Группа Ли

Группа, которая также является дифференцируемым многообразием с групповыми операциями, которые являются гладкими

В математике группа Ли (произносится как / лиː / ЛИ ) — это группа , которая также является дифференцируемым многообразием , таким образом, что групповое умножение и взятие обратных элементов являются дифференцируемыми.

Многообразие — это пространство, которое локально напоминает евклидово пространство , тогда как группы определяют абстрактное понятие бинарной операции вместе с дополнительными свойствами, которые она должна иметь, чтобы рассматриваться как «преобразование» в абстрактном смысле, например, умножение и взятие обратных (деление), или, что эквивалентно, понятие сложения и взятия обратных (вычитание). Объединяя эти две идеи, получаем непрерывную группу , где умножение точек и их обратных является непрерывным. Если умножение и взятие обратных также являются гладкими (дифференцируемыми), то получаем группу Ли.

Группы Ли предоставляют естественную модель для концепции непрерывной симметрии , знаменитым примером которой является группа окружности . Вращение окружности является примером непрерывной симметрии. Для любого вращения окружности существует та же самая симметрия, ^[1] и конкатенация таких вращений превращает их в группу окружности, архетипический пример группы Ли. Группы Ли широко используются во многих разделах современной математики и физики .

Группы Ли были впервые обнаружены путем изучения матричных подгрупп , содержащихся в или , групп обратимых матриц над или . Теперь они называются классическими группами , поскольку эта концепция вышла далеко за рамки этих истоков. Группы Ли названы в честь норвежского математика Софуса Ли (1842–1899), который заложил основы теории непрерывных групп преобразований . Первоначальной мотивацией Ли для введения групп Ли было моделирование непрерывных симметрий дифференциальных уравнений , во многом таким же образом, как конечные группы используются в теории Галуа для моделирования дискретных симметрий алгебраических уравнений . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\text{GL}}_{n}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\text{GL}}_{n}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

История

Софус Ли считал зиму 1873–1874 годов датой рождения своей теории непрерывных групп. ^[2] Томас Хокинс, однако, предполагает, что именно «изумительная исследовательская деятельность Ли в течение четырехлетнего периода с осени 1869 года по осень 1873 года» привела к созданию теории. ^[2] Некоторые из ранних идей Ли были разработаны в тесном сотрудничестве с Феликсом Клейном . Ли встречался с Клейном каждый день с октября 1869 по 1872 год: в Берлине с конца октября 1869 года по конец февраля 1870 года и в Париже, Геттингене и Эрлангене в последующие два года. ^[3] Ли утверждал, что все основные результаты были получены к 1884 году. Но в течение 1870-х годов все его статьи (кроме самой первой заметки) были опубликованы в норвежских журналах, что препятствовало признанию работы во всей остальной Европе. ^[4] В 1884 году молодой немецкий математик Фридрих Энгель начал работать с Ли над систематическим трактатом, чтобы изложить его теорию непрерывных групп. Результатом этих усилий стала трехтомная работа Theorie der Transformationsgruppen , опубликованная в 1888, 1890 и 1893 годах. Термин groupes de Lie впервые появился во французском языке в 1893 году в диссертации студента Ли Артура Тресса. ^[5]

Идеи Ли не стояли изолированно от остальной математики. Фактически, его интерес к геометрии дифференциальных уравнений был впервые мотивирован работой Карла Густава Якоби по теории уравнений с частными производными первого порядка и по уравнениям классической механики . Большая часть работы Якоби была опубликована посмертно в 1860-х годах, вызвав огромный интерес во Франции и Германии. ^[6] Идеей-фикс Ли была разработка теории симметрий дифференциальных уравнений, которая выполнила бы для них то, что Эварист Галуа сделал для алгебраических уравнений: а именно, классифицировала бы их в терминах теории групп. Ли и другие математики показали, что наиболее важные уравнения для специальных функций и ортогональных многочленов, как правило, возникают из групповых теоретических симметрий. В ранних работах Ли идея состояла в том, чтобы построить теорию непрерывных групп , чтобы дополнить теорию дискретных групп , которая была разработана в теории модулярных форм , в руках Феликса Клейна и Анри Пуанкаре . Первоначальное приложение, которое Ли имел в виду, было к теории дифференциальных уравнений . На модели теории Галуа и полиномиальных уравнений движущей концепцией была теория, способная объединить, путем изучения симметрии , всю область обыкновенных дифференциальных уравнений . Однако надежда на то, что теория Ли объединит всю область обыкновенных дифференциальных уравнений, не оправдалась. Методы симметрии для ОДУ продолжают изучаться, но не доминируют в предмете. Существует дифференциальная теория Галуа , но она была разработана другими, такими как Пикар и Вессио, и она обеспечивает теорию квадратур , неопределенных интегралов, необходимых для выражения решений.

Дополнительный импульс к рассмотрению непрерывных групп дали идеи Бернхарда Римана об основах геометрии и их дальнейшее развитие в руках Клейна. Таким образом, три основные темы в математике 19 века были объединены Ли при создании его новой теории:

• Идея симметрии, проиллюстрированная Галуа через алгебраическое понятие группы ;
• Геометрическая теория и явные решения дифференциальных уравнений механики, разработанные Пуассоном и Якоби;
• Новое понимание геометрии, возникшее в трудах Плюккера , Мёбиуса , Грассмана и других и достигшее кульминации в революционном видении предмета Риманом.

Хотя сегодня Софус Ли по праву признан создателем теории непрерывных групп, крупный шаг в развитии их структурной теории, которая оказала глубокое влияние на последующее развитие математики, был сделан Вильгельмом Киллингом , который в 1888 году опубликовал первую статью из серии под названием Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen ( Состав непрерывных конечных групп преобразований ). ^[7] Работа Киллинга, позднее уточненная и обобщенная Эли Картаном , привела к классификации полупростых алгебр Ли , теории симметрических пространств Картана и описанию Германом Вейлем представлений компактных и полупростых групп Ли с использованием старших весов .

В 1900 году Давид Гильберт бросил вызов сторонникам теории лжи, представив свою Пятую проблему на Международном конгрессе математиков в Париже.

Вейль довел до конца ранний период развития теории групп Ли, поскольку он не только классифицировал неприводимые представления полупростых групп Ли и связал теорию групп с квантовой механикой, но и поставил саму теорию Ли на более прочную основу, четко сформулировав различие между инфинитезимальными группами Ли (т. е. алгебрами Ли) и собственно группами Ли, и начал исследования топологии групп Ли. ^[8] Теория групп Ли была систематически переработана на современном математическом языке в монографии Клода Шевалле .

Обзор

Множество всех комплексных чисел с абсолютным значением 1 (соответствующих точкам на окружности с центром 0 и радиусом 1 в комплексной плоскости ) является группой Ли относительно комплексного умножения: группой окружности .

Группы Ли являются гладкими дифференцируемыми многообразиями и как таковые могут изучаться с помощью дифференциального исчисления , в отличие от случая более общих топологических групп . Одна из ключевых идей в теории групп Ли заключается в замене глобального объекта, группы, ее локальной или линеаризованной версией, которую сам Ли называл ее «инфинитезимальной группой» и которая с тех пор стала известна как ее алгебра Ли .

Группы Ли играют огромную роль в современной геометрии на нескольких различных уровнях. Феликс Клейн утверждал в своей программе Эрлангена , что можно рассматривать различные «геометрии», указав соответствующую группу преобразований, которая оставляет определенные геометрические свойства инвариантными . Таким образом, евклидова геометрия соответствует выбору группы E(3) сохраняющих расстояния преобразований евклидова пространства , конформная геометрия соответствует расширению группы до конформной группы , тогда как в проективной геометрии интерес представляют свойства, инвариантные относительно проективной группы . Эта идея позже привела к понятию G-структуры , где G — группа Ли «локальных» симметрий многообразия. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Группы Ли (и связанные с ними алгебры Ли) играют важную роль в современной физике, причем группа Ли обычно играет роль симметрии физической системы. Здесь представления группы Ли (или ее алгебры Ли ) особенно важны. Теория представлений широко используется в физике элементарных частиц . Группы, представления которых имеют особое значение, включают группу вращений SO(3) (или ее двойное покрытие SU(2) ), специальную унитарную группу SU(3) и группу Пуанкаре .

На «глобальном» уровне, всякий раз, когда группа Ли действует на геометрический объект, такой как риманово или симплектическое многообразие , это действие обеспечивает меру жесткости и дает богатую алгебраическую структуру. Наличие непрерывных симметрий, выраженных через действие группы Ли на многообразии, накладывает сильные ограничения на его геометрию и облегчает анализ многообразия. Линейные действия групп Ли особенно важны и изучаются в теории представлений .

В 1940–1950-х годах Эллис Колчин , Арман Борель и Клод Шевалле поняли, что многие основополагающие результаты, касающиеся групп Ли, могут быть полностью развиты алгебраически, что привело к возникновению теории алгебраических групп, определенных над произвольным полем . Это понимание открыло новые возможности в чистой алгебре, предоставив единообразную конструкцию для большинства конечных простых групп , а также в алгебраической геометрии . Теория автоморфных форм , важный раздел современной теории чисел , широко занимается аналогами групп Ли над кольцами аделей ; p -адические группы Ли играют важную роль благодаря своим связям с представлениями Галуа в теории чисел.

Определения и примеры

Действительная группа Ли — это группа , которая также является конечномерным действительным гладким многообразием , в котором групповые операции умножения и инверсии являются гладкими отображениями . Гладкость группового умножения

${\displaystyle \mu :G\times G\to G\quad \mu (x,y)=xy}$

означает, что μ является гладким отображением многообразия произведений G × G в G. Два требования можно объединить в одно требование, чтобы отображение

${\displaystyle (x,y)\mapsto x^{-1}y}$

будет гладким отображением многообразия произведения в G.

Первые примеры

• Действительные обратимые матрицы 2×2 образуют группу относительно умножения, называемую общей линейной группой степени 2 и обозначаемую как или как : ${\displaystyle GL(2,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle GL_{2}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle GL(2,\mathbb {R} )=\left\{A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}:\,\det A=ad-bc\neq 0\right\}.}$

Это четырехмерная некомпактная вещественная группа Ли; она является открытым подмножеством . Эта группа несвязна ; она имеет две связные компоненты, соответствующие положительным и отрицательным значениям определителя . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

• Матрицы вращения образуют подгруппу , обозначаемую . Это группа Ли сама по себе: в частности, одномерная компактная связная группа Ли, которая диффеоморфна окружности . Используя угол вращения в качестве параметра, эту группу можно параметризовать следующим образом: ${\displaystyle GL(2,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle SO(2,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle SO(2,\mathbb {R} )=\left\{{\begin{pmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}:\,\varphi \in \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} \right\}.}$

Сложение углов соответствует умножению элементов , а взятие противоположного угла соответствует инверсии. Таким образом, и умножение, и инверсия являются дифференцируемыми отображениями. ${\displaystyle SO(2,\mathbb {R} )}$

• Аффинная группа одного измерения — это двумерная матричная группа Ли, состоящая из действительных верхнетреугольных матриц, причем первый диагональный элемент положителен, а второй диагональный элемент равен 1. Таким образом, группа состоит из матриц вида ${\displaystyle 2\times 2}$

${\displaystyle A=\left({\begin{array}{cc}a&b\\0&1\end{array}}\right),\quad a>0,\,b\in \mathbb {R} .}$

Непример

Теперь мы представим пример группы с несчетным числом элементов, которая не является группой Ли при определенной топологии. Группа, заданная формулой

${\displaystyle H=\left\{\left({\begin{matrix}e^{2\pi i\theta }&0\\0&e^{2\pi ia\theta }\end{matrix}}\right):\,\theta \in \mathbb {R} \right\}\subset \mathbb {T} ^{2}=\left\{\left({\begin{matrix}e^{2\pi i\theta }&0\\0&e^{2\pi i\phi }\end{matrix}}\right):\,\theta ,\phi \in \mathbb {R} \right\},}$

с фиксированным иррациональным числом , является подгруппой тора , которая не является группой Ли при заданной топологии подпространства . ^[9] Если мы возьмем любую малую окрестность точки в , например, часть в будет несвязной. Группа многократно обматывается вокруг тора, никогда не достигая предыдущей точки спирали, и таким образом образует плотную подгруппу . ${\displaystyle a\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$

Часть группы внутри . Небольшие окрестности элемента разъединены в топологии подмножества на ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$ ${\displaystyle h\in H}$ ${\displaystyle H}$

Однако группе можно задать другую топологию, в которой расстояние между двумя точками определяется как длина кратчайшего пути в группе, соединяющего с . В этой топологии гомеоморфно отождествляется с действительной прямой путем отождествления каждого элемента с числом в определении . С этой топологией — это просто группа действительных чисел при сложении и, следовательно, группа Ли. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle h_{1},h_{2}\in H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle h_{1}}$ ${\displaystyle h_{2}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$

Группа является примером "подгруппы Ли" группы Ли, которая не замкнута. См. обсуждение подгрупп Ли ниже в разделе об основных понятиях. ${\displaystyle H}$

Матричные группы Ли

Пусть обозначает группу обратимых матриц с элементами в . Любая замкнутая подгруппа из является группой Ли; ^[10] Группы Ли такого рода называются матричными группами Ли. Поскольку большинство интересных примеров групп Ли можно реализовать как матричные группы Ли, некоторые учебники ограничивают внимание этим классом, включая учебники Холла, ^[11] Россмана, ^[12] и Стиллвелла. ^[13] Ограничение внимания матричными группами Ли упрощает определение алгебры Ли и экспоненциального отображения. Ниже приведены стандартные примеры матричных групп Ли. ${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$

• Специальные линейные группы над и , и , состоящие из матриц с определителем единица и элементами в или ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle SL(n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle SL(n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$
• Унитарные группы и специальные унитарные группы, и , состоящие из комплексных матриц, удовлетворяющих (а также в случае ) ${\displaystyle U(n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle SU(n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle U^{*}=U^{-1}}$ ${\displaystyle \det(U)=1}$ ${\displaystyle SU(n)}$
• Ортогональные группы и специальные ортогональные группы, и , состоящие из действительных матриц, удовлетворяющих (а также в случае ) ${\displaystyle O(n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle SO(n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle R^{\mathrm {T} }=R^{-1}}$ ${\displaystyle \det(R)=1}$ ${\displaystyle SO(n,\mathbb {R} )}$

Все предыдущие примеры относятся к классическим группам .

Связанные концепции

Комплексная группа Ли определяется таким же образом с использованием комплексных многообразий вместо вещественных (пример: ), и голоморфных отображений. Аналогично, используя альтернативное метрическое пополнение , можно определить p -адическую группу Ли над p -адическими числами , топологическую группу, которая также является аналитическим p -адическим многообразием, таким образом, что групповые операции являются аналитическими. В частности, каждая точка имеет p -адическую окрестность. ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Пятая проблема Гильберта спрашивала, может ли замена дифференцируемых многообразий топологическими или аналитическими дать новые примеры. Ответ на этот вопрос оказался отрицательным: в 1952 году Глисон , Монтгомери и Зиппин показали, что если G — топологическое многообразие с непрерывными групповыми операциями, то на G существует ровно одна аналитическая структура , которая превращает его в группу Ли (см. также гипотезу Гильберта–Смита ). Если базовому многообразию разрешено быть бесконечномерным (например, многообразие Гильберта ), то мы приходим к понятию бесконечномерной группы Ли. Можно определить аналоги многих групп Ли над конечными полями , и они дают большинство примеров конечных простых групп .

Язык теории категорий дает краткое определение для групп Ли: группа Ли — это групповой объект в категории гладких многообразий. Это важно, поскольку позволяет обобщить понятие группы Ли на супергруппы Ли . Эта категориальная точка зрения приводит также к другому обобщению групп Ли, а именно к группоидам Ли , которые являются группоидными объектами в категории гладких многообразий с дополнительным требованием.

Топологическое определение

Группа Ли может быть определена как ( Хаусдорфова ) топологическая группа , которая вблизи единичного элемента выглядит как группа преобразований, без ссылки на дифференцируемые многообразия. ^[14] Во-первых, мы определяем иммерсально линейную группу Ли как подгруппу G общей линейной группы, такую ​​что ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$

1. для некоторой окрестности V единичного элемента e в G топология на V является топологией подпространства и V замкнуто в . ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$
2. G имеет не более счетного числа связных компонент.

(Например, замкнутая подгруппа ; то есть матричная группа Ли удовлетворяет вышеуказанным условиям.) ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$

Тогда группа Ли определяется как топологическая группа, которая (1) локально изоморфна вблизи тождеств иммерсально линейной группе Ли и (2) имеет не более счетного числа связных компонент. Демонстрация того, что топологическое определение эквивалентно обычному, является технической (и начинающие читатели должны пропустить следующее), но делается примерно так:

1. Если задана группа Ли G в обычном смысле многообразия, то соответствие группа Ли–алгебра Ли (или версия третьей теоремы Ли ) создает погруженную подгруппу Ли , которая имеет одну и ту же алгебру Ли; таким образом, они локально изоморфны. Следовательно, G удовлетворяет приведенному выше топологическому определению. ${\displaystyle G'\subset \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle G,G'}$
2. Наоборот, пусть G — топологическая группа, которая является группой Ли в указанном выше топологическом смысле, и выберем иммерсально линейную группу Ли , которая локально изоморфна G. Тогда, по версии теоремы о замкнутой подгруппе , является вещественно-аналитическим многообразием , а затем, посредством локального изоморфизма, G приобретает структуру многообразия вблизи единичного элемента. Затем показывают, что групповой закон на G может быть задан формальными степенными рядами ; ^[a] поэтому групповые операции являются вещественно-аналитическими, а сама G является вещественно-аналитическим многообразием. ${\displaystyle G'}$ ${\displaystyle G'}$

Топологическое определение подразумевает утверждение, что если две группы Ли изоморфны как топологические группы, то они изоморфны как группы Ли. Фактически, оно устанавливает общий принцип, что в значительной степени топология группы Ли вместе с групповым законом определяет геометрию группы.

Еще примеры групп Ли

Группы Ли встречаются в изобилии в математике и физике. Матричные группы или алгебраические группы — это (грубо говоря) группы матриц (например, ортогональные и симплектические группы ), и они дают большинство наиболее распространенных примеров групп Ли.

Измерения один и два

Единственными связанными группами Ли с размерностью один являются вещественная прямая (групповая операция — сложение) и круговая группа комплексных чисел с абсолютным значением один (групповая операция — умножение). Группа часто обозначается как , группа унитарных матриц. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle 1\times 1}$

В двух измерениях, если ограничить внимание односвязными группами, то они классифицируются по их алгебрам Ли. Существует (с точностью до изоморфизма) только две алгебры Ли размерности два. Соответствующие односвязные группы Ли (с групповой операцией сложения векторов) и аффинная группа в размерности один, описанные в предыдущем подразделе в разделе «первые примеры». ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Дополнительные примеры

• Группа SU(2) — это группа унитарных матриц с определителем . Топологически — это -сфера ; как группа она может быть отождествлена ​​с группой единичных кватернионов . ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\text{SU}}(2)}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle S^{3}}$
• Группа Гейзенберга — связная нильпотентная группа Ли размерности , играющая ключевую роль в квантовой механике . ${\displaystyle 3}$
• Группа Лоренца — это 6-мерная группа Ли линейных изометрий пространства Минковского .
• Группа Пуанкаре — 10-мерная группа Ли аффинных изометрий пространства Минковского.
• Исключительные группы Ли типов G 2 , F 4 , E 6 , E 7 , E 8 имеют размерности 14, 52, 78, 133 и 248. Наряду с серией ABCD простых групп Ли исключительные группы завершают список простых групп Ли.
• Симплектическая группа состоит из всех матриц, сохраняющих симплектическую форму на . Это связная группа Ли размерности . ${\displaystyle {\text{Sp}}(2n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle 2n\times 2n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle 2n^{2}+n}$

Конструкции

Существует несколько стандартных способов формирования новых групп Ли из старых:

• Произведение двух групп Ли является группой Ли.
• Любая топологически замкнутая подгруппа группы Ли является группой Ли. Это известно как теорема о замкнутой подгруппе или теорема Картана .
• Фактор группы Ли по замкнутой нормальной подгруппе является группой Ли.
• Универсальное покрытие связной группы Ли является группой Ли. Например, группа является универсальным покрытием группы окружности . Фактически любое покрытие дифференцируемого многообразия также является дифференцируемым многообразием, но, задавая универсальное покрытие, мы гарантируем структуру группы (совместимую с ее другими структурами). ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle S^{1}}$

Связанные понятия

Вот несколько примеров групп, которые не являются группами Ли (за исключением тривиального смысла, когда любая группа, имеющая не более счетного числа элементов, может рассматриваться как 0-мерная группа Ли с дискретной топологией ):

• Бесконечномерные группы, такие как аддитивная группа бесконечномерного действительного векторного пространства или пространство гладких функций из многообразия в группу Ли , . Это не группы Ли, поскольку они не являются конечномерными многообразиями. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle C^{\infty }(X,G)}$
• Некоторые полностью несвязные группы , такие как группа Галуа бесконечного расширения полей или аддитивная группа p -адических чисел. Они не являются группами Ли, поскольку их базовые пространства не являются действительными многообразиями. (Некоторые из этих групп являются « p -адическими группами Ли».) В общем случае, только топологические группы, имеющие локальные свойства , подобные R ⁿ для некоторого положительного целого числа n, могут быть группами Ли (конечно, они также должны иметь дифференцируемую структуру).

Основные понятия

Алгебра Ли, связанная с группой Ли

Каждой группе Ли мы можем связать алгебру Ли, базовое векторное пространство которой является касательным пространством группы Ли в единичном элементе и которая полностью охватывает локальную структуру группы. Неформально мы можем думать об элементах алгебры Ли как об элементах группы, которые " бесконечно малы" к единице, а скобка Ли алгебры Ли связана с коммутатором двух таких бесконечно малых элементов. Прежде чем дать абстрактное определение, приведем несколько примеров:

• Алгебра Ли векторного пространства R ⁿ — это просто R ⁿ со скобкой Ли, заданной формулой
      [ A ,  B ] = 0.
  (В общем случае скобка Ли связной группы Ли всегда равна 0 тогда и только тогда, когда группа Ли абелева.)
• Алгебра Ли общей линейной группы GL( n , C ) обратимых матриц — это векторное пространство M( n , C ) квадратных матриц со скобкой Ли, заданной формулой
      [ A ,  B ] = AB  −  BA .
• Если G — замкнутая подгруппа GL( n , C ), то алгебру Ли группы G можно неформально рассматривать как матрицы m из M( n , C ), такие, что 1 + ε m принадлежит G , где ε — бесконечно малое положительное число с ε ²  = 0 (конечно, такого действительного числа ε не существует). Например, ортогональная группа O( n , R ) состоит из матриц A с AA ^T  = 1, поэтому алгебра Ли состоит из матриц m с (1 + ε m )(1 + ε m ) ^T  = 1, что эквивалентно m  +  m ^T  = 0, поскольку ε ²  = 0.
• Предыдущее описание можно сделать более строгим следующим образом. Алгебра Ли замкнутой подгруппы G группы GL( n , C ) может быть вычислена как

${\displaystyle \operatorname {Lie} (G)=\{X\in M(n;\mathbb {C} )|\operatorname {exp} (tX)\in G{\text{ for all }}t{\text{ in }}\mathbb {\mathbb {R} } \},}$^{[16] [11]} где exp( tX ) определяется с помощью матричной экспоненты . Тогда можно показать, что алгебра Ли группы G является действительным векторным пространством, замкнутым относительно операции скобок, . ^[17] ${\displaystyle [X,Y]=XY-YX}$

С конкретным определением, данным выше для матричных групп, легко работать, но у него есть некоторые незначительные проблемы: чтобы использовать его, нам сначала нужно представить группу Ли как группу матриц, но не все группы Ли можно представить таким образом, и даже не очевидно, что алгебра Ли независима от используемого нами представления. ^[18] Чтобы обойти эти проблемы, мы дадим общее определение алгебры Ли группы Ли (в 4 шага):

1. Векторные поля на любом гладком многообразии M можно рассматривать как дифференцирования X кольца гладких функций на многообразии, и, следовательно, они образуют алгебру Ли относительно скобки Ли [ X ,  Y ] =  XY  −  YX , поскольку скобка Ли любых двух дифференцирований является дифференцированием.
2. Если G — любая группа, действующая гладко на многообразии M , то она действует на векторные поля, а векторное пространство векторных полей, фиксируемое группой, замкнуто относительно скобки Ли и, следовательно, также образует алгебру Ли.
3. Мы применяем эту конструкцию к случаю, когда многообразие M является базовым пространством группы Ли  G , причем G действует на G  =  M левыми сдвигами L _g ( h ) =  gh . Это показывает, что пространство левоинвариантных векторных полей (векторных полей, удовлетворяющих L _{g *} X _h =  X _gh для каждого h из G , где L _{g *} обозначает дифференциал L _g ) на группе Ли является алгеброй Ли относительно скобки Ли векторных полей.
4. Любой касательный вектор в единице группы Ли может быть расширен до левоинвариантного векторного поля путем левого переноса касательного вектора в другие точки многообразия. В частности, левоинвариантное расширение элемента v касательного пространства в единице является векторным полем, определяемым формулой v ^ _g  =  L _{g *} v . Это отождествляет касательное пространство T _e G в единице с пространством левоинвариантных векторных полей и, следовательно, превращает касательное пространство в единице в алгебру Ли, называемую алгеброй Ли группы G , обычно обозначаемую как Fraktur . Таким образом, скобка Ли на явно задается формулой [ v ,  w ] = [ v ^,  w ^] _e . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}.}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Эта алгебра Ли конечномерна и имеет ту же размерность, что и многообразие G. Алгебра Ли группы G определяет G с точностью до «локального изоморфизма», где две группы Ли называются локально изоморфными , если они выглядят одинаково вблизи единичного элемента. Задачи о группах Ли часто решаются путем предварительного решения соответствующей задачи для алгебр Ли, а результат для групп обычно легко следует из этого. Например, простые группы Ли обычно классифицируются путем предварительного классифицирования соответствующих алгебр Ли. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Мы также могли бы определить структуру алгебры Ли на T _{e ,} используя правоинвариантные векторные поля вместо левоинвариантных векторных полей. Это приводит к той же алгебре Ли, поскольку обратное отображение на G может быть использовано для идентификации левоинвариантных векторных полей с правоинвариантными векторными полями и действует как −1 на касательном пространстве T _e .

Структуру алгебры Ли на T _e можно также описать следующим образом: операция коммутатора

( х , у ) → хуx ⁻¹ у ⁻¹

на G × G отправляет ( e ,  e ) в e , поэтому ее производная дает билинейную операцию на T _e G . Эта билинейная операция на самом деле является нулевым отображением, но вторая производная при надлежащей идентификации касательных пространств дает операцию, которая удовлетворяет аксиомам скобки Ли , и она равна удвоенной операции, определенной через левоинвариантные векторные поля.

Гомоморфизмы и изоморфизмы

Если G и H — группы Ли, то гомоморфизм групп Ли f  : G → H — гладкий гомоморфизм групп . В случае комплексных групп Ли такой гомоморфизм должен быть голоморфным отображением . Однако эти требования немного строги; каждый непрерывный гомоморфизм между действительными группами Ли оказывается (действительным) аналитическим . ^{[19] [b]}

Композиция двух гомоморфизмов Ли снова является гомоморфизмом, а класс всех групп Ли вместе с этими морфизмами образует категорию . Более того, каждый гомоморфизм групп Ли индуцирует гомоморфизм между соответствующими алгебрами Ли. Пусть — гомоморфизм групп Ли, а — его производная в единице. Если мы отождествим алгебры Ли групп G и H с их касательными пространствами в единицах, то — отображение между соответствующими алгебрами Ли: ${\displaystyle \phi \colon G\to H}$ ${\displaystyle \phi _{*}}$ ${\displaystyle \phi _{*}}$

${\displaystyle \phi _{*}\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}},}$

который оказывается гомоморфизмом алгебры Ли (то есть это линейное отображение , сохраняющее скобку Ли ). На языке теории категорий мы тогда имеем ковариантный функтор из категории групп Ли в категорию алгебр Ли, который переводит группу Ли в ее алгебру Ли и гомоморфизм группы Ли в ее производную в единице.

Две группы Ли называются изоморфными , если между ними существует биективный гомоморфизм, обратный которому также является гомоморфизмом групп Ли. Эквивалентно, это диффеоморфизм , который также является гомоморфизмом групп. Заметим, что согласно вышесказанному непрерывный гомоморфизм из группы Ли в группу Ли является изоморфизмом групп Ли тогда и только тогда, когда он биективен. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$

Изоморфизмы групп Ли и алгебр Ли

Изоморфные группы Ли обязательно имеют изоморфные алгебры Ли; тогда разумно задаться вопросом, как классы изоморфизма групп Ли соотносятся с классами изоморфизма алгебр Ли.

Первым результатом в этом направлении является третья теорема Ли , которая утверждает, что каждая конечномерная действительная алгебра Ли является алгеброй Ли некоторой (линейной) группы Ли. Один из способов доказательства третьей теоремы Ли — использовать теорему Адо , которая утверждает, что каждая конечномерная действительная алгебра Ли изоморфна матричной алгебре Ли. Между тем, для каждой конечномерной матричной алгебры Ли существует линейная группа (матричная группа Ли) с этой алгеброй в качестве своей алгебры Ли. ^[20]

С другой стороны, группы Ли с изоморфными алгебрами Ли не обязательно должны быть изоморфными. Более того, этот результат остается верным, даже если мы предполагаем, что группы связаны. Иными словами, глобальная структура группы Ли не определяется ее алгеброй Ли; например, если Z — любая дискретная подгруппа центра G, то G и G / Z имеют одну и ту же алгебру Ли (см. таблицу групп Ли для примеров). Важным примером в физике являются группы SU(2) и SO(3) . Эти две группы имеют изоморфные алгебры Ли, ^[21] но сами группы не изоморфны, потому что SU(2) односвязна, а SO(3) — нет. ^[22]

С другой стороны, если мы требуем, чтобы группа Ли была односвязной , то глобальная структура определяется ее алгеброй Ли: две односвязные группы Ли с изоморфными алгебрами Ли изоморфны. ^[23] (Дополнительную информацию об односвязных группах Ли см. в следующем подразделе.) В свете третьей теоремы Ли мы можем поэтому сказать, что существует взаимно-однозначное соответствие между классами изоморфизма конечномерных вещественных алгебр Ли и классами изоморфизма односвязных групп Ли.

Односвязные группы Ли

Группа Ли называется односвязной, если каждая петля в может быть непрерывно сжата до точки в . Это понятие важно из-за следующего результата, который имеет односвязность в качестве гипотезы: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Теорема : ^[24] Предположим, что и — группы Ли с алгебрами Ли и , что является гомоморфизмом алгебр Ли. Если односвязно, то существует единственный гомоморфизм групп Ли такой, что , где — дифференциал в единице. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle f:{\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \phi :G\rightarrow H}$ ${\displaystyle \phi _{*}=f}$ ${\displaystyle \phi _{*}}$ ${\displaystyle \phi }$

Третья теорема Ли гласит, что каждая конечномерная вещественная алгебра Ли является алгеброй Ли группы Ли. Из третьей теоремы Ли и предыдущего результата следует, что каждая конечномерная вещественная алгебра Ли является алгеброй Ли единственной односвязной группы Ли.

Примером односвязной группы является специальная унитарная группа SU(2) , которая как многообразие является 3-сферой. Группа вращений SO(3) , с другой стороны, не является односвязной. (См. Топология SO(3) .) Неспособность SO(3) быть односвязной тесно связана с различием между целым спином и полуцелым спином в квантовой механике. Другие примеры односвязных групп Ли включают специальную унитарную группу SU(n) , группу спинов (двойное покрытие группы вращений) Spin(n) для и компактную симплектическую группу Sp(n) . ^[25] ${\displaystyle n\geq 3}$

Методы определения того, является ли группа Ли односвязной или нет, обсуждаются в статье о фундаментальных группах групп Ли .

Экспоненциальная карта

Экспоненциальное отображение из алгебры Ли полной линейной группы в определяется матричной экспонентой , заданной обычным степенным рядом: ${\displaystyle \mathrm {M} (n;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (n;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (n;\mathbb {C} )}$

${\displaystyle \exp(X)=1+X+{\frac {X^{2}}{2!}}+{\frac {X^{3}}{3!}}+\cdots }$

для матриц . Если — замкнутая подгруппа , то экспоненциальное отображение переводит алгебру Ли в ; таким образом, мы имеем экспоненциальное отображение для всех матричных групп. Каждый элемент , который достаточно близок к тождеству, является экспонентой матрицы в алгебре Ли. ^[26] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (n;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Определение выше просто в использовании, но оно не определено для групп Ли, которые не являются матричными группами, и не ясно, что экспоненциальное отображение группы Ли не зависит от ее представления в виде матричной группы. Мы можем решить обе проблемы, используя более абстрактное определение экспоненциального отображения, которое работает для всех групп Ли, следующим образом.

Для каждого вектора в алгебре Ли ( т.е. касательном пространстве к в единице) доказывается, что существует единственная однопараметрическая подгруппа такая, что . Сказать, что является однопараметрической подгруппой, означает просто, что является гладким отображением в и что ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle c:\mathbb {R} \rightarrow G}$ ${\displaystyle c'(0)=X}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle c(s+t)=c(s)c(t)\ }$

для всех и . Операция в правой части — групповое умножение в . Формальное сходство этой формулы с той, которая верна для показательной функции, оправдывает определение ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \exp(X)=c(1).\ }$

Это называется экспоненциальным отображением , и оно отображает алгебру Ли в группу Ли . Оно обеспечивает диффеоморфизм между окрестностью 0 в и окрестностью в . Это экспоненциальное отображение является обобщением экспоненциальной функции для действительных чисел (потому что является алгеброй Ли группы Ли положительных действительных чисел с умножением), для комплексных чисел (потому что является алгеброй Ли группы Ли ненулевых комплексных чисел с умножением) и для матриц (потому что с регулярным коммутатором является алгеброй Ли группы Ли всех обратимых матриц). ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle M(n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$

Поскольку экспоненциальное отображение сюръективно на некоторой окрестности , принято называть элементы алгебры Ли инфинитезимальными генераторами группы . Подгруппа , порожденная , является единичной компонентой . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$

Экспоненциальное отображение и алгебра Ли определяют локальную групповую структуру каждой связной группы Ли благодаря формуле Бейкера–Кэмпбелла–Хаусдорфа : существует окрестность нулевого элемента , такая, что для мы имеем ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle X,Y\in U}$

${\displaystyle \exp(X)\,\exp(Y)=\exp \left(X+Y+{\tfrac {1}{2}}[X,Y]+{\tfrac {1}{12}}[\,[X,Y],Y]-{\tfrac {1}{12}}[\,[X,Y],X]-\cdots \right),}$

где пропущенные члены известны и включают скобки Ли из четырех или более элементов. В случае и коммутируют, эта формула сводится к известному экспоненциальному закону ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \exp(X)\exp(Y)=\exp(X+Y)}$

Экспоненциальное отображение связывает гомоморфизмы групп Ли. То есть, если — гомоморфизм групп Ли и индуцированное отображение на соответствующих алгебрах Ли, то для всех имеем ${\displaystyle \phi :G\to H}$ ${\displaystyle \phi _{*}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \phi (\exp(x))=\exp(\phi _{*}(x)).\,}$

Другими словами, следующая диаграмма коммутирует , ^[27]

(Короче говоря, exp — это естественное преобразование из функтора Ли в тождественный функтор в категории групп Ли.)

Экспоненциальное отображение из алгебры Ли в группу Ли не всегда отображается на , даже если группа связна (хотя оно отображается на группу Ли для связных групп, которые являются либо компактными, либо нильпотентными). Например, экспоненциальное отображение SL(2, R ) не является сюръективным. Кроме того, экспоненциальное отображение не является ни сюръективным, ни инъективным для бесконечномерных (см. ниже) групп Ли, смоделированных на пространстве Фреше C ∞ , даже из произвольной малой окрестности 0 в соответствующую окрестность 1.

Подгруппа Ли

Подгруппа Ли группы Ли — это группа Ли, которая является подмножеством и такая, что отображение включения из в является инъективным погружением и гомоморфизмом групп . Согласно теореме Картана , замкнутая подгруппа из допускает единственную гладкую структуру, которая делает ее вложенной подгруппой Ли —т. е. подгруппой Ли такой, что отображение включения является гладким вложением. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Примеров незамкнутых подгрупп много; например, пусть будет тором размерности 2 или больше, и пусть будет однопараметрической подгруппой иррационального наклона , т.е. такой, которая обвивается вокруг в G . Тогда существует гомоморфизм групп Ли с . Замыкание будет подтором в . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \varphi :\mathbb {R} \to G}$ ${\displaystyle \mathrm {im} (\varphi )=H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$

Экспоненциальное отображение дает взаимно-однозначное соответствие между связными подгруппами Ли связной группы Ли и подалгебрами алгебры Ли . ^[28] Обычно подгруппа, соответствующая подалгебре, не является замкнутой подгруппой. Не существует критерия, основанного исключительно на структуре , который определяет, какие подалгебры соответствуют замкнутым подгруппам. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Представления

Одним из важных аспектов изучения групп Ли являются их представления, то есть способ, которым они могут действовать (линейно) на векторные пространства. В физике группы Ли часто кодируют симметрии физической системы. Способ, которым используют эту симметрию для анализа системы, часто осуществляется через теорию представлений. Рассмотрим, например, не зависящее от времени уравнение Шредингера в квантовой механике, . Предположим, что рассматриваемая система имеет группу вращений SO(3) в качестве симметрии, что означает, что оператор Гамильтона коммутирует с действием SO(3) на волновую функцию . (Одним из важных примеров такой системы является атом водорода , который имеет одну сферическую орбиталь.) Это предположение не обязательно означает, что решения являются функциями, инвариантными относительно вращений. Скорее, это означает, что пространство решений инвариантно относительно вращений (для каждого фиксированного значения ). Таким образом, это пространство составляет представление SO(3). Эти представления были классифицированы , и классификация приводит к существенному упрощению проблемы , по сути преобразуя трехмерное уравнение в частных производных в одномерное обыкновенное дифференциальное уравнение. ${\displaystyle {\hat {H}}\psi =E\psi }$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\hat {H}}\psi =E\psi }$ ${\displaystyle E}$

Случай связной компактной группы Ли K (включая только что упомянутый случай SO(3)) особенно поддается изучению. ^[29] В этом случае каждое конечномерное представление K разлагается в прямую сумму неприводимых представлений. Неприводимые представления, в свою очередь, были классифицированы Германом Вейлем . Классификация проводится в терминах «наибольшего веса» представления. Классификация тесно связана с классификацией представлений полупростой алгебры Ли .

Можно также изучать (в общем случае бесконечномерные) унитарные представления произвольной группы Ли (не обязательно компактной). Например, можно дать сравнительно простое явное описание представлений группы SL(2,R) и представлений группы Пуанкаре .

Классификация

Группы Ли можно рассматривать как плавно меняющиеся семейства симметрий. Примерами симметрий являются вращения вокруг оси. Необходимо понимать природу «малых» преобразований, например, вращений на крошечные углы, которые связывают близкие преобразования. Математический объект, охватывающий эту структуру, называется алгеброй Ли ( сам Ли называл их «бесконечно малыми группами»). Его можно определить, поскольку группы Ли являются гладкими многообразиями, поэтому имеют касательные пространства в каждой точке.

Алгебра Ли любой компактной группы Ли (очень грубо: та, для которой симметрии образуют ограниченное множество) может быть разложена в прямую сумму абелевой алгебры Ли и некоторого числа простых . Структура абелевой алгебры Ли математически неинтересна (так как скобка Ли тождественно равна нулю); интерес представляют простые слагаемые. Отсюда возникает вопрос: каковы простые алгебры Ли компактных групп? Оказывается, что они в основном попадают в четыре бесконечных семейства, «классические алгебры Ли» A _n , B _n , C _n и D _n , которые имеют простые описания в терминах симметрий евклидова пространства. Но есть также всего пять «исключительных алгебр Ли», которые не попадают ни в одно из этих семейств. E ₈ — самое большое из них.

Группы Ли классифицируются в соответствии с их алгебраическими свойствами ( простые , полупростые , разрешимые , нильпотентные , абелевы ), их связностью ( связные или односвязные ) и их компактностью .

Первым ключевым результатом является разложение Леви , которое гласит, что каждая односвязная группа Ли является полупрямым произведением разрешимой нормальной подгруппы и полупростой подгруппы.

• Все связные компактные группы Ли известны: они представляют собой конечные центральные факторы произведения копий группы окружности ^S1 и простых компактных групп Ли (которые соответствуют связным диаграммам Дынкина ).
• Любая односвязная разрешимая группа Ли изоморфна замкнутой подгруппе группы обратимых верхних треугольных матриц некоторого ранга, и любое конечномерное неприводимое представление такой группы является одномерным. Разрешимые группы слишком запутанны для классификации, за исключением нескольких малых измерений.
• Любая односвязная нильпотентная группа Ли изоморфна замкнутой подгруппе группы обратимых верхних треугольных матриц с единицами на диагонали некоторого ранга, и любое конечномерное неприводимое представление такой группы является одномерным. Как и разрешимые группы, нильпотентные группы слишком запутанны для классификации, за исключением нескольких малых измерений.
• Простые группы Ли иногда определяются как те, которые являются простыми как абстрактные группы, а иногда определяются как связанные группы Ли с простой алгеброй Ли. Например, SL(2, R ) является простой согласно второму определению, но не согласно первому. Все они были классифицированы (для любого определения).
• Полупростые группы Ли — это группы Ли, алгебра Ли которых является произведением простых алгебр Ли. ^[30] Они являются центральными расширениями произведений простых групп Ли.

Компонента единицы любой группы Ли является открытой нормальной подгруппой , а фактор-группа является дискретной группой . Универсальное покрытие любой связной группы Ли является односвязной группой Ли, и наоборот, любая связная группа Ли является фактором односвязной группы Ли по дискретной нормальной подгруппе центра. Любая группа Ли G может быть разложена на дискретные, простые и абелевы группы каноническим образом следующим образом. Запишите

G _con для связанного компонента идентичности

G _sol для наибольшей связной нормальной разрешимой подгруппы

G _nil для наибольшей связной нормальной нильпотентной подгруппы

так что у нас есть последовательность нормальных подгрупп

1 ⊆ G _nil ⊆ G _sol ⊆ G _con ⊆ G .

Затем

G / G _con является дискретным

G _con / G _sol является центральным расширением произведения простых связных групп Ли .

G _sol / G _nil абелева. Связная абелева группа Ли изоморфна произведению копий R и группы окружности S ¹ .

G _nil /1 нильпотентен, и поэтому его восходящий центральный ряд имеет все факторы абелевы.

Это можно использовать для сведения некоторых задач, касающихся групп Ли (например, нахождения их унитарных представлений), к тем же задачам для связных простых групп и нильпотентных и разрешимых подгрупп меньшей размерности.

• Группа диффеоморфизмов группы Ли действует транзитивно на группе Ли
• Каждая группа Ли параллелизуема и, следовательно, является ориентируемым многообразием (существует изоморфизм расслоений между ее касательным расслоением и произведением ее самой с касательным пространством в единице)

Бесконечномерные группы Ли

Группы Ли часто определяются как конечномерные, но есть много групп, которые напоминают группы Ли, за исключением того, что они бесконечномерны. Самый простой способ определить бесконечномерные группы Ли — это смоделировать их локально на банаховых пространствах (в отличие от евклидова пространства в конечномерном случае), и в этом случае большая часть базовой теории похожа на теорию конечномерных групп Ли. Однако этого недостаточно для многих приложений, поскольку многие естественные примеры бесконечномерных групп Ли не являются банаховыми многообразиями . Вместо этого нужно определить группы Ли, смоделированные на более общих локально выпуклых топологических векторных пространствах. В этом случае связь между алгеброй Ли и группой Ли становится довольно тонкой, и несколько результатов о конечномерных группах Ли больше не имеют места.

В литературе нет единого мнения относительно того, какие именно свойства бесконечномерных групп квалифицируют группу для префикса Ли в группе Ли . Что касается алгебры Ли, то здесь все проще, поскольку критерии квалификации для префикса Ли в алгебре Ли являются чисто алгебраическими. Например, бесконечномерная алгебра Ли может иметь или не иметь соответствующую группу Ли. То есть, может быть группа, соответствующая алгебре Ли, но она может быть недостаточно хороша, чтобы называться группой Ли, или связь между группой и алгеброй Ли может быть недостаточно хороша (например, неспособность экспоненциального отображения быть в окрестности единицы). Это «достаточно хорошо» не определено универсально.

Вот некоторые из изученных примеров:

• Группа диффеоморфизмов многообразия. Довольно много известно о группе диффеоморфизмов окружности. Её алгебра Ли — это (более или менее) алгебра Витта , центральное расширение которой — алгебра Вирасоро (см. алгебра Вирасоро из алгебры Витта для вывода этого факта) — это алгебра симметрии двумерной конформной теории поля . Группы диффеоморфизмов компактных многообразий большей размерности — это регулярные группы Ли Фреше ; об их структуре известно очень мало.
• Группа диффеоморфизмов пространства-времени иногда появляется при попытках квантовать гравитацию.
• Группа гладких отображений из многообразия в конечномерную группу Ли является примером калибровочной группы (с операцией поточечного умножения ) и используется в квантовой теории поля и теории Дональдсона . Если многообразие является окружностью, то они называются группами петель и имеют центральные расширения, алгебры Ли которых являются (более или менее) алгебрами Каца–Муди .
• Существуют бесконечномерные аналоги общих линейных групп, ортогональных групп и т. д. ^[31] Одним из важных аспектов является то, что они могут иметь более простые топологические свойства: см., например, теорему Кейпера . В М-теории , например, 10-мерная калибровочная теория SU( N ) становится 11-мерной теорией, когда N становится бесконечным.

Смотрите также

• Присоединенное представление группы Ли
• мера Хаара
• Однородное пространство
• Список тем группы Ли
• Представления групп Ли
• Симметрия в квантовой механике
• Точечная симметрия Ли , о применении групп Ли к изучению дифференциальных уравнений.

Примечания

Пояснительные записки

1. Это утверждение, что группа Ли является формальной группой Ли . О последней концепции см. Брюа. ^[15]
2. Холл утверждает только гладкость, но тот же аргумент показывает аналитичность. ^{[ необходима цитата ]}

Цитаты

1. "Что такое группа Ли?". aimath.org . Получено 1 марта 2024 г.
2. Hawkins 2000, стр. 1.
3. Хокинс 2000, стр. 2.
4. Хокинс 2000, стр. 76.
5. Трессе, Артур (1893). «Sur les invariants différentiels des groups continus de Transformations». Акта Математика . 18 :1–88. дои : 10.1007/bf02418270 .
6. Хокинс 2000, стр. 43.
7. Хокинс 2000, стр. 100.
8. Борель 2001.
9. Россманн 2001, Глава 2.
10. Холл 2015 Следствие 3.45
11. Hall 2015.
12. Россманн 2001
13. Стиллвелл 2008
14. Кобаяши и Осима 2005, Определение 5.3.
15. Брюа, Ф. (1958). "Лекции по группам Ли и представлениям локально компактных групп" (PDF) . Институт фундаментальных исследований Тата, Бомбей.
16. Хельгасон 1978, гл. II, § 2, предложение 2.7.
17. Холл 2015 Теорема 3.20
18. Но см. Hall 2015, Предложение 3.30 и Упражнение 8 в Главе 3.
19. Холл 2015 Следствие 3.50.
20. Холл 2015 Теорема 5.20
21. Холл 2015 Пример 3.27
22. Холл 2015 Раздел 1.3.4
23. Холл 2015 Следствие 5.7
24. Холл 2015 Теорема 5.6
25. Холл 2015 Раздел 13.2
26. Холл 2015 Теорема 3.42
27. "Введение в группы и алгебры Ли: определения, примеры и задачи" (PDF) . Государственный университет Нью-Йорка в Стоуни-Брук. 2006. Архивировано из оригинала (PDF) 28 сентября 2011 года . Получено 11 октября 2014 года .
28. Холл 2015 Теорема 5.20
29. Холл 2015 Часть III
30. Хельгасон 1978, стр. 131.
31. Бойерле, де Керф и тен Круде, 1997 ^{[ нужна страница ]}

Ссылки

• Адамс, Джон Франк (1969), Лекции по группам Ли , Чикагские лекции по математике, Чикаго: Издательство Чикагского университета, ISBN 978-0-226-00527-0, МР  0252560.
• Бауэрле, GGA; де Керф, Э.А.; тен Кроуд, APE (1997). А. ван Грозен; Э.М. де Ягер (ред.). Конечно- и бесконечномерные алгебры Ли и их применение в физике . Исследования по математической физике. Том. 7. Северная Голландия. ISBN 978-0-444-82836-1– через ScienceDirect .
• Борель, Арманд (2001), Очерки истории групп Ли и алгебраических групп, История математики, т. 21, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-0288-5, г-н  1847105
• Бурбаки, Николя , Элементы математики: группы Ли и алгебры Ли. Главы 1–3 ISBN 3-540-64242-0 , Главы 4–6 ISBN 3-540-42650-7 , Главы 7–9 ISBN 3-540-43405-4   
• Шевалле, Клод (1946), Теория групп Ли , Принстон: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-04990-8.
• Кон, Пол Мориц (1957). Группы Ли . Кембриджские трактаты по математической физике. Издательство Кембриджского университета. OCLC  529830.
• Кулидж, Джулиан Лоуэлл (2003). История геометрических методов . Dover Publications . стр. 304–317. ISBN 978-0-486-49524-8.
• Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Graduate Texts in Mathematics , Readings in Mathematics. Том 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR  1153249. OCLC  246650103.
• Гилмор, Роберт (2008). Группы Ли, физика и геометрия: введение для физиков, инженеров и химиков . Cambridge University Press . doi :10.1017/CBO9780511791390. ISBN 978-0-521-88400-6.
• Холл, Брайан С. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Graduate Texts in Mathematics, т. 222 (2-е изд.), Springer, doi : 10.1007/978-3-319-13467-3, ISBN 978-3319134666.
• Харви, Ф. Риз (1990). Спиноры и калибровки . Academic Press . ISBN 0-12-329650-1.
• Хокинс, Томас (2000), Возникновение теории групп Ли, Источники и исследования по истории математики и физических наук, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-1202-7 , ISBN 978-0-387-98963-1, г-н  1771134Обзор Бореля
• Хельгасон, Сигурдур (1978). Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметричные пространства . Нью-Йорк: Academic Press. стр. 131. ISBN 978-0-12-338460-7.
• Кнапп, Энтони В. (2002), Группы Ли за пределами введения , Progress in Mathematics, т. 140 (2-е изд.), Бостон: Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-4259-4.
• Кобаяси, Тосиюки ; Осима, Тосио. (2005), Группы Ли и теория представлений (на японском языке), Iwanami, ISBN 4-00-006142-9.
• Ли, Софус (1876), «Теория групп преобразований (I, II)», Архив Mathematik og Naturvidenskab , 1 : 19–57, 152–193.
• Ниенхейс, Альберт (1959). «Обзор: Группы Ли, П. М. Кона». Бюллетень Американского математического общества . 65 (6): 338–341. doi : 10.1090/s0002-9904-1959-10358-x .
• Россманн, Вульф (2001), Группы Ли: Введение через линейные группы , Oxford Graduate Texts in Mathematics, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-859683-7. В переиздании 2003 года исправлено несколько типографских ошибок.
• Sattinger, David H.; Weaver, OL (1986). Группы и алгебры Ли с приложениями к физике, геометрии и механике . Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4757-1910-9. ISBN 978-3-540-96240-3. МР  0835009.
• Серр, Жан-Пьер (1965), Алгебры Ли и группы Ли: Лекции, прочитанные в Гарвардском университете в 1964 году , Конспект лекций по математике, т. 1500, Springer, ISBN 978-3-540-55008-2.
• Штиб, Вилли-Ханс (2007), Непрерывные симметрии, алгебры Ли, дифференциальные уравнения и компьютерная алгебра: второе издание , World Scientific Publishing, doi : 10.1142/6515, ISBN 978-981-270-809-0, г-н  2382250.
• Стиллвелл, Джон (2008). Наивная теория лжи . Бакалаврские тексты по математике. Springer. doi :10.1007/978-0-387-78214-0. ISBN 978-0387782140.
• Уорнер, Фрэнк В. (1983), Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли , Graduate Texts in Mathematics, т. 94, Нью-Йорк Берлин Гейдельберг: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-1-4757-1799-0, ISBN 978-0-387-90894-6, МР  0722297
• Циллер, Вольфганг (2010). «Группы Ли. Теория представлений и симметричные пространства» (PDF) . Университет Пенсильвании.

Внешние ссылки

• Медиа, связанные с Lie groups на Wikimedia Commons
• Журнал Теории Лжи