Экспоненциальная карта (теория Ли)

В теории групп Ли экспоненциальное отображение — это отображение алгебры Ли группы Ли в группу, которое позволяет восстановить структуру локальной группы из алгебры Ли. Существование экспоненциального отображения является одной из основных причин того, что алгебры Ли являются полезным инструментом для изучения групп Ли. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$

Обычная показательная функция математического анализа представляет собой частный случай экспоненциального отображения, когда – мультипликативная группа положительных действительных чисел (алгебра Ли которой является аддитивной группой всех действительных чисел). Экспоненциальное отображение группы Ли обладает многими свойствами, аналогичными свойствам обычной показательной функции, однако оно также отличается во многих важных отношениях. ${\displaystyle G}$

Определения

Позвольте быть группой Ли и быть ее алгеброй Ли (думаемой как касательное пространство к единичному элементу ) . Экспоненциальная карта – это карта ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \exp \colon {\mathfrak {g}}\to G}$

который можно определить несколькими различными способами. Типичное современное определение таково:

Определение : Экспонента определяется выражением где ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \exp(X)=\gamma (1)}$

${\displaystyle \gamma \colon \mathbb {R} \to G}$

– единственная однопараметрическая подгруппа , касательный вектор которой в единице равен . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$

Из цепного правила легко следует , что . Карта может быть построена как интегральная кривая либо право-, либо левоинвариантного векторного поля , связанного с . То, что интегральная кривая существует для всех действительных параметров, следует из перевода решения вправо или влево около нуля. ${\displaystyle \exp(tX)=\gamma (t)}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle X}$

Более конкретное определение имеется в случае матричной группы Ли . Экспоненциальное отображение совпадает с матричной экспонентой и определяется разложением в обычный ряд:

${\displaystyle \exp(X)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {X^{k}}{k!}}=I+X+{\frac {1}{2}}X^{2}+{\frac {1}{6}}X^{3}+\cdots }$,

где единичная матрица . Таким образом, в случае матричных групп Ли экспоненциальное отображение является ограничением матричной экспоненты на алгебру Ли . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$

Сравнение с римановой экспоненциальной картой

Если G компактна, она имеет риманову метрику, инвариантную относительно левого и правого сдвигов, и теоретико-лиевое экспоненциальное отображение для G совпадает с экспоненциальным отображением этой римановой метрики .

Для общего G не будет существовать римановой метрики, инвариантной как при левом, так и при правом сдвиге. Хотя всегда существует риманова метрика, инвариантная, скажем, относительно левых сдвигов, экспоненциальное отображение в смысле римановой геометрии для левоинвариантной метрики в общем случае не будет согласовываться с экспоненциальным отображением в смысле группы Ли. То есть, если G — группа Ли , снабженная левоинвариантной, но не правоинвариантной метрикой, геодезические через тождество не ^{будут однопараметрическими подгруппами} G.

Другие определения

Другие эквивалентные определения экспоненты группы Ли следующие:

• Это экспоненциальное отображение канонической левоинвариантной аффинной связности на G , такой, что параллельная транспортировка задается левым сдвигом. То есть, где находится уникальная геодезическая с начальной точкой в ​​единичном элементе и начальной скоростью X (которая рассматривается как касательный вектор). ${\displaystyle \exp(X)=\gamma (1)}$ ${\displaystyle \gamma }$
• Это экспоненциальное отображение канонической правоинвариантной аффинной связности на G . Обычно это отличается от канонического левоинвариантного соединения, но оба соединения имеют одинаковые геодезические (орбиты однопараметрических подгрупп, действующих путем левого или правого умножения), поэтому дают одно и то же экспоненциальное отображение.
• Соответствие группа Ли – алгебра Ли также дает определение: для X в – единственный гомоморфизм группы Ли, соответствующий гомоморфизму алгебры Ли (примечание: .) ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle t\mapsto \exp(tX)}$ ${\displaystyle t\mapsto tX.}$ ${\displaystyle \operatorname {Lie} (\mathbb {R} )=\mathbb {R} }$

Примеры

• Единичная окружность с центром в точке 0 в комплексной плоскости представляет собой группу Ли (называемую группой окружности ), касательное пространство которой в точке 1 можно отождествить с воображаемой линией в комплексной плоскости. Экспоненциальное отображение для этой группы Ли задается выражением ${\displaystyle \{it:t\in \mathbb {R} \}.}$

${\displaystyle it\mapsto \exp(it)=e^{it}=\cos(t)+i\sin(t),\,}$

то есть та же формула, что и обычная комплексная экспонента .

• В более общем смысле, для комплексного тора ^{[1] pg 8} для некоторой целой решетки ранга (настолько изоморфной ) тор снабжен универсальным накрывающим отображением ${\displaystyle X=\mathbb {C} ^{n}/\Lambda }$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$

${\displaystyle \pi :\mathbb {C} ^{n}\to X}$

из фактора по решетке. Поскольку оно локально изоморфно комплексным многообразиям , мы можем отождествить его с касательным пространством и отображением ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle T_{0}X}$

${\displaystyle \pi :T_{0}X\to X}$

соответствует экспоненциальному отображению комплексной группы Ли . ${\displaystyle X}$

• В кватернионах набор кватернионов единичной длины образует группу Ли (изоморфную специальной унитарной группе SU (2) ), касательное пространство которой в точке 1 можно отождествить с пространством чисто мнимых кватернионов. Экспоненциальное отображение для этой группы Ли дан кем-то ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \{it+ju+kv:t,u,v\in \mathbb {R} \}.}$

${\displaystyle \mathbf {w} :=(it+ju+kv)\mapsto \exp(it+ju+kv)=\cos(|\mathbf {w} |)1+\sin(|\mathbf {w} |){\frac {\mathbf {w} }{|\mathbf {w} |}}.\,}$

Эта карта переносит 2-сферу радиуса R внутри чисто мнимых кватернионов в 2-сферу радиуса (см. Экспоненту вектора Паули ). Сравните это с первым примером выше. ${\displaystyle \{s\in S^{3}\subset \mathbf {H} :\operatorname {Re} (s)=\cos(R)\}}$ ${\displaystyle \sin(R)}$

• Пусть V — конечномерное вещественное векторное пространство и рассматриваем его как группу Ли при операции сложения векторов. Затем посредством отождествления V с его касательным пространством в точке 0 и экспоненциального отображения ${\displaystyle \operatorname {Lie} (V)=V}$

${\displaystyle \operatorname {exp} :\operatorname {Lie} (V)=V\to V}$

- это карта идентичности, то есть . ${\displaystyle \exp(v)=v}$

• В плоскости расщепленных комплексных чисел воображаемая прямая образует алгебру Ли группы единичных гипербол , поскольку экспоненциальное отображение задается выражением ${\displaystyle z=x+y\jmath ,\quad \jmath ^{2}=+1,}$ ${\displaystyle \lbrace \jmath t:t\in \mathbb {R} \rbrace }$ ${\displaystyle \lbrace \cosh t+\jmath \ \sinh t:t\in \mathbb {R} \rbrace }$

${\displaystyle \jmath t\mapsto \exp(\jmath t)=\cosh t+\jmath \ \sinh t.}$

Характеристики

Элементарные свойства экспоненты

Для всех отображение представляет собой уникальную однопараметрическую подгруппу , касательный вектор которой в единице равен . Следует, что: ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \gamma (t)=\exp(tX)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle \exp((t+s)X)=\exp(tX)\exp(sX)\,}$
• ${\displaystyle \exp(-X)=\exp(X)^{-1}.\,}$

В более общем смысле:

• ${\displaystyle \exp(X+Y)=\exp(X)\exp(Y),\quad {\text{if }}[X,Y]=0}$.

Важно подчеркнуть, что предыдущее тождество вообще не выполняется; предположение, что и поездка на работу важна. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Образ экспоненциального отображения всегда лежит в единичной составляющей . ${\displaystyle G}$

Экспонента вблизи тождества

Экспоненциальная карта является гладкой картой . Его дифференциал в нуле, , является тождественным отображением (с обычными отождествлениями). ${\displaystyle \exp \colon {\mathfrak {g}}\to G}$ ${\displaystyle \exp _{*}\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$

Из теоремы об обратной функции следует, что экспоненциальное отображение, следовательно, ограничивается диффеоморфизмом из некоторой окрестности 0 в окрестность 1 в . ^[2] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$

Тогда нетрудно показать, что если G связен, каждый элемент g из G является произведением экспонент элементов из : ^[3] . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle g=\exp(X_{1})\exp(X_{2})\cdots \exp(X_{n}),\quad X_{j}\in {\mathfrak {g}}}$

В глобальном масштабе экспоненциальная карта не обязательно сюръективна. Более того, экспоненциальное отображение не может быть локальным диффеоморфизмом во всех точках. Например, экспоненциальное отображение (3) в SO(3) не является локальным диффеоморфизмом; см. также вырезание локуса об этой неудаче. См. производную экспоненциальной карты для получения дополнительной информации. ${\displaystyle {\mathfrak {so}}}$

Сюръективность экспоненты

Известно, что в этих важных особых случаях экспоненциальное отображение всегда сюръективно:

• G связна и компактна, ^[4]
• G связен и нильпотентен (например, G связен и абелев), или
• ${\displaystyle G=GL_{n}(\mathbb {C} )}$. ^[5]

Для групп, не удовлетворяющих ни одному из вышеперечисленных условий, экспоненциальное отображение может быть или не быть сюръективным.

Образ экспоненциального отображения связной, но некомпактной группы SL ₂ ( R ) не является всей группой. Ее образ состоит из C -диагонализуемых матриц с собственными значениями либо положительными, либо с модулем 1, а также недиагонализуемых матриц с повторяющимся собственным значением 1 и матрицы . (Таким образом, изображение исключает матрицы с действительными отрицательными собственными значениями, отличными от .) ^[6] ${\displaystyle -I}$ ${\displaystyle -I}$

Экспоненциальное отображение и гомоморфизмы

Пусть – гомоморфизм группы Ли, – его производная в единице. Тогда следующая диаграмма коммутирует : ^[7] ${\displaystyle \phi \colon G\to H}$ ${\displaystyle \phi _{*}}$

В частности, применительно к присоединенному действию группы Ли , поскольку , мы имеем полезное тождество: ^[8] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \operatorname {Ad} _{*}=\operatorname {ad} }$

${\displaystyle \mathrm {Ad} _{\exp X}(Y)=\exp(\mathrm {ad} _{X})(Y)=Y+[X,Y]+{\frac {1}{2!}}[X,[X,Y]]+{\frac {1}{3!}}[X,[X,[X,Y]]]+\cdots }$.

Логарифмические координаты

Учитывая группу Ли с алгеброй Ли , каждый выбор базиса определяет систему координат рядом с единичным элементом e для G следующим образом. По теореме об обратной функции экспоненциальное отображение является диффеоморфизмом некоторой окрестности начала координат в окрестность . Его обратное: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {exp} :N{\overset {\sim }{\to }}U}$ ${\displaystyle N\subset {\mathfrak {g}}\simeq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle e\in G}$

${\displaystyle \log :U{\overset {\sim }{\to }}N\subset \mathbb {R} ^{n}}$

тогда является системой координат на U . Его называют разными именами, такими как логарифмические координаты, экспоненциальные координаты или нормальные координаты. См. теорему о замкнутой подгруппе для примера того, как они используются в приложениях.

Замечание : открытое покрытие дает G такую ​​структуру вещественно-аналитического многообразия , что групповая операция является вещественно-аналитической. ^[9] ${\displaystyle \{Ug|g\in G\}}$ ${\displaystyle (g,h)\mapsto gh^{-1}}$

Смотрите также

• Список экспоненциальных тем
• Производная экспоненциальной карты
• Матричная экспонента

Цитаты

1. Биркенхейк, Кристина (2004). Сложные абелевы многообразия. Герберт Ланге (Второе, дополненное изд.). Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. ISBN 978-3-662-06307-1. ОСЛК  851380558.
2. Холл, 2015 г. Следствие 3.44.
3. Холл 2015. Следствие 3.47.
4. Холл 2015. Следствие 11.10.
5. Зал 2015 г. Упражнения 2.9 и 2.10.
6. Холл, 2015 г., Упражнение 3.22.
7. Холл, 2015 г., Теорема 3.28.
8. Зал 2015 г., Предложение 3.35.
9. Кобаяши и Номидзу 1996, с. 43.

Цитируемые работы

• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для аспирантов по математике, том. 222 (2-е изд.), Спрингер, ISBN 978-3319134666.
• Хельгасон, Сигурдур (2001), Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства , Аспирантура по математике , том. 34, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN. 978-0-8218-2848-9, МР  1834454.
• Кобаяши, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1996), Основы дифференциальной геометрии , том. 1 (Новое издание), Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15733-3.
• «Экспоненциальное отображение», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]