Голоморфная функция

Комплексно-дифференцируемая (математическая) функция

Прямоугольная сетка (вверху) и ее изображение под конформной картой ⁠ ⁠ ${\displaystyle f}$ (внизу).

В математике голоморфная функция — это комплекснозначная функция одной или нескольких комплексных переменных, которая комплексно дифференцируема в окрестности каждой точки области в комплексном координатном пространстве ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ . Существование комплексной производной в окрестности является очень сильным условием: оно подразумевает, что голоморфная функция бесконечно дифференцируема и локально равна своему собственному ряду Тейлора (является аналитической ). Голоморфные функции являются центральными объектами изучения в комплексном анализе .

Хотя термин аналитическая функция часто используется взаимозаменяемо с термином «голоморфная функция», слово «аналитический» определяется в более широком смысле для обозначения любой функции (действительной, комплексной или более общего типа), которая может быть записана как сходящийся степенной ряд в окрестности каждой точки своей области определения . То, что все голоморфные функции являются комплексными аналитическими функциями, и наоборот, является основной теоремой в комплексном анализе . ^[1]

Голоморфные функции также иногда называют регулярными функциями . ^[2] Голоморфная функция, областью определения которой является вся комплексная плоскость , называется целой функцией . Фраза «голоморфная в точке ⁠ ⁠ ${\displaystyle z_{0}}$ » означает не просто дифференцируемую в ⁠ ⁠ ${\displaystyle z_{0}}$ , но и дифференцируемую всюду в некоторой близкой окрестности ⁠ ⁠ ${\displaystyle z_{0}}$ в комплексной плоскости.

Определение

Функция ⁠ ⁠ ${\displaystyle f(z)={\bar {z}}}$ не является комплексной \дифференцируемой в нуле, потому что, как показано выше, значение ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\frac {f(z)-f(0)}{z-0}}}$ меняется в зависимости от направления, с которого приближается к нулю. Только на действительной оси ⁠ ⁠ ${\displaystyle f}$ равно функции ⁠ ⁠ ${\displaystyle g(z)=z}$ и предел равен ⁠ ⁠ ${\displaystyle 1}$ , тогда как только вдоль мнимой оси ⁠ ⁠ ${\displaystyle f}$ равно другой функции ⁠ ⁠ ${\displaystyle h(z)=-z}$ и предел равен ⁠ ⁠ ${\displaystyle -1}$ . Другие направления дают еще другие пределы.

Для комплекснозначной функции ⁠ ⁠ ${\displaystyle f}$ одной комплексной переменной производная ⁠ ${\displaystyle f}$ ⁠ в точке ⁠ ⁠ ${\displaystyle z_{0}}$ ее области определения определяется как предел ^[3 ]

${\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{z\to z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}.}$

Это то же самое определение, что и для производной действительной функции , за исключением того, что все величины являются комплексными. В частности, предел берется, когда комплексное число ⁠ ⁠ ${\displaystyle z}$ стремится к ⁠ ⁠ ${\displaystyle z_{0}}$ , и это означает, что то же самое значение получается для любой последовательности комплексных значений для ⁠ ⁠ , ${\displaystyle z}$ которая стремится к ⁠ ⁠ ${\displaystyle z_{0}}$ . Если предел существует, ⁠ ⁠ ${\displaystyle f}$ называется комплексно дифференцируемой в ⁠ ⁠ ${\displaystyle z_{0}}$ . Эта концепция комплексной дифференцируемости разделяет несколько свойств с действительной дифференцируемостью : она линейна и подчиняется правилу произведения , правилу частного и правилу цепочки . ^[4]

Функция голоморфна на открытом множестве ⁠ ⁠ , ${\displaystyle U}$ если она комплексно дифференцируема в каждой точке ⁠ ⁠ ${\displaystyle U}$ . Функция ⁠ ⁠ ${\displaystyle f}$ голоморфна в точке ⁠ ⁠ , если она голоморфна в некоторой окрестности ⁠ ⁠ . ^[5] Функция голоморфна на некотором не открытом множестве ⁠ ⁠ , если она голоморфна в каждой точке ⁠ ⁠ . ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Функция может быть комплексно дифференцируемой в точке, но не голоморфной в этой точке. Например, функция комплексно дифференцируема в ⁠ ⁠ , но не комплексно дифференцируема нигде больше, в частности, ни в одном месте, близком к ⁠ ⁠ (см. уравнения Коши–Римана ниже). Таким образом, она не голоморфна в ⁠ ⁠ . ${\displaystyle \textstyle f(z)=|z|{\vphantom {l}}^{2}=z{\bar {z}}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$

Связь между действительной дифференцируемостью и комплексной дифференцируемостью следующая: если комплексная функция ⁠ ⁠ ${\displaystyle f(x+iy)=u(x,y)+i\,v(x,y)}$ голоморфна, то ⁠ ⁠ ${\displaystyle u}$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle v}$ имеют первые частные производные по ⁠ ⁠ ${\displaystyle x}$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle y}$ и удовлетворяют уравнениям Коши–Римана : ^[6]

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}\qquad {\mbox{and}}\qquad {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}\,}$

или, что эквивалентно, производная Виртингера ⁠ ⁠ по ${\displaystyle f}$ ⁠ ⁠ , комплексно ${\displaystyle {\bar {z}}}$ сопряженному ⁠ ⁠ , равна ${\displaystyle z}$ нулю: ^[7]

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=0,}$

то есть, грубо говоря, ⁠ ⁠ ${\displaystyle f}$ функционально независим от ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\bar {z}}}$ , комплексно сопряженного ⁠ ⁠ ${\displaystyle z}$ .

Если непрерывность не задана, обратное утверждение не обязательно верно. Простое обратное утверждение заключается в том, что если ⁠ ⁠ ${\displaystyle u}$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle v}$ имеют непрерывные первые частные производные и удовлетворяют уравнениям Коши–Римана, то ⁠ ⁠ ${\displaystyle f}$ является голоморфным. Более удовлетворительное обратное утверждение, которое гораздо сложнее доказать, — это теорема Лумана–Менхоффа : если ⁠ ⁠ ${\displaystyle f}$ непрерывна, ⁠ ⁠ ${\displaystyle u}$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle v}$ имеют первые частные производные (но не обязательно непрерывные) и удовлетворяют уравнениям Коши–Римана, то ⁠ ⁠ ${\displaystyle f}$ является голоморфным. ^[8]

Терминология

Термин голоморфный был введен в 1875 году Шарлем Брио и Жан-Клодом Буке , двумя учениками Коши , и происходит от греческого ὅλος ( hólos ), что означает «целый», и μορφή ( morphḗ ), что означает «форма» или «внешний вид» или «тип», в отличие от термина мероморфный, полученного от μέρος ( méros ), что означает «часть». Голоморфная функция напоминает целую функцию («целое») в области комплексной плоскости, в то время как мероморфная функция (определенная как означающая голоморфную, за исключением некоторых изолированных полюсов ), напоминает рациональную дробь («часть») целых функций в области комплексной плоскости. ^{[a] [9] [10] Вместо этого} Коши использовал термин синектический . ^[b]

Сегодня термин «голоморфная функция» иногда предпочитают термину «аналитическая функция». Важным результатом комплексного анализа является то, что каждая голоморфная функция является комплексно-аналитической, факт, который не следует очевидным образом из определений. Термин «аналитический», однако, также широко используется.

Характеристики

Поскольку комплексное дифференцирование линейно и подчиняется правилам произведения, частного и цепочки, суммы, произведения и композиции голоморфных функций голоморфны, а частное двух голоморфных функций голоморфно везде, где знаменатель не равен нулю. ^[12] То есть, если функции ⁠ ⁠ ${\displaystyle f}$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle g}$ голоморфны в области ⁠ ⁠ ${\displaystyle U}$ , то также являются ⁠ ⁠ ${\displaystyle f+g}$ , ⁠ ⁠ ${\displaystyle f-g}$ , ⁠ ⁠ ${\displaystyle fg}$ , и ⁠ ⁠ ${\displaystyle f\circ g}$ . Кроме того, ⁠ ⁠ ${\displaystyle f/g}$ голоморфна, если ⁠ ⁠ ${\displaystyle g}$ не имеет нулей в ⁠ ⁠ ${\displaystyle U}$ ; в противном случае она мероморфна .

Если отождествить ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ с действительной плоскостью ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{2}}$ , то голоморфные функции совпадают с теми функциями двух действительных переменных с непрерывными первыми производными, которые решают уравнения Коши–Римана , систему двух уравнений в частных производных . ^[6]

Каждая голоморфная функция может быть разделена на действительную и мнимую части ⁠ ⁠ ${\displaystyle f(x+iy)=u(x,y)+i\,v(x,y)}$ , и каждая из них является гармонической функцией на ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{2}}$ (каждая удовлетворяет уравнению Лапласа ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle \nabla ^{2}u=\nabla ^{2}v=0}$ ), причем ⁠ ⁠ ${\displaystyle v}$ является гармонически сопряженной функцией ⁠ ⁠ ${\displaystyle u}$ . ^[13] И наоборот, каждая гармоническая функция ⁠ ⁠ ${\displaystyle u(x,y)}$ на односвязной области ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{2}}$ является действительной частью голоморфной функции: если ⁠ ⁠ ${\displaystyle v}$ является гармонически сопряженной функцией ⁠ ⁠ ${\displaystyle u}$ , единственной с точностью до константы, то ⁠ ⁠ ${\displaystyle f(x+iy)=u(x,y)+i\,v(x,y)}$ голоморфна.

Интегральная теорема Коши подразумевает, что контурный интеграл каждой голоморфной функции вдоль петли равен нулю: ^[14]

${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,\mathrm {d} z=0.}$

Здесь ⁠ ⁠ ${\displaystyle \gamma }$ — спрямляемый путь в односвязной комплексной области ⁠ ⁠, ${\displaystyle U\subset \mathbb {C} }$ начальная точка которого совпадает с его конечной точкой, а ⁠ ⁠ ${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {C} }$ — голоморфная функция.

Интегральная формула Коши утверждает, что каждая функция, голоморфная внутри диска , полностью определяется своими значениями на границе диска. ^[14] Более того: Предположим, что ⁠ ⁠ ${\displaystyle U\subset \mathbb {C} }$ — комплексная область, ⁠ ⁠ ${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {C} }$ — голоморфная функция, а замкнутый диск ⁠ ⁠ ${\displaystyle D\equiv \{z:}$полностью содержится в ⁠ ⁠ . ${\displaystyle U}$ Пусть ⁠ ⁠ ${\displaystyle \gamma }$ — круг, образующий границу ⁠ ⁠ . Тогда ${\displaystyle D}$для каждого ⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$ внутри ⁠ ⁠ : ${\displaystyle D}$

${\displaystyle f(a)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-a}}\,\mathrm {d} z}$

где контурный интеграл берется против часовой стрелки .

Производную ⁠ ⁠ ${\displaystyle {f'}(a)}$ можно записать в виде контурного интеграла ^[14] с использованием формулы дифференцирования Коши :

${\displaystyle f'\!(a)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-a)^{2}}}\,\mathrm {d} z,}$

для любой простой петли, положительно обмотанной один раз вокруг ⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$ , и

${\displaystyle f'\!(a)=\lim \limits _{\gamma \to a}{\frac {i}{2{\mathcal {A}}(\gamma )}}\oint _{\gamma }f(z)\,\mathrm {d} {\bar {z}},}$

для бесконечно малых положительных петель ⁠ ⁠ ${\displaystyle \gamma }$ вокруг ⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$ .

В областях, где первая производная не равна нулю, голоморфные функции являются конформными : они сохраняют углы и форму (но не размер) малых фигур. ^[15]

Каждая голоморфная функция является аналитической . То есть голоморфная функция ⁠ ⁠ ${\displaystyle f}$ имеет производные каждого порядка в каждой точке ⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$ своей области определения, и она совпадает со своим собственным рядом Тейлора в ⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$ в окрестности ⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$ . Фактически, ⁠ ⁠ ${\displaystyle f}$ совпадает со своим рядом Тейлора в ⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$ в любом круге с центром в этой точке и лежащем внутри области определения функции.

С алгебраической точки зрения множество голоморфных функций на открытом множестве является коммутативным кольцом и комплексным векторным пространством . Кроме того, множество голоморфных функций на открытом множестве ⁠ ⁠ ${\displaystyle U}$ является областью целостности тогда и только тогда, когда открытое множество ⁠ ⁠ ${\displaystyle U}$ связно. ^[7] Фактически, это локально выпуклое топологическое векторное пространство , в котором полунормы являются супремумами на компактных подмножествах .

С геометрической точки зрения функция ⁠ ⁠ ${\displaystyle f}$ голоморфна в ⁠ ⁠ ${\displaystyle z_{0}}$ тогда и только тогда, когда ее внешняя производная ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathrm {d} f}$ в окрестности ⁠ ⁠ ${\displaystyle U}$ точки ⁠ ⁠ ${\displaystyle z_{0}}$ равна ⁠ ⁠ ${\displaystyle f'(z)\,\mathrm {d} z}$ для некоторой непрерывной функции ⁠ ⁠ ${\displaystyle f'}$ . Это следует из

${\displaystyle 0=\mathrm {d} ^{2}f=\mathrm {d} (f'\,\mathrm {d} z)=\mathrm {d} f'\wedge \mathrm {d} z}$

что ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathrm {d} f'}$ также пропорционально ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathrm {d} z}$ , подразумевая, что производная ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathrm {d} f'}$ сама по себе голоморфна и, таким образом, ⁠ ⁠ ${\displaystyle f}$ бесконечно дифференцируема. Аналогично, ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathrm {d} (f\,\mathrm {d} z)=f'\,\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} z=0}$ подразумевает, что любая функция ⁠ ⁠ ${\displaystyle f}$ , которая голоморфна в односвязной области ⁠ ⁠ , ${\displaystyle U}$ также интегрируема в ⁠ ⁠ ${\displaystyle U}$ .

(Для пути ⁠ ⁠ ${\displaystyle \gamma }$ из ⁠ ⁠ ${\displaystyle z_{0}}$ в ⁠ ⁠ , ${\displaystyle z}$ полностью лежащего в ⁠ ⁠ ${\displaystyle U}$ , определим ⁠ ⁠ ${\displaystyle F_{\gamma }(z)=F(0)+\int _{\gamma }f\,\mathrm {d} z}$ ; в свете теоремы Жордана о кривой и обобщенной теоремы Стокса ⁠ ⁠ не зависит ${\displaystyle F_{\gamma }(z)}$от конкретного выбора пути ⁠ ⁠ ${\displaystyle \gamma }$ , и, таким образом, ⁠ ⁠ ${\displaystyle F(z)}$ является хорошо определенной функцией на ⁠ ⁠ , ${\displaystyle U}$ имеющей ⁠ ${\displaystyle \mathrm {d} F=f\,\mathrm {d} z}$⁠ или ⁠ ⁠ ${\displaystyle f={\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} z}}}$ .

Примеры

Все полиномиальные функции в ⁠ ⁠ ${\displaystyle z}$ с комплексными коэффициентами являются целыми функциями (голоморфными во всей комплексной плоскости ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ), а также экспоненциальная функция ⁠ ⁠ ${\displaystyle \exp z}$ и тригонометрические функции ⁠ ⁠ ${\displaystyle \cos {z}={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\exp(+iz)+\exp(-iz){\bigr )}}$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle \sin {z}=-{\tfrac {1}{2}}i{\bigl (}\exp(+iz)-\exp(-iz){\bigr )}}$ (ср. формулу Эйлера ). Главная ветвь функции комплексного логарифма ⁠ ⁠ голоморфна ${\displaystyle \log z}$ на области ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {C} \smallsetminus \{z\in \mathbb {R} :z\leq 0\}}$ . Функция квадратного корня может быть определена как ⁠ ⁠ и ${\displaystyle {\sqrt {z}}\equiv \exp {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\log z{\bigr )}}$, следовательно, голоморфна везде, где логарифм ⁠ ⁠ ${\displaystyle \log z}$ . Обратная функция ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {1}{z}}}$ голоморфна на ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {C} \smallsetminus \{0\}}$ . (Обратная функция и любая другая рациональная функция мероморфны на ⁠ ⁠ .) ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Как следствие уравнений Коши–Римана , любая вещественнозначная голоморфная функция должна быть константой . Следовательно, абсолютное значение , аргумент ⁠ ⁠ , вещественная часть ⁠ ⁠ и мнимая часть ⁠ ⁠ не являются голоморфными. Другим типичным примером непрерывной функции, которая не является голоморфной, является комплексно сопряженная ⁠ ⁠ (Комплексно сопряженная функция антиголоморфна .) ${\displaystyle |z|}$ ${\displaystyle \arg z}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} (z)}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} (z)}$ ${\displaystyle {\bar {z}}.}$

Несколько переменных

Определение голоморфной функции обобщается на несколько комплексных переменных простым способом. Функция ⁠ ⁠ по ${\displaystyle f\colon (z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n})\mapsto f(z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n})}$ комплексным переменным является аналитической в ​​точке ⁠ ⁠ , если существует окрестность ⁠ ⁠ , в которой ⁠ ⁠ равна сходящемуся степенному ряду по комплексным переменным ; ^[16] функция ⁠ ⁠ голоморфна в открытом подмножестве ⁠ ⁠ из ⁠ ⁠ , если она аналитична в каждой точке ⁠ ⁠ . Лемма Осгуда показывает (используя многомерную интегральную формулу Коши), что для непрерывной функции ⁠ ⁠ это эквивалентно тому, что ⁠ ⁠ является голоморфной по каждой переменной в отдельности (это означает, что если какие-либо ⁠ ⁠ координаты фиксированы, то ограничение ⁠ ⁠ является голоморфной функцией оставшейся координаты). Гораздо более глубокая теорема Хартогса доказывает, что предположение о непрерывности не является необходимым: ⁠ ⁠ голоморфна тогда и только тогда, когда она голоморфна по каждой переменной в отдельности. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

В более общем смысле функция нескольких комплексных переменных, интегрируемая с квадратом по каждому компактному подмножеству своей области определения, является аналитической тогда и только тогда, когда она удовлетворяет уравнениям Коши–Римана в смысле распределений.

Функции нескольких комплексных переменных в некоторых основных отношениях сложнее функций одной комплексной переменной. Например, область сходимости степенного ряда не обязательно является открытым шаром; эти области являются логарифмически выпуклыми областями Рейнхардта , простейшим примером которых является полидиск . Однако они также имеют некоторые фундаментальные ограничения. В отличие от функций одной комплексной переменной, возможные области, на которых существуют голоморфные функции, которые не могут быть расширены до более крупных областей, сильно ограничены. Такой набор называется областью голоморфности .

Комплексная дифференциальная ⁠ ⁠ ${\displaystyle (p,0)}$ -форма ⁠ ⁠ ${\displaystyle \alpha }$ голоморфна тогда и только тогда, когда ее антиголоморфная производная Дольбо равна нулю: ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\bar {\partial }}\alpha =0}$ .

Расширение функционального анализа

Понятие голоморфной функции может быть распространено на бесконечномерные пространства функционального анализа . Например, производная Фреше или Гато может быть использована для определения понятия голоморфной функции на банаховом пространстве над полем комплексных чисел.

Смотрите также

• Первообразная (комплексный анализ)
• Антиголоморфная функция
• Биголоморфность
• Оценка Коши
• Гармонические карты
• Гармонические морфизмы
• Голоморфная отделимость
• Мероморфная функция
• Квадратурные домены
• Производные Виртингера

Сноски

1. Первоначальные французские термины — holomorphe и méromorphe .

   Lorsqu’une fonction est continue, monotrope , et a une dérivée, quand lavariable se meut dans une Defined partie du plan , nous dirons qu’elle est голоморф в этой партии плана. Мы указываем по этому названию, что это похоже на функции , которые позволяют вам пользоваться этой собственностью в рамках всего плана. [...]

   Une Fractionnelle admet comme Pôles les racines du dénominateur; это голоморфная функция на всей вечеринке плана, который содержит все эти полюса.

   Функция Lorsqu'une - это голоморф в этой партии плана, за исключением некоторых полюсов, мы говорим, что это мероморф в этой партии плана, это очень похоже на дроби rationnelles. - Брио и Буке (1875), стр. 14–15 ^[9]

   [Когда функция непрерывна, монотропна и имеет производную, когда переменная движется в определенной части плоскости , мы говорим, что она голоморфна в этой части плоскости. Под этим названием мы подразумеваем, что она похожа на целые функции , которые обладают этими свойствами во всей протяженности плоскости. ... ]

   [Рациональная дробь допускает в качестве полюсов корни знаменателя; она является голоморфной функцией во всей той части плоскости, которая не содержит полюсов. ]

   [Когда функция голоморфна в части плоскости, за исключением определенных полюсов, мы говорим, что она мероморфна в этой части плоскости, то есть она напоминает рациональные дроби. — Харкнесс и Морли (1893), стр. 161 ^[10] ]

2. Брио и Буке (1859), стр. 11 ранее также приняли термин Коши « синектический» ( по-французски synectique ) в первом издании своей книги. ^[11]

Ссылки

1. "Аналитические функции одной комплексной переменной". Энциклопедия математики . Европейское математическое общество / Springer. 2015 – через encyclopediaofmath.org.
2. "Аналитическая функция", Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994] , получено 26 февраля 2021 г.
3. Альфорс, Л. , Комплексный анализ, 3-е изд. (McGraw-Hill, 1979).
4. Хенричи, П. (1986) [1974, 1977]. Прикладной и вычислительный комплексный анализ . Wiley.Три тома, изд.: 1974, 1977, 1986.
5. Эбенфельт, Питер; Хунгербюлер, Норберт; Кон, Джозеф Дж.; Мок, Нгайминг; Штраубе, Эмиль Дж. (2011). Комплексный анализ. Научные и деловые СМИ. Спрингер – через Google.
6. Маркушевич, А.И. (1965). Теория функций комплексного переменного . Prentice-Hall.[В трех томах.]
7. Ганнинг, Роберт С .; Росси, Хьюго (1965). Аналитические функции нескольких комплексных переменных. Современный анализ. Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice-Hall . ISBN 9780821869536. MR  0180696. Zbl  0141.08601 – через Google.
8. Грей, Дж. Д.; Моррис, С. А. (апрель 1978 г.). «Когда функция, удовлетворяющая уравнениям Коши-Римана, является аналитической?». The American Mathematical Monthly . 85 (4): 246–256. doi :10.2307/2321164. JSTOR  2321164.
9. Бриот, Калифорния ; Буке, Ж.-К. (1875). «Голоморфы §15 функций». Théorie des fonctions elliptiques [ Теория эллиптических функций ] (на французском языке) (2-е изд.). Готье-Виллар. стр. 14–15.
10. Харкнесс, Джеймс ; Морли, Фрэнк (1893). "5. Интеграция". Трактат о теории функций . Macmillan. стр. 161.
11. Брио, Калифорния ; Буке, Ж.-К. (1859). «§10». Теория периодического удвоения функций . Малле-Башелье. п. 11.
12. Henrici, Peter (1993) [1986]. Прикладной и вычислительный комплексный анализ. Wiley Classics Library. Том 3 (Переиздание). Нью-Йорк - Чичестер - Брисбен - Торонто - Сингапур: John Wiley & Sons . ISBN 0-471-58986-1. MR  0822470. Zbl  1107.30300 – через Google.
13. Эванс, Л. К. (1998). Уравнения с частными производными . Американское математическое общество.
14. Lang, Serge (2003). Комплексный анализ . Springer Verlag GTM. Springer Verlag .
15. Рудин, Уолтер (1987). Действительный и комплексный анализ (3-е изд.). Нью-Йорк: McGraw–Hill Book Co. ISBN 978-0-07-054234-1. МР  0924157.
16. Ганнинг и Росси. Аналитические функции нескольких комплексных переменных . стр. 2.

Дальнейшее чтение

• Блейки, Джозеф (1958). Университетская математика (2-е изд.). Лондон, Великобритания: Blackie and Sons. OCLC  2370110.

Внешние ссылки

• «Аналитическая функция», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]