Модель турбулентности К-эпсилон

Модель, используемая в вычислительной гидродинамике

Модель турбулентности K-epsilon (k-ε) является одной из наиболее распространенных моделей, используемых в вычислительной гидродинамике (CFD) для моделирования средних характеристик потока в условиях турбулентного потока. Это модель из двух уравнений, которая дает общее описание турбулентности с помощью двух уравнений переноса ( частных дифференциальных уравнений , PDE). Первоначальным стимулом для модели K-epsilon было улучшение модели длины смешивания , а также поиск альтернативы алгебраическому заданию масштабов турбулентной длины в потоках средней и высокой сложности. ^[1]

• Первой переносимой переменной является турбулентная кинетическая энергия (k).
• Вторая переносимая переменная — скорость диссипации турбулентной кинетической энергии (ε).

Принцип

В отличие от более ранних моделей турбулентности , модель k-ε фокусируется на механизмах, которые влияют на турбулентную кинетическую энергию. Модель длины смешения лишена такого рода общности. ^[2] Основное предположение этой модели заключается в том, что турбулентная вязкость изотропна , другими словами, соотношение между напряжением Рейнольдса и средней скоростью деформаций одинаково во всех направлениях.

Стандартная модель турбулентности k-ε

Точные уравнения k-ε содержат много неизвестных и неизмеримых членов. Для гораздо более практичного подхода используется стандартная модель турбулентности k-ε (Launder and Spalding, 1974 ^[3] ), которая основана на нашем лучшем понимании соответствующих процессов, таким образом минимизируя неизвестные и представляя набор уравнений, который можно применять к большому количеству турбулентных приложений.

Для турбулентной кинетической энергии k ^[4]

${\displaystyle {\frac {\partial (\rho k)}{\partial t}}+{\frac {\partial (\rho ku_{i})}{\partial x_{i}}}={\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left[{\frac {\mu _{t}}{\sigma _{k}}}{\frac {\partial k}{\partial x_{j}}}\right]+2{\mu _{t}}{E_{ij}}{E_{ij}}-\rho \varepsilon }$

Для рассеивания ^[4] ${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle {\frac {\partial (\rho \varepsilon )}{\partial t}}+{\frac {\partial (\rho \varepsilon u_{i})}{\partial x_{i}}}={\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left[{\frac {\mu _{t}}{\sigma _{\varepsilon }}}{\frac {\partial \varepsilon }{\partial x_{j}}}\right]+C_{1\varepsilon }{\frac {\varepsilon }{k}}2{\mu _{t}}{E_{ij}}{E_{ij}}-C_{2\varepsilon }\rho {\frac {\varepsilon ^{2}}{k}}}$

где

${\displaystyle u_{i}}$представляет собой компонент скорости в соответствующем направлении

${\displaystyle E_{ij}}$представляет собой компонент скорости деформации

${\displaystyle \mu _{t}}$представляет собой вихревую вязкость

${\displaystyle \mu _{t}=\rho C_{\mu }{\frac {k^{2}}{\varepsilon }}}$

Уравнения также состоят из некоторых регулируемых констант , , и . Значения этих констант были получены путем многочисленных итераций подгонки данных для широкого диапазона турбулентных потоков. Они следующие: ^[2] ${\displaystyle \sigma _{k}}$ ${\displaystyle \sigma _{\varepsilon }}$ ${\displaystyle C_{1\varepsilon }}$ ${\displaystyle C_{2\varepsilon }}$

${\displaystyle C_{\mu }=0.09}$            ${\displaystyle \sigma _{k}=1.00}$            ${\displaystyle \sigma _{\varepsilon }=1.30}$            ${\displaystyle C_{1\varepsilon }=1.44}$            ${\displaystyle C_{2\varepsilon }=1.92}$

Приложения

Модель k-ε была специально разработана для плоских сдвиговых слоев ^[5] и рециркуляционных потоков. ^[6] Эта модель является наиболее широко используемой и проверенной моделью турбулентности с приложениями от промышленных до экологических потоков, что объясняет ее популярность. Она обычно полезна для потоков свободного сдвигового слоя с относительно небольшими градиентами давления , а также в ограниченных потоках, где касательные напряжения Рейнольдса наиболее важны. ^[7] Ее также можно назвать простейшей моделью турбулентности , для которой необходимо задать только начальные и/или граничные условия .

Однако она более затратна с точки зрения памяти, чем модель длины смешивания , поскольку требует двух дополнительных PDE. Эта модель была бы неподходящим выбором для таких задач, как впускные отверстия и компрессоры , поскольку экспериментально показано, что точность снижается для потоков, содержащих большие неблагоприятные градиенты давления ^{[ необходима ссылка ]} . Модель k-ε также плохо работает в различных важных случаях, таких как неограниченные потоки, ^[8] изогнутые пограничные слои, вращающиеся потоки и потоки в некруглых каналах. ^[9]

Другие модели

Реализуемая модель k-ε: Непосредственным преимуществом реализуемой модели k-ɛ является то, что она обеспечивает улучшенные прогнозы скорости распространения как плоских, так и круглых струй. Она также демонстрирует превосходную производительность для потоков, включающих вращение, пограничные слои при сильных неблагоприятных градиентах давления, разделение и рециркуляцию. Практически в каждой мере сравнения Реализуемая модель k-ɛ демонстрирует превосходную способность улавливать средний поток сложных структур.

Модель k-ω : используется, когда в корпусе присутствуют эффекты стенок.

Модель уравнения напряжений Рейнольдса : в случае сложных турбулентных потоков модели напряжений Рейнольдса способны обеспечить более точные прогнозы. ^[10] Такие потоки включают турбулентные потоки с высокой степенью анизотропии, значительной кривизной линий тока, разделением потока, зонами рециркуляции и влиянием эффектов среднего вращения.

Ссылки

1. Модели К-эпсилон
2. Хенк Каарле Верстег, Weeratunge Malalasekera (2007). Введение в вычислительную гидродинамику: метод конечного объема. Пирсон Образования Лимитед. ISBN 9780131274983.
3. Launder, BE; Spalding, DB (март 1974). «Численное вычисление турбулентных потоков». Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering . 3 (2): 269–289. Bibcode : 1974CMAME...3..269L. doi : 10.1016/0045-7825(74)90029-2.
4. Верстег, Хенк Каарле; Маласекера, Weeratunge (2007). Введение в вычислительную гидродинамику: метод конечного объема . Пирсон Образование.
5. использование ke для моделирования слоев сдвига
6. использование подхода ke для моделирования рециркуляционных потоков
7. Модель турбулентности может существенно повлиять на ваши результаты
8. P Bradshaw (1987), «Турбулентные вторичные потоки», Annual Review of Fluid Mechanics , 19 (1): 53–74, Bibcode : 1987AnRFM..19...53B, doi : 10.1146/annurev.fl.19.010187.000413
9. Ларссон, IAS; Линдмарк, EM; Лундстрем, Т.С.; Натан, Дж.Дж. (2011), «Вторичный поток в полукруглых каналах» (PDF) , Journal of Fluids Engineering , 133 (10): 101206–101214, doi : 10.1115/1.4004991, hdl : 2263/42958
10. Поуп, Стивен. «Турбулентные потоки». Cambridge University Press, 2000.

Примечания

• «Введение в вычислительную гидродинамику: метод конечных объемов (2-е издание)», Х. Верстиг, В. Малаласекера; Pearson Education Limited; 2007; ISBN 0131274988 
• «Моделирование турбулентности для вычислительной гидродинамики», 2-е изд., Wilcox CD; DCW Industries; 1998; ISBN 0963605100 
• «Введение в турбулентность и ее измерение», Брэдшоу, П.; Pergamon Press; 1971; ISBN 0080166210