Моделирование турбулентности

Использование математических моделей для моделирования турбулентного течения

Моделирование физической модели самолета в аэродинамической трубе

В гидродинамике моделирование турбулентности представляет собой построение и использование математической модели для прогнозирования эффектов турбулентности . Турбулентные потоки являются обычным явлением в большинстве реальных сценариев. Несмотря на десятилетия исследований, не существует аналитической теории для прогнозирования эволюции этих турбулентных потоков. Уравнения, управляющие турбулентными потоками, могут быть решены напрямую только для простых случаев потока. Для большинства реальных турбулентных потоков моделирование CFD использует турбулентные модели для прогнозирования эволюции турбулентности. Эти модели турбулентности являются упрощенными конститутивными уравнениями, которые прогнозируют статистическую эволюцию турбулентных потоков. ^[1]

Проблема закрытия

Уравнения Навье –Стокса управляют скоростью и давлением потока жидкости. В турбулентном потоке каждая из этих величин может быть разложена на среднюю часть и флуктуирующую часть. Усреднение уравнений дает усредненные по Рейнольдсу уравнения Навье–Стокса (RANS) , которые управляют средним потоком. Однако нелинейность уравнений Навье–Стокса означает, что флуктуации скорости все еще появляются в уравнениях RANS в нелинейном члене от конвективного ускорения. Этот член известен как напряжение Рейнольдса , . ^[2] Его влияние на средний поток похоже на влияние члена напряжения, например от давления или вязкости. ${\displaystyle -\rho {\overline {v_{i}^{\prime }v_{j}^{\prime }}}}$ ${\displaystyle R_{ij}}$

Чтобы получить уравнения, содержащие только среднюю скорость и давление, нам нужно замкнуть уравнения RANS, смоделировав член напряжения Рейнольдса как функцию среднего потока, удалив любую ссылку на флуктуационную часть скорости. Это проблема замыкания . ${\displaystyle R_{ij}}$

Вязкость вихрей

Джозеф Валентин Буссинеск был первым, кто атаковал проблему замыкания, ^[3] введя концепцию турбулентной вязкости . В 1877 году Буссинеск предложил связать турбулентные напряжения со средним потоком, чтобы замкнуть систему уравнений. Здесь гипотеза Буссинеска применяется для моделирования члена напряжения Рейнольдса. Обратите внимание, что была введена новая константа пропорциональности , (кинематическая) турбулентная вихревая вязкость . Модели этого типа известны как модели вихревой вязкости (EVM). ${\displaystyle \nu _{t}>0}$

$${\displaystyle -{\overline {v_{i}^{\prime }v_{j}^{\prime }}}=\nu _{t}\left({\frac {\partial {\overline {v_{i}}}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial {\overline {v_{j}}}}{\partial x_{i}}}\right)-{\frac {2}{3}}k\delta _{ij}}$$что можно записать сокращенно как где $${\displaystyle -{\overline {v_{i}^{\prime }v_{j}^{\prime }}}=2\nu _{t}S_{ij}-{\tfrac {2}{3}}k\delta _{ij}}$$

• ${\displaystyle S_{ij}}$это средняя скорость тензора деформации
• ${\displaystyle \nu _{t}}$это (кинематическая) турбулентная турбулентная вязкость
• ${\displaystyle k={\tfrac {1}{2}}{\overline {v_{i}'v_{i}'}}}$это кинетическая энергия турбулентности
• и является дельтой Кронекера . ${\displaystyle \delta _{ij}}$

В этой модели дополнительные турбулентные напряжения задаются путем добавления к молекулярной вязкости вихревой вязкости. ^[4] Это может быть простая постоянная вихревая вязкость (которая хорошо работает для некоторых свободных сдвиговых потоков, таких как осесимметричные струи, двумерные струи и смешивающиеся слои).

Гипотеза Буссинеска — хотя Буссинеск в то время и не высказывал ее явно — фактически состоит из предположения, что тензор напряжений Рейнольдса совпадает с тензором деформации среднего потока (т. е. что касательные напряжения, вызванные турбулентностью, действуют в том же направлении, что и касательные напряжения, создаваемые усредненным потоком). С тех пор было обнаружено, что она значительно менее точна, чем предполагают большинство практиков. ^[5] Тем не менее, модели турбулентности, которые используют гипотезу Буссинеска, продемонстрировали значительную практическую ценность. В случаях с четко определенными сдвиговыми слоями это, вероятно, связано с доминированием продольных сдвиговых компонентов, так что значительные относительные ошибки в нормальных к потоку компонентах по-прежнему незначительны в абсолютных величинах. Помимо этого, большинство моделей турбулентности вихревой вязкости содержат коэффициенты, которые калибруются по измерениям, и, таким образом, дают достаточно точные общие результаты для полей потока аналогичного типа, которые использовались для калибровки.

Концепция Прандтля по длине смешивания

Позднее Людвиг Прандтль ввел дополнительное понятие длины смешения ^[6] вместе с идеей пограничного слоя . Для турбулентных потоков, ограниченных стенкой, вихревая вязкость должна меняться с расстоянием от стенки, отсюда и добавление понятия «длины смешения». В простейшей модели потока, ограниченного стенкой, вихревая вязкость задается уравнением: где $${\displaystyle \nu _{t}=\left|{\frac {\partial u}{\partial y}}\right|l_{m}^{2}}$$

• ${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}}$частная производная продольной скорости (u) по направлению нормали к стенке (y)
• ${\displaystyle l_{m}}$длина смешивания.

Эта простая модель является основой « закона стенки », который представляет собой удивительно точную модель для ограниченных стенкой, присоединенных (не разделенных) полей течения с малыми градиентами давления .

Со временем появились более общие модели турбулентности , и большинство современных моделей турбулентности описываются уравнениями поля, аналогичными уравнениям Навье–Стокса .

Модель Смагоринского для вихревой вязкости в масштабе подсетки

Джозеф Смагоринский был первым, кто предложил формулу для вихревой вязкости в моделях моделирования больших вихрей ^[7], основанную на локальных производных поля скорости и локальном размере сетки:

${\displaystyle \nu _{t}=\Delta x\Delta y{\sqrt {\left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial v}{\partial y}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}\right)^{2}}}}$

В контексте моделирования больших вихрей моделирование турбулентности относится к необходимости параметризации напряжения подсеточного масштаба в терминах особенностей фильтрованного поля скорости. Это поле называется моделированием подсеточного масштаба.

Спаларт-Аллмарас,к–ε ик–ω модели

Гипотеза Буссинеска используется в моделях Спаларта–Аллмараса (S–A), k –ε ( k –epsilon) и k –ω ( k –omega) и предлагает относительно низкозатратный расчет для турбулентной вязкости . Модель S–A использует только одно дополнительное уравнение для моделирования переноса турбулентной вязкости, тогда как модели k –ε и k –ω используют два. ${\displaystyle \nu _{t}}$

Распространенные модели

Ниже приведен краткий обзор моделей, часто используемых в современных инженерных приложениях.

• Спаларт–Аллмарас (ЮАР)
  Модель Спаларта–Аллмараса ^[8] представляет собой модель с одним уравнением, которая решает смоделированное транспортное уравнение для кинематической вихревой турбулентной вязкости. Модель Спаларта–Аллмараса была разработана специально для аэрокосмических приложений, включающих потоки, ограниченные стенками, и, как было показано, дает хорошие результаты для пограничных слоев, подверженных неблагоприятным градиентам давления. Она также набирает популярность в турбомашиностроении. ^{[ необходима цитата ]}
• к –ε ( к –эпсилон)
  Модель турбулентности K-epsilon (k-ε) ^[9] является наиболее распространенной моделью, используемой в вычислительной гидродинамике (CFD) для моделирования средних характеристик потока в условиях турбулентного потока. Это модель из двух уравнений, которая дает общее описание турбулентности с помощью двух уравнений переноса (PDE). Первоначальным стимулом для модели K-epsilon было улучшение модели длины смешивания, а также поиск альтернативы алгебраическому заданию масштабов турбулентной длины в потоках средней и высокой сложности.
• к –ω ( к –омега)
  В вычислительной гидродинамике модель турбулентности k–omega (k–ω) ^[10] является общей моделью турбулентности с двумя уравнениями, которая используется в качестве замыкания для уравнений Навье–Стокса, усредненных по Рейнольдсу (уравнения RANS). Модель пытается предсказать турбулентность с помощью двух частных дифференциальных уравнений для двух переменных, k и ω, причем первая переменная является кинетической энергией турбулентности (k), а вторая (ω) — удельной скоростью диссипации (кинетической энергии турбулентности k во внутреннюю тепловую энергию).
• SST (перенос напряжения сдвига Ментера)
  Модель турбулентности SST (перенос напряжения сдвига Ментера) ^[11] является широко используемой и надежной моделью турбулентности вихревой вязкости с двумя уравнениями, используемой в вычислительной гидродинамике. Модель объединяет модель турбулентности k-omega и модель турбулентности K-epsilon таким образом, что k-omega используется во внутренней области пограничного слоя и переключается на k-epsilon в свободном сдвиговом потоке.
• Модель уравнения напряжения Рейнольдса

  Модель уравнения напряжения Рейнольдса (RSM), также называемая моделью замыкания второго момента, ^[12] является наиболее полным классическим подходом к моделированию турбулентности. Популярные модели, основанные на вихревой вязкости, такие как модель k –ε ( k –epsilon) и модели k –ω ( k –omega) , имеют существенные недостатки в сложных инженерных потоках. Это возникает из-за использования гипотезы вихревой вязкости в их формулировке. Например, в потоках с высокой степенью анизотропии, значительной кривизной линий тока, разделением потока, зонами рециркуляционного потока или потоками, на которые влияют вращательные эффекты, производительность таких моделей неудовлетворительна. ^[13] В таких потоках модели уравнения напряжения Рейнольдса обеспечивают гораздо большую точность. ^[14]

  Замыкания на основе вихревой вязкости не могут объяснить возврат к изотропии турбулентности, ^[15] наблюдаемый в затухающих турбулентных потоках. Модели на основе вихревой вязкости не могут воспроизвести поведение турбулентных потоков в пределе быстрого искажения, ^[16] , где турбулентный поток по сути ведет себя как упругая среда. ^[17]

Ссылки

Примечания

1. Поуп, Стивен (2000). Турбулентные потоки .
2. Андерссон, Бенгт и др. (2012). Вычислительная гидродинамика для инженеров . Кембридж: Cambridge University Press. стр. 83. ISBN 978-1-107-01895-2.
3. Буссинеск, Жозеф (1903). Буссинеск, Ж. (1903). Thōrie analytique de la chaleur mise en Harmonie с термодинамическими и с помощью термодинамики и силы света: Refroidissement et chauffement par rayonnement, проводимость тигров, хромоты и кристаллических масс, источники конвекции, thōrie mcánique de la lumi_re . Готье-Виллар.
4. Джон Дж. Бертен; Жак Перио; Йозеф Баллманн (1992), Достижения в области гиперзвука: Моделирование гиперзвуковых потоков, Springer, ISBN 9780817636630
5. Франсуа Г. Шмитт (2007), «О гипотезе турбулентной вязкости Буссинеска: исторические замечания и прямая оценка ее обоснованности», Comptes Rendus Mécanique , 335 (9–10): 617–627, doi : 10.1016/j.crme.2007.08.004, hdl : 20.500.12210/73178 , S2CID  32637068
6. Прандтль, Людвиг (1925). «Bericht uber Untersuruchungen zur ausgebildeten Turbulenz». З. Энджью. Математика. Мех . 5 (2): 136. Бибкод : 1925ЗаММ....5..136П. дои : 10.1002/zamm.19250050212.
7. Смагоринский, Джозеф (1963). "Смагоринский, Джозеф. "Эксперименты по общей циркуляции с примитивными уравнениями: I. Основной эксперимент". Monthly Weather Review . 91 (3): 99–164. Bibcode :1963MWRv...91...99S. doi : 10.1175/1520-0493(1963)091<0099:GCEWTP>2.3.CO;2 .
8. Спаларт, Филипп Р.; Аллмарас, Стивен Р. (1992). «Модель турбулентности с одним уравнением для аэродинамических потоков». 30-я конференция и выставка по аэрокосмическим наукам, AIAA . doi :10.2514/6.1992-439.
9. Ханджалик, К.; Лаундер, Б. (1972). «Модель турбулентности с напряжением Рейнольдса и ее применение к тонким сдвиговым потокам». Журнал механики жидкости . 52 (4): 609–638. Bibcode : 1972JFM....52..609H. doi : 10.1017/S002211207200268X. S2CID  122631170.
10. Уилкокс, Д.К. (2008). «Повторный пересмотр формулировки модели турбулентности k-omega». Журнал AIAA . 46 (11): 2823–2838. Bibcode : 2008AIAAJ..46.2823W. doi : 10.2514/1.36541.
11. Menter, FR (1994). "Двухпараметрические модели турбулентности вихревой вязкости для инженерных приложений" (PDF) . Журнал AIAA . 32 (8): 1598–1605. Bibcode :1994AIAAJ..32.1598M. doi :10.2514/3.12149. S2CID  120712103.^{[ мертвая ссылка ]}
12. Ханджалич, Ханджалич; Лаундер, Брайан (2011). Моделирование турбулентности в инженерии и окружающей среде: пути второго момента к закрытию .
13. Mishra, Aashwin; Girimaji, Sharath (2013). «Межкомпонентный перенос энергии в несжимаемой однородной турбулентности: многоточечная физика и возможность одноточечных замыканий». Journal of Fluid Mechanics . 731 : 639–681. Bibcode : 2013JFM...731..639M. doi : 10.1017/jfm.2013.343. S2CID  122537381.
14. Поуп, Стивен. «Турбулентные потоки». Cambridge University Press, 2000.
15. Ламли, Джон; Ньюман, Гэри (1977). «Возвращение к изотропии однородной турбулентности». Журнал механики жидкости . 82 : 161–178. Bibcode :1977JFM....82..161L. doi :10.1017/s0022112077000585. S2CID  39228898.
16. Mishra, Aashwin; Girimaji, Sharath (2013). «Межкомпонентный перенос энергии в несжимаемой однородной турбулентности: многоточечная физика и возможность одноточечных замыканий». Journal of Fluid Mechanics . 731 : 639–681. Bibcode : 2013JFM...731..639M. doi : 10.1017/jfm.2013.343. S2CID  122537381.
17. Саго, Пьер; Камбон, Клод (2008). Динамика однородной турбулентности .

Другой

• Абси, Р. (2019) «Вихревая вязкость и профили скорости в полностью развитых турбулентных потоках в каналах» Fluid Dyn (2019) 54: 137. https://doi.org/10.1134/S0015462819010014
• Абси, Р. (2021) «Повторное исследование параболического профиля вихревой вязкости для свободных поверхностных потоков» Гидрология 2021, 8(3), 126. https://doi.org/10.3390/hydrology8030126
• Таунсенд, А.А. (1980) «Структура турбулентного сдвигового течения», 2-е издание (Кембриджские монографии по механике), ISBN 0521298199 
• Брэдшоу, П. (1971) «Введение в турбулентность и ее измерение» (Pergamon Press), ISBN 0080166210 
• Уилкокс, CD (1998), «Моделирование турбулентности для вычислительной гидродинамики», 2-е изд., (DCW Industries, Ла-Каньяда), ISBN 0963605100