Конформная карта

Математическая функция, сохраняющая углы

Прямоугольная сетка (вверху) и ее изображение под конформной картой (внизу). Видно, что пары линий, пересекающихся под углом 90°, преобразуются в пары кривых, все еще пересекающихся под углом 90°. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

В математике конформное отображение — это функция , которая локально сохраняет углы , но не обязательно длины.

Более формально, пусть и — открытые подмножества . Функция называется конформной (или сохраняющей угол ) в точке , если она сохраняет углы между направленными кривыми через , а также сохраняет ориентацию. Конформные карты сохраняют как углы, так и формы бесконечно малых фигур, но не обязательно их размер или кривизну . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f:U\to V}$ ${\displaystyle u_{0}\in U}$ ${\displaystyle u_{0}}$

Конформное свойство может быть описано в терминах матрицы производных Якобиана координатного преобразования . Преобразование является конформным, если якобиан в каждой точке является положительным скаляром, умноженным на матрицу вращения ( ортогональную определителю). Некоторые авторы определяют конформность как включающую в себя отображения, меняющие ориентацию, якобианы которых можно записать как любое скалярное произведение на любую ортогональную матрицу. ^[1]

Для двумерных отображений конформные отображения (сохраняющие ориентацию) представляют собой в точности локально обратимые комплексные аналитические функции. В трехмерных и более высоких измерениях теорема Лиувилля резко ограничивает конформные отображения несколькими типами.

Понятие конформности естественным образом обобщается на отображения между римановыми или полуримановыми многообразиями .

В двух измерениях

Если - открытое подмножество комплексной плоскости , то функция конформна тогда и только тогда, когда она голоморфна и ее производная всюду отлична от нуля на . Если функция антиголоморфна ( сопряжена с голоморфной функцией), она сохраняет углы, но меняет их ориентацию. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f}$

В литературе существует другое определение конформного: отображение взаимно однозначное и голоморфное на открытом множестве на плоскости. Теорема об открытом отображении заставляет обратную функцию (определенную на образе ) быть голоморфной. Таким образом, согласно этому определению, отображение конформно тогда и только тогда, когда оно биголоморфно. Два определения конформных отображений не эквивалентны. Взаимность и голоморфность подразумевают наличие ненулевой производной. Фактически мы имеем следующее соотношение: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle (f^{-1}(z_{0}))'={\frac {1}{f'(z_{0})}}}$

где . Однако показательная функция является голоморфной функцией с ненулевой производной, но не является взаимно однозначной, поскольку она периодична. ^[2] ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }$

Теорема Римана об отображении , один из глубоких результатов комплексного анализа , утверждает, что любое непустое открытое односвязное собственное подмножество допускает биективное конформное отображение в открытый единичный круг в . Неформально это означает, что любую каплю можно преобразовать в идеальный круг с помощью некоторого конформного отображения. ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Глобальные конформные отображения на сфере Римана.

Отображение сферы Римана на себя конформно тогда и только тогда, когда оно является преобразованием Мёбиуса .

Комплексно-сопряженное преобразование Мёбиуса сохраняет углы, но меняет ориентацию. Например, инверсия круга .

Конформность по трем типам углов.

В плоской геометрии существует три типа углов, которые могут сохраняться на конформном отображении. ^[3] Каждое из них содержит свою собственную действительную алгебру, обычные комплексные числа , расщепляемые комплексные числа и двойственные числа . В каждом случае конформные отображения описываются дробно-линейными преобразованиями . ^[4]

В трёх и более измерениях

Риманова геометрия

В римановой геометрии две римановы метрики и на гладком многообразии называются конформно эквивалентными, если для некоторой положительной функции на . Функция называется конформным фактором . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g=uh}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle u}$

Диффеоморфизм между двумя римановыми многообразиями называется конформным отображением, если восстановленная метрика конформно эквивалентна исходной. Например, стереографическая проекция сферы на плоскость , дополненная бесконечной точкой, является конформной картой.

Можно также определить конформную структуру на гладком многообразии как класс конформно эквивалентных римановых метрик .

Евклидово пространство

Классическая теорема Жозефа Лиувилля показывает, что в более высоких измерениях конформных отображений гораздо меньше, чем в двухмерных. Любое конформное отображение открытого подмножества евклидова пространства в то же евклидово пространство размерности три или больше может быть составлено из трех типов преобразований: гомотетии , изометрии и специального конформного преобразования . Для линейных преобразований конформное отображение может состоять только из гомотетии и изометрии и называется конформным линейным преобразованием .

Приложения

Приложения конформного картирования существуют в аэрокосмической технике, ^[5] в биомедицинских науках ^[6] (включая картирование мозга ^[7] и генетическое картирование ^{[8] [9] [10]} ), в прикладной математике (для геодезии ^[11] и в геометрия ^[12] ), в науках о Земле (включая геофизику, ^[13] географию, ^[14] и картографию), ^[15] в технике, ^{[16] [17]} и в электронике. ^[18]

Картография

В картографии конформными являются несколько названных картографических проекций , в том числе проекция Меркатора и стереографическая проекция . Сохранение направлений компаса делает их полезными в морской навигации.

Физика и инженерия

Конформные отображения имеют неоценимое значение для решения задач в технике и физике, которые могут быть выражены через функции комплексной переменной, но имеют неудобную геометрию. Выбрав подходящее отображение, аналитик может превратить неудобную геометрию в гораздо более удобную. Например, можно вычислить электрическое поле , возникающее из-за точечного заряда, расположенного вблизи угла двух проводящих плоскостей, разделенных определенным углом (где - комплексная координата точки в 2-мерном пространстве). Эту задачу как таковую довольно сложно решить в закрытом виде. Однако, используя очень простое конформное отображение, неудобный угол преобразуется в один точно радиан, а это означает, что угол двух плоскостей преобразуется в прямую линию. В этой новой области задача (расчета электрического поля, создаваемого точечным зарядом, расположенным вблизи проводящей стенки) решается довольно легко. Решение получается в этой области, , а затем отображается обратно в исходную область, отмечая, что оно было получено как функция ( а именно , композиция и ) от , откуда можно рассматривать как , которая является функцией от , исходного координатная основа. Обратите внимание, что это приложение не противоречит тому факту, что конформные отображения сохраняют углы, они сохраняют углы только для точек внутри своей области, а не на границе. Другой пример — применение метода конформного отображения для решения краевой задачи о выплескивании жидкости в резервуарах. ^[19] ${\displaystyle E(z)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle E(w)}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle E(w)}$ ${\displaystyle E(w(z))}$ ${\displaystyle z}$

Если функция гармонична (то есть удовлетворяет уравнению Лапласа ) в плоской области (которая является двумерной) и преобразуется посредством конформного отображения в другую плоскую область, преобразование также является гармоническим. По этой причине любая функция, определяемая потенциалом, может быть преобразована с помощью конформного отображения и при этом оставаться управляемой потенциалом. Примеры в физике уравнений, определяемых потенциалом, включают электромагнитное поле , гравитационное поле и, в гидродинамике , потенциальный поток , который является приближением к потоку жидкости, предполагая постоянную плотность , нулевую вязкость и безвихревой поток . Одним из примеров гидродинамического применения конформной карты является преобразование Жуковского , которое можно использовать для исследования поля обтекания профиля Жуковского. ${\displaystyle \nabla ^{2}f=0}$

Конформные отображения также полезны при решении нелинейных уравнений в частных производных в некоторых конкретных геометриях. Такие аналитические решения обеспечивают полезную проверку точности численного моделирования основного уравнения. Например, в случае очень вязкого обтекания свободной поверхности полубесконечной стенки область можно отобразить в полуплоскости, в которой решение является одномерным и его легко вычислить. ^[20]

Для дискретных систем Нури и Янг представили способ преобразования корневого годографа дискретных систем в непрерывный корневой годограф с помощью хорошо известного конформного отображения в геометрии (также известного как инверсионное отображение ). ^[21]

Уравнения Максвелла

Уравнения Максвелла сохраняются преобразованиями Лоренца , которые образуют группу, включающую круговые и гиперболические вращения . Последние иногда называют повышением Лоренца, чтобы отличить их от круговых вращений. Все эти преобразования конформны, поскольку гиперболические вращения сохраняют гиперболический угол (называемый быстротой ) , а другие вращения сохраняют круговой угол . Введение сдвигов в группе Пуанкаре снова сохраняет углы.

Более крупная группа конформных отображений для связи решений уравнений Максвелла была выявлена ​​Эбенезером Каннингемом (1908) и Гарри Бейтманом (1910). Обучение в Кембриджском университете дало им навыки использования метода заряда изображения и связанных с ним методов изображения сфер и инверсии. Как рассказывает Эндрю Уорвик (2003) «Мастера теории» : ^[22]

Каждое четырехмерное решение можно инвертировать в четырехмерную гиперсферу псевдорадиуса, чтобы получить новое решение. ${\displaystyle K}$

Уорвик подчеркивает эту «новую теорему относительности» как кембриджский ответ Эйнштейну и как основанную на упражнениях с использованием метода инверсии, например, в учебнике Джеймса Хопвуда Джинса «Математическая теория электричества и магнетизма» .

Общая теория относительности

В общей теории относительности конформные отображения являются самым простым и, следовательно, наиболее распространенным типом причинных преобразований. Физически они описывают разные вселенные, в которых все те же события и взаимодействия по-прежнему (причинно) возможны, но для осуществления этого необходима новая дополнительная сила (то есть, воспроизведение всех тех же траекторий потребовало бы отклонения от геодезического движения, поскольку метрика тензор другой). Его часто используют, чтобы попытаться сделать модели допускающими расширение за пределы сингулярностей кривизны , например, чтобы позволить описать Вселенную еще до Большого взрыва .

Смотрите также

• Биголоморфная карта
• Теорема Каратеодори . Конформное отображение непрерывно продолжается до границы.
• Диаграмма Пенроуза
• Отображение Шварца – Кристоффеля - конформное преобразование верхней полуплоскости во внутреннюю часть простого многоугольника.
• Специальная линейная группа - преобразования, сохраняющие объем (в отличие от углов) и ориентацию.

Рекомендации

1. Блэр, Дэвид (17 августа 2000 г.). Теория инверсии и конформное отображение . Студенческая математическая библиотека. Том. 9. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. дои : 10.1090/stml/009. ISBN 978-0-8218-2636-2. S2CID  118752074.
2. Ричард М. Тимони (2004), Теорема об отображении Римана из Тринити-колледжа в Дублине
3. Геометрия/Единые углы в Wikibooks
4. Цурусабуро Такасу (1941) Gemeinsame Behandlungsweise der elliptischen konformen, Hyperbolischen konformen und parabolischen konformen Differentialgeometry, 2, Proceedings of the Imperial Academy 17(8): 330–8, ссылка из Project Euclid , MR 14282
5. Селиг, Майкл С.; Момер, Марк Д. (1 мая 1992 г.). «Многоточечный метод обратного проектирования профиля, основанный на конформном отображении». Журнал АИАА . 30 (5): 1162–1170. Бибкод : 1992AIAAJ..30.1162S. дои : 10.2514/3.11046. ISSN  0001-1452.
6. Кортихо, Ванесса; Алонсо, Елена Р.; Мата, Сантьяго; Алонсо, Хосе Л. (18 января 2018 г.). «Конформационная карта фенольных кислот». Журнал физической химии А. 122 (2): 646–651. Бибкод : 2018JPCA..122..646C. doi : 10.1021/acs.jpca.7b08882. ISSN  1520-5215. ПМИД  29215883.
7. «Свойства конформного отображения».
8. «7.1 ГЕНЕТИЧЕСКИЕ КАРТЫ ПРИХОДЯТ В РАЗЛИЧНЫХ ФОРМах» . www.informatics.jax.org . Проверено 22 августа 2022 г.
9. Алим, Карен; Армон, Шахаф; Шрайман Борис И.; Будауд, Арезки (2016). «Рост листьев конформный». Физическая биология . 13 (5): 05ЛТ01. arXiv : 1611.07032 . Бибкод : 2016PhBio..13eLT01A. дои : 10.1088/1478-3975/13/5/05lt01. PMID  27597439. S2CID  9351765 . Проверено 22 августа 2022 г.
10. Гонсалес-Матесанс, Ф.Дж.; Мальпика, JA (1 ноября 2006 г.). «Квазиконформное отображение с применением генетических алгоритмов для преобразований координат». Компьютеры и геонауки . 32 (9): 1432–1441. Бибкод : 2006CG.....32.1432G. дои : 10.1016/j.cageo.2006.01.002. ISSN  0098-3004.
11. Березовский, Владимир; Черевко Евгений; Рыпарова, Ленка (август 2019 г.). «Конформные и геодезические отображения некоторых особых пространств». Математика . 7 (8): 664. doi : 10.3390/math7080664 . hdl : 11012/188984 . ISSN  2227-7390.
12. Гронуолл, TH (июнь 1920 г.). «Конформное отображение семейства действительных коник на другое». Труды Национальной академии наук . 6 (6): 312–315. Бибкод : 1920PNAS....6..312G. дои : 10.1073/pnas.6.6.312 . ISSN  0027-8424. ПМЦ 1084530 . ПМИД  16576504. 
13. «Сопоставление в предложении (особенно хорошее предложение, такое как цитата, пословица...)» . сайт предложенияdict.com . Проверено 22 августа 2022 г.
14. "EAP - Труды Эстонской академии наук - Публикации" . Проверено 22 августа 2022 г.
15. Лопес-Васкес, Карлос (1 января 2012 г.). «Повышение точности позиционирования с использованием эмпирических аналитических функций». Картография и географическая информатика . 39 (3): 133–139. дои : 10.1559/15230406393133. ISSN  1523-0406. S2CID  123894885.
16. Каликсто, Уэсли Пачеко; Альваренга, Бернардо; да Мота, Хесус Карлос; Брито, Леонардо да Кунья; Ву, Марсель; Алвес, Айлтон Хосе; Нето, Лучано Мартинс; Антунес, Карлос Ф.Р. Лемос (15 февраля 2011 г.). «Решение электромагнитных задач методом конформного отображения: математический оператор для оптимизации». Математические проблемы в технике . 2010 : e742039. дои : 10.1155/2010/742039 . hdl : 10316/110197 . ISSN  1024-123Х.
17. Леонхардт, Ульф (23 июня 2006 г.). «Оптическое конформное отображение». Наука . 312 (5781): 1777–1780. Бибкод : 2006Sci...312.1777L. дои : 10.1126/science.1126493 . ISSN  0036-8075. PMID  16728596. S2CID  8334444.
18. Сингх, Арун К.; Аутон, Грегори; Хилл, Эрни; Сон, Аймин (01 июля 2018 г.). «Оценка внутренней и внешней емкостей графенового самопереключающегося диода с использованием метода конформного отображения». 2D материалы . 5 (3): 035023. Бибкод : 2018TDM.....5c5023S. дои : 10.1088/2053-1583/aac133. ISSN  2053-1583. S2CID  117531045.
19. Колаи, Амир; Ракхеджа, Субхаш; Ричард, Марк Дж. (6 января 2014 г.). «Область применимости теории линейного выплескивания жидкости для прогнозирования переходных боковых выплесков и устойчивости к крену автоцистерн». Журнал звука и вибрации . 333 (1): 263–282. Бибкод : 2014JSV...333..263K. дои : 10.1016/j.jsv.2013.09.002.
20. Хинтон, Эдвард; Хогг, Эндрю; Юпперт, Герберт (2020). «Стоксово течение на мелкой свободной поверхности за углом». Философские труды Королевского общества А. 378 (2174). Бибкод : 2020RSPTA.37890515H. дои : 10.1098/rsta.2019.0515. ПМЦ 7287310 . ПМИД  32507085. 
21. Нури, Кейван; Ян, Бинген (2020). «Картирование псевдоS-плоскости корневого локуса Z-плоскости». Международный конгресс и выставка машиностроения ASME 2020 . Американское общество инженеров-механиков. doi : 10.1115/IMECE2020-23096. ISBN 978-0-7918-8454-6. S2CID  234582511.
22. Уорик, Эндрю (2003). Магистр теории: Кембридж и возникновение математической физики . Издательство Чикагского университета . стр. 404–424. ISBN 978-0226873756.

дальнейшее чтение

• Альфорс, Ларс В. (1973), Конформные инварианты: темы геометрической теории функций , Нью-Йорк: McGraw – Hill Book Co., MR  0357743
• Константин Каратеодори (1932) Конформное представление , Кембриджские трактаты по математике и физике
• Шансон, Х. (2009), Прикладная гидродинамика: введение в идеальные и реальные потоки жидкости, CRC Press, Taylor & Francisco Group, Лейден, Нидерланды, 478 страниц, ISBN 978-0-415-49271-3
• Черчилль, Руэл В. (1974), Комплексные переменные и приложения , Нью-Йорк: McGraw – Hill Book Co., ISBN 978-0-07-010855-4
• Е. П. Долженко (2001) [1994], «Конформное отображение», Математическая энциклопедия , EMS Press
• Рудин, Уолтер (1987), Реальный и комплексный анализ (3-е изд.), Нью-Йорк: McGraw – Hill Book Co., ISBN 978-0-07-054234-1, МР  0924157
• Вайсштейн, Эрик В. «Конформное отображение». Математический мир .

Внешние ссылки

• Интерактивная визуализация множества конформных карт.
• Конформные карты Майкла Тротта, Демонстрационный проект Wolfram .
• Конформное картирование изображений течения тока в различной геометрии без магнитного поля и с ним, Герхард Брунталер.
• Конформное преобразование: от круга к квадрату.
• Онлайн-график конформных карт.
• Интерактивное веб-приложение Joukowski Transform