Функциональный анализ — раздел математического анализа , ядро которого составляет исследование векторных пространств , наделенных некоторой предельной структурой (например, скалярным произведением , нормой или топологией ) и линейными функциями , определенными на этих пространствах. и надлежащим образом уважая эти структуры. Исторические корни функционального анализа лежат в изучении пространств функций и формулировке свойств преобразований функций, таких как преобразование Фурье, как преобразований, определяющих, например, непрерывные или унитарные операторы между функциональными пространствами. Эта точка зрения оказалась особенно полезной при изучении дифференциальных и интегральных уравнений .
Использование слова функциональный в качестве существительного восходит к вариационному исчислению , подразумевая функцию , аргументом которой является функция . Этот термин был впервые использован в книге Адамара 1910 года по этому вопросу. Однако общее понятие функционала ранее было введено в 1887 году итальянским математиком и физиком Вито Вольтеррой . [1] [2] Теория нелинейных функционалов была продолжена учениками Адамара, в частности Фреше и Леви . Адамар также основал современную школу линейного функционального анализа, развитую в дальнейшем Риссом и группой польских математиков вокруг Стефана Банаха .
В современных вводных текстах по функциональному анализу этот предмет рассматривается как исследование векторных пространств, наделенных топологией, в частности бесконечномерных пространств . [3] [4] Напротив, линейная алгебра имеет дело в основном с конечномерными пространствами и не использует топологию. Важной частью функционального анализа является распространение теорий меры , интегрирования и вероятности на бесконечномерные пространства, также известное как бесконечномерный анализ .
Основной и исторически первый класс пространств, изучаемых в функциональном анализе, — полные нормированные векторные пространства над действительными или комплексными числами . Такие пространства называются банаховыми . Важным примером является гильбертово пространство , где норма возникает из скалярного произведения. Эти пространства имеют фундаментальное значение во многих областях, включая математическую формулировку квантовой механики , машинное обучение , уравнения в частных производных и анализ Фурье .
В более общем смысле функциональный анализ включает изучение пространств Фреше и других топологических векторных пространств, не наделенных нормой.
Важным объектом изучения функционального анализа являются непрерывные линейные операторы , определенные в банаховом и гильбертовом пространствах. Это естественным образом приводит к определению С*-алгебр и других операторных алгебр .
Гильбертово пространство можно полностью классифицировать: существует единственное с точностью до изоморфизма гильбертово пространство для каждой мощности ортонормированного базиса . [5] Конечномерные гильбертовы пространства полностью понятны в линейной алгебре , а бесконечномерные сепарабельные гильбертовы пространства изоморфны . Поскольку разделимость важна для приложений, функциональный анализ гильбертовых пространств, следовательно, в основном касается этого пространства. Одной из открытых проблем функционального анализа является доказательство того, что каждый ограниченный линейный оператор в гильбертовом пространстве имеет собственное инвариантное подпространство . Многие частные случаи этой проблемы инвариантного подпространства уже доказаны.
Общие банаховые пространства сложнее гильбертовых пространств и не могут быть классифицированы так просто, как они. В частности, во многих банаховых пространствах отсутствует понятие, аналогичное ортонормированному базису .
Примерами банаховых пространств являются -пространства для любого действительного числа . Учитывая также меру на множестве , то , иногда также обозначаемый или , имеет в качестве векторов классы эквивалентности измеримых функций , абсолютное значение которых в -й степени имеет конечный целое; то есть функции, для которых есть
Если – считающая мера , то интеграл можно заменить суммой. То есть, мы требуем
Тогда не приходится иметь дело с классами эквивалентности, и пространство обозначается , пишется проще в случае, когда – множество целых неотрицательных чисел .
В банаховых пространствах большая часть исследования включает двойственное пространство : пространство всех непрерывных линейных отображений пространства в лежащее в его основе поле, так называемых функционалов. Банахово пространство можно канонически отождествить с подпространством его бидуального пространства, которое является двойственным его дуальному пространству. Соответствующее отображение является изометрией , но, вообще говоря, не является изометрией. Общее банахово пространство и его бидуальное пространство даже не обязательно должны быть изометрически изоморфными, в отличие от конечномерной ситуации. Это объясняется в статье о двойном пространстве.
Кроме того, понятие производной можно распространить на произвольные функции между банаховыми пространствами. См., например, производную статью Фреше.
[6]
Есть четыре основные теоремы, которые иногда называют четырьмя столпами функционального анализа:
К важным результатам функционального анализа относятся:
Принцип равномерной ограниченности , или теорема Банаха–Штайнхауза, является одним из фундаментальных результатов функционального анализа. Вместе с теоремой Хана-Банаха и теоремой об открытом отображении она считается одним из краеугольных камней в этой области. В своей базовой форме он утверждает, что для семейства непрерывных линейных операторов (и, следовательно, ограниченных операторов), областью определения которых является банахово пространство , поточечная ограниченность эквивалентна равномерной ограниченности в операторной норме.
Теорема была впервые опубликована в 1927 году Стефаном Банахом и Хьюго Штейнхаусом , но она также была независимо доказана Гансом Ханом .
Теорема (принцип равномерной ограниченности) . Пусть — банахово пространство , а — нормированное векторное пространство . Предположим, что это набор непрерывных линейных операторов от до . Если для всех в одном есть
Существует множество теорем, известных как спектральная теорема , но одна, в частности, имеет множество приложений в функциональном анализе.
Спектральная теорема [7] — Пусть — ограниченный самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве . Тогда существуют пространство меры , вещественнозначная существенно ограниченная измеримая функция на и унитарный оператор такие, что
Это начало обширной области исследований функционального анализа, называемой теорией операторов ; см. также спектральную меру .
Существует также аналогичная спектральная теорема для ограниченных нормальных операторов в гильбертовых пространствах. Единственная разница в выводе состоит в том, что теперь он может быть комплексным.
Теорема Хана–Банаха — центральный инструмент функционального анализа. Он позволяет расширить ограниченные линейные функционалы , определенные в подпространстве некоторого векторного пространства, на все пространство, а также показывает, что существует «достаточно» непрерывных линейных функционалов, определенных в каждом нормированном векторном пространстве , чтобы сделать изучение двойственного пространства «интересным». ".
Теорема Хана – Банаха: [8] — If — сублинейная функция и линейный функционал на линейном подпространстве , в котором доминирует on ; то есть,
Теорема об открытом отображении , также известная как теорема Банаха–Шаудера (названная в честь Стефана Банаха и Юлиуша Шаудера ), является фундаментальным результатом, который утверждает, что если непрерывный линейный оператор между банаховыми пространствами сюръективен , то он является открытым отображением . Точнее, [8]
Теорема об открытом отображении . Если и являются банаховыми пространствами и является сюръективным непрерывным линейным оператором, то это открытое отображение (то есть, если является открытым множеством в , то открыто в ).
В доказательстве используется теорема Бэра о категориях , а полнота обеих является существенной для теоремы. Утверждение теоремы больше не верно, если любое пространство просто предполагается нормированным , но верно, если и считаются пространствами Фреше .
Теорема о замкнутом графике утверждает следующее: если — топологическое пространство и — компактное хаусдорфово пространство , то график линейного отображения из в замкнут тогда и только тогда, когда непрерывен . [9]
Большинство пространств, рассматриваемых в функциональном анализе, имеют бесконечную размерность. Чтобы показать существование базиса векторного пространства для таких пространств, может потребоваться лемма Цорна . Однако в функциональном анализе обычно более актуальна несколько другая концепция — базис Шаудера . Многие теоремы требуют теоремы Хана-Банаха , обычно доказываемой с использованием выбранной аксиомы , хотя достаточно и строго более слабой булевой теоремы о простых идеалах . Теорема Бэра о категории , необходимая для доказательства многих важных теорем, также требует определенной формы аксиомы выбора.
Функциональный анализ в его современном виде [update]включает в себя следующие тенденции: