элемент Казимира

Выделенный элемент центра алгебры Ли

В математике элемент Казимира (также известный как инвариант Казимира или оператор Казимира ) — это выдающийся элемент центра универсальной обертывающей алгебры алгебры Ли . Прототипическим примером является оператор квадрата углового момента , который является элементом Казимира трехмерной группы вращения .

В более общем смысле, элементы Казимира можно использовать для обозначения любого элемента центра универсальной обертывающей алгебры. Алгебра этих элементов, как известно, изоморфна алгебре полиномов посредством изоморфизма Хариш -Чандры .

Элемент Казимира назван в честь Хендрика Казимира , который идентифицировал его в своем описании динамики твердого тела в 1931 году. ^[1]

Определение

Наиболее часто используемый инвариант Казимира — это квадратичный инвариант. Это определение проще всего, поэтому оно дается первым. Однако могут существовать и инварианты Казимира более высокого порядка, соответствующие однородным симметричным полиномам более высокого порядка.

Квадратичный элемент Казимира

Предположим, что это -мерная алгебра Ли . Пусть B — невырожденная билинейная форма на ней, инвариантная относительно присоединенного действия на себя, то есть для всех X , Y , Z в . (Наиболее типичным выбором B является форма Киллинга, если полупроста . ) Пусть ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle B(\operatorname {ad} _{X}Y,Z)+B(Y,\operatorname {ad} _{X}Z)=0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \{X_{i}\}_{i=1}^{n}}$

быть любой основой , и ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \{X^{i}\}_{i=1}^{n}}$

быть двойственным базисом относительно B . Элемент Казимира для B - это элемент универсальной обертывающей алгебры , заданный формулой ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

${\displaystyle \Omega =\sum _{i=1}^{n}X_{i}X^{i}.}$

Хотя определение основано на выборе базиса алгебры Ли, легко показать, что Ω не зависит от этого выбора. С другой стороны, Ω зависит от билинейной формы B . Инвариантность B означает, что элемент Казимира коммутирует со всеми элементами алгебры Ли и, следовательно, лежит в центре универсальной обертывающей алгебры . ^[2] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

Квадратичный инвариант Казимира линейного представления и гладкого действия

Учитывая представление ρ в векторном пространстве V , возможно, бесконечномерном, инвариант Казимира ρ определяется как ρ (Ω), линейный оператор на V , заданный формулой ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \rho (\Omega )=\sum _{i=1}^{n}\rho (X_{i})\rho (X^{i}).}$

Конкретная форма этой конструкции играет важную роль в дифференциальной геометрии и глобальном анализе. Предположим , что связная группа Ли G с алгеброй Ли действует на дифференцируемом многообразии M. Рассмотрим соответствующее представление ρ группы G в пространстве гладких функций на M. Тогда элементы функции представлены дифференциальными операторами первого порядка на M. В этой ситуации инвариантом Казимира ρ является G-инвариантный дифференциальный оператор второго порядка на M , определенный по приведенной выше формуле. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Специализируясь далее, если случается, что M имеет риманову метрику , на которой G действует транзитивно посредством изометрий, а подгруппа стабилизатора G _x точки действует неприводимо на касательном пространстве M в точке x , то инвариант Казимира ρ является скалярным кратным оператора Лапласа, исходящего из метрики.

Также могут быть определены более общие инварианты Казимира, которые часто встречаются при изучении псевдодифференциальных операторов в теории Фредгольма .

Казимировы элементы высшего порядка

В статье об универсальных обертывающих алгебрах дается подробное и точное определение операторов Казимира и излагаются некоторые их свойства. Все операторы Казимира соответствуют симметричным однородным многочленам в симметричной алгебре присоединенного представления : ${\displaystyle \operatorname {ad} _{\mathfrak {g}}.}$

${\displaystyle C_{(m)}=\kappa ^{ij\cdots k}X_{i}\otimes X_{j}\otimes \cdots \otimes X_{k}}$

где m — порядок симметричного тензора и форма базиса векторного пространства . Это соответствует симметричному однородному многочлену. ${\displaystyle \kappa ^{ij\cdots k}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}.}$

${\displaystyle c_{(m)}=\kappa ^{ij\cdots k}t_{i}t_{j}\cdots t_{k}}$

от m неопределенных переменных в алгебре полиномов над полем K . Причина симметрии следует из теоремы о ПБВ и гораздо более подробно обсуждается в статье об универсальных обертывающих алгебрах . ${\displaystyle t_{i}}$ ${\displaystyle K[t_{i},t_{j},\cdots ,t_{k}]}$

Более того, элемент Казимира должен принадлежать центру универсальной обертывающей алгебры, т. е. подчиняться

${\displaystyle [C_{(m)},X_{i}]=0}$

для всех базисных элементов. С точки зрения соответствующего симметричного тензора это условие эквивалентно инвариантности тензора: ${\displaystyle X_{i}.}$ ${\displaystyle \kappa ^{ij\cdots k}}$

${\displaystyle f_{ij}^{\;\;k}\kappa ^{jl\cdots m}+f_{ij}^{\;\;l}\kappa ^{kj\cdots m}+\cdots +f_{ij}^{\;\;m}\kappa ^{kl\cdots j}=0}$

где – структурные константы алгебры Ли , т.е. ${\displaystyle f_{ij}^{\;\;k}}$ ${\displaystyle [X_{i},X_{j}]=f_{ij}^{\;\;k}X_{k}}$

Характеристики

Единственность квадратичного элемента Казимира

Поскольку для простой алгебры Ли каждая инвариантная билинейная форма кратна форме Киллинга , соответствующий элемент Казимира определен однозначно с точностью до константы. Для общей полупростой алгебры Ли пространство инвариантных билинейных форм имеет один базисный вектор для каждой простой компоненты, и, следовательно, то же самое верно и для пространства соответствующих операторов Казимира.

Связь с лапласианом на G

Если группа Ли с алгеброй Ли , выбор невырожденной инвариантной билинейной формы на соответствует выбору биинвариантной римановой метрики на . Тогда при отождествлении универсальной обертывающей алгебры с левоинвариантными дифференциальными операторами на элемент Казимира билинейной формы на отображениях в лапласиан (относительно соответствующей биинвариантной метрики) . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$

Элементы Казимира и теория представлений

По теореме Рака ^[3] для полупростой алгебры Ли размерность центра универсальной обертывающей алгебры равна ее рангу . Оператор Казимира дает понятие лапласиана на общей полупростой группе Ли ; но единственного аналога лапласиана для ранга > 1 не существует.

По определению любой член центра универсальной обертывающей алгебры коммутирует со всеми остальными элементами алгебры. Таким образом, по лемме Шура в любом неприводимом представлении алгебры Ли любой элемент Казимира пропорционален единице. Собственные значения всех элементов Казимира можно использовать для классификации представлений алгебры Ли (а, следовательно, и ее группы Ли ). ^{[4] [ нужны разъяснения ]}

Физическая масса и спин являются примерами этих собственных значений, как и многие другие квантовые числа, встречающиеся в квантовой механике . На первый взгляд топологические квантовые числа представляют собой исключение из этого правила; хотя более глубокие теории намекают, что это две грани одного и того же явления. ^{[ по мнению кого? ]} .

Пусть – конечномерный старший весовой модуль веса . Тогда на квадратичный элемент Казимира действует константа ${\displaystyle L(\lambda )}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle L(\lambda )}$

${\displaystyle \langle \lambda ,\lambda +2\rho \rangle =\langle \lambda +\rho ,\lambda +\rho \rangle -\langle \rho ,\rho \rangle ,}$

где вес определяется половиной суммы положительных корней. ^[5] Если нетривиально (т.е. если ), то эта константа отлична от нуля. Ведь поскольку доминирует, если , то и , показывая, что . Это наблюдение играет важную роль в доказательстве теоремы Вейля о полной сводимости . Также возможно доказать ненулевое обращение собственного значения более абстрактным способом - без использования явной формулы для собственного значения - с использованием критерия Картана; см. разделы 4.3 и 6.2 в книге Хамфриса. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle L(\lambda )}$ ${\displaystyle \lambda \neq 0}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda \neq 0}$ ${\displaystyle \langle \lambda ,\lambda \rangle >0}$ ${\displaystyle \langle \lambda ,\rho \rangle \geq 0}$ ${\displaystyle \langle \lambda ,\lambda +2\rho \rangle >0}$

Симметричные инвариантные тензоры простых алгебр Ли

Элемент Казимира порядка соответствует симметричному инвариантному тензору того же порядка через . Построение и связь элементов Казимира эквивалентно тому же самому для симметричных инвариантных тензоров. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle C_{(m)}=\kappa ^{i_{1}i_{2}\cdots i_{m}}X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{m}}}$

Построение симметричных инвариантных тензоров.

Симметричные инвариантные тензоры могут быть построены как симметризованные следы в определяющем представлении ^[6]

${\displaystyle k_{i_{1}i_{2}\cdots i_{m}}^{(m)}={\text{Tr}}\left(X_{(i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{m})}\right)}$

где индексы повышаются и понижаются по форме Киллинга и симметричны относительно всех перестановок.

Также возможно построить симметричные инвариантные тензоры из антисимметричных инвариантных тензоров типа

${\displaystyle \Omega _{i_{1}i_{2}\cdots i_{2m-1}}^{(2m-1)}=f_{i_{1}[i_{2}}^{j_{1}}\cdots f_{i_{2m-3}i_{2m-2}]}^{j_{m-1}}k_{j_{1}\cdots j_{m-1}i_{2m-1}}^{(m)}}$

Симметричный инвариантный тензор ^[7]

${\displaystyle t_{i_{1}i_{2}\cdots i_{m}}^{(m)}=\Omega _{j_{1}j_{2}\cdots j_{2m-2}i_{m}}^{(2m-1)}f_{i_{1}}^{j_{1}j_{2}}\cdots f_{i_{m-1}}^{j_{2m-2}j_{2m-3}}}$

бесследно для . Такие инвариантные тензоры ортогональны друг другу в том смысле, что если . ${\displaystyle m>2}$ ${\displaystyle t_{i_{1}i_{2}\cdots i_{m}}^{(m)}\left(t^{(n)}\right)^{i_{1}i_{2}\cdots i_{m}i_{m+1}\cdots i_{n}}=0}$ ${\displaystyle n>m}$

В случае простой алгебры Ли введем вполне симметричный тензор третьего порядка такой, что в определяющем представлении ${\displaystyle A_{l}={\mathfrak {sl}}_{l+1}}$ ${\displaystyle d_{ijk}}$

${\displaystyle X_{i}X_{j}={\frac {2}{\ell +1}}\delta _{ij}+f_{ij}^{k}X_{k}+d_{ij}^{k}X_{k}}$

Тогда симметричные инвариантные тензоры Садбери имеют вид ^[6]

${\displaystyle d_{i_{1}i_{2}}^{(2)}=\delta _{i_{1}i_{2}}}$

${\displaystyle d_{i_{1}i_{2}i_{3}}^{(3)}=d_{i_{1}i_{2}i_{3}}}$

${\displaystyle d_{i_{1}i_{2}i_{3}i_{4}}^{(4)}=d_{(i_{1}i_{2}}{}^{j}d_{i_{3}i_{4})j}}$

${\displaystyle d_{i_{1}i_{2}i_{3}i_{4}i_{5}}^{(5)}=d_{(i_{1}i_{2}}{}^{j}d^{j}{}_{i_{3}}{}^{k}d_{i_{4}i_{5})k}}$

Соотношения между симметричными инвариантными тензорами

Для простой алгебры Ли ранга существуют алгебраически независимые симметрические инвариантные тензоры. Следовательно, любой такой тензор можно выразить через заданные тензоры. Существует систематический метод вывода полных наборов тождеств между симметричными инвариантными тензорами. ^[6] ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$

В случае алгебры Ли подчиняются симметрические инвариантные тензоры . ^[7] Перевыражение этих тензоров в терминах других семейств, таких как или, приводит к нетривиальным отношениям внутри этих других семейств. Например, тензоры Садбери могут быть выражены через соотношениями типа ^[7] ${\displaystyle A_{l}}$ ${\displaystyle t^{(m)}}$ ${\displaystyle t^{(m>l+1)}=0}$ ${\displaystyle d^{(m)}}$ ${\displaystyle k^{(m)}}$ ${\displaystyle d^{(m>l+1)}}$ ${\displaystyle d^{(2)},\cdots ,d^{(l+1)}}$

${\displaystyle d_{i_{1}i_{2}i_{3}i_{4}}^{(4)}\ {\underset {l=2}{=}}\ {\frac {1}{3}}\delta _{(i_{1}i_{2}}\delta _{i_{3}i_{4})}}$

${\displaystyle d_{i_{1}i_{2}i_{3}i_{4}i_{5}}^{(5)}\ {\underset {l=2}{=}}\ {\frac {1}{3}}d_{(i_{1}i_{2}i_{3}}\delta _{i_{4}i_{5})}}$

${\displaystyle d_{i_{1}i_{2}i_{3}i_{4}i_{5}}^{(5)}\ {\underset {l=3}{=}}\ {\frac {2}{3}}d_{(i_{1}i_{2}i_{3}}\delta _{i_{4}i_{5})}}$

Структурные константы также подчиняются тождествам, не связанным напрямую с симметричными инвариантными тензорами, например ^[8]

${\displaystyle 3d_{ab}{}^{e}d_{cde}-f_{ac}{}^{e}f_{bde}-f_{ad}{}^{e}f_{bce}\ {\underset {l=2}{=}}\ \delta _{ac}\delta _{bd}+\delta _{ad}\delta _{bc}-\delta _{ab}\delta _{cd}}$

Примеры

Случай sl(2)

Алгебра Ли состоит из комплексных матриц размера два на два с нулевым следом. Существует три стандартных базовых элемента: , , и , с ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle {\begin{aligned}e&={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}},&f&={\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}},&h&={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

Коммутаторы

${\displaystyle {\begin{aligned}[][e,f]&=h,&[h,f]&=-2f,&[h,e]&=2e.\end{aligned}}}$

Можно показать, что элемент Казимира

$${\displaystyle \Omega =ef+fe+{\frac {1}{2}}h^{2}={\frac {1}{2}}h^{2}+h+2fe={\frac {3}{2}}I_{2}.}$$

Случай так(3)

Алгебра Ли — это алгебра Ли SO(3) , группы вращения трёхмерного евклидова пространства . Он имеет ранг 1, поэтому у него есть единственный независимый Казимир. Форма Киллинга для группы вращения — это просто дельта Кронекера , и поэтому инвариант Казимира — это просто сумма квадратов образующих алгебры. То есть инвариант Казимира определяется выражением ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle L_{x},\,L_{y},\,L_{z}}$

${\displaystyle L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}.}$

Рассмотрим неприводимое представление, в котором наибольшее собственное значение равно , где возможные значения . Инвариантность оператора Казимира подразумевает, что он кратен тождественному оператору . Эту константу можно вычислить явно, что дает следующий результат ^[9] ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle L_{z}}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \ell }$ ${\textstyle 0,\,{\frac {1}{2}},\,1,\,{\frac {3}{2}},\,\ldots }$ ${\displaystyle I}$

${\displaystyle L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}=\ell (\ell +1)I.}$

В квантовой механике скалярная величина называется полным угловым моментом . Для конечномерных матричных представлений группы вращения всегда принимает целые значения (для бозонных представлений ) или полуцелые значения (для фермионных представлений ). ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \ell }$

Для данного значения матричное представление является -мерным. Так, например, трехмерное представление для соответствует , и задается генераторами ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle (2\ell +1)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle \ell =1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{x}&=i{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix}};&L_{y}&=i{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{pmatrix}};&L_{z}&=i{\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$

где факторы необходимы для согласования с физическим соглашением (используемым здесь) о том, что генераторы должны быть косо-самосопряженными операторами. ^[10] ${\displaystyle i}$

Тогда квадратичный инвариант Казимира можно легко вычислить вручную, в результате чего

${\displaystyle L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}=2{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$

как когда . ${\displaystyle \ell (\ell +1)=2}$ ${\displaystyle \ell =1}$

Именно это имеется в виду, когда мы говорим, что собственные значения оператора Казимира используются для классификации неприводимых представлений алгебры Ли (и связанной с ней группы Ли): два неприводимых представления алгебры Ли эквивалентны тогда и только тогда, когда их Казимира эквивалентны. элементы имеют одинаковое собственное значение. В этом случае повторы полностью определяются значением или, что то же самое, значением . Точно так же двумерное представление имеет основу, заданную матрицами Паули , которые соответствуют спину 1 ⁄ 2 , и можно снова проверить формулу Казимира прямым вычислением. ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \ell (\ell +1)}$

Смотрите также

• Изоморфизм Хариш-Чандры
• Псевдовектор Паули – Любанского
• Коэффициенты Клебша – Гордана

Рекомендации

1. Оливер, Дэвид (2004). Лохматый конь физики: математическая красота в физическом мире . Спрингер. п. 81. ИСБН 978-0-387-40307-6.
2. Зал 2015 г., Предложение 10.5.
3. Рака, Джулио (1965). Теория групп и спектроскопия . Шпрингер Берлин Гейдельберг.
4. Ксавье Бекарт, «Универсальные обертывающие алгебры и некоторые приложения в физике» (2005) Лекция, Летняя школа Модаве по математической физике .
5. Зал 2015 г., Предложение 10.6.
6. Mountain, Артур Дж. (1998). «Инвариантные тензоры и операторы Казимира для простых компактных групп Ли». Журнал математической физики . 39 (10): 5601–5607. arXiv : физика/9802012 . Бибкод : 1998JMP....39.5601M. дои : 10.1063/1.532552. ISSN  0022-2488. S2CID  16436468.
7. Аскаррага, де; Макфарлейн, Эй Джей; Маунтин, Эй Джей; Буэно, Х. К. Перес (3 июня 1997 г.). «Инвариантные тензоры для простых групп». Ядерная физика Б . 510 (3): 657–687. arXiv : физика/9706006 . дои : 10.1016/S0550-3213(97)00609-3. S2CID  14665950.
8. Хабер, Ховард Э. (31 декабря 2019 г.). «Полезные соотношения между генераторами в определяющих и присоединенных представлениях SU (N)». Конспекты лекций по физике SciPost . arXiv : 1912.13302v2 . doi : 10.21468/SciPostPhysLectNotes.21 . S2CID  42081451.
9. Зал 2013 г., Предложение 17.8
10. Зал 2013 г., Предложение 17.3

• Холл, Брайан К. (2013), Квантовая теория для математиков, Тексты для выпускников по математике, том. 267, Springer, Bibcode : 2013qtm..book.....H, ISBN 9781461471165
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение, Тексты для выпускников по математике, том. 222 (2-е изд.), Спрингер, ISBN 978-3319134666

дальнейшее чтение

• Хамфрис, Джеймс Э. (1978). Введение в алгебры Ли и теорию представлений . Тексты для аспирантов по математике. Том. 9 (второе издание, переработанное изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90053-5.
• Джейкобсон, Натан (1979). Алгебры Ли . Дуврские публикации. стр. 243–249. ISBN 0-486-63832-4.
• https://mathoverflow.net/questions/74689/motivating-the-casimir-element