Группа Пуанкаре

Группа симметрий плоского пространства-времени

Анри Пуанкаре

Группа Пуанкаре , названная в честь Анри Пуанкаре (1905), ^[1] была впервые определена Германом Минковским (1908) как группа изометрий пространства-времени Минковского . [ ^{2] [3]} Это десятимерная неабелева группа Ли , которая важна как модель для нашего понимания самых основных основ физики .

Обзор

Группа Пуанкаре состоит из всех преобразований координат пространства Минковского, которые не изменяют пространственно-временной интервал между событиями . Например, если бы все было отложено на два часа, включая два события и путь, который вы проделали, чтобы перейти от одного к другому, то временной интервал между событиями, зафиксированный секундомером, который вы носили с собой, был бы тем же самым. Или если бы все было смещено на пять километров к западу или повернуто на 60 градусов вправо, вы также не увидели бы никаких изменений в интервале. Оказывается, что собственная длина объекта также не изменяется при таком сдвиге.

Всего существует десять степеней свободы для таких преобразований. Их можно рассматривать как трансляцию во времени или пространстве (четыре степени, по одной на измерение); отражение через плоскость (три степени, свобода в ориентации этой плоскости); или « усиление » в любом из трех пространственных направлений (три степени). Композиция преобразований — это операция группы Пуанкаре, при этом вращения производятся как композиция четного числа отражений.

В классической физике группа Галилея — это сопоставимая группа из десяти параметров, которая действует на абсолютное время и пространство . Вместо усилений она использует сдвиговые отображения для связи сопутствующих систем отсчета.

В общей теории относительности , т.е. под действием гравитации , симметрия Пуанкаре применяется только локально. Рассмотрение симметрий в общей теории относительности не входит в задачи данной статьи.

Симметрия Пуанкаре

Симметрия Пуанкаре — это полная симметрия специальной теории относительности . Она включает в себя:

• трансляции (перемещения) во времени и пространстве, образующие абелеву группу Ли пространственно-временных трансляций ( P );
• вращения в пространстве, образующие неабелеву группу Ли трехмерных вращений ( J );
• ускорения , преобразования, соединяющие два равномерно движущихся тела ( К ).

Последние две симметрии, J и K , вместе составляют группу Лоренца (см. также Лоренц-инвариантность ); полупрямое произведение группы пространственно-временных трансляций и группы Лоренца затем производит группу Пуанкаре. Объекты, которые инвариантны относительно этой группы, тогда называются обладающими Пуанкаре-инвариантностью или релятивистской инвариантностью .

10 генераторов (в четырех пространственно-временных измерениях), связанных с симметрией Пуанкаре, по теореме Нётер влекут за собой 10 законов сохранения: ^{[4] [5]}

• 1 для энергии – связанная с перемещениями во времени
• 3 для импульса – связанного с перемещениями через пространственные измерения
• 3 для углового момента – связанного с вращениями между пространственными измерениями
• 3 для величины, включающей скорость центра масс – связанную с гиперболическими вращениями между каждым пространственным измерением и временем

Группа Пуанкаре

Группа Пуанкаре — это группа изометрий пространства-времени Минковского . Это десятимерная некомпактная группа Ли . Четырехмерная абелева группа пространственно-временных трансляций является нормальной подгруппой , в то время как шестимерная группа Лоренца также является подгруппой, стабилизатором начала координат. Сама группа Пуанкаре является минимальной подгруппой аффинной группы , которая включает в себя все трансляции и преобразования Лоренца . Точнее, это полупрямое произведение группы пространственно-временных трансляций и группы Лоренца,

${\displaystyle \mathbf {R} ^{1,3}\rtimes \operatorname {O} (1,3)\,,}$

с групповым умножением

${\displaystyle (\alpha ,f)\cdot (\beta ,g)=(\alpha +f\cdot \beta ,\;f\cdot g)}$. ^[6]

Другой способ выразить это так: группа Пуанкаре является групповым расширением группы Лоренца посредством ее векторного представления ; иногда ее неформально называют неоднородной группой Лоренца . В свою очередь, ее также можно получить как групповое сжатие группы де Ситтера SO(4, 1) ~ Sp(2, 2) , поскольку радиус де Ситтера стремится к бесконечности.

Его положительные энергетические унитарные неприводимые представления индексируются массой (неотрицательное число) и спином ( целое или полуцелое число) и связаны с частицами в квантовой механике (см. классификацию Вигнера ).

В соответствии с программой Эрлангена геометрия пространства Минковского определяется группой Пуанкаре: пространство Минковского рассматривается как однородное пространство для группы.

В квантовой теории поля универсальная оболочка группы Пуанкаре

${\displaystyle \mathbf {R} ^{1,3}\rtimes \operatorname {SL} (2,\mathbf {C} ),}$

который можно идентифицировать по двойной обложке

${\displaystyle \mathbf {R} ^{1,3}\rtimes \operatorname {Spin} (1,3),}$

важнее, поскольку представления не способны описывать поля со спином 1/2; т.е. фермионы . Здесь представлена ​​группа комплексных матриц с единичным определителем, изоморфная спиновой группе сигнатуры Лоренца . ${\displaystyle \operatorname {SO} (1,3)}$ ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbf {C} )}$ ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle \operatorname {Spin} (1,3)}$

алгебра Пуанкаре

Алгебра Пуанкаре — это алгебра Ли группы Пуанкаре. Это расширение алгебры Ли алгебры Ли группы Лоренца. Более конкретно, собственная ( ), ортохронная ( ) часть подгруппы Лоренца (ее единичная компонента ), , связана с единицей и, таким образом, обеспечивается возведением в степень этой алгебры Ли . В компонентной форме алгебра Пуанкаре задается коммутационными соотношениями: ^{[7] [8]} ${\textstyle \det \Lambda =1}$ ${\textstyle {\Lambda ^{0}}_{0}\geq 1}$ ${\textstyle \mathrm {SO} (1,3)_{+}^{\uparrow }}$ ${\textstyle \exp \left(ia_{\mu }P^{\mu }\right)\exp \left({\frac {i}{2}}\omega _{\mu \nu }M^{\mu \nu }\right)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}[][P_{\mu },P_{\nu }]&=0\,\\{\frac {1}{i}}~[M_{\mu \nu },P_{\rho }]&=\eta _{\mu \rho }P_{\nu }-\eta _{\nu \rho }P_{\mu }\,\\{\frac {1}{i}}~[M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]&=\eta _{\mu \rho }M_{\nu \sigma }-\eta _{\mu \sigma }M_{\nu \rho }-\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }+\eta _{\nu \sigma }M_{\mu \rho }\,,\end{aligned}}}$

где — генератор трансляций, — генератор преобразований Лоренца, — метрика Минковского (см. Соглашение о знаках ). ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle (+,-,-,-)}$

Диаграмма коммутационной структуры алгебры Пуанкаре. Ребра диаграммы соединяют генераторы с ненулевыми коммутаторами.

Нижнее коммутационное соотношение — это («однородная») группа Лоренца, состоящая из вращений, и усилений, . В этой нотации вся алгебра Пуанкаре выражается на нековариантном (но более практичном) языке как ${\textstyle J_{i}={\frac {1}{2}}\epsilon _{imn}M^{mn}}$ ${\textstyle K_{i}=M_{i0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}[][J_{m},P_{n}]&=i\epsilon _{mnk}P_{k}~,\\[][J_{i},P_{0}]&=0~,\\[][K_{i},P_{k}]&=i\eta _{ik}P_{0}~,\\[][K_{i},P_{0}]&=-iP_{i}~,\\[][J_{m},J_{n}]&=i\epsilon _{mnk}J_{k}~,\\[][J_{m},K_{n}]&=i\epsilon _{mnk}K_{k}~,\\[][K_{m},K_{n}]&=-i\epsilon _{mnk}J_{k}~,\end{aligned}}}$

где нижний коммутатор двух усилений часто называют «поворотом Вигнера». Упрощение позволяет свести подалгебру Лоренца к и эффективно обрабатывать ее связанные представления . В терминах физических параметров мы имеем ${\textstyle [J_{m}+iK_{m},\,J_{n}-iK_{n}]=0}$ ${\textstyle {\mathfrak {su}}(2)\oplus {\mathfrak {su}}(2)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\mathcal {H}},p_{i}\right]&=0\\\left[{\mathcal {H}},L_{i}\right]&=0\\\left[{\mathcal {H}},K_{i}\right]&=i\hbar cp_{i}\\\left[p_{i},p_{j}\right]&=0\\\left[p_{i},L_{j}\right]&=i\hbar \epsilon _{ijk}p_{k}\\\left[p_{i},K_{j}\right]&={\frac {i\hbar }{c}}{\mathcal {H}}\delta _{ij}\\\left[L_{i},L_{j}\right]&=i\hbar \epsilon _{ijk}L_{k}\\\left[L_{i},K_{j}\right]&=i\hbar \epsilon _{ijk}K_{k}\\\left[K_{i},K_{j}\right]&=-i\hbar \epsilon _{ijk}L_{k}\end{aligned}}}$

Инварианты Казимира этой алгебры равны и где — псевдовектор Паули–Любанского ; они служат метками для представлений группы. ${\textstyle P_{\mu }P^{\mu }}$ ${\textstyle W_{\mu }W^{\mu }}$ ${\textstyle W_{\mu }}$

Группа Пуанкаре является полной группой симметрии любой релятивистской теории поля . В результате все элементарные частицы попадают в представления этой группы . Они обычно определяются квадратом 4-импульса каждой частицы (т. е. квадратом ее массы) и внутренними квантовыми числами , где — квантовое число спина , — четность , а — квантовое число сопряжения заряда . На практике сопряжение заряда и четность нарушаются многими квантовыми теориями поля ; там, где это происходит, и утрачиваются. Поскольку симметрия CPT инвариантна в квантовой теории поля, из заданных может быть построено квантовое число обращения времени . ${\textstyle J^{PC}}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle C}$

Как топологическое пространство , группа имеет четыре связных компонента: компонент тождества; компонент, обращенный во времени; компонент пространственной инверсии; и компонент, который одновременно обращен во времени и пространственно инвертирован. ^[9]

Другие размеры

Определения выше могут быть обобщены на произвольные размерности простым способом. D -мерная группа Пуанкаре определяется аналогично полупрямым произведением

${\displaystyle \operatorname {IO} (1,d-1):=\mathbf {R} ^{1,d-1}\rtimes \operatorname {O} (1,d-1)}$

с аналогичным умножением

${\displaystyle (\alpha ,f)\cdot (\beta ,g)=(\alpha +f\cdot \beta ,\;f\cdot g)}$. ^[6]

Алгебра Ли сохраняет свою форму, причем индексы µ и ν теперь принимают значения от 0 до d − 1. Альтернативное представление в терминах J _i и K _i не имеет аналога в более высоких измерениях.

Смотрите также

• Евклидова группа
• Галилеевская группа
• Теория представлений группы Пуанкаре
• Классификация Вигнера
• Симметрия в квантовой механике
• Псевдовектор Паули–Любанского
• Физика элементарных частиц и теория представлений
• Частица с непрерывным спином
• супер-алгебра Пуанкаре

Примечания

1. Пуанкаре, Анри (1905-12-14), "Sur la Dynamique de l'Electron"  , Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo , 21 : 129–176, Бибкод : 1906RCMP...21..129P, doi : 10.1007/ bf03013466, HDL : 2027/uiug.30112063899089, S2CID  120211823( Перевод Wikisource : О динамике электрона). Группа, определенная в этой статье, теперь будет описана как однородная группа Лоренца со скалярными множителями.
2. Минковский, Герман, «Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in Bewegten Körpern»  , Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse : 53–111(Перевод Wikisource: Основные уравнения электромагнитных процессов в движущихся телах).
3. Минковский, Герман, «Raum und Zeit»  , Physikalische Zeitschrift , 10 : 75–88.
4. «Обзор симметрии и законов сохранения: больше Пуанкаре» (PDF) . frankwilczek.com . Получено 2021-02-14 .
5. Барнетт, Стивен М. (2011-06-01). «О шести компонентах оптического углового момента». Журнал оптики . 13 (6): 064010. Bibcode : 2011JOpt...13f4010B. doi : 10.1088/2040-8978/13/6/064010. ISSN  2040-8978. S2CID  55243365.
6. Oblak, Blagoje (2017-08-01). BMS Particles in Three Dimensions. Springer. стр. 80. ISBN 9783319618784.
7. Н. Н. Боголюбов (1989). Общие принципы квантовой теории поля (2-е изд.). Springer. стр. 272. ISBN 0-7923-0540-X.
8. T. Ohlsson (2011). Релятивистская квантовая физика: от продвинутой квантовой механики к вводной квантовой теории поля. Cambridge University Press. стр. 10. ISBN 978-1-13950-4324.
9. "Темы: Группа Пуанкаре". www.phy.olemiss.edu . Получено 2021-07-18 .

Ссылки

• Wu-Ki Tung (1985). Теория групп в физике . World Scientific Publishing. ISBN 9971-966-57-3.
• Вайнберг, Стивен (1995). Квантовая теория полей . Том 1. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-55001-7.
• LH Ryder (1996). Квантовая теория поля (2-е изд.). Cambridge University Press. стр. 62. ISBN 0-52147-8146.