Потенциальный поток

Поле скорости как градиент скалярной функции

Потенциальный поток обтекает профиль NACA 0012 под углом атаки 11° , с идентифицированными верхними и нижними трубками потока . Поток двумерный, а профиль имеет бесконечный размах.

В гидродинамике потенциальный поток или безвихревой поток относится к описанию потока жидкости без завихренности . Такое описание обычно возникает в пределе исчезающей вязкости , т. е. для невязкой жидкости и при отсутствии завихренности в потоке.

Потенциальный поток описывает поле скорости как градиент скалярной функции: потенциал скорости . В результате потенциальный поток характеризуется полем безвихревой скорости , которое является допустимым приближением для нескольких приложений. Безвихревость потенциального потока обусловлена ​​тем, что ротор градиента скаляра всегда равен нулю.

В случае несжимаемого потока потенциал скорости удовлетворяет уравнению Лапласа и применима теория потенциала . Однако потенциальные потоки также использовались для описания сжимаемых потоков и потоков Хеле-Шоу . Подход потенциального потока используется при моделировании как стационарных, так и нестационарных потоков.

Приложения потенциального потока включают: внешнее поле потока для аэродинамических профилей , водные волны , электроосмотический поток и поток грунтовых вод . Для течений (или их частей) с сильными эффектами завихренности приближение потенциального течения неприменимо. В областях потока, где завихренность, как известно, важна, таких как следы и пограничные слои , теория потенциального потока не может обеспечить разумные предсказания потока. ^[1] К счастью, часто существуют большие области потока, где предположение о безвихревости справедливо, поэтому потенциальный поток используется для различных приложений. Например, в: обтекании самолета , потоке грунтовых вод , акустике , волнах на воде и электроосмотическом потоке . ^[2]

Описание и характеристики

Потенциальный поток строится путем сложения простых элементарных потоков и наблюдения за результатом.

Линии тока для потенциального обтекания кругового цилиндра несжимаемой жидкостью равномерным натеканием.

В потенциальном или безвихревом течении векторное поле завихренности равно нулю, т.е.

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\equiv \nabla \times \mathbf {v} =0}$,

где – поле скорости, – поле завихренности . Как и любое векторное поле, имеющее нулевой ротор, поле скорости можно выразить как градиент определенного скаляра, скажем, который называется потенциалом скорости , поскольку ротор градиента всегда равен нулю. Таким образом, мы имеем ^[3] ${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}(\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle \varphi (\mathbf {x} ,t)}$

${\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \varphi .}$

Потенциал скорости не определен однозначно, поскольку к нему можно добавить произвольную функцию времени, скажем , не затрагивая соответствующую физическую величину, которая равна . Неединственность обычно устраняется путем соответствующего выбора соответствующих начальных или граничных условий, которым удовлетворяет, и поэтому процедура может варьироваться от одной проблемы к другой. ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \varphi }$

В потенциальном потоке циркуляция вокруг любого односвязного контура равна нулю. Это можно показать с помощью теоремы Стокса : ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle \Gamma \equiv \oint _{C}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {l} =\int {\boldsymbol {\omega }}\cdot d\mathbf {f} =0}$

где – элемент линии на контуре, – элемент площади любой поверхности, ограниченной контуром. В многосвязном пространстве (скажем, вокруг контура, охватывающего твердое тело в двух измерениях, или вокруг контура, охватывающего тор в трех измерениях) или при наличии концентрированных вихрей (скажем, в так называемых безвихревых вихрях или точечных вихрях). или в кольцах дыма) циркуляция не обязательно должна быть нулевой. В первом случае теорема Стокса не может быть применена, а во втором случае она отлична от нуля в пределах области, ограниченной контуром. Вокруг контура, окружающего бесконечно длинный сплошной цилиндр, с которым контур повторяет время, мы имеем ${\displaystyle d\mathbf {l} }$ ${\displaystyle d\mathbf {f} }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \Gamma =N\kappa }$

где – циклическая константа. Этот пример принадлежит двусвязному пространству. В -кратно связном пространстве существуют такие циклические константы, а именно: ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle \kappa _{1},\kappa _{2},\dots ,\kappa _{n-1}.}$

несжимаемый поток

В случае несжимаемого потока — например, жидкости или газа при малых числах Маха ; но не для звуковых волн — скорость v имеет нулевую дивергенцию : ^[3]

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =0\,,}$

Подстановка здесь показывает, что удовлетворяет уравнению Лапласа ^[3] ${\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =0\,,}$

где ∇ ² = ∇ ⋅ ∇ — оператор Лапласа (иногда также обозначаемый ∆ ). Поскольку решения уравнения Лапласа являются гармоническими функциями , каждая гармоническая функция представляет собой потенциальное решение для потока. Как видно, в несжимаемом случае поле скорости полностью определяется его кинематикой : предположениями безвихревости и нулевой дивергенции потока. Динамику в сочетании с уравнениями количества движения необходимо применять только впоследствии, если кто-то заинтересован в расчете поля давления: например, для обтекания аэродинамических профилей с использованием принципа Бернулли .

В несжимаемых потоках, вопреки распространенному заблуждению, потенциальный поток действительно удовлетворяет полным уравнениям Навье – Стокса , а не только уравнениям Эйлера , поскольку вязкий член

${\displaystyle \mu \nabla ^{2}\mathbf {v} =\mu \nabla (\nabla \cdot \mathbf {v} )-\mu \nabla \times {\boldsymbol {\omega }}=0}$

тождественно равен нулю. Именно неспособность потенциального течения удовлетворить требуемым граничным условиям, особенно вблизи твердых границ, делает его недействительным для представления требуемого поля течения. Если потенциальный поток удовлетворяет необходимым условиям, то он является искомым решением уравнений Навье–Стокса для несжимаемой жидкости.

В двух измерениях с помощью гармонической функции и сопряженной с ней гармонической функции (функции потока) несжимаемый потенциальный поток сводится к очень простой системе, которая анализируется с помощью комплексного анализа (см. ниже). ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \psi }$

Сжимаемый поток

Постоянный поток

Теорию потенциального потока также можно использовать для моделирования безвихревого течения сжимаемой жидкости. Вывод основного уравнения для уравнения Эйлера довольно прост. Уравнения непрерывности и импульса (потенциального потока) для установившихся потоков имеют вид ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \rho \nabla \cdot \mathbf {v} +\mathbf {v} \cdot \nabla \rho =0,\quad (\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} =-{\frac {1}{\rho }}\nabla p=-{\frac {c^{2}}{\rho }}\nabla \rho }$

где последнее уравнение следует из того факта, что энтропия постоянна для частицы жидкости и что квадрат скорости звука равен . Исключение из двух основных уравнений приводит к ${\displaystyle c^{2}=(\partial p/\partial \rho )_{s}}$ ${\displaystyle \nabla \rho }$

${\displaystyle c^{2}\nabla \cdot \mathbf {v} -\mathbf {v} \cdot (\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} =0.}$

В пределе возникает несжимаемая версия . Замена здесь приводит к ^{[4] [5]} ${\displaystyle c\to \infty }$ ${\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \varphi }$

${\displaystyle (c^{2}-\varphi _{x}^{2})\varphi _{xx}+(c^{2}-\varphi _{y}^{2})\varphi _{yy}+(c^{2}-\varphi _{z}^{2})\varphi _{zz}-2(\varphi _{x}\varphi _{y}\varphi _{xy}+\varphi _{y}\varphi _{z}\varphi _{yz}+\varphi _{z}\varphi _{x}\phi _{zx})=0}$

где выражается как функция величины скорости . Для политропного газа , , где – коэффициент теплоемкости , – энтальпия торможения . В двух измерениях уравнение упрощается до ${\displaystyle c=c(v)}$ ${\displaystyle v^{2}=(\nabla \phi )^{2}}$ ${\displaystyle c^{2}=(\gamma -1)(h_{0}-v^{2}/2)}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle h_{0}}$

${\displaystyle (c^{2}-\varphi _{x}^{2})\varphi _{xx}+(c^{2}-\varphi _{y}^{2})\varphi _{yy}-2\varphi _{x}\varphi _{y}\varphi _{xy}=0.}$

Обоснованность: В нынешнем виде уравнение справедливо для любых невязких потенциальных потоков, независимо от того, является ли поток дозвуковым или сверхзвуковым (например, поток Прандтля – Мейера ). Однако в сверхзвуковых, а также в трансзвуковых потоках могут возникать ударные волны, которые могут привнести в поток энтропию и завихренность, делая поток вращательным. Тем не менее, существуют два случая, когда потенциальное течение преобладает даже при наличии ударных волн, что объясняется уравнением количества движения (не обязательно потенциальным), записанным в следующем виде

${\displaystyle \nabla (h+v^{2}/2)-\mathbf {v} \times {\boldsymbol {\omega }}=T\nabla s}$

где – удельная энтальпия , – поле завихренности , – температура, – удельная энтропия. Поскольку перед головной ударной волной мы имеем потенциальное течение, уравнение Бернулли показывает, что оно постоянно, что также является постоянным поперек ударной волны ( условия Рэнкина–Гюгонио ), и поэтому мы можем написать ^[4] ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle h+v^{2}/2}$

${\displaystyle \mathbf {v} \times {\boldsymbol {\omega }}=-T\nabla s}$

1) Когда ударная волна имеет постоянную интенсивность, разрыв энтропии поперек ударной волны также постоянен, т. е. и, следовательно, образование завихренности равно нулю. Ударные волны на заостренной передней кромке двумерного клина или трехмерного конуса ( поток Тейлора – Макколла ) имеют постоянную интенсивность. 2) Для слабых ударных волн скачок энтропии поперек ударной волны является величиной третьего порядка по силе ударной волны и поэтому им можно пренебречь. Ударные волны в тонких телах лежат почти параллельно телу и они слабы. ${\displaystyle \nabla s=0}$ ${\displaystyle \nabla s}$

Почти параллельные потоки: когда поток преимущественно однонаправленный с небольшими отклонениями, например, при обтекании тонких тел, полное уравнение можно еще больше упростить. Пусть это основное течение и рассмотрим небольшие отклонения от этого поля скоростей. Соответствующий потенциал скорости можно записать как где характеризует небольшое отклонение от однородного потока и удовлетворяет линеаризованной версии полного уравнения. Это дано ${\displaystyle U\mathbf {e} _{x}}$ ${\displaystyle \varphi =xU+\phi }$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle (1-M^{2}){\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}=0}$

где – постоянное число Маха, соответствующее равномерному потоку. Это уравнение справедливо при условии, что оно не близко к единице. Когда мало (трансзвуковой поток), мы имеем следующее нелинейное уравнение ^[4] ${\displaystyle M=U/c_{\infty }}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle |M-1|}$

${\displaystyle 2\alpha _{*}{\frac {\partial \phi }{\partial x}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}={\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}}$

где – критическое значение производной Ландау ^{[6] [7]} и – удельный объём. Трансзвуковое течение полностью характеризуется одним параметром , который для политропного газа принимает значение . При преобразовании годографа трансзвуковое уравнение в двумерном измерении становится уравнением Эйлера – Трикоми . ${\displaystyle \alpha _{*}}$ ${\displaystyle \alpha =(c^{4}/2\upsilon ^{3})(\partial ^{2}\upsilon /\partial p^{2})_{s}}$ ${\displaystyle \upsilon =1/\rho }$ ${\displaystyle \alpha _{*}}$ ${\displaystyle \alpha _{*}=\alpha =(\gamma +1)/2}$

Нестационарный поток

Уравнения неразрывности и импульса (потенциального потока) для нестационарных течений имеют вид

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\rho \nabla \cdot \mathbf {v} +\mathbf {v} \cdot \nabla \rho =0,\quad {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} =-{\frac {1}{\rho }}\nabla p=-{\frac {c^{2}}{\rho }}\nabla \rho =-\nabla h.}$

Первый интеграл уравнения количества движения (потенциального потока) определяется выражением

${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\frac {v^{2}}{2}}+h=f(t),\quad \Rightarrow \quad {\frac {\partial h}{\partial t}}=-{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial v^{2}}{\partial t}}+{\frac {df}{dt}}}$

где – произвольная функция. Без ограничения общности можно положить, что т. к. не определено однозначно. Объединив эти уравнения, получим ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle f(t)=0}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial v^{2}}{\partial t}}=c^{2}\nabla \cdot \mathbf {v} -\mathbf {v} \cdot (\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} .}$

Замена здесь приводит к ${\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \varphi }$

${\displaystyle \varphi _{tt}+{\frac {1}{2}}(\varphi _{x}^{2}+\varphi _{y}^{2}+\varphi _{z}^{2})_{t}=(c^{2}-\varphi _{x}^{2})\varphi _{xx}+(c^{2}-\varphi _{y}^{2})\varphi _{yy}+(c^{2}-\varphi _{z}^{2})\varphi _{zz}-2(\varphi _{x}\varphi _{y}\varphi _{xy}+\varphi _{y}\varphi _{z}\varphi _{yz}+\varphi _{z}\varphi _{x}\phi _{zx}).}$

Почти параллельные потоки: Как и раньше, для почти параллельных потоков мы можем написать (после введения пересчитанного времени ) ${\displaystyle \tau =c_{\infty }t}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial \tau ^{2}}}+M{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x\partial \tau }}=(1-M^{2}){\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}}$

при условии, что постоянное число Маха не близко к единице. Когда мало (трансзвуковой поток), мы имеем следующее нелинейное уравнение ^[4] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle |M-1|}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial \tau ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x\partial \tau }}=-2\alpha _{*}{\frac {\partial \phi }{\partial x}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}.}$

Звуковые волны. В звуковых волнах величина скорости (или число Маха) очень мала, хотя нестационарный член теперь сравним с другими ведущими членами уравнения. Таким образом, пренебрегая всеми квадратичными членами и членами более высокого порядка и отмечая, что в том же приближении - константа (например, в политропном газе ), имеем ^{[8] [4]} ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c^{2}=(\gamma -1)h_{0}}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}=c^{2}\nabla ^{2}\varphi ,}$

которое представляет собой линейное волновое уравнение для потенциала скорости φ . Колебательная часть вектора скорости v снова связана с потенциалом скорости соотношением v = ∇ φ , тогда как, как и раньше, Δ — оператор Лапласа , а c — средняя скорость звука в однородной среде . Обратите внимание, что в этом приближении колебательные части давления p и плотности ρ по отдельности удовлетворяют волновому уравнению.

Применимость и ограничения

Потенциальный поток не включает в себя все характеристики потоков, встречающихся в реальном мире. Теория потенциального течения не может быть применена для вязких внутренних течений ^[1] , за исключением течений между близко расположенными пластинами . Ричард Фейнман считал потенциальный поток настолько нефизическим, что единственной жидкостью, которая подчинялась этим предположениям, была «сухая вода» (цитируя Джона фон Неймана). ^[9] Несжимаемый потенциальный поток также делает ряд неверных предсказаний, таких как парадокс Даламбера , который утверждает, что сопротивление любого объекта, движущегося через бесконечную жидкость, в противном случае находящегося в состоянии покоя, равно нулю. ^[10] Точнее, потенциальный поток не может объяснить поведение потоков, включающих пограничный слой . ^[1] Тем не менее, понимание потенциального потока важно во многих разделах механики жидкости. В частности, простые потенциальные потоки (называемые элементарными потоками ), такие как свободный вихрь и точечный источник, обладают готовыми аналитическими решениями. Эти решения можно накладывать друг на друга для создания более сложных потоков, удовлетворяющих множеству граничных условий. Эти потоки близко соответствуют реальным потокам во всей механике жидкости; кроме того, многие ценные идеи возникают при рассмотрении отклонения (часто небольшого) между наблюдаемым потоком и соответствующим потенциальным потоком. Потенциальный поток находит множество применений в таких областях, как проектирование самолетов. Например, в вычислительной гидродинамике одним из методов является объединение решения потенциального потока вне пограничного слоя с решением уравнений пограничного слоя внутри пограничного слоя. Отсутствие эффектов пограничного слоя означает, что любая линия тока может быть заменена твердой границей без изменения поля потока - метод, используемый во многих подходах к аэродинамическому проектированию. Другой метод — использование твердых тел Риабушинского . ^{[ сомнительно – обсудить ]}

Анализ двумерного несжимаемого течения

Потенциальный поток в двух измерениях легко анализировать с помощью конформного отображения , используя преобразования комплексной плоскости . Однако использование комплексных чисел не требуется, как, например, при классическом анализе течения жидкости вокруг цилиндра. Невозможно решить потенциальный поток, используя комплексные числа в трех измерениях. ^[11]

Основная идея состоит в использовании голоморфной (также называемой аналитической ) или мероморфной функции f , которая отображает физическую область ( x , y ) в преобразованную область ( φ , ψ ) . Хотя x , y , φ и ψ имеют действительные значения , удобно определить комплексные величины

${\displaystyle {\begin{aligned}z&=x+iy\,,{\text{ and }}&w&=\varphi +i\psi \,.\end{aligned}}}$

Теперь, если мы запишем отображение f как ^[11]

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x+iy)&=\varphi +i\psi \,,{\text{ or }}&f(z)&=w\,.\end{aligned}}}$

Тогда, поскольку f — голоморфная или мероморфная функция, она должна удовлетворять уравнениям Коши–Римана ^[11]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}&={\frac {\partial \psi }{\partial y}}\,,&{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}&=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\,.\end{aligned}}}$

Компоненты скорости ( u , v ) в направлениях ( x , y ) соответственно могут быть получены непосредственно из f путем дифференцирования по z . Это ^[11]

${\displaystyle {\frac {df}{dz}}=u-iv}$

Таким образом, поле скорости v = ( u , v ) определяется формулой ^[11]

${\displaystyle {\begin{aligned}u&={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}={\frac {\partial \psi }{\partial y}},&v&={\frac {\partial \varphi }{\partial y}}=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\,.\end{aligned}}}$

Тогда и φ , и ψ удовлетворяют уравнению Лапласа : ^[11]

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \varphi &={\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}=0\,,{\text{ and }}&\Delta \psi &={\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}=0\,.\end{aligned}}}$

Таким образом, φ можно определить как потенциал скорости, а ψ называют функцией тока . ^[11] Линии постоянного ψ известны как линии тока , а линии постоянного φ известны как эквипотенциальные линии (см. Эквипотенциальная поверхность ).

Линии тока и эквипотенциальные линии ортогональны друг другу, поскольку ^[11]

${\displaystyle \nabla \varphi \cdot \nabla \psi ={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}+{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}={\frac {\partial \psi }{\partial y}}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}=0\,.}$

Таким образом, течение происходит вдоль линий постоянной ψ и под прямым углом к ​​линиям постоянной φ . ^[11]

∇ ψ = 0 также выполняется, это соотношение эквивалентно ∇ × v = 0 . Таким образом, течение является безвихревым. Автоматическое состояние ⁠∂ ² Ψ/∂ х ∂ у⁠ = ⁠∂ ² Ψ/∂ у ∂ х⁠ тогда дает ограничение несжимаемости ∇ · v = 0 .

Примеры двумерных несжимаемых течений

В качестве f можно использовать любую дифференцируемую функцию . В следующих примерах используются различные элементарные функции ; Также могут использоваться специальные функции . Обратите внимание, что можно использовать многозначные функции , такие как натуральный логарифм , но внимание должно быть ограничено одной римановой поверхностью .

Законы власти

Примеры конформных отображений для степенного закона w = Az ⁿ

Примеры конформных отображений для степенного закона w = Az ⁿ для разных значений степени n . Показана плоскость z , показывающая линии постоянного потенциала φ и функции тока ψ , а w = φ + iψ .

В случае применения следующего степенного конформного отображения от z = x + iy до w = φ + iψ : ^[12]

${\displaystyle w=Az^{n}\,,}$

тогда, записывая z в полярных координатах как z = x + iy = re ^iθ , имеем ^[12]

${\displaystyle \varphi =Ar^{n}\cos n\theta \qquad {\text{and}}\qquad \psi =Ar^{n}\sin n\theta \,.}$

На рисунках справа примеры приведены для нескольких значений n . Черная линия — граница потока, более темные синие линии — линии тока, а более светлые синие линии — эквипотенциальные линии. Некоторые интересные степени n : ^[12]

• п = ⁠1/2⁠ : это соответствует обтеканию полубесконечной пластины,
• п = ⁠2/3⁠ : обтекать правый угол,
• n = 1 : тривиальный случай равномерного потока,
• n = 2 : поток через угол или вблизи критической точки, и
• n = −1 : поток из-за дублета источника

Константа A является параметром масштабирования: ее абсолютное значение | А | определяет масштаб, а его аргумент arg( A ) вводит вращение (если оно не равно нулю).

Степенные законы сп = 1: равномерный поток

Если w = Az ¹ , то есть степенной закон с n = 1 , линии тока (т.е. линии постоянного ψ ) представляют собой систему прямых линий, параллельных оси x . Это проще всего увидеть, записав в терминах действительные и мнимые компоненты:

${\displaystyle f(x+iy)=A\,(x+iy)=Ax+iAy}$

таким образом давая φ = Ax и ψ = Ay . Этот поток можно интерпретировать как равномерный поток, параллельный оси x .

Степенные законы сп = 2

Если n = 2 , то w = Az ² и линия тока, соответствующая конкретному значению ψ, являются точками, удовлетворяющими условиям

${\displaystyle \psi =Ar^{2}\sin 2\theta \,,}$

которая представляет собой систему прямоугольных гипербол . В этом можно убедиться, еще раз переписав уравнение с точки зрения действительных и мнимых компонентов. Отмечая, что sin 2 θ = 2 sin θ cos θ , и переписывая sin θ = ⁠й/р⁠ и потому что θ = ⁠Икс/р⁠ видно (при упрощении), что линии тока имеют вид

${\displaystyle \psi =2Axy\,.}$

Поле скорости определяется как ∇ φ или

${\displaystyle {\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\\[2px]{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}+{\partial \psi \over \partial y}\\[2px]-{\partial \psi \over \partial x}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}+2Ax\\[2px]-2Ay\end{pmatrix}}\,.}$

В гидродинамике поле течения вблизи начала координат соответствует критической точке . Обратите внимание, что жидкость в начале координат покоится (это следует из дифференцирования f (z) = z ² при z = 0 ). Особый интерес представляет линия тока ψ = 0 : она имеет две (или четыре) ветви, идущие по осям координат, т. е. x = 0 и y = 0 . Поскольку жидкость не течет через ось x , ее ( ось x ) можно рассматривать как твердую границу. Таким образом, можно игнорировать течение в нижней полуплоскости, где y < 0 , и сосредоточиться на потоке в верхней полуплоскости. В этой интерпретации течение представляет собой поток вертикально направленной струи, падающей на горизонтальную плоскую пластину. Поток также можно интерпретировать как поток в угол 90 градусов, если игнорируются области, заданные, скажем, x , y < 0 .

Степенные законы сп = 3

Если n = 3 , результирующий поток представляет собой своего рода гексагональную версию случая n = 2, рассмотренного выше. Линии тока определяются как ψ = 3 x ² y − y ³ , и поток в этом случае можно интерпретировать как поток в угол 60 °.

Степенные законы сп = −1: дублет

Если n = −1 , линии тока определяются выражением

${\displaystyle \psi =-{\frac {A}{r}}\sin \theta .}$

Это легче интерпретировать с точки зрения действительных и мнимых компонентов:

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi ={\frac {-Ay}{r^{2}}}&={\frac {-Ay}{x^{2}+y^{2}}}\,,\\x^{2}+y^{2}+{\frac {Ay}{\psi }}&=0\,,\\x^{2}+\left(y+{\frac {A}{2\psi }}\right)^{2}&=\left({\frac {A}{2\psi }}\right)^{2}\,.\end{aligned}}}$

Таким образом, линии тока представляют собой круги , касающиеся оси X в начале координат. Таким образом, круги в верхней полуплоскости движутся по часовой стрелке, а круги в нижней полуплоскости - против часовой стрелки. Заметим, что компоненты скорости пропорциональны r ⁻² ; и их значения в начале координат бесконечны. Эту структуру потока обычно называют дублетом или диполем и можно интерпретировать как комбинацию пары источник-приемник бесконечной силы, находящейся на бесконечно малом расстоянии друг от друга. Поле скорости определяется выражением

${\displaystyle (u,v)=\left({\frac {\partial \psi }{\partial y}},-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\right)=\left(A{\frac {y^{2}-x^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}},-A{\frac {2xy}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}\right)\,.}$

или в полярных координатах:

${\displaystyle (u_{r},u_{\theta })=\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial \theta }},-{\frac {\partial \psi }{\partial r}}\right)=\left(-{\frac {A}{r^{2}}}\cos \theta ,-{\frac {A}{r^{2}}}\sin \theta \right)\,.}$

Степенные законы сп = −2: квадруполь

Если n = −2 , линии тока определяются выражением

${\displaystyle \psi =-{\frac {A}{r^{2}}}\sin 2\theta \,.}$

Это поле течения, связанное с квадруполем . ^[13]

Линейный источник и приемник

Линейный источник или сток силы ( для источника и для стока) определяется потенциалом ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q>0}$ ${\displaystyle Q<0}$

${\displaystyle w={\frac {Q}{2\pi }}\ln z}$

где фактически представляет собой объемный поток на единицу длины через поверхность, окружающую источник или сток. Поле скорости в полярных координатах равно ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle u_{r}={\frac {Q}{2\pi r}},\quad u_{\theta }=0}$

т. е. чисто радиальный поток.

Линейный вихрь

Линейный вихрь силы определяется выражением ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle w={\frac {\Gamma }{2\pi i}}\ln z}$

где – циркуляция вокруг любого простого замкнутого контура, охватывающего вихрь. Поле скорости в полярных координатах равно ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle u_{r}=0,\quad u_{\theta }={\frac {\Gamma }{2\pi r}}}$

т. е. чисто азимутальный поток.

Анализ трехмерных несжимаемых течений

Для трехмерных течений комплексный потенциал получить невозможно.

Точечный источник и сток

Потенциал скорости точечного источника или стока силы ( для источника и для стока) в сферических полярных координатах определяется выражением ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q>0}$ ${\displaystyle Q<0}$

${\displaystyle \phi =-{\frac {Q}{4\pi r}}}$

где фактически – объемный поток через замкнутую поверхность, окружающую источник или сток. Поле скорости в сферических полярных координатах равно ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle u_{r}={\frac {Q}{4\pi r^{2}}},\quad u_{\theta }=0,\quad u_{\phi }=0.}$

Смотрите также

• Потенциальный поток вокруг круглого цилиндра
• Код аэродинамического потенциального потока
• Конформное отображение
• Дарвиновский дрейф
• Сеть
• Лапласово поле
• Уравнение Лапласа для безвихревого течения
• Потенциальная теория
• Функция потока
• Потенциал скорости
• Разложение Гельмгольца

Примечания

1. Batchelor (1973), стр. 378–380.
2. Кирби, Б.Дж. (2010), Микро- и наномасштабная механика жидкости: транспорт в микрофлюидных устройствах., Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-11903-0
3. Batchelor (1973), стр. 99–101.
4. Ландау, Л.Д., и Лифшиц, Э.М. (2013). Механика жидкости: Ландау и Лифшиц: Курс теоретической физики, Том 6 (Том 6). Эльзевир. Раздел 114, стр. 436.
5. Андерсон, JD (2002). Современный сжимаемый поток . МакГроу-Хилл. стр. 358–359. ISBN 0-07-242443-5.
6. 1942, Ландау, Л.Д. «Об ударных волнах» J. Phys. СССР 6 229-230
7. Томпсон, Пенсильвания (1971). Фундаментальная производная в газовой динамике. Физика жидкостей, 14 (9), 1843–1849.
8. Лэмб (1994) §287, стр. 492–495.
9. Фейнман, Р.П .; Лейтон, РБ ; Сэндс, М. (1964), Фейнмановские лекции по физике , том. 2, Аддисон-Уэсли, п. 40-3. Глава 40 имеет название: Поток сухой воды .
10. Бэтчелор (1973), стр. 404–405.
11. Batchelor (1973), стр. 106–108.
12. Batchelor (1973), стр. 409–413.
13. Кирала, А. (1972). Прикладные функции комплексной переменной . Уайли-Интерсайенс. стр. 116–117. ISBN 9780471511298.

Рекомендации

• Бэтчелор, Г.К. (1973), Введение в гидродинамику , Cambridge University Press, ISBN 0-521-09817-3
• Шансон, Х. (2009), Прикладная гидродинамика: введение в идеальные и реальные потоки жидкости, CRC Press, Taylor & Francisco Group, Лейден, Нидерланды, 478 страниц, ISBN 978-0-415-49271-3
• Ламб, Х. (1994) [1932], Гидродинамика (6-е изд.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-45868-9
• Милн-Томсон, LM (1996) [1968], Теоретическая гидродинамика (5-е изд.), Дувр, ISBN 0-486-68970-0

дальнейшее чтение

• Шансон, Х. (2007), «Le potentiel de vitesse pour les écoulements de Fluides Réels: вклад Жозефа-Луи Лагранжа [Потенциал скорости в реальных потоках жидкости: вклад Жозефа-Луи Лагранжа]», La Houille Blanche (на французском языке) , 93 (5): 127–131, doi : 10.1051/lhb:2007072
• Вехаузен, СП ; Лайтоне, Э.В. (1960), «Поверхностные волны», во Флюгге, С .; Трусделл, К. (ред.), Энциклопедия физики, том. IX, Springer Verlag, стр. 446–778, заархивировано из оригинала 5 января 2009 г. , получено 29 марта 2009 г.

Внешние ссылки

• «Безвихревое течение невязкой жидкости». Университет Генуи , инженерный факультет . Проверено 29 марта 2009 г.
• «Галерея конформных карт». 3D-XplorMath . Проверено 29 марта 2009 г.— Java-апплеты для изучения конформных карт.
• Потенциальные визуализации потока — интерактивные веб-приложения