Теорема Римана об отображении

Математическая теорема

В комплексном анализе теорема Римана об отображении утверждает, что если — непустое односвязное открытое подмножество плоскости комплексных чисел , которое не является всем , то существует биголоморфное отображение (т.е. биективное голоморфное отображение, обратное к которому также голоморфно) из на открытый единичный круг ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle D=\{z\in \mathbb {C} :|z|<1\}.}$

Это отображение известно как отображение Римана . ^[1]

Интуитивно, условие, что быть односвязным означает, что не содержит никаких «дырок». Тот факт, что является биголоморфным, подразумевает, что это конформное отображение и, следовательно, сохраняющее углы. Такое отображение можно интерпретировать как сохраняющее форму любой достаточно малой фигуры, при этом возможно вращая и масштабируя (но не отражая) ее. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f}$

Анри Пуанкаре доказал, что отображение единственно с точностью до поворота и центрирования: если — элемент и — произвольный угол, то существует ровно одно f , как указано выше, такое, что и такое, что аргумент производной в точке равен . Это — простое следствие леммы Шварца . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle f(z_{0})=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle \phi }$

Как следствие теоремы, любые два односвязных открытых подмножества сферы Римана , у которых отсутствует по крайней мере две точки сферы, могут быть конформно отображены друг в друга.

История

Теорема была сформулирована (в предположении, что граница кусочно -гладкая) Бернхардом Риманом в 1851 году в его докторской диссертации. Ларс Альфорс однажды написал относительно первоначальной формулировки теоремы, что она была «в конечном итоге сформулирована в терминах, которые бросили бы вызов любой попытке доказательства, даже современными методами». ^[2] Несовершенное доказательство Римана зависело от принципа Дирихле (названного самим Риманом), который в то время считался обоснованным. Однако Карл Вейерштрасс обнаружил, что этот принцип не является универсально верным. Позже Давид Гильберт смог доказать, что в значительной степени принцип Дирихле верен в рамках гипотезы, с которой работал Риман. Однако для того, чтобы быть верным, принцип Дирихле нуждается в определенных гипотезах относительно границы (а именно, что это жорданова кривая), которые не верны для односвязных областей в целом. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$

Первое строгое доказательство теоремы было дано Уильямом Фоггом Осгудом в 1900 году. Он доказал существование функции Грина на произвольных односвязных областях, отличных от нее самой; это установило теорему Римана об отображении. ^[3] ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Константин Каратеодори дал еще одно доказательство теоремы в 1912 году, которое было первым, полностью полагавшимся на методы теории функций, а не на теорию потенциала . ^[4] Его доказательство использовало концепцию нормальных семейств Монтеля, которая стала стандартным методом доказательства в учебниках. ^[5] Каратеодори продолжил в 1913 году, решив дополнительный вопрос о том, можно ли расширить отображение Римана между областями до гомеоморфизма границ (см. теорему Каратеодори ). ^[6]

Доказательство Каратеодори использовало римановы поверхности , и было упрощено Полом Кёбе два года спустя таким образом, что они не требовались. Другое доказательство, принадлежащее Липоту Фейеру и Фридьешу Риссу , было опубликовано в 1922 году и было гораздо короче предыдущих. В этом доказательстве, как и в доказательстве Римана, искомое отображение было получено как решение экстремальной задачи. Доказательство Фейера–Рисса было еще больше упрощено Александром Островским и Каратеодори. ^[7]

Важность

Следующие пункты подробно описывают уникальность и силу теоремы об отображении Римана:

• Даже относительно простые отображения Римана (например, отображение из внутренней части круга во внутреннюю часть квадрата) не имеют явной формулы, использующей только элементарные функции .
• Односвязные открытые множества на плоскости могут быть очень сложными, например, граница может быть нигде не дифференцируемой фрактальной кривой бесконечной длины, даже если само множество ограничено. Одним из таких примеров является кривая Коха . ^[8] Тот факт, что такое множество может быть отображено с сохранением углов в хороший и регулярный единичный круг, кажется противоречащим интуиции.
• Аналог теоремы Римана об отображении для более сложных областей неверен. Следующий простейший случай — двусвязные области (области с одним отверстием). Любая двусвязная область, за исключением проколотого диска и проколотой плоскости, конформно эквивалентна некоторому кольцу с , однако между кольцами нет конформных отображений, за исключением инверсии и умножения на константы, поэтому кольцо не является конформно эквивалентным кольцу (что можно доказать с помощью экстремальной длины ). ${\displaystyle \{z:r<|z|<1\}}$ ${\displaystyle 0<r<1}$ ${\displaystyle \{z:1<|z|<2\}}$ ${\displaystyle \{z:1<|z|<4\}}$
• Аналог теоремы Римана об отображении в трех и более действительных измерениях неверен. Семейство конформных отображений в трех измерениях очень бедно и по сути содержит только преобразования Мёбиуса (см. теорему Лиувилля ).
• Даже если допускаются произвольные гомеоморфизмы в высших измерениях, можно найти стягиваемые многообразия , которые не гомеоморфны шару ( например, континуум Уайтхеда ).
• Аналог теоремы Римана об отображении в нескольких комплексных переменных также неверен. В ( ) шар и полидиск оба односвязны, но между ними нет биголоморфного отображения. ^[9] ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle n\geq 2}$

Доказательство через обычные семьи

Простое подключение

Теорема. Для открытой области следующие условия эквивалентны: ^[10] ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$

1. ${\displaystyle G}$просто связано;
2. интеграл каждой голоморфной функции по замкнутой кусочно-гладкой кривой в равен нулю; ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle G}$
3. каждая голоморфная функция в является производной голоморфной функции; ${\displaystyle G}$
4. каждая нигде не исчезающая голоморфная функция на имеет голоморфный логарифм; ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle G}$
5. каждая нигде не исчезающая голоморфная функция на имеет голоморфный квадратный корень; ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G}$
6. для любого число оборотов для любой кусочно-гладкой замкнутой кривой в равно ; ${\displaystyle w\notin G}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle 0}$
7. дополнение в расширенной комплексной плоскости связно. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$

(1) ⇒ (2) поскольку любая непрерывная замкнутая кривая с базовой точкой может быть непрерывно деформирована до постоянной кривой . Таким образом, линейный интеграл по кривой равен . ${\displaystyle a\in G}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f\,\mathrm {d} z}$ ${\displaystyle 0}$

(2) ⇒ (3), поскольку интеграл по любому кусочно-гладкому пути от до можно использовать для определения примитива. ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle z}$

(3) ⇒ (4) путем интегрирования вдоль от до, чтобы получить ветвь логарифма. ${\displaystyle f^{-1}\,\mathrm {d} f/\mathrm {d} z}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x}$

(4) ⇒ (5) извлекая квадратный корень как , где — голоморфный выбор логарифма. ${\displaystyle g(z)=\exp(f(x)/2)}$ ${\displaystyle f}$

(5) ⇒ (6) поскольку если — кусочно-замкнутая кривая и — последовательные квадратные корни из для снаружи , то число оборотов около равно умноженному на число оборотов около . Следовательно, число оборотов около должно делиться на для всех , поэтому оно должно быть равно . ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle z-w}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f_{n}\circ \gamma }$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 0}$

(6) ⇒ (7) в противном случае расширенную плоскость можно записать как несвязное объединение двух открытых и замкнутых множеств и с и ограниченными. Пусть будет кратчайшим евклидовым расстоянием между и и построим квадратную сетку на с длиной с точкой в ​​центре квадрата. Пусть будет компактным множеством объединения всех квадратов с расстоянием от . Тогда и не пересекает или : он состоит из конечного числа горизонтальных и вертикальных сегментов, образуя конечное число замкнутых прямоугольных путей . Если принять за все квадраты, покрывающие , то равно сумме чисел оборотов над , таким образом, получая . С другой стороны, сумма чисел оборотов около равна . Следовательно, число оборотов по крайней мере одного из около отлично от нуля. ${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}\setminus G}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \infty \in B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \delta /4}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \leq \delta /4}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C\cap B=\varnothing }$ ${\displaystyle \partial C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \gamma _{j}\in G}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{\partial C}\mathrm {d} \mathrm {arg} (z-a)}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \gamma _{j}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \gamma _{j}}$ ${\displaystyle a}$

(7) ⇒ (1) Это чисто топологическое рассуждение. Пусть будет кусочно-гладкой замкнутой кривой с основанием в . По приближению γ находится в том же гомотопическом классе, что и прямоугольный путь на квадратной сетке длины с основанием в ; такой прямоугольный путь определяется последовательностью последовательных направленных вертикальных и горизонтальных сторон. По индукции по такой путь можно деформировать в постоянный путь в углу сетки. Если путь пересекается в точке , то он распадается на два прямоугольных пути длины и, таким образом, может быть деформирован в постоянный путь в по индукционной гипотезе и элементарным свойствам фундаментальной группы . Рассуждение следует "северо-восточному аргументу": ^{[11] [12]} в несамопересекающемся пути будет угол с наибольшей действительной частью (восточный), а затем среди них один с наибольшей мнимой частью (северный). Меняя направление, если необходимо, путь идет от к , затем к для , а затем идет влево к . Пусть будет открытым прямоугольником с этими вершинами. Число оборотов пути равно для точек справа от вертикального отрезка от до и для точек справа; и, следовательно, внутри . Поскольку число оборотов равно off , лежит в . Если является точкой пути, она должна лежать в ; если находится на , но не на пути, по непрерывности число оборотов пути около равно , поэтому также должно лежать в . Следовательно , . Но в этом случае путь можно деформировать, заменив три стороны прямоугольника на четвертую, в результате чего сторон будет на две меньше (с разрешенными самопересечениями). ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle z_{0}\in G}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle z_{1}}$ ${\displaystyle <N}$ ${\displaystyle z_{1}}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle z_{0}-\delta }$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle w_{0}=z_{0}-in\delta }$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle w_{0}-\delta }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle w_{0}}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \partial R}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle R\cup \partial R\subset G}$

Теорема Римана об отображении

• Теорема Вейерштрасса о сходимости. Равномерный предел на компактах последовательности голоморфных функций голоморфен; аналогично для производных.

Это является непосредственным следствием теоремы Мореры для первого утверждения. Интегральная формула Коши дает формулу для производных, которую можно использовать для проверки того, что производные также сходятся равномерно на компактах. ^[13]

• Теорема Гурвица . Если последовательность голоморфных функций, не обращающихся в нуль, на открытой области имеет равномерный предел на компактах, то либо предел тождественно равен нулю, либо предел не обращается в нуль. Если последовательность голоморфных функций, не обращающихся в нуль, на открытой области имеет равномерный предел на компактах, то либо предел постоянен, либо предел однозначен.

Если предельная функция не равна нулю, то ее нули должны быть изолированы. Нули с кратностями можно подсчитать по числу оборотов для голоморфной функции . Следовательно, числа оборотов непрерывны при равномерных пределах, так что если каждая функция в последовательности не имеет нулей, то и предел не может быть равен нулю. Для второго утверждения предположим, что и положим . Они нигде не исчезают на диске, но исчезают при , поэтому должны исчезать тождественно. ^[14] ${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}g^{-1}(z)g'(z)\mathrm {d} z}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f(a)=f(b)}$ ${\displaystyle g_{n}(z)=f_{n}(z)-f_{n}(a)}$ ${\displaystyle g(z)=f(z)-f(a)}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle g}$

Определения. Семейство голоморфных функций на открытой области называется нормальным , если любая последовательность функций в имеет подпоследовательность, которая сходится к голоморфной функции равномерно на компактах. Семейство компактно , если всякий раз, когда последовательность лежит в и сходится равномерно к на компактах, то также лежит в . Семейство называется локально ограниченным , если их функции равномерно ограничены на каждом компактном диске. Дифференцируя интегральную формулу Коши , следует, что производные локально ограниченного семейства также локально ограничены. ^{[15] [16]} ${\displaystyle {\cal {F}}}$ ${\displaystyle {\cal {F}}}$ ${\displaystyle {\cal {F}}}$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle {\cal {F}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\cal {F}}}$ ${\displaystyle {\cal {F}}}$

• Теорема Монтеля . Каждое локально ограниченное семейство голоморфных функций в областиявляется нормальным. ${\displaystyle G}$

Пусть будет вполне ограниченной последовательностью и выберем счетное плотное подмножество . В силу локальной ограниченности и «диагонального аргумента» можно выбрать подпоследовательность так, чтобы она сходилась в каждой точке . Необходимо проверить, что эта последовательность голоморфных функций сходится на равномерно на каждом компакте . Возьмем открытое с таким, что замыкание компактно и содержит . Поскольку последовательность локально ограничена, на . В силу компактности, если берется достаточно малым, требуется конечное число открытых дисков радиуса для покрытия , оставаясь в . Так как ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle w_{m}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g_{n}}$ ${\displaystyle w_{m}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle K\subset E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \{g_{n}'\}}$ ${\displaystyle |g_{n}'|\leq M}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle D_{k}}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle g_{n}(b)-g_{n}(a)=\int _{a}^{b}g_{n}^{\prime }(z)\,dz}$,

у нас есть . Теперь для каждого выбираем некоторые в , где сходится, берем и настолько большими, чтобы быть в пределах его предела. Тогда для , ${\displaystyle |g_{n}(a)-g_{n}(b)|\leq M|a-b|\leq 2\delta M}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle w_{i}}$ ${\displaystyle D_{k}}$ ${\displaystyle g_{n}(w_{i})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle z\in D_{k}}$

${\displaystyle |g_{n}(z)-g_{m}(z)|\leq |g_{n}(z)-g_{n}(w_{i})|+|g_{n}(w_{i})-g_{m}(w_{i})|+|g_{m}(w_{1})-g_{m}(z)|\leq 4M\delta +2\delta .}$

Следовательно, последовательность образует последовательность Коши в равномерной норме на , как и требуется. ^{[17] [18]} ${\displaystyle \{g_{n}\}}$ ${\displaystyle K}$

• Теорема об отображении Римана. Если — односвязная область и , то существует единственное конформное отображение на единичный круг, нормализованное такое, что и . ${\displaystyle G\neq \mathbb {C} }$ ${\displaystyle a\in G}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle f(a)=0}$ ${\displaystyle f'(a)>0}$

Уникальность следует из того, что если и удовлетворяют тем же условиям, то будет однозначным голоморфным отображением единичного круга с и . Но по лемме Шварца однозначные голоморфные отображения единичного круга на себя задаются преобразованиями Мёбиуса ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h=f\circ g^{-1}}$ ${\displaystyle h(0)=0}$ ${\displaystyle h'(0)>0}$

${\displaystyle k(z)=e^{i\theta }(z-\alpha )/(1-{\overline {\alpha }}z)}$

с . Так же должна быть и карта идентичности и . ${\displaystyle |\alpha |<1}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle f=g}$

Для доказательства существования возьмем в качестве семейства голоморфных однолистных отображений в открытый единичный круг с и . Это нормальное семейство по теореме Монтеля. По характеризации односвязности, для существует голоморфная ветвь квадратного корня в . Оно однолистно и для . Так как должно содержать замкнутый круг с центром и радиусом , никакие точки из не могут лежать в . Пусть будет единственным преобразованием Мёбиуса, включающим в с нормализацией и . По построению находится в , так что непусто . Метод Кёбе заключается в использовании экстремальной функции для получения конформного отображения, решающего задачу: в этой ситуации его часто называют функцией Альфорса G , в честь Альфорса . ^[19] Пусть будет супремумом для . Пик со стремлением к . По теореме Монтеля, переходя к подпоследовательности, если необходимо, стремится к голоморфной функции равномерно на компактах. По теореме Гурвица либо однолистна, либо постоянна. Но имеет и . Поэтому конечна, равна и . Осталось проверить, что конформное отображение принимает на . Если нет, то взять в и пусть будет голоморфным квадратным корнем из на . Функция однолистна и отображается в . Пусть ${\displaystyle {\cal {F}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle f(a)=0}$ ${\displaystyle f'(a)>0}$ ${\displaystyle b\in \mathbb {C} \setminus G}$ ${\displaystyle h(z)={\sqrt {z-b}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle h(z_{1})\neq -h(z_{2})}$ ${\displaystyle z_{1},z_{2}\in G}$ ${\displaystyle h(G)}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle h(a)}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle -\Delta }$ ${\displaystyle h(G)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus -\Delta }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle F(h(a))=0}$ ${\displaystyle F'(h(a))>0}$ ${\displaystyle F\circ h}$ ${\displaystyle {\cal {F}}}$ ${\displaystyle {\cal {F}}}$ ${\displaystyle 0<M\leq \infty }$ ${\displaystyle f'(a)}$ ${\displaystyle f\in {\cal {F}}}$ ${\displaystyle f_{n}\in {\cal {F}}}$ ${\displaystyle f_{n}'(a)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(a)=0}$ ${\displaystyle f'(a)>0}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f'(a)>0}$ ${\displaystyle {f\in {\cal {F}}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle c\neq 0}$ ${\displaystyle D\setminus f(G)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle (f(z)-c)/(1-{\overline {c}}f(z))}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle D}$

${\displaystyle F(z)={\frac {e^{i\theta }(H(z)-H(a))}{1-{\overline {H(a)}}H(z)}},}$

где . Тогда и обычное вычисление показывает, что ${\displaystyle H'(a)/|H'(a)|=e^{-i\theta }}$ ${\displaystyle F\in {\cal {F}}}$

${\displaystyle F'(a)=H'(a)/(1-|H(a)|^{2})=f'(a)\left({\sqrt {|c|}}+{\sqrt {|c|^{-1}}}\right)/2>f'(a)=M.}$

Это противоречит максимальности , поэтому должно принимать все значения в . ^{[20] [21] [22]} ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D}$

Замечание. Как следствие теоремы Римана об отображении, каждая односвязная область на плоскости гомеоморфна единичному кругу. Если точки опущены, это следует из теоремы. Для всей плоскости гомеоморфизм дает гомеоморфизм на . ${\displaystyle \phi (x)=z/(1+|z|)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle D}$

Параллельные щелевые отображения

Теорема униформизации Кёбе для нормальных семейств также обобщается, чтобы дать униформизаторы для многосвязных областей до конечных параллельных щелевых областей , где щели имеют угол к оси x . Таким образом, если есть область в , содержащая и ограниченная конечным числом жордановых контуров, существует единственная однолистная функция на с ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle f(z)=z^{-1}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\cdots }$

вблизи , максимизируя и имея изображение параллельной щелевой области с углом к ​​оси x . ^{[23] [24] [25]} ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \mathrm {Re} (e^{-2i\theta }a_{1})}$ ${\displaystyle f(G)}$ ${\displaystyle \theta }$

Первое доказательство того, что области с параллельными щелями являются каноническими областями для в многосвязном случае, было дано Давидом Гильбертом в 1909 году. Дженкинс (1958) в своей книге об однолистных функциях и конформных отображениях дал трактовку, основанную на работах Герберта Грётша и Рене де Посселя начала 1930-х годов; она была предшественником квазиконформных отображений и квадратичных дифференциалов , позднее развитых как техника экстремальной метрики благодаря Освальду Тейхмюллеру . ^[26] Менахем Шиффер дал трактовку, основанную на очень общих вариационных принципах , обобщенных в его выступлениях на Международном конгрессе математиков в 1950 и 1958 годах. В теореме о «граничной вариации» (чтобы отличить ее от «внутренней вариации») он вывел дифференциальное уравнение и неравенство, которые опирались на теоретико-мерную характеристику прямолинейных сегментов, принадлежащую Угтреду Шаттлворту Хасламу-Джонсу с 1936 года. Доказательство Хаслама-Джонса считалось сложным и было дано удовлетворительное доказательство только в середине 1970-х годов Шобером и Кэмпбеллом-Ламурё. ^{[27] [28] [29]}

Шифф (1993) дал доказательство униформизации для областей с параллельными щелями, которое было похоже на теорему об отображении Римана. Для упрощения обозначений будут взяты горизонтальные щели. Во-первых, по неравенству Бибербаха любая однолистная функция

${\displaystyle g(z)=z+cz^{2}+\cdots }$

с в открытом единичном диске должен удовлетворять . Как следствие, если ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle |c|\leq 2}$

${\displaystyle f(z)=z+a_{0}+a_{1}z^{-1}+\cdots }$

одновалентен в , тогда . Чтобы увидеть это, возьмите и установите ${\displaystyle |z|>R}$ ${\displaystyle |f(z)-a_{0}|\leq 2|z|}$ ${\displaystyle S>R}$

${\displaystyle g(z)=S(f(S/z)-b)^{-1}}$

для в единичном круге, выбрав так, чтобы знаменатель нигде не обращался в ноль, и применить лемму Шварца . Далее функция характеризуется "экстремальным условием" как единственная однолистная функция в форме, которая максимизирует : это является непосредственным следствием теоремы Гренвалла о площадях , примененной к семейству однолистных функций в . ^{[30] [31]} ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle f_{R}(z)=z+R^{2}/z}$ ${\displaystyle z>R}$ ${\displaystyle z+a_{1}z^{-1}+\cdots }$ ${\displaystyle \mathrm {Re} (a_{1})}$ ${\displaystyle f(zR)/R}$ ${\displaystyle z>1}$

Теперь докажем, что многосвязную область можно униформизировать с помощью горизонтального параллельного щелевого конформного отображения. ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$

${\displaystyle f(z)=z+a_{1}z^{-1}+\cdots }$,

взять достаточно большим, чтобы лежало в открытом круге . Для , однолистность и оценка подразумевают, что если лежит в с , то . Поскольку семейство однолистных локально ограничено в , по теореме Монтеля они образуют нормальное семейство. Более того, если входит в семейство и стремится к равномерно на компактах, то входит также в семейство и каждый коэффициент разложения Лорана в стремится к соответствующему коэффициенту . Это относится, в частности, к коэффициенту: поэтому по компактности существует однолистность, которая максимизирует . Чтобы проверить, что ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \partial G}$ ${\displaystyle |z|<R}$ ${\displaystyle S>R}$ ${\displaystyle |f(z)|\leq 2|z|}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle |z|\leq S}$ ${\displaystyle |f(z)|\leq 2S}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle G\setminus \{\infty \}}$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathrm {Re} (a_{1})}$

${\displaystyle f(z)=z+a_{1}+\cdots }$

является требуемым параллельным щелевым преобразованием, предположим, что reductio ad absurdum имеет компактную и связную компоненту своей границы, которая не является горизонтальной щелью. Тогда дополнение в просто связано с . По теореме Римана об отображении существует конформное отображение ${\displaystyle f(G)=G_{1}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G_{2}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle G_{2}\supset G_{1}}$

${\displaystyle h(w)=w+b_{1}w^{-1}+\cdots ,}$

такой, что есть с удаленной горизонтальной щелью. Итак, у нас есть, что ${\displaystyle h(G_{2})}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle h(f(z))=z+(a_{1}+b_{1})z^{-1}+\cdots ,}$

и, таким образом, по экстремальности . Следовательно, . С другой стороны, по теореме Римана об отображении существует конформное отображение ${\displaystyle \mathrm {Re} (a_{1}+b_{1})\leq \mathrm {Re} (a_{1})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathrm {Re} (b_{1})\leq 0}$

${\displaystyle k(w)=w+c_{0}+c_{1}w^{-1}+\cdots ,}$

отображение из на . Тогда ${\displaystyle |w|>S}$ ${\displaystyle G_{2}}$

${\displaystyle f(k(w))-c_{0}=w+(a_{1}+c_{1})w^{-1}+\cdots .}$

По строгой максимальности для щелевого отображения в предыдущем абзаце, мы можем видеть, что , так что . Два неравенства для противоречивы. ^{[32] [33] [34]} ${\displaystyle \mathrm {Re} (c_{1})<\mathrm {Re} (b_{1}+c_{1})}$ ${\displaystyle \mathrm {Re} (b_{1})>0}$ ${\displaystyle \mathrm {Re} (b_{1})}$

Доказательство единственности конформного преобразования параллельных щелей приведено в работах Голузина (1969) и Грунского (1978). Применяя обратное преобразование Жуковского к области горизонтальных щелей, можно предположить, что — область, ограниченная единичной окружностью и содержащая аналитические дуги и изолированные точки (образы других обратных преобразований Жуковского при других параллельных горизонтальных щелях). Таким образом, при фиксированном , существует однолистное отображение ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle C_{0}}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle a\in G}$

${\displaystyle F_{0}(w)=h\circ f(w)=(w-a)^{-1}+a_{1}(w-a)+a_{2}(w-a)^{2}+\cdots ,}$

с его изображением горизонтальной щелевой области. Предположим, что это другой униформизатор с ${\displaystyle F_{1}(w)}$

${\displaystyle F_{1}(w)=(w-a)^{-1}+b_{1}(w-a)+b_{2}(w-a)^{2}+\cdots .}$

Изображения под или каждого имеют фиксированную y -координату, поэтому являются горизонтальными сегментами. С другой стороны, голоморфна в . Если она постоянна, то она должна быть тождественно нулевой, так как . Предположим , что непостоянна, тогда по предположению все горизонтальные прямые. Если не находится ни в одной из этих прямых, принцип аргумента Коши показывает, что число решений в равно нулю (любое в конечном итоге будет окружено контурами в , близкими к 's). Это противоречит тому факту, что непостоянная голоморфная функция является открытым отображением . ^[35] ${\displaystyle F_{0}}$ ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle F_{2}(w)=F_{0}(w)-F_{1}(w)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F_{2}(a)=0}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle F_{2}(C_{i})}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle F_{2}(w)=t}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle F_{2}}$

Эскиз доказательства с помощью задачи Дирихле

Для заданной и точки мы хотим построить функцию , которая отображается на единичный круг и на . Для этого наброска мы предположим, что U ограничено и его граница гладкая, как это делал Риман. Запишите ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle z_{0}\in U}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle 0}$

${\displaystyle f(z)=(z-z_{0})e^{g(z)},}$

где — некоторая (подлежащая определению) голоморфная функция с действительной частью и мнимой частью . Тогда ясно, что — единственный нуль . Мы требуем для , поэтому нам нужно ${\displaystyle g=u+iv}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |f(z)|=1}$ ${\displaystyle z\in \partial U}$

${\displaystyle u(z)=-\log |z-z_{0}|}$

на границе. Поскольку — действительная часть голоморфной функции, мы знаем, что — обязательно гармоническая функция ; т. е. она удовлетворяет уравнению Лапласа . ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u}$

Тогда возникает вопрос: существует ли действительно значная гармоническая функция , которая определена на всех и имеет заданное граничное условие? Положительный ответ дается принципом Дирихле . Как только существование установлено, уравнения Коши–Римана для голоморфной функции позволяют нам найти (этот аргумент зависит от предположения, что быть односвязными). После того, как и построены, нужно проверить, что полученная функция действительно обладает всеми требуемыми свойствами. ^[36] ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle f}$

Теорема униформизации

Теорему об отображении Римана можно обобщить на контекст римановых поверхностей : если — непустое односвязное открытое подмножество римановой поверхности , то является биголоморфным одному из следующих множеств: сфере Римана , комплексной плоскости или единичному кругу . Это известно как теорема об униформизации . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle D}$

Теорема о гладком отображении Римана

В случае односвязной ограниченной области с гладкой границей функция отображения Римана и все ее производные по непрерывности продолжаются на замыкание области. Это можно доказать, используя свойства регулярности решений краевой задачи Дирихле, которые следуют либо из теории пространств Соболева для плоских областей , либо из классической теории потенциала . Другие методы доказательства теоремы о гладком отображении Римана включают теорию ядерных функций ^[37] или уравнение Бельтрами .

Алгоритмы

Вычислительное конформное отображение играет важную роль в задачах прикладного анализа и математической физики, а также в инженерных дисциплинах, таких как обработка изображений.

В начале 1980-х годов был открыт элементарный алгоритм для вычисления конформных отображений. Заданные точки на плоскости, алгоритм вычисляет явное конформное отображение единичного круга на область, ограниченную жордановой кривой с Этот алгоритм сходится для жордановых областей ^[38] в смысле равномерно близких границ. Существуют соответствующие равномерные оценки на замкнутой области и замкнутом круге для функций отображения и их обратных. Улучшенные оценки получаются, если точки данных лежат на кривой или K - квазиокружности . Алгоритм был открыт как приближенный метод для конформной сварки; однако его также можно рассматривать как дискретизацию дифференциального уравнения Левнера . ^[39] ${\displaystyle z_{0},\ldots ,z_{n}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle z_{0},\ldots ,z_{n}\in \gamma .}$ ${\displaystyle C^{1}}$

Известно следующее о численной аппроксимации конформного отображения между двумя плоскими областями. ^[40]

Положительные результаты:

• Существует алгоритм A, который вычисляет униформизирующую карту в следующем смысле. Пусть будет ограниченной односвязной областью, и . предоставляется A оракулом, представляющим ее в пиксельном смысле (т. е. если экран разделен на пиксели, оракул может сказать, принадлежит ли каждый пиксель границе или нет). Затем A вычисляет абсолютные значения униформизирующей карты с точностью в пространстве, ограниченном и временем , где зависит только от диаметра и Кроме того, алгоритм вычисляет значение с точностью до тех пор, пока Более того, A запрашивает с точностью не более В частности, если является полиномиальным пространством, вычислимым в пространстве для некоторой константы и времени , то A можно использовать для вычисления униформизирующей карты в пространстве и времени ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle w_{0}\in \Omega }$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle 2^{n}\times 2^{n}}$ ${\displaystyle \phi :(\Omega ,w_{0})\to (D,0)}$ ${\displaystyle 2^{-n}}$ ${\displaystyle Cn^{2}}$ ${\displaystyle 2^{O(n)}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle d(w_{0},\partial \Omega ).}$ ${\displaystyle \phi (w)}$ ${\displaystyle 2^{-n}}$ ${\displaystyle |\phi (w)|<1-2^{-n}.}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle 2^{-O(n)}.}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle n^{a}}$ ${\displaystyle a\geq 1}$ ${\displaystyle T(n)<2^{O(n^{a})},}$ ${\displaystyle C\cdot n^{\max(a,2)}}$ ${\displaystyle 2^{O(n^{a})}.}$

• Существует алгоритм A′, который вычисляет униформизирующую карту в следующем смысле. Пусть будет ограниченной односвязной областью, и Предположим, что для некоторого задано для A′ с точностью в пикселях. Тогда A′ вычисляет абсолютные значения униформизирующей карты с точностью до погрешности в рандомизированном пространстве, ограниченном и полиномиальным по времени (то есть с помощью BPL( n )-машины). Более того, алгоритм вычисляет значение с точностью до тех пор, пока ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle w_{0}\in \Omega .}$ ${\displaystyle n=2^{k},}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}}$ ${\displaystyle O(n^{2})}$ ${\displaystyle \phi :(\Omega ,w_{0})\to (D,0)}$ ${\displaystyle O(1/n)}$ ${\displaystyle O(k)}$ ${\displaystyle n=2^{k}}$ ${\displaystyle \phi (w)}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}}$ ${\displaystyle |\phi (w)|<1-{\tfrac {1}{n}}.}$

Отрицательные результаты:

• Предположим, что есть алгоритм A, который для заданной односвязной области с линейно-вычислимой границей, внутренним радиусом и числом вычисляет первые цифры конформного радиуса , тогда мы можем использовать один вызов A для решения любого экземпляра #SAT ( n ) с линейными затратами времени. Другими словами, #P сводится за поли-время к вычислению конформного радиуса множества. ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle >1/2}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 20n}$ ${\displaystyle r(\Omega ,0),}$

• Рассмотрим задачу вычисления конформного радиуса односвязной области , граница которой задана с точностью явным набором пикселей. Обозначим задачу вычисления конформного радиуса с точностью Тогда , сводится ли AC0 к для любого ${\displaystyle \Omega ,}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle 1/n}$ ${\displaystyle O(n^{2})}$ ${\displaystyle 1/n^{c}}$ ${\displaystyle {\texttt {CONF}}(n,n^{c}).}$ ${\displaystyle {\texttt {MAJ}}_{n}}$ ${\displaystyle {\texttt {CONF}}(n,n^{c})}$ ${\displaystyle 0<c<{\tfrac {1}{2}}.}$

Смотрите также

• Теорема об измеримом отображении Римана
• Отображение Шварца–Кристоффеля – конформное преобразование верхней полуплоскости на внутреннюю часть простого многоугольника.
• Конформный радиус

Примечания

1. Существование f эквивалентно существованию функции Грина .
2. Альфорс, Ларс (1953), Л. Альфорс; Э. Калаби; М. Морзе; Л. Сарио; Д. Спенсер (ред.), «Развитие теории конформного отображения и римановых поверхностей на протяжении столетия», Вклад в теорию римановых поверхностей : 3–4
3. Оригинальную статью см. в Osgood 1900. Исторические отчеты см. в Walsh 1973, стр. 270–271; Gray 1994, стр. 64–65; Greene & Kim 2017, стр. 4. Также см. Carathéodory 1912, стр. 108, сноска ** (признавая, что Osgood 1900 уже доказал теорему Римана об отображении).
4. Gray 1994, стр. 78–80, цитируя Carathéodory 1912
5. Грин и Ким 2017, стр. 1
6. Грей 1994, стр. 80–83.
7. «Что внес Риман в математику? Геометрия, теория чисел и другие» (PDF) .
8. Лахтакия, Ахлеш; Варадан, Виджай К.; Мессье, Рассел (август 1987 г.). «Обобщения и рандомизация плоской кривой Коха». Журнал физики A: Mathematical and General . 20 (11): 3537–3541. doi :10.1088/0305-4470/20/11/052.
9. Реммерт 1998, раздел 8.3, с. 187
10. См.
    • Альфорс 1978
    • Бирдон 1979
    • Конвей 1978
    • Гамелен 2001
11. Gamelin 2001, стр. 256–257, элементарное доказательство
12. Беренштейн и Гей 1991, стр. 86–87.
13. Гамелен 2001
14. Гамелен 2001
15. Дюрен 1983
16. Яних 1993
17. Дюрен 1983
18. Яних 1993
19. Гамелен 2001, стр. 309
20. Дюрен 1983
21. Яних 1993
22. Альфорс 1978
23. Дженкинс 1958, стр. 77–78.
24. Дюрен 1980
25. Шифф 1993, стр. 162–166.
26. Дженкинс 1958, стр. 77–78.
27. Шобер 1975
28. Дюрен 1980
29. Дюрен 1983
30. Шифф 1993
31. Голузин 1969, стр. 210–216.
32. Шифф 1993
33. Голузин 1969, стр. 210–216.
34. Нехари 1952, стр. 351–358.
35. Голузин 1969, стр. 214−215
36. Гамелен 2001, стр. 390–407
37. Белл 1992
38. Жорданова область — это внутренняя часть жордановой кривой .
39. Маршалл, Дональд Э.; Роде, Штеффен (2007). «Сходимость варианта алгоритма Zipper для конформного отображения». Журнал SIAM по численному анализу . 45 (6): 2577. CiteSeerX 10.1.1.100.2423 . doi :10.1137/060659119. 
40. Биндер, Илья; Браверман, Марк; Ямпольский, Майкл (2007). «О вычислительной сложности отображения Римана». Архив математики . 45 (2): 221. arXiv : math/0505617 . Bibcode :2007ArM....45..221B. doi :10.1007/s11512-007-0045-x. S2CID  14545404.

Ссылки

• Альфорс, Ларс В. (1978), Комплексный анализ. Введение в теорию аналитических функций одной комплексной переменной , Международная серия по чистой и прикладной математике (3-е изд.), McGraw-Hill, ISBN 0070006571
• Бирдон, Алан Ф. (1979), Комплексный анализ. Принцип аргумента в анализе и топологии , John Wiley & Sons, ISBN 0471996718
• Белл, Стивен Р. (1992), Преобразование Коши, теория потенциала и конформное отображение , Исследования по высшей математике, CRC Press, ISBN 0-8493-8270-X
• Беренштейн, Карлос А.; Гей, Роджер (1991), Комплексные переменные. Введение , Graduate Texts in Mathematics, т. 125, Springer-Verlag , ISBN 0387973494
• Каратеодори, К. (1912), «Untersuchungen über die konformen Abbildungen von festen und veranderlichen Gebieten», Mathematische Annalen , 72 : 107–144, doi : 10.1007/bf01456892, S2CID  115544426
• Конвей, Джон Б. (1978), Функции одной комплексной переменной , Springer-Verlag , ISBN 0-387-90328-3
• Конвей, Джон Б. (1995), Функции одной комплексной переменной II , Springer-Verlag , ISBN 0-387-94460-5
• Дюрен, ПЛ (1980), «Экстремальные задачи для однолистных функций», в Браннан, Д.А.; Клуни, Дж.Г. (ред.), Аспекты современного комплексного анализа , Academic Press, стр. 181–208, ISBN 9780121259501
• Дюрен, PL (1983), Одновалентные функции , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 259, Шпрингер-Верлаг, ISBN 0-387-90795-5
• Gamelin, Theodore W. (2001), Комплексный анализ , Бакалаврские тексты по математике, Springer, ISBN 0-387-95069-9
• Голузин, ГМ (1969), Геометрическая теория функций комплексного переменного , Переводы математических монографий, т. 26, Американское математическое общество
• Грей, Джереми (1994), «К истории теоремы об отображении Римана» (PDF) , Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. Серия II. Приложение (34): 47–94, MR  1295591.
• Грин, Роберт Э.; Ким , Кан-Тэ (2017), «Теорема об отображении Римана с точки зрения Римана», Комплексный анализ и его синергия , 3 , arXiv : 1604.04071 , doi : 10.1186/s40627-016-0009-7
• Гретч, Герберт (1932), «Über das Parallelschlitztheorem der konformen Abbildung schlichter Bereiche», Berichte über die Verhandlungen der Sächsischen Akademie der Wissenschaften zu Leipzig, Mathematisch-Physische Klasse (на немецком языке), 84 : 15–36, Zbl  0005.06 802
• Грунский, Хельмут (1978), Лекции по теории функций в многосвязных областях , Studia Mathematica, т. 4, Vandenhoeck & Ruprecht, ISBN 978-3-525-40142-2
• Йених, Клаус (1993), Funktionentheorie. Eine Einführung , Springer-Lehrbuch (на немецком языке) (3-е изд.), Springer-Verlag , ISBN 3540563377
• Дженкинс, Джеймс А. (1958), Однолистные функции и конформное отображение. , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, vol. 18, Шпрингер-Верлаг
• Кодаира, Кунихико (2007), Комплексный анализ , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, т. 107, Cambridge University Press, ISBN 9780521809375
• Кранц, Стивен Г. (2006), «Теорема об отображении Римана и ее обобщения», Геометрическая теория функций , Биркхойзер , стр. 83–108, ISBN 0-8176-4339-7
• Лахтакия, Ахлеш ; Варадан, Виджай К.; Мессье, Рассел; Варадан, Васундара (1987), «Обобщения и рандомизация плоской кривой Коха», Журнал физики A: Mathematical and General , 20 (11): 3537–3541, doi :10.1088/0305-4470/20/11/052
• Нехари, Зеев (1952), Конформное отображение , Dover Publications , ISBN 9780486611372
• Осгуд, У. Ф. (1900), «О существовании функции Грина для наиболее общей просто связной плоской области», Труды Американского математического общества , 1 (3), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество : 310–314, doi : 10.2307/1986285, ISSN  0002-9947, JFM  31.0420.01, JSTOR  1986285
• де Поссель, Рене (1931), «Zum Parallelschlitztheorm unendlich-vielfach zusammenhängender Gebiete», Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse (на немецком языке): 199–202
• Реммерт, Рейнхольд (1998), Классические темы в теории комплексных функций , перевод Лесли М. Кея , Springer-Verlag , ISBN 0-387-98221-3
• Риман, Бернхард (1851), Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse (PDF) (на немецком языке), Геттинген{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
• Шифф, Джоэл Л. (1993), Нормальные семьи , Universitext, Springer-Verlag , ISBN 0387979670
• Шобер, Гленн (1975), «Приложение C. Граничная вариация Шиффера и фундаментальная лемма», Унивалентные функции — избранные темы , Lecture Notes in Mathematics, т. 478, Springer-Verlag , стр. 181–190
• Уолш, Дж. Л. (1973), «История теоремы об отображении Римана», The American Mathematical Monthly , 80 (3): 270–276, doi :10.2307/2318448, ISSN  0002-9890, JSTOR  2318448, MR  0323996

Внешние ссылки

• Долженко, Е.П. (2001) [1994], "Теорема Римана", Энциклопедия математики , Издательство EMS Press