Теорема Каратеодори (конформное отображение)

В математике теорема Каратеодори — это теорема комплексного анализа , названная в честь Константина Каратеодори , которая расширяет теорему Римана об отображении . Теорема, опубликованная Каратеодори в 1913 году, утверждает, что любое конформное отображение , переводящее единичный круг в некоторую область комплексной плоскости , ограниченную жордановой кривой, непрерывно продолжается до гомеоморфизма единичного круга на жордановую кривую. Результатом является один из результатов Каратеодори о простых концах и граничном поведении однолистных голоморфных функций.

Доказательства теоремы Каратеодори.

Первое доказательство теоремы Каратеодори, представленное здесь, представляет собой краткое изложение краткого самостоятельного отчета в Garnett & Marshall (2005, стр. 14–15); аналогичные доказательства есть у Поммеренке (1992) и Кранца (2006).

Теорема Каратеодори. Если f отображает открытый единичный круг D конформно на ограниченную область U в C , то f имеет непрерывное взаимно однозначное расширение до замкнутого единичного круга тогда и только тогда, когда ∂U является жордановой кривой.

Ясно, что если f допускает расширение до гомеоморфизма, то ∂U должна быть жордановой кривой.

И наоборот, если ∂U — жорданова кривая, первым шагом будет доказательство непрерывности f до замыкания D . Фактически это будет справедливо тогда и только тогда, когда f равномерно непрерывна на D : это верно, если она имеет непрерывное расширение до замыкания D ; и, если f равномерно непрерывна, легко проверить, что f имеет пределы на единичной окружности, и те же неравенства для равномерной непрерывности справедливы и на замыкании D .

Предположим, что f не является равномерно непрерывным. В этом случае должны существовать ε > 0 и точка ζ на единичной окружности и последовательности z _n , w _n, стремящиеся к ζ с | ж ( z _п ) - ж ( ш _п )| ≥ 2 ε . Ниже показано, что это приводит к противоречию, так что f должна быть равномерно непрерывной и, следовательно, иметь непрерывное расширение до замыкания D .

Для 0 < r < 1 пусть γ _r — кривая, заданная дугой окружности | г - ζ | = r лежит внутри D . Тогда f ∘ γ _r — жордановая кривая. Его длину можно оценить с помощью неравенства Коши – Шварца :

${\displaystyle \displaystyle {\ell (f\circ \gamma _{r})=\int _{\gamma _{r}}|f^{\prime }(z)|\,|dz|\leq \left(\int _{\gamma _{r}}\,|dz|\right)^{1/2}\cdot \left(\int _{\gamma _{r}}|f^{\prime }(z)|^{2}\,|dz|\right)^{1/2}\leq (2\pi r)^{1/2}\cdot \left(\int _{\{\theta :|\zeta +re^{i\theta }|<1\}}|f^{\prime }(\zeta +re^{i\theta })|^{2}\,r\,d\theta \right)^{1/2}.}}$

Следовательно, существует «оценка длины-площади»:

${\displaystyle \displaystyle {\int _{0}^{1}\ell (f\circ \gamma _{r})^{2}\,{dr \over r}\leq 2\pi \int _{|z|<1}|f^{\prime }(z)|^{2}\,dx\,dy=2\pi \cdot {\rm {Area}}\,f(D)<\infty .}}$

Конечность интеграла в левой части означает, что существует последовательность r _n, убывающая до 0 и стремящаяся к 0. Но длина кривой g ( t ) для t в ( a , b ) определяется выражением ${\displaystyle \ell (f\circ \gamma _{r_{n}})}$

${\displaystyle \displaystyle {\ell (g)=\sup _{a<t_{1}<t_{2}<\cdots <t_{k}<b}\sum _{i=1}^{k-1}|g(t_{i+1})-g(t_{i})|.}}$

Следовательно , из конечности следует _, что кривая имеет предельные точки a _n , bn на двух своих концах с , поэтому это расстояние, а также диаметр кривой стремятся к 0. Эти две предельные точки должны лежать на ∂U , потому что f является гомеоморфизмом между D и U , и, следовательно, последовательность, сходящаяся в U , должна быть образом под f последовательности, сходящейся в D. По предположению существует гомеоморфизм β между окружностями ∂D и ∂U . Поскольку β ⁻¹ равномерно непрерывна, расстояние между двумя точками ξ _n и η _n , соответствующими a _n и bn в ∂U, _должно стремиться к 0. Таким образом, в конечном итоге наименьшая дуга окружности в ∂D , соединяющая ξ _n и η _n , равна определенный. Обозначим τ _n образ этой дуги при β . Ввиду равномерной непрерывности β диаметр τ _n в ∂U стремится к 0. Вместе τ _n и f ∘ γ _{r n} образуют простую жорданову кривую. Его внутренняя часть Un содержится в U по теореме Жордана о кривой для ∂U и ∂U _n : чтобы убедиться в этом, обратите внимание, что U является внутренней частью ∂U , поскольку она ограничена, связна и одновременно открыта и замкнута в пространстве _. дополнение ∂U ; поэтому внешняя область ∂U неограничена, связна и не пересекает ∂U _n , следовательно, ее замыкание содержится в замыкании внешности ∂U _n ; взяв дополнения, мы получим искомое включение. Диаметр ∂U _n стремится к 0, поскольку диаметры τ _n и f ∘ γ _{r n} стремятся к 0. Следовательно, диаметр Un стремится к 0. (Ибо компактное множество, следовательно, _{содержит} две точки u и v такие, что расстояние между ними максимально. Легко видеть, что u. ${\displaystyle \ell (f\circ \gamma _{r_{n}})}$ ${\displaystyle |a_{n}-b_{n}|\leq \ell (f\circ \gamma _{r_{n}})}$ ${\displaystyle {\bar {U}}_{n}\times {\bar {U}}_{n}}$ ${\displaystyle {\bar {U}}_{n}}$и v должно лежать в ∂U , а диаметры U и ∂U равны .) ${\displaystyle |u-v|}$

Теперь, если V _n обозначает пересечение D с диском | z − ζ| < r _n , то для всех достаточно больших n f ( V _n ) = Un _{. Действительно ,} дуга γrn _делит D на Vn и дополнительную область _, поэтому при конформном гомеоморфизме f кривая f∘ γrn делит _U на и дополнительную область _; Un является компонентом связности U \ f ∘ γ _{r n} , поскольку он связен и одновременно открыт и замкнут в этом множестве, следовательно, _равен либо , либо . Диаметр не уменьшается с увеличением n , поскольку это подразумевает . Поскольку диаметр Un стремится к 0 по мере того, как _{n стремится} к бесконечности, в конечном итоге он становится меньше диаметра и тогда обязательно f ( V _n ) = Un . ${\displaystyle V_{n}'}$ ${\displaystyle f(V_{n})}$ ${\displaystyle f(V_{n}')}$ ${\displaystyle U_{n}}$ ${\displaystyle f(V_{n})}$ ${\displaystyle f(V_{n}')}$ ${\displaystyle f(V_{n}')}$ ${\displaystyle n<n'}$ ${\displaystyle V_{n}'\subset V_{n'}'}$ ${\displaystyle f(V_{n}')}$

_{Таким образом ,} диаметр f ( Vn ) стремится к _0. С другой стороны, переходя при необходимости к подпоследовательностям ( _zn ) и ( wn ) _, можно предположить, что _zn и wn оба _лежат в Vn . Но это дает противоречие, так как | ж ( z _п ) - ж ( ш _п )| ≥ ε . Поэтому f должна быть равномерно непрерывной на U.

Таким образом , f непрерывно продолжается до замыкания D . Поскольку f ( D ) = U , в силу компактности f переносит замыкание D на замыкание U и, следовательно, ∂D на ∂U . Если f не является однозначной, то на ∂D существуют точки u , v такие, что u ≠ v и f ( u ) = f ( v ). Пусть X и Y — радиальные линии от 0 до u и v . Тогда f ( X ∪ Y ) — жордановая кривая. Рассуждая, как и раньше, его внутренность V содержится в U и является компонентой связности U \ f ( X ∪ Y ) . С другой стороны, D \ ( X ∪ Y ) представляет собой непересекающееся объединение двух открытых секторов W ₁ и W ₂ . Следовательно, для одного из них, скажем, W _{1 ,} f ( W ₁ ) = V . Пусть Z — часть ∂W ₁ на единичной окружности, так что Z — замкнутая дуга, а f ( Z ) — подмножество как ∂U , так и замыкания V. Но их пересечение — одна точка, и, следовательно, f постоянна на Z. Согласно принципу отражения Шварца, f можно аналитически продолжить путем конформного отражения поперек дуги окружности. Поскольку непостоянные голоморфные функции имеют изолированные нули, это заставляет f быть постоянной, противоречие. Итак, f одноединственен и, следовательно, является гомеоморфизмом замыкания D . ^{[1] [2]}

Два разных доказательства теоремы Каратеодори описаны в Каратеодори (1954) и Каратеодори (1998). Первое доказательство следует оригинальному методу доказательства Каратеодори 1913 года с использованием свойств меры Лебега на окружности: непрерывное продолжение функции g , обратной функции f , до ∂U подтверждается теоремой Фату о граничном поведении ограниченных гармонических функций на единичном круге. . Второе доказательство основано на методе Линделефа (1914), где было установлено усиление неравенства максимального модуля для ограниченных голоморфных функций h, определенных на ограниченной области V : если a лежит в V , то

| час ( а )| ≤ м ^т ⋅ М ^{1 - т} ,

где 0 ≤ t ≤ 1, M — максимальный модуль h для последовательных пределов ∂U , а m — максимальный модуль h для последовательных пределов ∂U, лежащих в секторе с центром в a, стягивающем угол 2π t в точке a . ^[3]

Непрерывное расширение и теорема Каратеодори-Торхорста

Расширение теоремы утверждает, что конформный изоморфизм

${\displaystyle g\colon \mathbb {D} \to U}$,

где – односвязное подмножество сферы Римана , непрерывно продолжается до единичной окружности тогда и только тогда, когда граница области локально связна . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$

Этот результат часто также приписывают Каратеодори, но впервые он был сформулирован и доказан Мари Торхорст в ее диссертации 1918 года ^[4] под руководством Ганса Хана с использованием теории простых концов Каратеодори . Точнее, Торхорст доказал, что локальная связность эквивалентна домену, имеющему только простые концы первого рода. По теории простых концов последнее свойство, в свою очередь, эквивалентно наличию непрерывного расширения. ${\displaystyle g}$

Примечания

1. Кранц 2006, стр. 116–117.
2. Гарнетт и Маршалл 2005, с. 15
3. Альфорс 2010, стр. 37–40.
4. Торхорст, Мари (1921), «Über den Rand der einfach zusammenhängenden ebenen Gebiete», Mathematische Zeitschrift , 9 (1–2): 44–65, doi : 10.1007/BF01378335, S2CID  120418797

Рекомендации

• Каратеодори, К. (1913a), «Zur Ränderzuordnung bei konformer Abbildung», Göttingen Nachrichten : 509–518.
• Каратеодори, К. (1913b), «Über die gegenseitige Beziehung der Ränder bei der konformen Abbildung des Inneren einer Jordanschen Kurve auf einen Kreis», Mathematische Annalen , 73 (2), Springer Berlin / Heidelberg: 305–320, doi : 10.1007/ BF01456720, ISSN  0025-5831, JFM  44.0757.01, S2CID  117117051
• Каратеодори, К. (1954), Теория функций комплексной переменной, Vol. 2 , перевод Ф. Стейнхардта, Челси
• Каратеодори, К. (1998), Конформное представление (перепечатка второго издания 1952 года) , Дувр, ISBN 0-486-40028-Х
• Линделеф, Э. (1914), «Sur la représentation conforme», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences , 158 , Париж: 245–247.
• Линделеф, Э. (1916), «Sur la représentation conforme d'une aire simplement connexe sur l'aire d'un cercle», 4-й Международный конгресс скандинавских математиков , стр. 59–90
• Альфорс, Ларс В. (2010), Конформные инварианты: темы геометрической теории функций , AMS Chelsea Publishing, ISBN 978-0-8218-5270-5
• Гарнетт, Джон Б.; Маршалл, Дональд Э. (2005), Гармоническая мера , Новые математические монографии, том. 2, Издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-47018-8
• Голузин Г.М. (1969), Геометрическая теория функций комплексного переменного , Переводы математических монографий, вып. 26, Американское математическое общество
• Кранц, Стивен Г. (2006), Геометрическая теория функций: исследования в комплексном анализе , Биркхойзер, ISBN 0-8176-4339-7
• Маркушевич А.И. (1977), Теория функций комплексной переменной. Том. III , издательство «Челси», ISBN 0-8284-0296-5, МР  0444912
• Поммеренке, К. (1975), Однолистные функции, с главой Герда Йенсена, посвященной квадратичным дифференциалам , Studia Mathematica/Mathematische Lehrbücher, vol. 15, Ванденхук и Рупрехт
• Поммеренке, К. (1992), Граничное поведение конформных отображений , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 299, Спрингер, ISBN 3-540-54751-7
• Шилдс, Аллен (1988), «Каратеодори и конформное отображение», The Mathematical Intelligencer , 10 (1): 18–22, doi : 10.1007/BF03023846, ISSN  0343-6993, MR  0918659, S2CID  189887440
• Уайберн, Гордон Т. (1942), Аналитическая топология , Публикации коллоквиума Американского математического общества, том. 28 лет, Американское математическое общество.