Кинетическая энергия турбулентности

Средняя кинетическая энергия на единицу массы вихрей в турбулентном потоке

В гидродинамике кинетическая энергия турбулентности ( TKE ) — это средняя кинетическая энергия на единицу массы, связанная с вихрями в турбулентном потоке . Физически кинетическая энергия турбулентности характеризуется измеренными среднеквадратичными (RMS) флуктуациями скорости. В усредненных по Рейнольдсу уравнениях Навье-Стокса кинетическая энергия турбулентности может быть рассчитана на основе метода замыкания, т.е. модели турбулентности .

TKE можно определить как половину суммы дисперсий σ² (квадрат стандартных отклонений σ) флуктуирующих компонентов скорости: где каждый компонент турбулентной скорости представляет собой разницу между мгновенной и средней скоростью: ( разложение Рейнольдса ). Среднее значение и дисперсия соответственно. $${\displaystyle k={\frac {1}{2}}(\sigma _{u}^{2}+\sigma _{v}^{2}+\sigma _{w}^{2})={\frac {1}{2}}\left(\,{\overline {(u')^{2}}}+{\overline {(v')^{2}}}+{\overline {(w')^{2}}}\,\right),}$$ ${\displaystyle u'=u-{\overline {u}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {u'}}&={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}(u(t)-{\overline {u}})\,dt=0,\\[4pt]{\overline {(u')^{2}}}&={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}(u(t)-{\overline {u}})^{2}\,dt\geq 0=\sigma _{u}^{2},\end{aligned}}}$$

TKE может быть создан за счет сдвига жидкости, трения или плавучести или за счет внешнего воздействия на низкочастотных вихревых масштабах (интегральный масштаб). Кинетическая энергия турбулентности затем передается вниз по каскаду энергии турбулентности и рассеивается вязкими силами в масштабе Колмогорова . Этот процесс производства, транспортировки и рассеивания можно выразить как: где: ^[1] $${\displaystyle {\frac {Dk}{Dt}}+\nabla \cdot T'=P-\varepsilon ,}$$

• ${\displaystyle {\tfrac {Dk}{Dt}}}$‍ ‍ — производная от ТКЕ для среднего расхода материала ;
• ∇ · T′ – турбулентный перенос ТКЭ;
• П – производство ТКЕ, а
• ε — диссипация ТКЭ.

Предполагая, что молекулярная вязкость постоянна, и используя приближение Буссинеска , уравнение ТКЕ имеет вид: $${\displaystyle \underbrace {\frac {\partial k}{\partial t}} _{{\text{Local}} \atop {\text{derivative}}}\!\!\!+\ \underbrace {{\overline {u}}_{j}{\frac {\partial k}{\partial x_{j}}}} _{{\text{Advection}} \atop {}}=-\underbrace {{\frac {1}{\rho _{o}}}{\frac {\partial {\overline {u'_{i}p'}}}{\partial x_{i}}}} _{{\text{Pressure}} \atop {\text{diffusion}}}-\underbrace {{\frac {1}{2}}{\frac {\partial {\overline {u_{j}'u_{j}'u_{i}'}}}{\partial x_{i}}}} _{{{\text{Turbulent}} \atop {\text{transport}}} \atop {\mathcal {T}}}+\underbrace {\nu {\frac {\partial ^{2}k}{\partial x_{j}^{2}}}} _{{{\text{Molecular}} \atop {\text{viscous}}} \atop {\text{transport}}}-\underbrace {{\overline {u'_{i}u'_{j}}}{\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial x_{j}}}} _{{\text{Production}} \atop {\mathcal {P}}}-\underbrace {\nu {\overline {{\frac {\partial u'_{i}}{\partial x_{j}}}{\frac {\partial u'_{i}}{\partial x_{j}}}}}} _{{\text{Dissipation}} \atop \varepsilon _{k}}-\underbrace {{\frac {g}{\rho _{o}}}{\overline {\rho 'u'_{i}}}\delta _{i3}} _{{\text{Buoyancy flux}} \atop b}}$$

Изучая эти явления, можно найти баланс кинетической энергии турбулентности для конкретного потока. ^[2]

Вычислительная гидродинамика

В вычислительной гидродинамике (CFD) невозможно численно смоделировать турбулентность без дискретизации поля потока до микромасштабов Колмогорова , что называется прямым численным моделированием (DNS). Поскольку моделирование DNS является непомерно дорогим из-за накладных расходов на память, вычисления и хранение, для моделирования эффектов турбулентности используются модели турбулентности. Используются различные модели, но обычно TKE является фундаментальным свойством потока, которое необходимо рассчитать для моделирования турбулентности жидкости.

Усредненные по Рейнольдсу уравнения Навье – Стокса

Моделирование Навье-Стокса с усреднением по Рейнольдсу (RANS) использует гипотезу вихревой вязкости Буссинеска ^[3] для расчета напряжения Рейнольдса , возникающего в результате процедуры усреднения: где $${\displaystyle {\overline {u'_{i}u'_{j}}}={\frac {2}{3}}k\delta _{ij}-\nu _{t}\left({\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial {\overline {u_{j}}}}{\partial x_{i}}}\right),}$$ $${\displaystyle \nu _{t}=c\cdot {\sqrt {k}}\cdot l_{m}.}$$

Точный метод определения TKE зависит от используемой модели турбулентности; Модели k – ε (k – эпсилон) предполагают изотропность турбулентности, при которой нормальные напряжения равны: $${\displaystyle {\overline {(u')^{2}}}={\overline {(v')^{2}}}={\overline {(w')^{2}}}.}$$

Это предположение упрощает моделирование величин турбулентности ( k и ε ), но не будет точным в сценариях, где доминирует анизотропное поведение турбулентных напряжений, а последствия этого при возникновении турбулентности также приводят к завышенному прогнозированию, поскольку производство зависит от среднюю скорость деформации, а не разность нормальных напряжений (поскольку они по предположению равны). ^[4]

В моделях напряжения Рейнольдса (RSM) используется другой метод для закрытия напряжений Рейнольдса, при котором нормальные напряжения не считаются изотропными, поэтому можно избежать проблем с производством TKE.

Первоначальные условия

Точное определение TKE в качестве начальных условий при моделировании CFD важно для точного прогнозирования потоков, особенно при моделировании с высоким числом Рейнольдса. Пример гладкого воздуховода приведен ниже. где I — начальная интенсивность турбулентности [%], указанная ниже, а U — начальная величина скорости. В качестве примера потоков в трубах, где число Рейнольдса зависит от диаметра трубы: $${\displaystyle k={\frac {3}{2}}(UI)^{2},}$$ $${\displaystyle I=0.16Re^{-{\frac {1}{8}}}.}$$

Здесь l — масштаб длины турбулентности или вихря, приведенный ниже, а c _μ — параметр модели k – ε , значение которого обычно задается равным 0,09;

$${\displaystyle \varepsilon ={c_{\mu }}^{\frac {3}{4}}k^{\frac {3}{2}}l^{-1}.}$$

Масштаб турбулентной длины можно оценить как характерную длину L. Для внутренних потоков это может быть значение ширины (или диаметра) впускного канала (или трубы) или гидравлического диаметра. ^[5] $${\displaystyle l=0.07L,}$$

Рекомендации

1. Папа, SB (2000). Турбулентные потоки . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . стр. 122–134. ISBN 978-0521598866.
2. Бальдокки, Д. (2005), Лекция 16, Ветер и турбулентность, Часть 1, Поверхностный пограничный слой: теория и принципы , Отдел экосистемных наук, Департамент экологических наук, политики и управления, Калифорнийский университет, Беркли, Калифорния: США.
3. Буссинеск, СП (1877). «Теория де л'Экулемент Турбийант». Память Презентации Par Divers Savants Acad. наук. Инст. о . 23 : 46–50.
4. Лоуренс, Д. (2002). «Применение усредненных уравнений Рейнольдса Навье-Стокса к промышленным потокам». Ин ван Бек, JPAJ; Беноччи, К. (ред.). Введение в моделирование турбулентности, состоялось 18–22 марта 2002 г. в Институте гидродинамики фон Кармана . Синт-Генезиус-Роде : Институт гидродинамики фон Кармана .
5. Флорес Оррего; и другие. (2012). «Экспериментальное и CFD-исследование однофазного конусообразного спирального спирального теплообменника: эмпирическая корреляция». Материалы ECOS 2012 – 25-й Международной конференции по эффективности, стоимости, оптимизации, моделированию и воздействию энергетических систем на окружающую среду, 26–29 июня 2012 г., Перуджа, Италия . ISBN 978-88-6655-322-9.

дальнейшее чтение

• Кинетическая энергия турбулентности в CFD Online.
• Абси, Р. (2008). «Аналитические решения моделируемого k -уравнения». Журнал прикладной механики . 75 (44501): 044501. Бибкод : 2008JAM....75d4501A. дои : 10.1115/1.2912722.
• Лейси, RWJ; Нири, В.С.; Ляо, JC; Эндерс, ЕС; Тритико, HM (2012). «Рамка IPOS: связь между плавательными показателями рыб в измененных потоках от лабораторных экспериментов до рек». Река Рес. Приложение. 28 (4), стр. 429–443. doi:10.1002/rra.1584.
• Уилкокс, округ Колумбия (2006). «Моделирование турбулентности для CFD». Третье издание. DCW Industries, Канада, США. ISBN 978-1-928729-08-2.