Редуктивная группа

Концепция в математике

В математике редуктивная группа — это тип линейной алгебраической группы над полем . Одно из определений состоит в том, что связная линейная алгебраическая группа G над совершенным полем является редуктивной, если она имеет представление , имеющее конечное ядро ​​и являющееся прямой суммой неприводимых представлений . Редуктивные группы включают некоторые из наиболее важных групп в математике, такие как общая линейная группа GL ( n ) обратимых матриц , специальная ортогональная группа SO ( n ) и симплектическая группа Sp (2 n ). Простые алгебраические группы и (в более общем плане) полупростые алгебраические группы редуктивны.

Клод Шевалле показал, что классификация редуктивных групп одинакова над любым алгебраически замкнутым полем . В частности, простые алгебраические группы классифицируются диаграммами Дынкина , как в теории компактных групп Ли или комплексных полупростых алгебр Ли . Редуктивные группы над произвольным полем сложнее классифицировать, но для многих полей, таких как действительные числа R или числовое поле , классификация хорошо понятна. Классификация конечных простых групп гласит, что большинство конечных простых групп возникают как группа G ( k ) k - рациональных точек простой алгебраической группы G над конечным полем k или как второстепенные варианты этой конструкции.

Редуктивные группы имеют богатую теорию представлений в различных контекстах. Во-первых, можно изучить представления редуктивной группы G над полем k как алгебраической группы, которые являются действиями G на k -векторных пространствах. Но также можно изучать комплексные представления группы G ( k ), когда k — конечное поле, или бесконечномерные унитарные представления вещественной редуктивной группы, или автоморфные представления адельной алгебраической группы . Во всех этих областях используется структурная теория редуктивных групп.

Определения

Линейная алгебраическая группа над полем k определяется как гладкая замкнутая схема подгрупп группы GL ( n ) над k для некоторого положительного целого числа n . Эквивалентно, линейная алгебраическая группа над k является гладкой аффинной групповой схемой над k .

С унипотентным радикалом

Связная линейная алгебраическая группа над алгебраически замкнутым полем называется полупростой, если каждая гладкая связная разрешимая нормальная подгруппа в ней тривиальна. В более общем смысле, связная линейная алгебраическая группа над алгебраически замкнутым полем называется редуктивной, если наибольшая гладкая связная унипотентная нормальная подгруппа тривиальна. ^[1] Эта нормальная подгруппа называется унипотентным радикалом и обозначается . (Некоторые авторы не требуют связности редуктивных групп.) Группа над произвольным полем k называется полупростой или редуктивной, если замена базы полупроста или редуктивна, где — алгебраическое замыкание поля k . (Это эквивалентно определению редуктивных групп во введении, когда k совершенно. ^[2] ) Любой тор над k , такой как мультипликативная группа Gm _, редуктивен. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle R_{u}(G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G_{\overline {k}}}$ ${\displaystyle {\overline {k}}}$

С теорией представлений

Над полями нулевой характеристики другое эквивалентное определение редуктивной группы — это связная группа, допускающая точное полупростое представление, которое остается полупростым над своим алгебраическим замыканием ^{[3], стр. 424} . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle k^{al}}$

Простые редуктивные группы

Линейная алгебраическая группа G над полем k называется простой (или k - простой ) , если она полупроста, нетривиальна и каждая гладкая связная нормальная подгруппа группы G над k тривиальна или равна G. ^[4] (Некоторые авторы называют это свойство «почти простым».) Это немного отличается от терминологии для абстрактных групп тем, что простая алгебраическая группа может иметь нетривиальный центр (хотя центр должен быть конечным). Например, для любого целого числа n не менее 2 и любого поля k группа SL ( n ) над k является простой, а ее центром является групповая схема µ _n корней n-й степени из единицы.

Центральная изогения редуктивных групп — это сюръективный гомоморфизм с ядром — конечной схемой центральных подгрупп . Каждая редуктивная группа над полем допускает центральную изогению из произведения тора и некоторых простых групп. Например, над любым полем k

${\displaystyle GL(n)\cong (G_{m}\times SL(n))/\mu _{n}.}$

Немного неудобно, что определение редуктивной группы над полем предполагает переход к алгебраическому замыканию. Для совершенного поля k этого можно избежать: линейная алгебраическая группа G над k редуктивна тогда и только тогда, когда каждая гладкая связная унипотентная нормальная k -подгруппа группы G тривиальна. Для произвольного поля последнее свойство определяет псевдоредуктивную группу , которая имеет несколько более общий характер.

Сплит-редуктивные группы

Редуктивная группа G над полем k называется расщепляемой , если она содержит расщепляемый максимальный тор T над k (т. е. расщепляемый тор в G , замена базы на которого является максимальным тором в ). Это эквивалентно тому, что T — расщепляемый тор в G , максимальный среди всех k -торов в G . ^[5] Группы такого типа полезны, поскольку их классификацию можно описать с помощью комбинаторных данных, называемых корневыми данными. ${\displaystyle {\overline {k}}}$ ${\displaystyle G_{\overline {k}}}$

Примеры

GL n и SL n

Фундаментальным примером редуктивной группы является общая линейная группа обратимых матриц размера n × n над полем k для натурального числа n . В частности, мультипликативная группа Gm — это группа GL (1), поэтому ее группа _Gm ( k ) k - рациональных точек есть группа k * ненулевых элементов из _k при умножении. Другая редуктивная группа — это специальная линейная группа SL ( n ) над полем k , подгруппа матриц с определителем 1. Фактически, SL ( n ) — простая алгебраическая группа для n не менее 2. ${\displaystyle {\text{GL}}_{n}}$

O( n ), SO( n ) и Sp( n )

Важная простая группа — это симплектическая группа Sp (2 n ) над полем k , подгруппа группы GL (2 n ), которая сохраняет невырожденную знакопеременную билинейную форму на векторном пространстве k ^{2 n} . Аналогично, ортогональная группа O ( q ) является подгруппой общей линейной группы, которая сохраняет невырожденную квадратичную форму q в векторном пространстве над полем k . Алгебраическая группа O ( q ) имеет две связные компоненты , а ее единичная компонента SO ( q ) редуктивна, фактически проста для q размерности n не менее 3. (Для k характеристики 2 и n нечетного групповая схема O ( q ) фактически связна, но не гладкая над k . Простую группу SO ( q ) всегда можно определить как максимальную гладкую связную подгруппу группы O ( q ) над k .) Когда k алгебраически замкнуто, любые два (невырожденных) квадратичных формы одной и той же размерности изоморфны, поэтому эту группу разумно назвать SO ( n ). Для общего поля k различные квадратичные формы размерности n могут давать неизоморфные простые группы SO ( q ) над k , хотя все они имеют одинаковую замену базы на алгебраическое замыкание . ${\displaystyle {\overline {k}}}$

Тори

Группа и ее произведения называются алгебраическими торами . Они являются примерами редуктивных групп, поскольку встраиваются по диагонали, и, исходя из этого представления, их унипотентный радикал тривиален. Например, встраивает с карты ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle {\text{GL}}_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}\times \mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle {\text{GL}}_{2}}$

${\displaystyle (a_{1},a_{2})\mapsto {\begin{bmatrix}a_{1}&0\\0&a_{2}\end{bmatrix}}.}$

Непримеры

• Любая унипотентная группа не является редуктивной, поскольку ее унипотентным радикалом является она сама. Сюда входит аддитивная группа . ${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$
• Группа Бореля имеет нетривиальный унипотентный радикал верхнетреугольных матриц с на диагонали. Это пример нередуктивной группы, которая не является унипотентной. ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle {\text{GL}}_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {U} _{n}}$ ${\displaystyle 1}$

Ассоциированная редукционная группа

Заметим, что из нормальности унипотентного радикала следует, что факторгруппа редуктивна. Например, ${\displaystyle R_{u}(G)}$ ${\displaystyle G/R_{u}(G)}$

${\displaystyle B_{n}/(R_{u}(B_{n}))\cong \prod _{i=1}^{n}\mathbb {G} _{m}.}$

Другие характеристики редуктивных групп

Каждая компактная связная группа Ли имеет комплексификацию , которая представляет собой комплексную редуктивную алгебраическую группу. Фактически эта конструкция дает взаимно однозначное соответствие между компактными связными группами Ли и комплексными редуктивными группами с точностью до изоморфизма. Для компактной группы Ли K с комплексификацией G включение группы K в комплексную редуктивную группу G ( C ) является гомотопической эквивалентностью относительно классической топологии на G ( C ). Например, включение унитарной группы U ( n ) в GL ( n , C ) является гомотопической эквивалентностью.

Для редуктивной группы G над полем нулевой характеристики все конечномерные представления G (как алгебраической группы) вполне приводимы , т. е. являются прямыми суммами неприводимых представлений. ^[6] Отсюда и произошло название «редуктивный». Заметим, однако, что полная сводимость невозможна для редуктивных групп положительной характеристики (кроме торов). Более подробно: аффинная групповая схема G конечного типа над полем k называется линейно редуктивной, если ее конечномерные представления вполне приводимы. Для k нулевой характеристики G линейно редуктивна тогда и только тогда, когда единичная компонента G ^o редуктивна . ^[7] Однако для k характеристики p > 0 Масаеши Нагата показал, что G линейно редуктивна тогда и только тогда, когда G ^o имеет мультипликативный тип и G / G ^o имеет порядок, простой с p . ^[8]

Корнеплоды

Классификация редуктивных алгебраических групп осуществляется в терминах ассоциированной системы корней , как в теориях комплексных полупростых алгебр Ли или компактных групп Ли. Вот как появляются корни редуктивных групп.

Пусть G — расщепимая редуктивная группа над полем k и T — расщепимый максимальный тор в G ; поэтому T изоморфно ( Gm ₎ n ^для некоторого n , где n называется рангом G. Каждое представление T (как алгебраической группы) является прямой суммой одномерных представлений. ^[9] Вес для G означает класс изоморфизма одномерных представлений T или, что то же самое , гомоморфизм T → G _m . Веса образуют группу X ( T ) при тензорном произведении представлений, причем X ( T ) изоморфна произведению n копий целых чисел Z ⁿ .

Сопряженное представление — это действие группы G сопряжением на ее алгебре Ли . Корень G означает ненулевой вес , который возникает при действии T ⊂ G на . Подпространство соответствующего каждому корню одномерно, а подпространство фиксированного T является в точности алгеброй Ли T . ^[10] Следовательно, алгебра Ли группы G распадается на одномерные подпространства, индексированные множеством корней Φ: ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {t}}\oplus \bigoplus _{\alpha \in \Phi }{\mathfrak {g}}_{\alpha }.}$

Например, когда G — группа GL ( n ), ее алгебра Ли — это векторное пространство всех матриц размера n × n над k . Пусть T — подгруппа диагональных матриц в G. Тогда разложение корневого пространства выражается как прямая сумма диагональных матриц и одномерных подпространств, индексированных недиагональными позициями ( i , j ). Обозначая L ₁ ,..., L _n стандартным базисом решетки весов X ( T ) ≅ Z ⁿ , корнями являются элементы L _i − L _j для всех i ≠ j от 1 до n . ${\displaystyle {{\mathfrak {g}}l}(n)}$ ${\displaystyle {{\mathfrak {g}}l}(n)}$

Корни полупростой группы образуют систему корней ; это комбинаторная структура, которую можно полностью классифицировать. В более общем смысле корни редуктивной группы образуют корневую датум , небольшую вариацию. ^[11] Группа Вейля редуктивной группы G означает факторгруппу нормализатора максимального тора по тору W = NG ( _T ) / T . Группа Вейля на самом деле является конечной группой, порожденной отражениями. Например, для группы GL ( n ) (или _SL ( n ) ), группа Вейля является симметрической группой Sn .

Существует конечное число борелевских подгрупп , содержащих данный максимальный тор, и они просто транзитивно переставляются группой Вейля (действующей сопряжением ). ^[12] Выбор подгруппы Бореля определяет набор положительных корней Φ ⁺ ⊂ Φ, обладающих тем свойством, что Φ является дизъюнктным объединением Φ ⁺ и −Φ ⁺ . Явно, алгебра Ли B является прямой суммой алгебры Ли T и положительных корневых пространств:

${\displaystyle {\mathfrak {b}}={\mathfrak {t}}\oplus \bigoplus _{\alpha \in \Phi ^{+}}{\mathfrak {g}}_{\alpha }.}$

Например, если B — борелевская подгруппа верхнетреугольных матриц в GL ( n ), то это очевидное разложение подпространства верхнетреугольных матриц в . Положительные корни — это L _i − L _j для 1 ≤ i < j ≤ n . ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle {{\mathfrak {g}}l}(n)}$

Простой корень означает положительный корень, который не является суммой двух других положительных корней. Обозначим через Δ множество простых корней. Число простых корней r равно рангу коммутанта группы G , называемому полупростым рангом группы G (который является просто рангом группы G , если G полупроста). Например, простые корни для GL ( n ) (или SL ( n )) равны L _i − L _{i +1} для 1 ≤ i ≤ n − 1.

Корневые системы классифицируются соответствующей диаграммой Дынкина , которая представляет собой конечный граф (с некоторыми ребрами направленными или кратными). Множество вершин диаграммы Дынкина представляет собой множество простых корней. Короче говоря, диаграмма Дынкина описывает углы между простыми корнями и их относительными длинами относительно внутреннего продукта , инвариантного группе Вейля , на решетке весов. Связные диаграммы Дынкина (соответствующие простым группам) изображены ниже.

Для расщепляемой редуктивной группы G над полем k важным моментом является то, что корень α определяет не только одномерное подпространство алгебры Ли группы G , но и копию аддитивной группы G _a в G с заданным лием алгебры, называемой корневой подгруппой U _α . Корневая подгруппа — это единственная копия аддитивной группы в G , нормализованная T и имеющая заданную алгебру Ли. ^[10] Вся группа G порождается (как алгебраическая группа) T и корневыми подгруппами, а борелевская подгруппа B порождается T и положительными корневыми подгруппами. Фактически расщепляемая полупростая группа G порождается только корневыми подгруппами.

Параболические подгруппы

Для расщепляемой редуктивной группы G над полем k гладкие связные подгруппы группы G , содержащие данную борелевскую подгруппу B группы G , находятся во взаимно однозначном соответствии с подмножествами множества ∆ простых корней (или, что то же самое, с подмножествами множества вершин диаграммы Дынкина). Пусть r — порядок ∆, полупростой ранг G . Каждая параболическая подгруппа группы G сопряжена подгруппе, содержащей B , некоторым элементом из G ( k ). В результате имеется ровно 2 ^r классов сопряженности параболических подгрупп в G над k . ^[13] Явно параболическая подгруппа, соответствующая данному подмножеству S в Δ, представляет собой группу, порожденную B вместе с корневыми подгруппами U _−α для α в S . Например, параболические подгруппы GL ( n ), которые содержат борелевскую подгруппу B выше, представляют собой группы обратимых матриц с нулевыми элементами ниже заданного набора квадратов по диагонали, например:

${\displaystyle \left\{{\begin{bmatrix}*&*&*&*\\*&*&*&*\\0&0&*&*\\0&0&0&*\end{bmatrix}}\right\}}$

По определению, параболическая подгруппа P редуктивной группы G над полем k — это гладкая k -подгруппа такая, что фактормногообразие G / P является собственным над k или, что то же самое, проективно над k . Таким образом, классификация параболических подгрупп сводится к классификации проективных однородных многообразий группы G (с гладкой группой стабилизаторов; это не является ограничением для k нулевой характеристики). Для GL ( n ) это многообразия флагов , параметризующие последовательности линейных подпространств заданных размерностей a1 ,..., _ai, содержащихся _в фиксированном векторном пространстве V размерности n :

${\displaystyle 0\subset S_{a_{1}}\subset \cdots \subset S_{a_{i}}\subset V.}$

Для ортогональной группы или симплектической группы проективные однородные многообразия имеют такое же описание, как многообразия изотропных флагов относительно данной квадратичной формы или симплектической формы. Для любой редуктивной группы G с борелевской подгруппой B G / B называется многообразием флагов или многообразием флагов группы G.

Классификация расщепленных редуктивных групп

Связные диаграммы Дынкина

В 1958 году Шевалле показал, что редуктивные группы над любым алгебраически замкнутым полем классифицируются с точностью до изоморфизма по корневым данным. ^[14] В частности, полупростые группы над алгебраически замкнутым полем классифицируются с точностью до центральных изогений по их диаграмме Дынкина, а простые группы соответствуют связным диаграммам. Таким образом, существуют простые группы типов _An , _Bn , _Cn , _Dn , _E6 , _E7 , _E8 , _F4 , _G2 . Этот результат по существу идентичен классификации компактных групп Ли или комплексных полупростых алгебр Ли, предложенных Вильгельмом Киллингом и Эли Картаном в 1880-х и 1890-х годах. В частности, размерности, центры и другие свойства простых алгебраических групп можно прочитать из списка простых групп Ли . Примечательно, что классификация редуктивных групп не зависит от характеристики. Для сравнения: простых алгебр Ли в положительной характеристике гораздо больше, чем в нулевой характеристике.

Исключительные группы G типа G ₂ и E ₆ были построены ранее, по крайней мере в виде абстрактной группы G ( k ), Л. Е. Диксоном . Например, группа G ₂ является группой автоморфизмов алгебры октонионов над k . Совершенно новыми , напротив, были группы Шевалле типа F ₄ , E ₇ , E ₈ над полем положительной характеристики.

В более общем смысле классификация расщепленных редуктивных групп одинакова для любой области. ^[15] Полупростая группа G над полем k называется односвязной, если каждая центральная изогения полупростой группы в G является изоморфизмом. (Для G, полупростого над комплексными числами , односвязность в этом смысле эквивалентна односвязности G ( C ) в классической топологии.) Классификация Шевалле показывает, что над любым полем k существует уникальная односвязная расщепляемая полупростая группа. G с заданной диаграммой Дынкина, с простыми группами, соответствующими связным диаграммам. С другой стороны, полупростая группа имеет присоединенный тип , если ее центр тривиален. Расщепляемые полупростые группы над k с заданной диаграммой Дынкина — это в точности группы G / A , где G — односвязная группа, а A — k -подгрупповая схема центра группы G.

Например, односвязные расщепляемые простые группы над полем k , соответствующие «классическим» диаграммам Дынкина, таковы:

• An _: SL ( n +1 ) над k ;
• B _n : спиновая группа Spin(2 n +1), связанная с квадратичной формой размерности 2 n +1 над k с индексом Витта n , например форма

${\displaystyle q(x_{1},\ldots ,x_{2n+1})=x_{1}x_{2}+x_{3}x_{4}+\cdots +x_{2n-1}x_{2n}+x_{2n+1}^{2};}$

• Cn _: симплектическая группа Sp (2n ) над k ;
• D _n : спиновая группа Spin(2 n ), связанная с квадратичной формой размерности 2 n над k с индексом Витта n , которую можно записать как:

${\displaystyle q(x_{1},\ldots ,x_{2n})=x_{1}x_{2}+x_{3}x_{4}+\cdots +x_{2n-1}x_{2n}.}$

Внешняя группа автоморфизмов расщепляемой редуктивной группы G над полем k изоморфна группе автоморфизмов корневых данных G . Более того, группа автоморфизмов G распадается как полупрямое произведение :

${\displaystyle \operatorname {Aut} (G)\cong \operatorname {Out} (G)\ltimes (G/Z)(k),}$

где Z — центр G. ^[16] Для расщепляемой полупростой односвязной группы G над полем внешняя группа автоморфизмов группы G имеет более простое описание: это группа автоморфизмов диаграммы Дынкина группы G .

Редуктивные групповые схемы

Групповая схема G над схемой S называется редуктивной , если морфизм G → S гладкий и аффинный и каждый геометрический слой редуктивен. (Для точки p в S соответствующий геометрический слой означает замену базы G на алгебраическое замыкание поля вычетов p .) Расширяя работу Шевалле, Мишель Демазюр и Гротендик показали, что расщепляемые редуктивные групповые схемы над любой непустой схемой S являются классифицируются по корневым данным. ^[17] Это утверждение включает в себя существование групп Шевалле как групповых схем над Z и говорит, что каждая расщепляемая редуктивная группа над схемой S изоморфна замене базы группы Шевалле с Z на S . ${\displaystyle G_{\overline {k}}}$ ${\displaystyle {\overline {k}}}$

Реальные редуктивные группы

В контексте групп Ли , а не алгебраических групп, вещественная редуктивная группа — это группа Ли G такая, что существует линейная алгебраическая группа L над R , единичный компонент которой (в топологии Зарисского ) редуктивен, и гомоморфизм G → L ( R ), ядро ​​которого конечно, а образ открыт в L ( R ) (в классической топологии). Также стандартно предполагать ^, что образ присоединенного представления Ad( G ) содержится в Int( gC ₎ = Ad( L0 ( C )) (что автоматически для связного G ). ^[18]

В частности, каждая связная полупростая группа Ли (это означает, что ее алгебра Ли полупроста) редуктивна. Кроме того, группа Ли R в этом смысле редуктивна, поскольку ее можно рассматривать как единичную компоненту группы GL (1, R ) ≅ R *. Проблема классификации вещественных редуктивных групп во многом сводится к классификации простых групп Ли. Они классифицируются по диаграмме Сатаке ; или можно просто сослаться на список простых групп Ли (с точностью до конечных покрытий).

Для реальных редуктивных групп в этой общности были разработаны полезные теории допустимых представлений и унитарных представлений. Основные различия между этим определением и определением редуктивной алгебраической группы связаны с тем фактом, что алгебраическая группа G над R может быть связной как алгебраическая группа, в то время как группа Ли G ( R ) несвязна, и то же самое для просто связанные группы.

Например, проективная линейная группа PGL (2) связна как алгебраическая группа над любым полем, но ее группа вещественных точек PGL (2, R ) имеет две компоненты связности. Единичный компонент PGL (2, R ) (иногда называемый PSL (2, R )) представляет собой действительную редуктивную группу, которую нельзя рассматривать как алгебраическую группу. Аналогично, SL (2) просто связна как алгебраическая группа над любым полем, но группа Ли SL (2, R ) имеет фундаментальную группу, изоморфную целым числам Z , и поэтому SL (2, R ) имеет нетривиальные накрытия . По определению, все конечные накрытия SL (2, R ) (такие как метаплектическая группа ) являются вещественными редуктивными группами. С другой стороны, универсальное накрытие SL ( 2, R ) не является вещественной редуктивной группой, хотя ее алгебра Ли редуктивна , т. е. является произведением полупростой алгебры Ли и абелевой алгебры Ли.

Для связной вещественной редуктивной группы G фактормногообразие G / K группы G по максимальной компактной подгруппе K является симметрическим пространством некомпактного типа. Фактически, так возникает всякое симметрическое пространство некомпактного типа. Это центральные примеры римановой геометрии многообразий с неположительной секционной кривизной . Например, SL (2, R )/ SO (2) — гиперболическая плоскость , а SL (2, C )/ SU (2) — гиперболическое 3-пространство.

Для редуктивной группы G над полем k , полным относительно дискретного нормирования (например, p-адических чисел Q _p ), аффинное построение X группы G играет роль симметрического пространства. А именно, X является симплициальным комплексом с действием G ( k ), и G ( k ) сохраняет метрику CAT (0) на X , аналог метрики с неположительной кривизной. Размерность аффинного здания — это k - ранг G. Например, построение SL (2, _Qp ) представляет собой дерево .

Представления редуктивных групп

Для расщепляемой редуктивной группы G над полем k неприводимые представления G (как алгебраической группы) параметризуются доминирующими весами , которые определяются как пересечение решетки весов X ( T ) ≅ Z ⁿ с выпуклым конусом. ( камера Вейля ) в R ⁿ . В частности, эта параметризация не зависит от характеристики k . Более подробно, зафиксируем расщепляемый максимальный тор и борелевскую подгруппу T ⊂ B ⊂ G . Тогда B — полупрямое произведение группы T на гладкую связную унипотентную подгруппу U. Определите вектор с наибольшим весом в представлении V группы G над k как ненулевой вектор v такой, что B отображает линию, натянутую на v , в себя. Тогда B действует на этой прямой через свою факторгруппу T по некоторому элементу λ решетки весов X ( T ). Шевалле показал, что каждое неприводимое представление группы G имеет уникальный вектор старшего веса с точностью до скаляров; соответствующий «наивысший вес» λ является доминирующим; и каждый доминантный вес λ является старшим весом единственного неприводимого представления L (λ) группы G с точностью до изоморфизма. ^[19]

Остается проблема описания неприводимого представления с заданным старшим весом. Для k нулевой характеристики имеются практически полные ответы. Для доминантного веса λ определим модуль Шура ∇(λ) как k -векторное пространство сечений G -эквивариантного линейного расслоения на многообразии флагов G / B , ассоциированном с λ; это представление G. Для k нулевой характеристики теорема Бореля–Вейля утверждает, что неприводимое представление L (λ) изоморфно модулю Шура ∇(λ). Более того, формула характера Вейля определяет характер (и, в частности, размерность) этого представления.

Для расщепляемой редуктивной группы G над полем k положительной характеристики ситуация гораздо более тонкая, поскольку представления G обычно не являются прямыми суммами неприводимых групп. Для доминантного веса λ неприводимое представление L (λ) является единственным простым подмодулем ( цоколем ) модуля Шура ∇(λ), но оно не обязательно должно быть равно модулю Шура. Размерность и характер модуля Шура задаются формулой характера Вейля (как и в нулевой характеристике) Джорджа Кемпфа . ^[20] Размерности и характеры неприводимых представлений L (λ) вообще неизвестны, хотя для анализа этих представлений была разработана большая часть теории. Одним из важных результатов является то, что размерность и характер L (λ) известны, когда характеристика p поля k намного больше, чем число Кокстера G , это сделали Хеннинг Андерсен , Йенс Янцен и Вольфганг Зёргель (доказывая гипотезу Люстига о том, что случай). Их формула характера для p big основана на полиномах Каждана-Люстига , которые являются комбинаторно сложными. ^[21] Для любого простого числа p Саймон Рич и Джорди Уильямсон выдвинули гипотезу о неприводимых характерах редуктивной группы в терминах p -полиномов Каждана-Люстига, которые еще более сложны, но, по крайней мере, вычислимы. ^[22]

Нерасщепляемые редуктивные группы

Как обсуждалось выше, классификация расщепленных редуктивных групп одинакова для любого поля. Напротив, классификация произвольных редуктивных групп может быть сложной в зависимости от базового поля. Некоторые примеры среди классических групп :

• Каждая невырожденная квадратичная форма q над полем k определяет редуктивную группу G = SO ( q ). Здесь G является простой, если q имеет размерность n не менее 3, поскольку изоморфна SO ( n ) над алгебраическим замыканием . k - ранг группы G равен индексу Витта q (максимальной размерности изотропного подпространства над k ). ^[23] Таким образом, простая группа G расщепляется над k тогда и только тогда, когда q имеет максимально возможный индекс Витта, . ${\displaystyle G_{\overline {k}}}$ ${\displaystyle {\overline {k}}}$ ${\displaystyle \lfloor n/2\rfloor }$
• Каждая центральная простая алгебра A над k определяет редуктивную группу G = SL (1, A ), ядро ​​приведенной нормы на группе единиц A * (как алгебраическую группу над k ). Степень A означает квадратный корень из размерности A как k -векторного пространства . Здесь G является простым, если A имеет степень n не ниже 2, поскольку изоморфна SL ( n ) над . Если A имеет индекс r (это означает, что A изоморфна матричной алгебре M _{n / r} ( D ) для тела D степени r над k ), то k -ранг G равен ( n / r ) - 1. ^[24] Таким образом, простая группа G расщепляется над k тогда и только тогда, когда A является матричной алгеброй над k . ${\displaystyle G_{\overline {k}}}$ ${\displaystyle {\overline {k}}}$

В результате проблема классификации редуктивных групп над k по существу включает в себя проблему классификации всех квадратичных форм над k или всех центральных простых алгебр над k . Эти проблемы просты для k алгебраически замкнутых и понятны для некоторых других полей, таких как числовые поля, но для произвольных полей остается много открытых вопросов.

Редуктивная группа над полем k называется изотропной, если она имеет k -ранг больше 0 (т. е. если она содержит нетривиальный расщепляемый тор), и анизотропной в противном случае . Для полупростой группы G над полем k следующие условия эквивалентны:

• G изотропна (т. е. G содержит копию мультипликативной группы G _m над k );
• G содержит параболическую подгруппу над k , не равную G ;
• G содержит копию аддитивной группы G _a над k .

Для k совершенного также эквивалентно сказать, что G ( k ) содержит унипотентный элемент, отличный от 1. ^[25]

Для связной линейной алгебраической группы G над локальным полем k нулевой характеристики (например, вещественных чисел) группа G ( k ) компактна в классической топологии (основанной на топологии k ) тогда и только тогда, когда G редуктивна. и анизотропный. ^[26] Пример: ортогональная группа SO ( p , q ) над R имеет вещественный ранг min( p , q ), и поэтому она анизотропна тогда и только тогда, когда p или q равны нулю. ^[23]

Редуктивная группа G над полем k называется квазирасщепимой, если она содержит борелевскую подгруппу над полем k . Расщепленная редуктивная группа является квазирасщепимой. Если G квазирасщепляема над k , то любые две борелевские подгруппы G сопряжены некоторым элементом G ( k ). ^[27] Пример: ортогональная группа SO ( p , q ) над R расщепляется тогда и только тогда, когда | р - д | ≤ 1, и он квазирасщеплен тогда и только тогда, когда | р - д | ≤ 2. ^[23]

Структура полупростых групп как абстрактных групп

Для односвязной расщепляемой полупростой группы G над полем k Роберт Стейнберг дал явное представление абстрактной группы G ( k ). ^[28] Он порождается копиями аддитивной группы k , индексированной корнями G (корневыми подгруппами), с отношениями, определяемыми диаграммой Дынкина G .

Для односвязной расщепляемой полупростой группы G над совершенным полем k Стейнберг также определил группу автоморфизмов абстрактной группы G ( k ). Каждый автоморфизм является произведением внутреннего автоморфизма , диагонального автоморфизма (подразумевается сопряжение подходящей -точкой максимального тора), автоморфизма графа (соответствующего автоморфизму диаграммы Дынкина) и полевого автоморфизма (происходящего из автоморфизма поля k ). ^[29] ${\displaystyle {\overline {k}}}$

Для k -простой алгебраической группы G теорема простоты Титса гласит , что абстрактная группа G ( k ) близка к простой при мягких предположениях. А именно, предположим, что G изотропна над k , и предположим, что поле k имеет не менее 4 элементов. Пусть G ( k ) ⁺ — подгруппа абстрактной группы G ( k ) , порожденная k -точками копий аддитивной группы Ga _над k , содержащихся в G. (В силу предположения, что G изотропна над k , группа G ( k ) ⁺ нетривиальна и даже плотна по Зарисскому в G , если k бесконечно.) Тогда факторгруппа G ( k ) ⁺ по ее центру проста (как абстрактная группа). ^[30] В доказательстве используется аппарат Жака Титса для BN-пар .

Исключения для полей второго и третьего порядка хорошо известны. Для k = F ₂ теорема простоты Титса остается в силе, за исключением случаев, когда G расщепляется типа A ₁ , B ₂ или G ₂ или нерасщепляется (т. е. унитарно) типа A ₂ . Для k = F ₃ теорема справедлива, за исключением G типа A ₁ . ^[31]

Для k -простой группы G , чтобы понять всю группу G ( k ), можно рассмотреть группу Уайтхеда W ( k , G )= G ( k )/ G ( k ) ⁺ . Для G односвязной и квазирасщепимой группа Уайтхеда тривиальна, и поэтому вся группа G ( k ) проста по модулю своего центра. ^[32] В более общем смысле, проблема Кнезера–Титса спрашивает, для каких изотропных k -простых групп группа Уайтхеда тривиальна. Во всех известных примерах W ( k , G ) абелева.

Для анизотропной k -простой группы G абстрактная группа G ( k ) может быть далеко не простой. Например, пусть D — тело алгебры с центром в p -адическом поле k . Предположим, что размерность D над k конечна и больше 1. Тогда G = SL (1, D ) — анизотропная k -простая группа. Как упоминалось выше, G ( k ) компактна в классической топологии. Поскольку она также вполне несвязна , G ( k ) — проконечная группа (но не конечная). В результате G ( k ) содержит бесконечно много нормальных подгрупп конечного индекса . ^[33]

Решетки и арифметические группы

Пусть G — линейная алгебраическая группа над рациональными числами Q. Тогда G можно расширить до аффинной групповой схемы G над Z , и это определяет абстрактную группу G ( Z ). Арифметическая группа означает любую подгруппу G ( Q ), соизмеримую с G ( Z ) . (Арифметичность подгруппы G ( Q ) не зависит от выбора Z -структуры.) Например, SL ( n , Z ) является арифметической подгруппой SL ( n , Q ).

Для группы Ли G решетка в G означает дискретную подгруппу Γ группы G такую , что многообразие G /Γ имеет конечный объем (относительно G -инвариантной меры). Например, дискретная подгруппа Γ является решеткой, если G /Γ компактна. Теорема об арифметичности Маргулиса , в частности, гласит: для простой группы Ли G вещественного ранга не ниже 2 каждая решетка в G является арифметической группой.

Действие Галуа на диаграмме Дынкина

В попытке классифицировать редуктивные группы, которые не обязательно должны быть расщеплены, одним из шагов является индекс Титса , который сводит проблему к случаю анизотропных групп. Эта редукция обобщает несколько фундаментальных теорем алгебры. Например, теорема о разложении Витта гласит, что невырожденная квадратичная форма над полем определяется с точностью до изоморфизма своим индексом Витта вместе с анизотропным ядром. Аналогично, теорема Артина – Веддерберна сводит классификацию центральных простых алгебр над полем к случаю алгебр с делением. Обобщая эти результаты, Титс показал, что редуктивная группа над полем k определяется с точностью до изоморфизма своим индексом Титса вместе с анизотропным ядром — ассоциированной анизотропной полупростой k -группой.

Для редуктивной группы G над полем k абсолютная группа Галуа Gal( ks _/ k ) действует (непрерывно) на « абсолютной» диаграмме Дынкина группы G , то есть диаграмме Дынкина группы G над сепарабельным замыканием ks ₍ которая также является диаграммой Дынкина группы G над алгебраическим замыканием ). Индекс Титса группы G состоит из корневого элемента данных G _{k s} , действия Галуа на ее диаграмме Дынкина и инвариантного к Галуа подмножества вершин диаграммы Дынкина. Традиционно индекс Титса рисуется путем обведения орбит Галуа в заданном подмножестве. ${\displaystyle {\overline {k}}}$

В этих терминах существует полная классификация квазирасщепленных групп. А именно, для каждого действия абсолютной группы Галуа поля k на диаграмме Дынкина существует единственная односвязная полупростая квазирасщепляемая группа H над k с данным действием. (Для квазирасщепимой группы каждая орбита Галуа в диаграмме Дынкина обведена кружком.) Более того, любая другая односвязная полупростая группа G над k с данным действием является внутренней формой квазирасщепимой группы H , а это означает, что G группа, ассоциированная с элементом множества когомологий Галуа H ¹ ( k , H / Z ), где Z — центр H . Другими словами, G — это поворот H , связанный с некоторым H / Z -торсором над k , как обсуждается в следующем разделе.

Пример: Пусть q — невырожденная квадратичная форма четной размерности 2 n над полем k характеристики, отличной от 2, с n ≥ 5. (Этих ограничений можно избежать.) Пусть G — простая группа SO ( q ) над k . Абсолютная диаграмма Дынкина группы G имеет тип D _n , поэтому ее группа автоморфизмов имеет порядок 2, переключая две «ноги» диаграммы D _n . Действие абсолютной группы Галуа поля k на диаграмме Дынкина тривиально тогда и только тогда, когда знаковый дискриминант d числа q в k */( k *) ² тривиален. Если d нетривиален, то он кодируется действием Галуа на диаграмме Дынкина: подгруппа индекса 2 группы Галуа, которая действует как тождество, равна . Группа G расщеплена тогда и только тогда, когда q имеет индекс Витта n , максимально возможный, и G квазирасщеплена тогда и только тогда, когда q имеет индекс Витта не менее n − 1. ^[23] ${\displaystyle \operatorname {Gal} (k_{s}/k({\sqrt {d}}))\subset \operatorname {Gal} (k_{s}/k)}$

Торсоры и принцип Хассе

Торсором для аффинной групповой схемы G над полем k называется аффинная схема X над k с действием G , изоморфным действию на себя левым сдвигом. Торсор также можно рассматривать как главное G-расслоение над k относительно топологии fppf на k или этальной топологии , если G гладкая над k . Указанное множество классов изоморфизма G -торсоров над k называется H ¹ ( k , G ) на языке когомологий Галуа. ${\displaystyle X_{\overline {k}}}$ ${\displaystyle G_{\overline {k}}}$ ${\displaystyle G_{\overline {k}}}$

Торсоры возникают всякий раз, когда кто-то пытается классифицировать формы данного алгебраического объекта Y над полем k , имея в виду объекты X над k , которые становятся изоморфными Y над алгебраическим замыканием k . А именно, такие формы (с точностью до изоморфизма) находятся во взаимно однозначном соответствии с множеством H ¹ ( k ,Aut( Y )). Например, (невырожденные) квадратичные формы размерности n над k классифицируются H ¹ ( k , O ( n )), а центральные простые алгебры степени n над k классифицируются H ¹ ( k , PGL ( n )). Кроме того, k -формы данной алгебраической группы G (иногда называемые «поворотами» G ) классифицируются H ¹ ( k ,Aut( G )). Эти проблемы мотивируют систематическое изучение G -торсоров, особенно для редуктивных групп G .

Когда это возможно, можно надеяться классифицировать G -торсоры с помощью когомологических инвариантов , которые являются инвариантами, принимающими значения в когомологиях Галуа с абелевыми группами коэффициентов M , H ^a ( k , M ). В этом направлении Стейнберг доказал «гипотезу I» Серра : для связной линейной алгебраической группы G над совершенным полем когомологической размерности не выше 1 H ¹ ( k , G ) = 1. ^[34] (Случай конечное поле было известно ранее как теорема Ланга .) Из этого следует, например, что каждая редуктивная группа над конечным полем квазирасщепляема.

Гипотеза Серра II предсказывает, что для односвязной полупростой группы G над полем когомологической размерности не более 2 H ¹ ( k , G ) = 1. Гипотеза известна для вполне мнимого числового поля (которое имеет когомологическую размерность 2). В более общем смысле , для любого числового поля k Мартин Кнезер , Гюнтер Хардер и Владимир Черноусов (1989) доказали принцип Хассе : для односвязной полупростой группы G над k отображение

${\displaystyle H^{1}(k,G)\to \prod _{v}H^{1}(k_{v},G)}$

является биективным. ^[35] Здесь v пробегает все позиции k , а k _v — соответствующее локальное поле (возможно, R или C ) . Более того, указанное множество H ¹ ( k _v , G ) тривиально для любого неархимидова локального поля k _v , и поэтому имеют значение только действительные места k . Аналогичный результат для глобального поля k положительной характеристики был ранее доказан Хардером (1975): для любой односвязной полупростой группы G над k H 1 ( k , G ) тривиальна ( поскольку k ^не имеет вещественных мест ) . ^[36]

В несколько ином случае присоединенной группы G над числовым полем k принцип Хассе выполняется в более слабой форме: естественное отображение

${\displaystyle H^{1}(k,G)\to \prod _{v}H^{1}(k_{v},G)}$

является инъективным. ^[37] Для G = PGL ( n ) это равносильно теореме Альберта-Брауэра-Хассе-Нётер , утверждающей, что центральная простая алгебра над числовым полем определяется ее локальными инвариантами.

Основываясь на принципе Хассе, хорошо понятна классификация полупростых групп над числовыми полями. Например, существует ровно три Q -формы исключительной группы E8 , соответствующие трем вещественным формам _E8 .

Смотрите также

• Группы лиева типа — это конечные простые группы, построенные из простых алгебраических групп над конечными полями.
• Обобщенное многообразие флагов , разложение Брюа , многообразие Шуберта , исчисление Шуберта
• Алгебра Шура , теория Делиня–Люстига
• Реальная форма (теория лжи)
• Гипотеза Вейля о числах Тамагавы
• Классификация Ленглендса , двойственная группа Ленглендса , программа Ленглендса , геометрическая программа Ленглендса
• Особая группа , существенное измерение
• Геометрическая теория инвариантов , Теорема Луны о срезах , Теорема Хабуша
• Радикал алгебраической группы

Примечания

1. SGA 3 (2011), т. 3, Определение XIX.1.6.1.
2. Милн (2017), Предложение 21.60.
3. Милн. Линейные алгебраические группы (PDF) . стр. 381–394.
4. Конрад (2014), после предложения 5.1.17.
5. Борель (1991), 18.2 (i).
6. Милн (2017), Теорема 22.42.
7. Милн (2017), Следствие 22.43.
8. Демазюр и Габриэль (1970), Теорем IV.3.3.6.
9. Милн (2017), Теорема 12.12.
10. Милн (2017), Теорема 21.11.
11. Милн (2017), Следствие 21.12.
12. Милн (2017), Предложение 17.53.
13. Борель (1991), Предложение 21.12.
14. Шевалле (2005); Спрингер (1998), 9.6.2 и 10.1.1.
15. Милн (2017), Теоремы 23.25 и 23.55.
16. Милн (2017), Следствие 23.47.
17. SGA 3 (2011), т. 3, Теорема XXV.1.1; Конрад (2014), теоремы 6.1.16 и 6.1.17.
18. Спрингер (1979), раздел 5.1.
19. Милн (2017), Теорема 22.2.
20. Янцен (2003), Предложение II.4.5 и следствие II.5.11.
21. Янцен (2003), раздел II.8.22.
22. Рич и Уильямсон (2018), раздел 1.8.
23. Borel (1991), раздел 23.4.
24. Борель (1991), раздел 23.2.
25. Борель и Титсы (1971), Следствие 3.8.
26. Платонов и Рапинчук (1994), Теорема 3.1.
27. Борель (1991), Теорема 20.9 (i).
28. Стейнберг (2016), Теорема 8.
29. Стейнберг (2016), Теорема 30.
30. Титс (1964), Основная теорема; Гилле (2009), Введение.
31. Сиськи (1964), раздел 1.2.
32. Жиль (2009), Теорема 6.1.
33. Платонов и Рапинчук (1994), раздел 9.1.
34. Стейнберг (1965), Теорема 1.9.
35. Платонов и Рапинчук (1994), Теорема 6.6.
36. Платонов и Рапинчук (1994), раздел 6.8.
37. Платонов и Рапинчук (1994), Теорема 6.4.

Рекомендации

• Борель, Арманд (1991) [1969], Линейные алгебраические группы , Тексты для аспирантов по математике, том. 126 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer Nature , номер документа : 10.1007/978-1-4612-0941-6, ISBN. 0-387-97370-2, МР  1102012
• Борель, Арман ; Титс, Жак (1971), «Éléments unipotents et sous-groupes paraboliques de groupses reductifs. I.», Inventiones Mathematicae , 12 (2): 95–104, Bibcode : 1971InMat..12...95B, doi : 10.1007/ BF01404653, MR  0294349, S2CID  119837998
• Шевалле, Клод (2005) [1958], Картье П. (редактор), Классификация полупростых алгебраических групп , Собрание сочинений, Vol. 3, Спрингер Природа , ISBN 3-540-23031-9, МР  2124841
• Конрад, Брайан (2014), «Редуктивные групповые схемы» (PDF) , Autour des schémas en groupes , vol. 1, Париж: Société Mathématique de France , стр. 93–444, ISBN. 978-2-85629-794-0, МР  3309122
• Демазюр, Мишель ; Габриэль, Пьер (1970), Алгебрики. Том I: Геометрия алгебраическая, общая, коммутативные группы , Париж: Массон, ISBN 978-2225616662, МР  0302656
• Демазюр, М .; Гротендик, А. (2011) [1970]. Гилле, П.; Поло, П. (ред.). Схемы в группах (SGA 3), I: Общие свойства схем в группах. Математическое общество Франции . ISBN 978-2-85629-323-2. МР  2867621.Переработанное и аннотированное издание оригинала 1970 года.
• Демазюр, М .; Гротендик, А. (1970). Схемы в группах (SGA 3), II: Группы умножаемых типов и структура схем в общих группах . Конспект лекций по математике. Том. 152. Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag . дои : 10.1007/BFb0059005. ISBN 978-3540051800. МР  0274459.
• Демазюр, М .; Гротендик, А. (2011) [1970]. Гилле, П.; Поло, П. (ред.). Схемы в группах (SGA 3), III: Структура схем в группах сокращений. Математическое общество Франции . ISBN 978-2-85629-324-9. МР  2867622.Переработанное и аннотированное издание оригинала 1970 года.
• Жиль, Филипп (2009), «Проблема Кнезера-Титса» (PDF) , Семинар Бурбаки. Том. 2007/2008 , Астериск, том. 326, Société Mathématique de France , стр. 39–81, ISBN. 978-285629-269-3, МР  2605318
• Янцен, Йенс Карстен (2003) [1987], Представления алгебраических групп (2-е изд.), Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-3527-2, МР  2015057
• Милн, Дж. С. (2017), Алгебраические группы: теория групповых схем конечного типа над полем , Cambridge University Press , doi : 10.1017/9781316711736, ISBN 978-1107167483, МР  3729270
• Платонов Владимир ; Рапинчук, Андрей (1994), Алгебраические группы и теория чисел, Academic Press , ISBN 0-12-558180-7, МР  1278263
• В.Л. Попов (2001) [1994], «Редуктивная группа», Математическая энциклопедия , EMS Press
• Рич, Саймон; Уильямсон, Джорди (2018), Наклонные модули и p-канонический базис, Asterisque, vol. 397, Société Mathématique de France , arXiv : 1512.08296 , Bibcode : 2015arXiv151208296R, ISBN 978-2-85629-880-0
• Спрингер, Тонни А. (1979), «Редуктивные группы», Автоморфные формы, представления и L -функции , том. 1, Американское математическое общество , стр. 3–27, ISBN. 0-8218-3347-2, МР  0546587
• Спрингер, Тонни А. (1998), Линейные алгебраические группы , Progress in Mathematics, vol. 9 (2-е изд.), Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, номер документа : 10.1007/978-0-8176-4840-4, ISBN 978-0-8176-4021-7, МР  1642713
• Стейнберг, Роберт (1965), «Регулярные элементы полупростых алгебраических групп», Publications Mathématiques de l'IHÉS , 25 : 49–80, doi : 10.1007/bf02684397, MR  0180554, S2CID  55638217
• Стейнберг, Роберт (2016) [1968], Лекции по группам Шевалле , Серия университетских лекций, том. 66, Американское математическое общество , номер документа : 10.1090/ulect/066, ISBN. 978-1-4704-3105-1, МР  3616493
• Титс, Жак (1964), «Алгебраические и абстрактные простые группы», Annals of Mathematics , 80 (2): 313–329, doi : 10.2307/1970394, JSTOR  1970394, MR  0164968

Внешние ссылки

• Демазюр, М .; Гротендик А. , Гилле П.; Поло, П. (ред.), Схемы в группах (SGA 3), II: Группы умножаемых типов и структура схем в общих группахПереработанное и аннотированное издание оригинала 1970 года.