Пограничный слой

Слой жидкости в непосредственной близости от ограничивающей поверхности

Пограничный слой вокруг человеческой руки, шлирен-фотография . Пограничный слой — это ярко-зеленая граница, наиболее заметная на тыльной стороне руки (нажмите, чтобы увидеть изображение в высоком разрешении).

В физике и механике жидкости пограничный слой — это тонкий слой жидкости в непосредственной близости от ограничивающей поверхности , образованный жидкостью, текущей вдоль поверхности. Взаимодействие жидкости со стенкой создает граничное условие прилипания (нулевая скорость у стенки). Затем скорость потока монотонно увеличивается над поверхностью, пока не вернется к скорости объемного потока. Тонкий слой, состоящий из жидкости, скорость которой еще не вернулась к скорости объемного потока, называется скоростным пограничным слоем.

Воздух рядом с человеком нагревается, что приводит к возникновению конвективного воздушного потока, вызванного гравитацией, что приводит к образованию как скоростного, так и теплового пограничного слоя. Ветер разрушает пограничный слой, а волосы и одежда защищают его, заставляя человека чувствовать себя прохладнее или теплее. На крыле самолета пограничным слоем скорости является часть потока вблизи крыла, где силы вязкости искажают окружающий невязкий поток. В атмосфере Земли пограничным слоем атмосферы является слой воздуха (~1 км) у земли. На него влияет поверхность; тепловые потоки день-ночь, вызванные нагреванием земли солнцем, влажностью или передачей импульса на поверхность или от нее.

Виды пограничного слоя

Визуализация пограничного слоя, показывающая переход от ламинарного состояния к турбулентному.

Ламинарные пограничные слои можно условно классифицировать в зависимости от их структуры и обстоятельств, при которых они создаются. Тонкий сдвиговый слой, образующийся на колеблющемся теле, является примером пограничного слоя Стокса , тогда как пограничный слой Блазиуса относится к известному решению подобия вблизи прикрепленной плоской пластины, удерживаемой в набегающем однонаправленном потоке, и пограничного слоя Фолкнера – Скана , обобщение профиля Блазиуса. Когда жидкость вращается и силы вязкости уравновешиваются эффектом Кориолиса (а не конвективной инерцией), образуется слой Экмана . В теории теплопередачи возникает тепловой пограничный слой. Поверхность может иметь несколько типов пограничного слоя одновременно.

Вязкая природа воздушного потока снижает локальные скорости на поверхности и вызывает трение кожи. Слой воздуха над поверхностью крыла, который замедляется или останавливается из-за вязкости, является пограничным слоем. Существует два типа течения в пограничном слое: ламинарное и турбулентное. ^[1]

Ламинарное течение в пограничном слое

Ламинарная граница представляет собой очень плавное течение, тогда как турбулентный пограничный слой содержит завихрения или «вихри». Ламинарный поток создает меньшее сопротивление поверхностного трения, чем турбулентный поток, но менее стабилен. Обтекание пограничного слоя поверхностью крыла начинается как гладкое ламинарное течение. По мере продолжения потока от передней кромки толщина ламинарного пограничного слоя увеличивается.

Турбулентное течение в пограничном слое

На некотором расстоянии от передней кромки плавное ламинарное течение нарушается и переходит в турбулентное течение. С точки зрения сопротивления желательно обеспечить переход от ламинарного к турбулентному потоку как можно дальше назад по крылу или иметь большую часть поверхности крыла внутри ламинарной части пограничного слоя. Однако ламинарный поток низкой энергии имеет тенденцию разрушаться более внезапно, чем турбулентный слой.

Концепция пограничного слоя Прандтля

Людвиг Прандтль

Профиль скорости ламинарного пограничного слоя

Аэродинамический пограничный слой был впервые выдвинут Людвигом Прандтлем в докладе, представленном 12 августа 1904 года на третьем Международном конгрессе математиков в Гейдельберге, Германия . Он упрощает уравнения потока жидкости за счет разделения поля потока на две области: одна внутри пограничного слоя, в которой преобладает вязкость и которая создает большую часть сопротивления , испытываемого пограничным телом; и один за пределами пограничного слоя, где вязкостью можно пренебречь без существенного влияния на решение. Это позволяет найти решение в замкнутой форме для потока в обеих областях за счет значительного упрощения полных уравнений Навье – Стокса . Та же гипотеза применима к другим жидкостям (кроме воздуха) с вязкостью от умеренной до низкой, например к воде. Для случая, когда существует разница температур между поверхностью и объемной жидкостью, обнаружено, что большая часть теплопередачи к телу и от него происходит вблизи пограничного слоя скорости. Это снова позволяет упростить уравнения в поле течения вне пограничного слоя. Распределение давления по всему пограничному слою в направлении, нормальном к поверхности (например, к аэродинамическому профилю ) остается относительно постоянным во всем пограничном слое и таким же, как и на самой поверхности.

Толщину скоростного пограничного слоя обычно определяют как расстояние от твердого тела до точки, в которой скорость вязкого потока составляет 99% скорости набегающего потока (поверхностной скорости невязкого потока) . ^[2] Толщина смещения — это альтернативное определение, утверждающее, что пограничный слой представляет собой дефицит массового потока по сравнению с невязким потоком со скольжением у стенки. Это расстояние, на которое пришлось бы сместить стенку в невязком случае, чтобы обеспечить тот же общий массовый расход, что и в вязком случае. Условие прилипания требует, чтобы скорость потока на поверхности твердого объекта была равна нулю, а температура жидкости была равна температуре поверхности. Тогда скорость потока будет быстро увеличиваться внутри пограничного слоя, что определяется уравнениями пограничного слоя, приведенными ниже.

Толщина теплового пограничного слоя аналогично является расстоянием от тела, на котором температура составляет 99% температуры набегающего потока. Соотношение двух толщин определяется числом Прандтля . Если число Прандтля равно 1, два пограничных слоя имеют одинаковую толщину. Если число Прандтля больше 1, тепловой пограничный слой тоньше скоростного пограничного слоя. Если число Прандтля меньше 1, что справедливо для воздуха в стандартных условиях, тепловой пограничный слой толще, чем скоростной пограничный слой.

В высокопроизводительных конструкциях, таких как планеры и коммерческие самолеты, большое внимание уделяется управлению поведением пограничного слоя для минимизации сопротивления. Необходимо учитывать два эффекта. Во-первых, пограничный слой увеличивает эффективную толщину тела за счет толщины смещения , тем самым увеличивая сопротивление давлению. Во-вторых, поперечные силы на поверхности крыла создают сопротивление поверхностного трения .

При высоких числах Рейнольдса , характерных для полноразмерных самолетов, желательно иметь ламинарный пограничный слой. Это приводит к снижению поверхностного трения благодаря характерному профилю скорости ламинарного потока. Однако пограничный слой неизбежно утолщается и становится менее устойчивым по мере развития потока вдоль тела и в конечном итоге становится турбулентным - процесс, известный как переход пограничного слоя . Одним из способов решения этой проблемы является отсасывание пограничного слоя через пористую поверхность (см. Отсасывание пограничного слоя ). Это может уменьшить сопротивление, но обычно непрактично из-за механической сложности и мощности, необходимой для перемещения воздуха и его удаления. Методы естественного ламинарного потока (NLF) смещают переход пограничного слоя назад, изменяя форму аэродинамического профиля или фюзеляжа так, что его самая толстая точка находится дальше назад и менее толстой. Это уменьшает скорости в ведущей части и то же число Рейнольдса достигается при большей длине.

При более низких числах Рейнольдса , например, наблюдаемых на моделях самолетов, относительно легко поддерживать ламинарный поток. Это обеспечивает низкое трение кожи, что желательно. Однако тот же профиль скорости, который придает ламинарному пограничному слою низкое поверхностное трение, также приводит к тому, что на него сильно влияют неблагоприятные градиенты давления . Когда давление начинает восстанавливаться в задней части хорды крыла, ламинарный пограничный слой будет стремиться отделиться от поверхности. Такой отрыв потока вызывает значительное увеличение сопротивления давления , поскольку значительно увеличивает эффективный размер сечения крыла. В этих случаях может быть выгодно намеренно вызвать турбулентность пограничного слоя в точке, предшествующей месту ламинарного отрыва, с помощью турбулизатора . Более полный профиль скорости турбулентного пограничного слоя позволяет ему выдерживать неблагоприятный градиент давления без отделения. Таким образом, хотя поверхностное трение увеличивается, общее сопротивление уменьшается. Этот принцип лежит в основе ямочек на мячах для гольфа, а также вихревых генераторов на самолетах. Также были разработаны специальные секции крыла, которые адаптируют восстановление давления таким образом, чтобы ламинарное разделение было уменьшено или даже устранено. Это представляет собой оптимальный компромисс между сопротивлением давлению из-за отрыва потока и поверхностным трением из-за наведенной турбулентности.

При использовании полумоделей в аэродинамических трубах иногда применяют пенише для уменьшения или устранения влияния пограничного слоя.

Уравнения пограничного слоя

Вывод уравнений пограничного слоя был одним из наиболее важных достижений в гидродинамике. Используя анализ порядка величины , известные основные уравнения потока вязкой жидкости Навье – Стокса можно значительно упростить в пределах пограничного слоя. Примечательно, что характеристика уравнений в частных производных (УЧП) становится параболической, а не эллиптической формой полных уравнений Навье – Стокса. Это значительно упрощает решение уравнений. Используя аппроксимацию пограничного слоя, поток разделяется на невязкую часть (которую легко решить рядом методов) и пограничный слой, который определяется более простым для решения уравнением PDE . Уравнения неразрывности и Навье–Стокса для двумерного установившегося течения несжимаемой жидкости в декартовых координатах имеют вид

${\displaystyle {\partial u \over \partial x}+{\partial \upsilon \over \partial y}=0}$

${\displaystyle u{\partial u \over \partial x}+\upsilon {\partial u \over \partial y}=-{1 \over \rho }{\partial p \over \partial x}+{\nu }\left({\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}\right)}$

${\displaystyle u{\partial \upsilon \over \partial x}+\upsilon {\partial \upsilon \over \partial y}=-{1 \over \rho }{\partial p \over \partial y}+{\nu }\left({\partial ^{2}\upsilon \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}\upsilon \over \partial y^{2}}\right)}$

где и – компоненты скорости, – плотность, – давление, – кинематическая вязкость жидкости в точке. ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \upsilon }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \nu }$

Приближение утверждает, что при достаточно высоком числе Рейнольдса течение над поверхностью можно разделить на внешнюю область невязкого течения, на которую не влияет вязкость (большая часть потока), и область, близкую к поверхности, где вязкость важна ( пограничный слой). Пусть и – продольная и поперечная (нормальная к стенке) скорости внутри пограничного слоя соответственно. Используя масштабный анализ , можно показать, что приведенные выше уравнения движения уменьшаются внутри пограничного слоя и становятся ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \upsilon }$

${\displaystyle u{\partial u \over \partial x}+\upsilon {\partial u \over \partial y}=-{1 \over \rho }{\partial p \over \partial x}+{\nu }{\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}}$

${\displaystyle {1 \over \rho }{\partial p \over \partial y}=0}$

а если жидкость несжимаема (как жидкости в стандартных условиях):

${\displaystyle {\partial u \over \partial x}+{\partial \upsilon \over \partial y}=0}$

Анализ порядка величины предполагает, что продольный масштаб длины значительно больше поперечного масштаба длины внутри пограничного слоя. Отсюда следует, что изменения свойств в продольном направлении обычно намного меньше, чем в направлении нормали к стенке. Примените это к уравнению неразрывности, и вы увидите, что нормальная скорость к стенке мала по сравнению с продольной скоростью. ${\displaystyle \upsilon }$ ${\displaystyle u}$

Так как статическое давление не зависит от , то давление на краю пограничного слоя — это давление во всем пограничном слое в заданном положении по потоку. Внешнее давление можно получить, применив уравнение Бернулли . Позвольте быть скоростью жидкости вне пограничного слоя, где и оба параллельны. Это дает после замены следующего результата ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle u{\partial u \over \partial x}+\upsilon {\partial u \over \partial y}=U{\frac {dU}{dx}}+{\nu }{\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}}$

Для потока, в котором статическое давление также не меняется в направлении потока ${\displaystyle p}$

${\displaystyle {\frac {dp}{dx}}=0}$

поэтому остается постоянным. ${\displaystyle U}$

Следовательно, уравнение движения упрощается и становится

${\displaystyle u{\partial u \over \partial x}+\upsilon {\partial u \over \partial y}={\nu }{\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}}$

Эти приближения используются в различных практических задачах потока, представляющих научный и инженерный интерес. Приведенный выше анализ предназначен для любого мгновенного ламинарного или турбулентного пограничного слоя, но используется в основном при исследованиях ламинарного потока, поскольку средний поток также является мгновенным потоком, поскольку флуктуации скорости отсутствуют. Это упрощенное уравнение представляет собой параболический УЧП и может быть решено с использованием решения подобия, часто называемого пограничным слоем Блазиуса .

Теорема Прандтля о транспонировании

Прандтль заметил, что из любого решения , удовлетворяющего уравнениям пограничного слоя, можно построить дальнейшее решение , которое также удовлетворяет уравнениям пограничного слоя, записав ^[3] ${\displaystyle u(x,y,t),\ v(x,y,t)}$ ${\displaystyle u^{*}(x,y,t),\ v^{*}(x,y,t)}$

${\displaystyle u^{*}(x,y,t)=u(x,y+f(x),t),\quad v^{*}(x,y,t)=v(x,y+f(x),t)-f'(x)u(x,y+f(x),t)}$

где произвольно. Поскольку решение не является уникальным с математической точки зрения, ^[4] к решению можно добавить любую из бесконечного набора собственных функций, как показали Стюартсон ^[5] и Пол А. Либби . ^{[6] [7]} ${\displaystyle f(x)}$

Интеграл импульса фон Кармана

Фон Карман вывел интегральное уравнение путем интегрирования уравнения пограничного слоя поперек пограничного слоя в 1921 году. ^[8] Уравнение имеет вид

${\displaystyle {\frac {\tau _{w}}{\rho U^{2}}}={\frac {1}{U^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}(U\delta _{1})+{\frac {\partial \delta _{2}}{\partial x}}+{\frac {2\delta _{2}+\delta _{1}}{U}}{\frac {\partial U}{\partial x}}+{\frac {v_{w}}{U}}}$

где

${\displaystyle \tau _{w}=\mu \left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)_{y=0},\quad v_{w}=v(x,0,t),\quad \delta _{1}=\int _{0}^{\infty }\left(1-{\frac {u}{U}}\right)\,dy,\quad \delta _{2}=\int _{0}^{\infty }{\frac {u}{U}}\left(1-{\frac {u}{U}}\right)\,dy}$

${\displaystyle \tau _{w}}$– напряжение сдвига стенки, – скорость всасывания/впрыска у стенки, – толщина смещения и – толщина импульса. Аппроксимация Кармана – Полхаузена выводится из этого уравнения. ${\displaystyle v_{w}}$ ${\displaystyle \delta _{1}}$ ${\displaystyle \delta _{2}}$

Интеграл энергии

Интеграл энергии был получен Вигхардтом. ^{[9] [10]}

${\displaystyle {\frac {2\varepsilon }{\rho U^{3}}}={\frac {1}{U}}{\frac {\partial }{\partial t}}(\delta _{1}+\delta _{2})+{\frac {2\delta _{2}}{U^{2}}}{\frac {\partial U}{\partial t}}+{\frac {1}{U^{3}}}{\frac {\partial }{\partial x}}(U^{3}\delta _{3})+{\frac {v_{w}}{U}}}$

где

${\displaystyle \varepsilon =\int _{0}^{\infty }\mu \left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)^{2}dy,\quad \delta _{3}=\int _{0}^{\infty }{\frac {u}{U}}\left(1-{\frac {u^{2}}{U^{2}}}\right)\,dy}$

${\displaystyle \varepsilon }$– скорость диссипации энергии из-за вязкости в пограничном слое, – энергетическая толщина. ^[11] ${\displaystyle \delta _{3}}$

Преобразование фон Мизеса

Для устойчивых двумерных пограничных слоев фон Мизес ^[12] ввел преобразование, которое принимает и ( функцию потока ) в качестве независимых переменных вместо и и использует зависимую переменную вместо . Тогда уравнение пограничного слоя примет вид ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \chi =U^{2}-u^{2}}$ ${\displaystyle u}$

${\displaystyle {\frac {\partial \chi }{\partial x}}=\nu {\sqrt {U^{2}-\chi }}\,{\frac {\partial ^{2}\chi }{\partial \psi ^{2}}}}$

Исходные переменные восстанавливаются из

${\displaystyle y=\int {\sqrt {U^{2}-\chi }}\,d\psi ,\quad u={\sqrt {U^{2}-\chi }},\quad v=u\int {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {1}{u}}\right)\,d\psi .}$

Позднее фон Карман и Х. С. Цянь распространили это преобразование на сжимаемый пограничный слой . ^[13]

Трансформация Крокко

Для устойчивого двумерного сжимаемого пограничного слоя Луиджи Крокко ^[14] ввел преобразование, которое принимает и в качестве независимых переменных вместо и и использует зависимую переменную (напряжение сдвига) вместо . Уравнение пограничного слоя тогда принимает вид ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \tau =\mu \partial u/\partial y}$ ${\displaystyle u}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\mu \rho u{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {1}{\tau }}\right)+{\frac {\partial ^{2}\tau }{\partial u^{2}}}-\mu {\frac {dp}{dx}}{\frac {\partial }{\partial u}}\left({\frac {1}{\tau }}\right)=0,\\[5pt]&{\text{if }}{\frac {dp}{dx}}=0,{\text{ then }}{\frac {\mu \rho }{\tau ^{2}}}{\frac {\partial \tau }{\partial x}}={\frac {1}{u}}{\frac {\partial ^{2}\tau }{\partial u^{2}}}.\end{aligned}}}$

Исходная координата восстанавливается из

${\displaystyle y=\mu \int {\frac {du}{\tau }}.}$

Турбулентные пограничные слои

Обработка турбулентных пограничных слоев значительно сложнее из-за изменения свойств течения во времени. Одним из наиболее широко используемых методов решения проблемы турбулентных потоков является применение разложения Рейнольдса . Здесь мгновенные свойства потока разлагаются на среднее значение и пульсирующую составляющую с предположением, что среднее значение пульсирующей составляющей всегда равно нулю. Применение этого метода к уравнениям пограничного слоя дает полные уравнения турбулентного пограничного слоя, которые не часто приводятся в литературе:

${\displaystyle {\partial {\overline {u}} \over \partial x}+{\partial {\overline {v}} \over \partial y}=0}$

${\displaystyle {\overline {u}}{\partial {\overline {u}} \over \partial x}+{\overline {v}}{\partial {\overline {u}} \over \partial y}=-{1 \over \rho }{\partial {\overline {p}} \over \partial x}+\nu \left({\partial ^{2}{\overline {u}} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}{\overline {u}} \over \partial y^{2}}\right)-{\frac {\partial }{\partial y}}({\overline {u'v'}})-{\frac {\partial }{\partial x}}({\overline {u'^{2}}})}$

${\displaystyle {\overline {u}}{\partial {\overline {v}} \over \partial x}+{\overline {v}}{\partial {\overline {v}} \over \partial y}=-{1 \over \rho }{\partial {\overline {p}} \over \partial y}+\nu \left({\partial ^{2}{\overline {v}} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}{\overline {v}} \over \partial y^{2}}\right)-{\frac {\partial }{\partial x}}({\overline {u'v'}})-{\frac {\partial }{\partial y}}({\overline {v'^{2}}})}$

Используя аналогичный анализ порядка величины, приведенные выше уравнения можно свести к членам старшего порядка. При выборе масштабов длины для изменений в поперечном направлении и для изменений в направлении потока с помощью уравнение x-импульса упрощается до: ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \delta <<L}$

${\displaystyle {\overline {u}}{\partial {\overline {u}} \over \partial x}+{\overline {v}}{\partial {\overline {u}} \over \partial y}=-{1 \over \rho }{\partial {\overline {p}} \over \partial x}-{\frac {\partial }{\partial y}}({\overline {u'v'}}).}$

Это уравнение не удовлетворяет условию прилипания у стенки. Как и Прандтль для своих уравнений пограничного слоя, необходимо использовать новый, меньший масштаб длины, чтобы вязкий член стал ведущим порядком в уравнении количества движения. Если выбрать в качестве шкалы y , уравнение импульса ведущего порядка для этого «внутреннего пограничного слоя» будет иметь вид: ${\displaystyle \eta <<\delta }$

${\displaystyle 0=-{1 \over \rho }{\partial {\overline {p}} \over \partial x}+{\nu }{\partial ^{2}{\overline {u}} \over \partial y^{2}}-{\frac {\partial }{\partial y}}({\overline {u'v'}}).}$

Можно показать, что в пределе бесконечного числа Рейнольдса член градиента давления не влияет на внутреннюю область турбулентного пограничного слоя. Новый «внутренний масштаб длины» представляет собой вязкий масштаб длины и имеет порядок , будучи масштабом скорости турбулентных колебаний, в данном случае скорости трения . ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle {\frac {\nu }{u_{*}}}}$ ${\displaystyle u_{*}}$

В отличие от уравнений ламинарного пограничного слоя, наличие двух режимов, определяемых разными наборами масштабов течения (т.е. внутреннего и внешнего масштабирования), сделало поиск универсального решения подобия для турбулентного пограничного слоя трудным и спорным. Чтобы найти решение подобия, охватывающее обе области потока, необходимо асимптотически согласовать решения из обеих областей потока. Такой анализ даст либо так называемый логарифмический , либо степенной закон .

Аналогичные подходы к приведенному выше анализу были также применены для тепловых пограничных слоев с использованием уравнения энергии в сжимаемых потоках. ^{[15] [16]}

Дополнительный член в уравнениях турбулентного пограничного слоя известен как напряжение сдвига Рейнольдса и априори неизвестен . Поэтому решение уравнений турбулентного пограничного слоя требует использования модели турбулентности , целью которой является выражение напряжения сдвига Рейнольдса через известные переменные потока или производные. Отсутствие точности и общности таких моделей является основным препятствием для успешного прогнозирования свойств турбулентных потоков в современной гидродинамике. ${\displaystyle {\overline {u'v'}}}$

В пристеночной области существует слой постоянного напряжения. Из-за затухания флуктуаций вертикальной скорости вблизи стенки член напряжения Рейнольдса станет незначительным, и мы обнаружим, что существует линейный профиль скорости. Это справедливо только для очень пристенной области .

Тепломассоперенос

В 1928 году французский инженер Андре Левек заметил, что на конвективный теплообмен в текущей жидкости влияют только значения скорости, очень близкие к поверхности. ^{[17] [18]} Для потоков с большим числом Прандтля переход температуры/массы от температуры поверхности к температуре набегающего потока происходит в очень тонкой области вблизи поверхности. Следовательно, наиболее важными скоростями жидкости являются скорости внутри этой очень тонкой области, в которой изменение скорости можно считать линейным с нормальным расстоянием от поверхности. Таким образом, для

${\displaystyle u(y)=U\left[1-{\frac {(y-h)^{2}}{h^{2}}}\right]=U{\frac {y}{h}}\left[2-{\frac {y}{h}}\right]\;,}$

когда тогда ${\displaystyle y\rightarrow 0}$

${\displaystyle u(y)\approx 2U{\frac {y}{h}}=\theta y,}$

где θ — тангенс параболы Пуазейля, пересекающей стену. Хотя решение Левека касалось передачи тепла в потоке Пуазейля, его идеи помогли другим ученым найти точное решение проблемы теплового пограничного слоя. ^[19] Шу заметил, что в пограничном слое u снова является линейной функцией от y , но в этом случае тангенс стенки является функцией x . ^[20] Он выразил это с помощью модифицированной версии профиля Левека:

${\displaystyle u(y)=\theta (x)y.}$

Это приводит к очень хорошему приближению, даже для малых чисел, так что таким образом нельзя обрабатывать только жидкие металлы с числом намного меньше 1. ^[19] В 1962 году Кестин и Персен опубликовали статью, описывающую решения для теплопередачи, когда тепловой пограничный слой полностью содержится внутри импульсного слоя и для различных распределений температуры стенки. ^[21] Для задачи о плоской пластине со скачком температуры при предложена замена, сводящая параболическое тепловое уравнение пограничного слоя к обыкновенному дифференциальному уравнению. Решение этого уравнения — температура в любой точке жидкости — может быть выражено как неполная гамма-функция . ^[18] Шлихтинг предложил эквивалентную замену, сводящую уравнение теплового пограничного слоя к обыкновенному дифференциальному уравнению, решением которого является та же неполная гамма-функция. ^[22] ${\displaystyle Pr}$ ${\displaystyle Pr}$ ${\displaystyle x=x_{0}}$

Константы конвективного переноса из анализа пограничного слоя

Пол Ричард Генрих Блазиус нашел точное решение приведенных выше уравнений ламинарного пограничного слоя . ^[23] Толщина пограничного слоя является функцией числа Рейнольдса для ламинарного течения. ${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle \delta \approx 5.0{x \over {\sqrt {Re}}}}$

${\displaystyle \delta }$= толщина пограничного слоя: область потока, где скорость составляет менее 99% скорости в дальней зоне ; – положение вдоль полубесконечной пластины, – число Рейнольдса, определяемое формулой ( плотность и динамическая вязкость). ${\displaystyle v_{\infty }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle Re}$ ${\displaystyle \rho v_{\infty }x/\mu }$ ${\displaystyle \rho =}$ ${\displaystyle \mu =}$

Решение Блазиуса использует граничные условия в безразмерной форме:

${\displaystyle {v_{x}-v_{S} \over v_{\infty }-v_{S}}={v_{x} \over v_{\infty }}={v_{y} \over v_{\infty }}=0}$     в      ${\displaystyle y=0}$

${\displaystyle {v_{x}-v_{S} \over v_{\infty }-v_{S}}={v_{x} \over v_{\infty }}=1}$     в и      ${\displaystyle y=\infty }$ ${\displaystyle x=0}$

Пограничный слой скорости (вверху, оранжевый) и пограничный слой температуры (внизу, зеленый) имеют общую функциональную форму из-за сходства балансов импульса/энергии и граничных условий.

Обратите внимание, что во многих случаях граничное условие прилипания гласит, что скорость жидкости на поверхности пластины равна скорости пластины во всех местах. Если пластинка не движется, то . Если допускается проскальзывание жидкости, требуется гораздо более сложный вывод. ^[24] ${\displaystyle v_{S}}$ ${\displaystyle v_{S}=0}$

Фактически, решение Блазиуса для профиля ламинарной скорости в пограничном слое над полубесконечной пластиной можно легко расширить для описания теплового и концентрационного пограничных слоев для тепло- и массопереноса соответственно. Вместо дифференциального баланса импульса по оси X (уравнения движения) здесь используется аналогичный баланс энергии и массы:

Энергия:         ${\displaystyle v_{x}{\partial T \over \partial x}+v_{y}{\partial T \over \partial y}={k \over \rho C_{p}}{\partial ^{2}T \over \partial y^{2}}}$

Масса:           ${\displaystyle v_{x}{\partial c_{A} \over \partial x}+v_{y}{\partial c_{A} \over \partial y}=D_{AB}{\partial ^{2}c_{A} \over \partial y^{2}}}$

Для баланса импульса кинематическую вязкость можно рассматривать как коэффициент диффузии импульса . В энергетическом балансе она заменяется температуропроводностью , а в балансе масс - диффузией массы . В температуропроводности вещества определяют его теплопроводность, его плотность и теплоемкость. Индекс AB обозначает диффузию вида A, диффундирующего в вид B. ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \alpha ={k/\rho C_{P}}}$ ${\displaystyle D_{AB}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle C_{P}}$

В предположении, что , эти уравнения становятся эквивалентными балансу импульсов. Таким образом, для чисел Прандтля и чисел Шмидта решение Блазиуса применимо напрямую. ${\displaystyle \alpha =D_{AB}=\nu }$ ${\displaystyle Pr=\nu /\alpha =1}$ ${\displaystyle Sc=\nu /D_{AB}=1}$

Соответственно, в этом выводе используется родственная форма граничных условий, заменяющая или ( абсолютная температура или концентрация вещества A). Индекс S обозначает состояние поверхности. ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle c_{A}}$

${\displaystyle {v_{x}-v_{S} \over v_{\infty }-v_{S}}={T-T_{S} \over T_{\infty }-T_{S}}={c_{A}-c_{AS} \over c_{A\infty }-c_{AS}}=0}$     в      ${\displaystyle y=0}$

${\displaystyle {v_{x}-v_{S} \over v_{\infty }-v_{S}}={T-T_{S} \over T_{\infty }-T_{S}}={c_{A}-c_{AS} \over c_{A\infty }-c_{AS}}=1}$     в и      ${\displaystyle y=\infty }$ ${\displaystyle x=0}$

Используя функцию тока, Блазиус получил следующее решение для напряжения сдвига на поверхности пластины.

${\displaystyle \tau _{0}=\left({\partial v_{x} \over \partial y}\right)_{y=0}=0.332{v_{\infty } \over x}Re^{1/2}}$

Из граничных условий известно, что

${\displaystyle {v_{x}-v_{S} \over v_{\infty }-v_{S}}={T-T_{S} \over T_{\infty }-T_{S}}={c_{A}-c_{AS} \over c_{A\infty }-c_{AS}}}$

Нам даны следующие соотношения для потока тепла/массы с поверхности пластины

${\displaystyle \left({\partial T \over \partial y}\right)_{y=0}=0.332{T_{\infty }-T_{S} \over x}Re^{1/2}}$

${\displaystyle \left({\partial c_{A} \over \partial y}\right)_{y=0}=0.332{c_{A\infty }-c_{AS} \over x}Re^{1/2}}$

Таким образом, для ${\displaystyle Pr=Sc=1}$

${\displaystyle \delta =\delta _{T}=\delta _{c}={5.0x \over {\sqrt {Re}}}}$

где находятся области потока, где и составляют менее 99% их значений в дальней зоне. ^[25] ${\displaystyle \delta _{T},\delta _{c}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle c_{A}}$

Поскольку число Прандтля конкретной жидкости не часто равно единице, немецкий инженер Э. Полхаузен, работавший с Людвигом Прандтлем, попытался эмпирически расширить эти уравнения, чтобы применить их к . Его результаты также могут быть применимы . ^[26] Он обнаружил, что для числа Прандтля, превышающего 0,6, толщина теплового пограничного слоя приблизительно определяется выражением: ${\displaystyle Pr\neq 1}$ ${\displaystyle Sc}$

График, показывающий относительную толщину теплового пограничного слоя в сравнении с пограничным слоем скорости (красным) для различных чисел Прандтля. Для , они равны. ${\displaystyle Pr=1}$

${\displaystyle {\delta \over \delta _{T}}=Pr^{1/3}}$          и поэтому           ${\displaystyle {\delta \over \delta _{c}}=Sc^{1/3}}$

Из этого решения можно охарактеризовать константы конвективного тепломассообмена в зависимости от области течения пограничного слоя. Закон проводимости Фурье и закон охлаждения Ньютона сочетаются с полученным выше членом потока и толщиной пограничного слоя.

${\displaystyle {q \over A}=-k\left({\partial T \over \partial y}\right)_{y=0}=h_{x}(T_{S}-T_{\infty })}$

${\displaystyle h_{x}=0.332{k \over x}Re_{x}^{1/2}Pr^{1/3}}$

Это дает локальную постоянную конвекции в одной точке полубесконечной плоскости. Интегрирование по длине пластины дает среднее значение ${\displaystyle h_{x}}$

${\displaystyle h_{L}=0.664{k \over x}Re_{L}^{1/2}Pr^{1/3}}$

После вывода с учетом условий массопереноса ( = константа конвективного массопереноса, = диффузия частиц A в частицы B, ) получаются следующие решения: ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle D_{AB}}$ ${\displaystyle Sc=\nu /D_{AB}}$

${\displaystyle k'_{x}=0.332{D_{AB} \over x}Re_{x}^{1/2}Sc^{1/3}}$

${\displaystyle k'_{L}=0.664{D_{AB} \over x}Re_{L}^{1/2}Sc^{1/3}}$

Эти решения применимы для ламинарного потока с числом Прандтля/Шмидта более 0,6. ^[25]

Военно-морская архитектура

Многие принципы, применимые к самолетам, также применимы к кораблям, подводным лодкам и морским платформам, где основной жидкостью является вода, а не воздух. Поскольку вода не является идеальной жидкостью, корабли, движущиеся в воде, испытывают сопротивление. Частицы жидкости прилипают к корпусу корабля из-за силы сцепления между водой и кораблем, создавая пограничный слой, в котором скорость потока жидкости образует небольшой, но крутой градиент скорости , при этом жидкость в идеале контактирует с кораблем. имеет относительную скорость 0, а жидкость на границе пограничного слоя представляет собой скорость набегающего потока или относительную скорость жидкости вокруг корабля. ^[27]

В то время как передняя часть корабля сталкивается с нормальными силами давления из-за окружающей его жидкости, кормовая часть испытывает более низкую действующую составляющую давления из -за пограничного слоя. Это приводит к более высокому сопротивлению из-за давления, известного как «сопротивление вязкому давлению» или « сопротивление формы ». ^[27]

Для кораблей, в отличие от самолетов, приходится иметь дело с несжимаемыми течениями, где изменение плотности воды незначительно (рост давления, близкий к 1000 кПа, приводит к изменению всего на 2–3 кг/м ³ ). Эта область гидродинамики называется гидродинамикой. Судовой инженер сначала проектирует гидродинамику, а уже потом прочность. Развитие, разрушение и отделение пограничного слоя становятся критически важными, поскольку высокая вязкость воды создает высокие напряжения сдвига.

Турбина с пограничным слоем

Этот эффект был использован в турбине Тесла , запатентованной Николой Теслой в 1913 году. Ее называют безлопастной турбиной , потому что она использует эффект пограничного слоя, а не жидкость, воздействующую на лопатки, как в обычной турбине. Турбины с пограничным слоем также известны как турбины когезионного типа, безлопастные турбины и турбины со слоем Прандтля (в честь Людвига Прандтля ).

Прогнозирование толщины переходного пограничного слоя в цилиндре с помощью анализа размеров

Используя уравнения переходных процессов и уравнений вязкой силы для цилиндрического потока, вы можете предсказать толщину переходного пограничного слоя, найдя число Уомерсли ( ). ${\displaystyle N_{w}}$

Переходная сила = ${\displaystyle \rho vw}$

Вязкая сила = ${\displaystyle {\mu v \over \delta _{1}^{2}}}$

Установка их равными друг другу дает:

${\displaystyle \rho vw={\mu v \over \delta _{1}^{2}}}$

Решение дельты дает:

${\displaystyle \delta _{1}={\sqrt {\mu \over \rho w}}={\sqrt {\ v \over \ w}}}$

В безразмерном виде:

${\displaystyle {L \over \delta _{1}}={L{\sqrt {w \over \ v}}}=N_{w}}$

где = число Уомерсли; = плотность; = скорость;  ?; = длина переходного пограничного слоя; = вязкость; = характеристическая длина. ${\displaystyle N_{w}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle w=}$ ${\displaystyle \delta _{1}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle L}$

Прогнозирование условий конвективного течения в пограничном слое цилиндра с помощью анализа размерностей

Используя уравнения конвективных и вязких сил в пограничном слое для цилиндрического потока, вы можете предсказать условия конвективного потока в пограничном слое, найдя безразмерное число Рейнольдса ( ). ${\displaystyle Re}$

Конвективная сила: ${\displaystyle \rho v^{2} \over \ L}$

Вязкая сила: ${\displaystyle {\mu v \over \delta _{2}^{2}}}$

Установка их равными друг другу дает:

${\displaystyle {\rho v^{2} \over \ L}={\mu v \over \delta _{2}^{2}}}$

Решение дельты дает:

${\displaystyle \delta _{2}={\sqrt {\mu L \over \rho v}}}$

В безразмерном виде:

${\displaystyle {L \over \delta _{2}}={\sqrt {\rho vL \over \mu }}={\sqrt {Re}}}$

где = число Рейнольдса; = плотность; = скорость; = длина конвективного пограничного слоя; = вязкость; = характеристическая длина. ${\displaystyle Re}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \delta _{2}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle L}$

Поглощение пограничного слоя

Поглощение пограничного слоя обещает повышение топливной эффективности самолета за счет установленного в кормовой части движителя , который поглощает медленный пограничный слой фюзеляжа и повторно активирует след , чтобы уменьшить сопротивление и улучшить тяговую эффективность . Для работы в условиях искаженного воздушного потока вентилятор становится тяжелее, его эффективность снижается, а его интеграция затруднена. Он используется в таких концепциях, как Aurora D8 или Nova французского исследовательского агентства Onera , экономя 5% в крейсерском режиме за счет поглощения 40% пограничного слоя фюзеляжа. ^[28]

Airbus представил концепцию Nautilius на конгрессе ICAS в сентябре 2018 года: чтобы поглотить весь пограничный слой фюзеляжа и минимизировать искажения азимутального потока, фюзеляж разделяется на два шпинделя с вентиляторами со степенью двухконтурности 13-18:1 . КПД движения достигает 90%, как и у открытых роторов встречного вращения с меньшими, легкими, менее сложными и шумными двигателями. Это может снизить расход топлива более чем на 10% по сравнению с обычным подкрыльевым двигателем с соотношением двухконтурности 15:1. ^[28]

Смотрите также

• Разделение пограничного слоя
• Толщина пограничного слоя
• Толщина и форма теплового пограничного слоя
• Отсасывание пограничного слоя
• Контроль пограничного слоя
• Пограничный микрофон
• Пограничный слой Блазиуса
• Пограничный слой Фолкнера – Скана
• Слой Экмана
• Планетарный пограничный слой
• Теория возмущений
• Логарифмический закон стены
• Фактор формы (поток в пограничном слое)
• Напряжение сдвига
• Поверхностный слой

Рекомендации

1. Янг, AD (1989). Пограничные слои (1-е изд.). Вашингтон, округ Колумбия: Американский институт аэронавтики и астронавтики. ISBN 0930403576.
2. Шлихтинг, Герман; Герстен, Клаус (2017). «2.1 Концепция пограничного слоя». Теория пограничного слоя (Девятое изд.). Берлин Гейдельберг: Springer. п. 29. дои : 10.1007/978-3-662-52919-5_2. ISBN 978-3-662-52917-1. Проверено 5 августа 2023 г. Часто граница произвольно задается как точка, где скорость достигает определенного процента от внешней скорости, например 99%. Для ясности часто используют индекс, например δ99.
3. Прандтль, Л. (1938). «Zur Berechnung der Grenzschichten». Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik . 18 (1): 77–82. Бибкод :1938ЗаММ...18...77П. дои : 10.1002/zamm.19380180111.
4. Ван Дайк, Милтон. Методы возмущений в механике жидкости. Parabolic Press, Incorporated, 1975.
5. Стюартсон, К. (1957). «Об асимптотических разложениях в теории пограничных слоев». Журнал математики и физики . 36 (1–4): 173–191. дои : 10.1002/sapm1957361173.
6. Либби, Пол А.; Фокс, Герберт (1963). «Некоторые решения для возмущений в теории ламинарного пограничного слоя». Журнал механики жидкости . 17 (3): 433. doi :10.1017/S0022112063001439. S2CID  123824364.
7. Фокс, Герберт; Либби, Пол А. (1964). «Некоторые решения возмущений в теории ламинарного пограничного слоя. Часть 2. Уравнение энергии». Журнал механики жидкости . 19 (3): 433–451. Бибкод : 1964JFM....19..433F. дои : 10.1017/S0022112064000830. S2CID  120911442.
8. фон Карман, Т. (1921). «Убер-ламинарный и турбулентный поток». Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik . 1 (4): 233–252. Бибкод :1921ЗаММ....1..233К. дои : 10.1002/zamm.19210010401.
9. Вигхардт, К. Об уравнении энергии для расчета ламинарных пограничных слоев. Объединенное разведывательное управление, 1946 год.
10. Вигхардт, К. (1948). «Über einen Energiesatz zur Berechnung laminarer Grenzschichten». Инженер-Архив . 16 (3–4): 231–242. дои : 10.1007/BF00548007. S2CID  119750449.
11. Розенхед, Луи, изд. Ламинарные пограничные слои. Кларендон Пресс, 1963.
12. Толлмиен, Уолтер; Шлихтинг, Герман; Гертлер, Генри; Ригельс, ФРВ (1961). «Bemerkungen zur Hydrodynamik». Людвиг Прандтль Gesammelte Abhandlungen . стр. 627–631. дои : 10.1007/978-3-662-11836-8_49. ISBN 978-3-662-11837-5.
13. фон Карман, Т.; Цянь, HS (1938). «Пограничный слой в сжимаемых жидкостях». Журнал авиационных наук . 5 (6): 227–232. дои : 10.2514/8.591.
14. Крокко, Л. «Характерное преобразование уравнений пограничного слоя в газах». АРК 4582 (1939): 1940.
15. фон Карман, Т. (1939). «Аналогия между трением жидкости и теплопередачей». Труды Американского общества инженеров-механиков . 61 (8): 705–710. дои : 10.1115/1.4021298. S2CID  256805665.
16. Го, Дж.; Ян, XIA; Ихме, М. (март 2022 г.). «Структура теплового пограничного слоя в турбулентных канальных течениях в закритических условиях». Журнал механики жидкости . 934 . Бибкод : 2022JFM...934A..45G. дои : 10.1017/jfm.2021.1157 . ISSN  0022-1120. S2CID  246066677.
17. Левек, А. (1928). «Les lois de la Transmission de chaleur par convection». Annales des Mines ou Recueil de Mémoires sur l'Exploitation des Mines et sur les Sciences et les Arts qui s'y Rattachent, Mémoires (на французском языке). XIII (13): 201–239.
18. Найл МакМахон. «Андре Левек, стр. 285, обзор его аппроксимации профиля скорости». Архивировано из оригинала 4 июня 2012 г.
19. Мартин, Х. (2002). «Обобщенное уравнение Левека и его практическое использование для прогнозирования скорости тепло- и массообмена на основе перепада давления». Химико-техническая наука . 57 (16): 3217–3223. Бибкод :2002ЧЭнС..57.3217М. дои : 10.1016/S0009-2509(02)00194-X.
20. Шух, Х. (1953). «Об асимптотических решениях для теплопередачи при различных температурах стенок в ламинарном пограничном слое с профилями скорости Хартри». Журнал авиационных наук . 20 (2): 146–147. дои : 10.2514/8.2566.
21. Кестин, Дж. и Персен, Л.Н. (1962). «Перенос тепла через турбулентный пограничный слой при очень высоких числах Прандтля». Международный журнал тепломассообмена . 5 (5): 355–371. дои : 10.1016/0017-9310(62)90026-1.
22. Шлихтинг, Х. (1979). Теория пограничного слоя (7-е изд.). Нью-Йорк (США): МакГроу-Хилл.
23. Блазиус, Х. (1908). «Grenzschichten in Flüssigkeiten mit kleiner Reibung». Zeitschrift für Mathematik und Physik . 56 : 1–37.(Английский перевод)
24. Мартин, Майкл Дж. (2001). «Решение пограничного слоя Блазиуса с условиями скользящего течения». Материалы конференции AIP . Том. 585. стр. 518–523. дои : 10.1063/1.1407604. hdl : 2027.42/87372.
25. Geankoplis, Кристи Дж. Транспортные процессы и принципы процесса разделения: (включая операции агрегатов). Четвертое изд. Аппер-Сэддл-Ривер, Нью-Джерси: Профессиональный технический справочник Прентис-Холл, 2003. Печать.
26. Польхаузен, Э. (1921). «Der Wärmeaustausch zwischen festen Körpern und Flüssigkeiten mit kleiner reibung und kleiner Wärmeleitung». Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik . 1 (2): 115–121. Бибкод :1921ЗаММ....1..115П. дои : 10.1002/zamm.19210010205.
27. «Сопротивление и питание кораблей» (PDF) . usna.edu . Проверено 14 февраля 2024 г.
28. Грэм Уорвик (19 ноября 2018 г.). «Неделя технологий, 19-23 ноября 2018». Неделя авиации и космических технологий .

• Шансон, Х. (2009). Прикладная гидродинамика: введение в идеальные и реальные течения жидкости. CRC Press, Taylor & Francisco Group, Лейден, Нидерланды, 478 страниц. ISBN 978-0-415-49271-3.
• А.Д. Полянин и В.Ф. Зайцев, Справочник по нелинейным дифференциальным уравнениям в частных производных , Chapman & Hall/CRC Press, Бока-Ратон – Лондон, 2004. ISBN 1-58488-355-3 
• А. Д. Полянин, А. М. Кутепов, А. В. Вязьмин и Д. А. Казенин, Гидродинамика, массо- и теплоперенос в химической технологии , Тейлор и Фрэнсис, Лондон, 2002. ISBN 0-415-27237-8 . 
• Герман Шлихтинг, Клаус Герстен, Э. Краузе, Х. младший Эртель, К. Мэйес «Теория пограничного слоя», 8-е издание Springer 2004 ISBN 3-540-66270-7 
• Джон Д. Андерсон-младший, «Пограничный слой Людвига Прандтля», Physics Today , декабрь 2005 г.
• Андерсон, Джон (1992). Основы аэродинамики (2-е изд.). Торонто: ССЧАНД. стр. 711–714. ISBN 0-07-001679-8.
• Х. Теннекес и Дж. Л. Ламли , «Первый курс турбулентности», MIT Press, (1972).
• Лекции Уильяма К. Джорджа «Турбулентность XXI века»

Внешние ссылки

• Национальная научная цифровая библиотека – Пограничный слой
• Мур, Франклин К., « Эффект смещения трехмерного пограничного слоя ». Отчет NACA 1124, 1953 г.
• Бенсон, Том, « Пограничный слой ». НАСА Glenn Learning Technologies.
• Разделение пограничного слоя
• Уравнения пограничного слоя: точные решения - от EqWorld
• Джонс, Т.В. ТЕПЛОПЕРЕДАЧА В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ
• «Революционная концепция «пограничного слоя» и ее распространенность в воздухоплавании Сураба С. Дивана». YouTube . Международный центр теоретических наук. 18 февраля 2022 г.