стресс Рейнольдса

Концепция механики жидкости

В гидродинамике напряжение Рейнольдса является компонентом тензора полного напряжения в жидкости, полученного в результате операции усреднения по уравнениям Навье–Стокса для учета турбулентных колебаний импульса жидкости .

Определение

Поле скорости потока можно разделить на среднюю часть и флуктуационную часть, используя разложение Рейнольдса . Запишем

${\displaystyle u_{i}={\overline {u_{i}}}+u_{i}',\,}$

где - вектор скорости потока, имеющий компоненты в направлении координат (с обозначением компонентов вектора координат ). Средние скорости определяются либо усреднением по времени , либо пространственным усреднением, либо усреднением по ансамблю , в зависимости от изучаемого течения. Далее обозначает флуктуационную (турбулентную) часть скорости. ${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle u_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle {\overline {u_{i}}}}$ ${\displaystyle u'_{i}}$

Рассмотрим однородную жидкость, плотность ρ которой принимается постоянной. Для такой жидкости компоненты τ' _ij тензора напряжений Рейнольдса определяются как:

${\displaystyle \tau '_{ij}\equiv \rho \,{\overline {u'_{i}\,u'_{j}}},\,}$

Другое — часто используемое — определение компонентов напряжения Рейнольдса для постоянной плотности выглядит так:

${\displaystyle \tau ''_{ij}\equiv {\overline {u'_{i}\,u'_{j}}},\,}$

который имеет размерность квадрата скорости, а не напряжения.

Усреднение и напряжение Рейнольдса

Для иллюстрации используется декартова векторная индексная нотация. Для простоты рассмотрим несжимаемую жидкость :

Учитывая скорость жидкости как функцию положения и времени, запишем среднюю скорость жидкости как , а флуктуацию скорости — . Тогда . ${\displaystyle u_{i}}$ ${\displaystyle {\overline {u_{i}}}}$ ${\displaystyle u'_{i}}$ ${\displaystyle u_{i}={\overline {u_{i}}}+u'_{i}}$

Обычные ансамблевые правила усреднения таковы:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {\bar {a}}}&={\bar {a}},\\{\overline {a+b}}&={\bar {a}}+{\bar {b}},\\{\overline {a{\bar {b}}}}&={\bar {a}}{\bar {b}}.\end{aligned}}}$

Разделим уравнения Эйлера (гидродинамика) или уравнения Навье-Стокса на среднюю и флуктуирующую части. Найдем, что при усреднении уравнений жидкости напряжение в правой части появляется в форме . Это напряжение Рейнольдса, традиционно записанное : ${\displaystyle \rho {\overline {u'_{i}u'_{j}}}}$ ${\displaystyle R_{ij}}$

${\displaystyle R_{ij}\ \equiv \ \rho {\overline {u'_{i}u'_{j}}}}$

Дивергенция этого напряжения представляет собой плотность силы , действующей на жидкость из-за турбулентных колебаний.

Усреднение Рейнольдса уравнений Навье–Стокса

Например, для несжимаемой вязкой ньютоновской жидкости уравнения неразрывности и импульса — несжимаемые уравнения Навье–Стокса — можно записать ( в неконсервативной форме) как

${\displaystyle {\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{i}}}=0,}$

и

${\displaystyle \rho {\frac {Du_{i}}{Dt}}=-{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}\right),}$

где — производная Лагранжа или субстанциальная производная , ${\displaystyle D/Dt}$

${\displaystyle {\frac {D}{Dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}+u_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}.}$

Определяя переменные потока выше с усредненным по времени компонентом и флуктуирующим компонентом, уравнения непрерывности и импульса становятся

${\displaystyle {\frac {\partial \left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)}{\partial x_{i}}}=0,}$

и

${\displaystyle \rho \left[{\frac {\partial \left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)}{\partial t}}+\left({\overline {u_{j}}}+u_{j}'\right){\frac {\partial \left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)}{\partial x_{j}}}\right]=-{\frac {\partial \left({\bar {p}}+p'\right)}{\partial x_{i}}}+\mu \left[{\frac {\partial ^{2}\left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}\right].}$

Рассматривая один из членов в левой части уравнения импульса, видим, что

${\displaystyle \left({\overline {u_{j}}}+u_{j}'\right){\frac {\partial \left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)}{\partial x_{j}}}={\frac {\partial \left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)\left({\overline {u_{j}}}+u_{j}'\right)}{\partial x_{j}}}-\left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right){\frac {\partial \left({\overline {u_{j}}}+u_{j}'\right)}{\partial x_{j}}},}$

где последний член в правой части исчезает в результате уравнения непрерывности. Соответственно, уравнение импульса становится

${\displaystyle \rho \left[{\frac {\partial \left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)}{\partial t}}+{\frac {\partial \left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)\left({\overline {u_{j}}}+u_{j}'\right)}{\partial x_{j}}}\right]=-{\frac {\partial \left({\bar {p}}+p'\right)}{\partial x_{i}}}+\mu \left[{\frac {\partial ^{2}\left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}\right].}$

Теперь уравнения непрерывности и импульса будут усреднены. Необходимо использовать ансамблевые правила усреднения, имея в виду, что среднее значение произведений флуктуирующих величин в общем случае не исчезнет. После усреднения уравнения непрерывности и импульса станут

${\displaystyle {\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial x_{i}}}=0,}$

и

${\displaystyle \rho \left[{\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial t}}+{\frac {\partial {\overline {u_{i}}}\,{\overline {u_{j}}}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial {\overline {u_{i}'u_{j}'}}}{\partial x_{j}}}\right]=-{\frac {\partial {\bar {p}}}{\partial x_{i}}}+\mu {\frac {\partial ^{2}{\overline {u_{i}}}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}.}$

Используя правило произведения на одном из членов левой части, выявляется, что

${\displaystyle {\frac {\partial {\overline {u_{i}}}\,{\overline {u_{j}}}}{\partial x_{j}}}={\overline {u_{j}}}{\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial x_{j}}}+{\overline {u_{i}}}{\frac {\partial {\overline {u_{j}}}}{\partial x_{j}}},}$

где последний член в правой части исчезает в результате усредненного уравнения непрерывности. Усредненное уравнение импульса теперь становится, после перестановки:

${\displaystyle \rho \left[{\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial t}}+{\overline {u_{j}}}{\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial x_{j}}}\right]=-{\frac {\partial {\bar {p}}}{\partial x_{i}}}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left(\mu {\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial x_{j}}}-\rho {\overline {u_{i}'u_{j}'}}\right),}$

где напряжения Рейнольдса, , собраны с членами вязкого нормального и касательного напряжений , . ${\displaystyle \rho {\overline {u_{i}'u_{j}'}}}$ ${\displaystyle \mu {\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial x_{j}}}}$

Обсуждение

Уравнение эволюции во времени напряжения Рейнольдса было впервые дано уравнением (1.6) в статье Чжоу Пэйюаня . ^[1] Уравнение в современной форме имеет вид , где - кинематическая вязкость , а последний член - скорость турбулентной диссипации. Это уравнение очень сложное. Если прослеживается, получается кинетическая энергия турбулентности . Член скремблирования давления так называется, потому что этот член (также называемый ковариацией давления и деформации) является бесследным в предположении несжимаемости, что означает, что он не может создавать или уничтожать кинетическую энергию турбулентности, а может только смешивать ее между тремя компонентами скорости. В зависимости от приложения это уравнение может также включать члены производства плавучести (пропорциональные ускорению силы тяжести ) и члены производства Кориолиса (пропорциональные скорости вращения Земли); они будут присутствовать, например, в атмосферных приложениях. $${\displaystyle \underbrace {\frac {\partial {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}}{\partial t}} _{\rm {storage}}+\!\!\underbrace {{\bar {u}}_{k}{\frac {\partial {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}}{\partial x_{k}}}} _{\rm {mean~advection}}=-\ \underbrace {{\overline {u_{i}^{\prime }u_{k}^{\prime }}}{\frac {\partial {\bar {u}}_{j}}{\partial x_{k}}}-{\overline {u_{j}^{\prime }u_{k}^{\prime }}}{\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{k}}}} _{\rm {shear~production}}+\underbrace {\overline {{\frac {p^{\prime }}{\rho }}\left({\frac {\partial u_{i}^{\prime }}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}^{\prime }}{\partial x_{i}}}\right)}} _{\rm {pressure-scrambling}}-\underbrace {{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left({\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }u_{k}^{\prime }}}+{\frac {\overline {p^{\prime }u_{i}^{\prime }}}{\rho }}\delta _{jk}+{\frac {\overline {p^{\prime }u_{j}^{\prime }}}{\rho }}\delta _{ik}-\nu {\frac {\partial {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}}{\partial x_{k}}}\right)} _{\rm {transport~terms}}-2\nu {\overline {{\frac {\partial u_{i}^{\prime }}{\partial x_{k}}}{\frac {\partial u_{j}^{\prime }}{\partial x_{k}}}}},}$$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \nu {\overline {{\tfrac {\partial u_{i}^{\prime }}{\partial x_{k}}}{\tfrac {\partial u_{j}^{\prime }}{\partial x_{k}}}}}}$ ${\displaystyle {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}}$ ${\displaystyle g}$

Тогда возникает вопрос, каково значение напряжения Рейнольдса? Это было предметом интенсивного моделирования и интереса примерно в течение прошлого столетия. Проблема признана проблемой замыкания , родственной проблеме замыкания в иерархии BBGKY . Уравнение переноса для напряжения Рейнольдса может быть найдено путем взятия внешнего произведения уравнений жидкости для флуктуационной скорости, с самим собой.

Обнаружено, что уравнение переноса для напряжения Рейнольдса включает члены с корреляциями более высокого порядка (в частности, тройную корреляцию ), а также корреляции с колебаниями давления (т.е. импульс, переносимый звуковыми волнами). Распространенным решением является моделирование этих членов с помощью простых специальных предписаний. ${\displaystyle {\overline {v'_{i}v'_{j}v'_{k}}}}$

Теория напряжения Рейнольдса вполне аналогична кинетической теории газов , и действительно, тензор напряжения в жидкости в точке можно рассматривать как среднее по ансамблю напряжение, вызванное тепловыми скоростями молекул в данной точке жидкости. Таким образом, по аналогии, напряжение Рейнольдса иногда рассматривается как состоящее из изотропной части давления, называемой турбулентным давлением, и недиагональной части, которую можно рассматривать как эффективную турбулентную вязкость.

Фактически, хотя было потрачено много усилий на разработку хороших моделей для напряжения Рейнольдса в жидкости, на практике при решении уравнений жидкости с использованием вычислительной гидродинамики часто наиболее эффективными оказываются простейшие модели турбулентности. Одним из классов моделей, тесно связанных с концепцией турбулентной вязкости, являются модели турбулентности k-epsilon , основанные на связанных уравнениях переноса для плотности турбулентной энергии (аналогично турбулентному давлению, т.е. следу напряжения Рейнольдса) и скорости турбулентной диссипации . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \epsilon }$

Обычно среднее формально определяется как среднее по ансамблю, как в статистической теории ансамбля . Однако, с практической точки зрения, среднее можно также рассматривать как пространственное среднее по некоторому масштабу длины или временное среднее. Обратите внимание, что, хотя формально связь между такими средними обосновывается в равновесной статистической механике эргодической теоремой , статистическая механика гидродинамической турбулентности в настоящее время далека от понимания. Фактически, напряжение Рейнольдса в любой заданной точке турбулентной жидкости в некоторой степени подлежит интерпретации, в зависимости от того, как определяется среднее.

Ссылки

1. PY Chou (1945). «О корреляциях скоростей и решениях уравнений турбулентной флуктуации». Quart. Appl. Math . 3 : 38–54. doi : 10.1090/qam/11999 .

• Хинце, Дж. О. (1975). Турбулентность (2-е изд.). МакГроу-Хилл. ISBN 0-07-029037-7.
• Теннекес, Х.; Ламли , Дж. Л. (1972). Первый курс по турбулентности . MIT Press. ISBN 0-262-20019-8.
• Поуп, Стивен Б. (2000). Турбулентные потоки . Cambridge University Press. ISBN 0-521-59886-9.