геометрическая конструкция на расслоениях волокон
• Производная Фреше  – Производная, определенная на нормированных пространствах
• Производная Гато  – Обобщение понятия производной по направлению
• Обобщения производной  – Фундаментальная конструкция дифференциального исчисления
• Полудифференцируемость
• производная Адамара
• Производная Ли  – производная в дифференциальной геометрии
• Материальная производная  – скорость изменения во времени некоторой физической величины материального элемента в поле скоростей.
• Структурный тензор  – Тензор, связанный с градиентами
• Производная тензора (механика сплошной среды)
• Полная производная  – Тип производной в математике

Примечания

1. Р. Вреде; М. Р. Шпигель (2010). Advanced Calculus (3-е изд.). Серия Schaum's Outline. ISBN 978-0-07-162366-7.
2. Применимость распространяется на функции над пространствами без метрики и на дифференцируемые многообразия , такие как в общей теории относительности .
3. Если скалярное произведение не определено, градиент также не определен; однако для дифференцируемой f производная по направлению все еще определена, и аналогичное соотношение существует с внешней производной.
4. Томас, Джордж Б. младший; и Финни, Росс Л. (1979) Исчисление и аналитическая геометрия , Addison-Wesley Publ. Co., пятое издание, стр. 593.
5. Обычно это предполагает евклидово пространство — например, функция нескольких переменных обычно не имеет определения величины вектора и, следовательно, единичного вектора.
6. Хьюз Халлетт, Дебора ; МакКаллум, Уильям Г.; Глисон , Эндрю М. (2012-01-01). Исчисление: одно- и многомерное . Джон Уайли. стр. 780. ISBN 9780470888612. OCLC  828768012.
7. Zee, A. (2013). Гравитация Эйнштейна в двух словах . Принстон: Princeton University Press. стр. 341. ISBN 9780691145587.
8. Вайнберг, Стивен (1999). Квантовая теория полей (Переиздано (с корр.). Кембридж [ua]: Cambridge Univ. Press. ISBN 9780521550017.
9. Zee, A. (2013). Гравитация Эйнштейна в двух словах . Принстон: Princeton University Press. ISBN 9780691145587.
10. Кэхилл, Кевин Кэхилл (2013). Физическая математика (переиздание). Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 978-1107005211.
11. Ларсон, Рон; Эдвардс, Брюс Х. (2010). Исчисление одной переменной (9-е изд.). Belmont: Brooks/Cole. ISBN 9780547209982.
12. Шанкар, Р. (1994). Принципы квантовой механики (2-е изд.). Нью-Йорк: Kluwer Academic / Plenum. стр. 318. ISBN 9780306447907.
13. Дж. Э. Марсден и Т. Дж. Р. Хьюз, 2000, Математические основы теории упругости , Довер.

Ссылки

• Хильдебранд, Ф. Б. (1976). Advanced Calculus for Applications . Prentice Hall. ISBN 0-13-011189-9.
• KF Riley; MP Hobson; SJ Bence (2010). Математические методы для физики и техники . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86153-3.
• Шапиро, А. (1990). «О концепциях направленной дифференцируемости». Журнал теории оптимизации и приложений . 66 (3): 477–487. doi :10.1007/BF00940933. S2CID  120253580.

Внешние ссылки

Медиа, связанные с Directional derived на Wikimedia Commons

• Направленные производные в MathWorld .
• Направленная производная в PlanetMath .