Преобразование Жуковского

В математике — разновидность конформного отображения.

Пример преобразования Жуковского. Круг вверху превращается в профиль Жуковского внизу.

В прикладной математике преобразование Жуковского ( иногда транслитерируемое Жуковским , Жуковским или Жуковским ) представляет собой конформную карту , исторически использовавшуюся для понимания некоторых принципов конструкции крыла . Оно названо в честь Николая Жуковского , опубликовавшего его в 1910 году. ^[1]

Преобразование

${\displaystyle z=\zeta +{\frac {1}{\zeta }},}$

где — комплексная переменная в новом пространстве и — комплексная переменная в исходном пространстве. ${\displaystyle z=x+iy}$ ${\displaystyle \zeta =\chi +i\eta }$

В аэродинамике преобразование используется для расчета двумерного потенциального обтекания класса профилей, известных как профили Жуковского. Профиль Жуковского создается в комплексной плоскости ( -плоскости) путем применения преобразования Жуковского к кругу в -плоскости. Координаты центра круга являются переменными, и их изменение изменяет форму полученного профиля. Окружность охватывает точку (где производная равна нулю) и пересекает точку. Этого можно добиться для любого допустимого положения центра, изменяя радиус круга. ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \zeta =-1}$ ${\displaystyle \zeta =1.}$ ${\displaystyle \mu _{x}+i\mu _{y}}$

Профили Жуковского имеют выступ на задней кромке . Тесно связанное конформное отображение, преобразование Кармана-Треффца , генерирует более широкий класс профилей Кармана-Треффца путем управления углом задней кромки. Когда задан нулевой угол задней кромки, преобразование Кармана-Треффца сводится к преобразованию Жуковского.

Преобразование генерала Жуковского

Преобразование Жуковского любого комплексного числа выглядит следующим образом: ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle {\begin{aligned}z&=x+iy=\zeta +{\frac {1}{\zeta }}\\&=\chi +i\eta +{\frac {1}{\chi +i\eta }}\\[2pt]&=\chi +i\eta +{\frac {\chi -i\eta }{\chi ^{2}+\eta ^{2}}}\\[2pt]&=\chi \left(1+{\frac {1}{\chi ^{2}+\eta ^{2}}}\right)+i\eta \left(1-{\frac {1}{\chi ^{2}+\eta ^{2}}}\right).\end{aligned}}}$

Итак, действительная ( ) и мнимая ( ) компоненты: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\chi \left(1+{\frac {1}{\chi ^{2}+\eta ^{2}}}\right),\\[2pt]y&=\eta \left(1-{\frac {1}{\chi ^{2}+\eta ^{2}}}\right).\end{aligned}}}$

Образец профиля Жуковского

Преобразование всех комплексных чисел на единичной окружности является особым случаем.

$${\displaystyle |\zeta |={\sqrt {\chi ^{2}+\eta ^{2}}}=1,}$$

который дает

$${\displaystyle \chi ^{2}+\eta ^{2}=1.}$$

Таким образом, реальный компонент становится , а мнимый компонент становится . ${\textstyle x=\chi (1+1)=2\chi }$ ${\textstyle y=\eta (1-1)=0}$

Таким образом, комплексный единичный круг отображается на плоскую пластину на линии действительных чисел от -2 до +2.

Преобразования из других кругов создают широкий спектр форм аэродинамических профилей.

Поле скоростей и циркуляция профиля Жуковского

Решение потенциального обтекания круглого цилиндра является аналитическим и хорошо известно. Это суперпозиция однородного потока , дублета и вихря .

Комплексно-сопряженная скорость по окружности в -плоскости равна ${\displaystyle {\widetilde {W}}={\widetilde {u}}_{x}-i{\widetilde {u}}_{y},}$ ${\displaystyle \zeta }$ $${\displaystyle {\widetilde {W}}=V_{\infty }e^{-i\alpha }+{\frac {i\Gamma }{2\pi (\zeta -\mu )}}-{\frac {V_{\infty }R^{2}e^{i\alpha }}{(\zeta -\mu )^{2}}},}$$

где

• ${\displaystyle \mu =\mu _{x}+i\mu _{y}}$– комплексная координата центра круга,
• ${\displaystyle V_{\infty }}$- скорость набегающего потока жидкости,

${\displaystyle \alpha }$- угол атаки профиля относительно набегающего потока,

• ${\displaystyle R}$— радиус круга, рассчитанный с помощью , ${\textstyle R={\sqrt {\left(1-\mu _{x}\right)^{2}+\mu _{y}^{2}}}}$
• ${\displaystyle \Gamma }$— циркуляция , найденная с помощью условия Кутты , которая в этом случае сводится к $${\displaystyle \Gamma =4\pi V_{\infty }R\sin \left(\alpha +\sin ^{-1}{\frac {\mu _{y}}{R}}\right).}$$

Комплексная скорость вокруг профиля в -плоскости , согласно правилам конформного отображения и с использованием преобразования Жуковского, равна ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle z}$ $${\displaystyle W={\frac {\widetilde {W}}{\frac {dz}{d\zeta }}}={\frac {\widetilde {W}}{1-{\frac {1}{\zeta ^{2}}}}}.}$$

Здесь с и компоненты скорости в направлениях и соответственно ( с и вещественные). По этой скорости можно рассчитать другие интересующие свойства потока, такие как коэффициент давления и подъемная сила на единицу пролета. ${\displaystyle W=u_{x}-iu_{y},}$ ${\displaystyle u_{x}}$ ${\displaystyle u_{y}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z=x+iy,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Преобразование Кармана – Треффца

Пример преобразования Кармана – Треффца. Круг вверху в -плоскости преобразуется в профиль Кармана-Треффца внизу, в -плоскости . Используемые параметры: и Обратите внимание, что профиль в -плоскости был нормализован с использованием длины хорды . ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \mu _{x}=-0.08,}$ ${\displaystyle \mu _{y}=+0.08}$ ${\displaystyle n=1.94.}$ ${\displaystyle z}$

Преобразование Кармана -Треффца представляет собой конформное отображение, тесно связанное с преобразованием Жуковского. В то время как профиль Жуковского имеет заостренную заднюю кромку, профиль Кармана-Треффца , который является результатом преобразования круга из -плоскости в физическую -плоскость, аналогично определению профиля Жуковского, имеет ненулевую угол у задней кромки, между верхней и нижней поверхностью профиля. Таким образом, преобразование Кармана-Треффца требует дополнительного параметра: угла задней кромки. Это преобразование ^{[2] [3]} ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \alpha .}$

где - действительная константа, определяющая положения где , и немного меньше 2. Угол между касательными верхней и нижней поверхностей профиля на задней кромке связан как ^[2] ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle dz/d\zeta =0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \alpha =2\pi -n\pi ,\quad n=2-{\frac {\alpha }{\pi }}.}$

Производная , необходимая для вычисления поля скоростей, равна ${\displaystyle dz/d\zeta }$

${\displaystyle {\frac {dz}{d\zeta }}={\frac {4n^{2}}{\zeta ^{2}-1}}{\frac {\left(1+{\frac {1}{\zeta }}\right)^{n}\left(1-{\frac {1}{\zeta }}\right)^{n}}{\left[\left(1+{\frac {1}{\zeta }}\right)^{n}-\left(1-{\frac {1}{\zeta }}\right)^{n}\right]^{2}}}.}$

Фон

Сначала добавьте и вычтите 2 из преобразования Жуковского, как указано выше:

${\displaystyle {\begin{aligned}z+2&=\zeta +2+{\frac {1}{\zeta }}={\frac {1}{\zeta }}(\zeta +1)^{2},\\[3pt]z-2&=\zeta -2+{\frac {1}{\zeta }}={\frac {1}{\zeta }}(\zeta -1)^{2}.\end{aligned}}}$

Разделив левую и правую части, получим

${\displaystyle {\frac {z-2}{z+2}}=\left({\frac {\zeta -1}{\zeta +1}}\right)^{2}.}$

Правая часть содержит (в качестве множителя) простой закон второй степени из теории потенциального потока , применяемый на задней кромке вблизи. Из теории конформных отображений известно, что это квадратичное отображение превращает полуплоскость в -пространстве в потенциальный поток вокруг полубесконечная прямая. Далее, значения степени меньше 2 приведут к обтеканию конечного угла. Итак, изменив степень преобразования Жуковского на значение чуть меньше 2, мы получим конечный угол вместо точки возврата. Замена 2 на в предыдущем уравнении дает ^[2] ${\displaystyle \zeta =+1.}$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\frac {z-n}{z+n}}=\left({\frac {\zeta -1}{\zeta +1}}\right)^{n},}$

что представляет собой преобразование Кармана – Треффца. Решение for дает его в виде уравнения A. ${\displaystyle z}$

Симметричные профили Жуковского

В 1943 году Сюэ-шэнь Цзянь опубликовал преобразование круга радиуса в симметричный профиль, зависящий от параметра и угла наклона : ^[4] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle z=e^{i\alpha }\left(\zeta -\epsilon +{\frac {1}{\zeta -\epsilon }}+{\frac {2\epsilon ^{2}}{a+\epsilon }}\right).}$

Параметр дает плоскую пластину, когда равен нулю, и круг, когда он бесконечен; таким образом, он соответствует толщине аэродинамического профиля. Плюс радиус цилиндра . ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle a=1+\epsilon }$

Примечания

1. Жуковский, Н.Е. (1910). «Über die Konturen der Tragflächen der Drachenflieger». Zeitschrift für Flugtechnik und Motorluftschiffahrt (на немецком языке). 1 : 281–284 и (1912) 3 : 81–86.
2. Милн-Томсон, Луи М. (1973). Теоретическая аэродинамика (4-е изд.). Дувр Пабл. стр. 128–131. ISBN 0-486-61980-Х.
3. Блом, JJH (1981). «Некоторые характеристические величины профилей Кармана-Треффца» (Документ). Технический меморандум НАСА TM-77013.
4. Цянь, Сюэ-шэнь (1943). «Симметричные профили Жуковского в сдвиговом потоке». Ежеквартальный журнал прикладной математики . 1 (2): 130–248. дои : 10.1090/qam/8537 .

Рекомендации

• Андерсон, Джон (1991). Основы аэродинамики (Второе изд.). Торонто: МакГроу – Хилл. стр. 195–208. ISBN 0-07-001679-8.
• Зингг, Д.В. (1989). «Вычисления Эйлера при малых числах Маха». НАСА ТМ-102205.

Внешние ссылки

• Апплет «Преобразование Жуковского НАСА»
• Интерактивное веб-приложение Joukowsky Transform