сфера Римана

Модель расширенной комплексной плоскости плюс бесконечная точка

Сферу Римана можно представить как плоскость комплексных чисел, обернутую вокруг сферы (с помощью некоторой формы стереографической проекции - подробности приведены ниже).

В математике сфера Римана , названная в честь Бернхарда Римана , ^[1] представляет собой модель расширенной комплексной плоскости (также называемой замкнутой комплексной плоскостью ): комплексная плоскость плюс одна точка на бесконечности . Эта расширенная плоскость представляет собой расширенные комплексные числа , то есть комплексные числа плюс значение бесконечности . В модели Римана точка близка к очень большим числам, так же как точка близка к очень малым числам. ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle 0}$

Расширенные комплексные числа полезны в комплексном анализе , поскольку в некоторых случаях они допускают деление на ноль , что делает такие выражения, как корректные . Например, любую рациональную функцию на комплексной плоскости можно расширить до голоморфной функции на сфере Римана, причем полюсы рациональной функции отображаются в бесконечность. В более общем смысле любую мероморфную функцию можно рассматривать как голоморфную функцию, кодовой областью которой является сфера Римана. ${\displaystyle 1/0=\infty }$

В геометрии сфера Римана является прототипом римановой поверхности и одним из простейших комплексных многообразий . В проективной геометрии сфера является примером комплексного проективного пространства и может рассматриваться как комплексная проективная линия , проективное пространство всех комплексных прямых в . Как и любую компактную риманову поверхность, сферу также можно рассматривать как проективную алгебраическую кривую , что делает ее фундаментальным примером в алгебраической геометрии . Он также находит применение в других дисциплинах, которые зависят от анализа и геометрии, таких как сфера Блоха в квантовой механике и в других разделах физики . ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}(\mathbf {C} )}$ ${\displaystyle \mathbf {C} ^{2}}$

Расширенные комплексные числа

Расширенные комплексные числа состоят из комплексных чисел вместе с . Набор расширенных комплексных чисел может быть записан как и часто обозначается добавлением к букве некоторых украшений , например: ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \mathbf {C} \cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$

${\displaystyle {\widehat {\mathbf {C} }},\quad {\overline {\mathbf {C} }},\quad {\text{or}}\quad \mathbf {C} _{\infty }.}$

Это обозначение также использовалось, но, поскольку оно также используется для проколотой плоскости , это может привести к двусмысленности. ^[2] ${\displaystyle \mathbf {C} ^{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {C} \setminus \{0\}}$

Геометрически набор расширенных комплексных чисел называется сферой Римана (или расширенной комплексной плоскостью ).

Арифметические операции

Сложение комплексных чисел можно расширить, определив для , ${\displaystyle z\in \mathbf {C} }$

${\displaystyle z+\infty =\infty }$

для любого комплексного числа , а умножение может быть определено формулой ${\displaystyle z}$

${\displaystyle z\times \infty =\infty }$

для всех ненулевых комплексных чисел , с . Обратите внимание, что и остаются неопределенными . В отличие от комплексных чисел, расширенные комплексные числа не образуют поля , поскольку не имеют ни аддитивного , ни мультипликативного обратного . Тем не менее принято определять деление на ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \infty \times \infty =\infty }$ ${\displaystyle \infty -\infty }$ ${\displaystyle 0\times \infty }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \mathbf {C} \cup \{\infty \}}$

${\displaystyle {\frac {z}{0}}=\infty \quad {\text{and}}\quad {\frac {z}{\infty }}=0}$

для всех ненулевых комплексных чисел с и . Частные и оставлены неопределенными. ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \infty /0=\infty }$ ${\displaystyle 0/\infty =0}$ ${\displaystyle 0/0}$ ${\displaystyle \infty /\infty }$

Рациональные функции

Любая рациональная функция (другими словами, представляет собой отношение полиномиальных функций и функций с комплексными коэффициентами, таких, что и не имеют общего множителя) может быть продолжена до непрерывной функции на сфере Римана. В частности, если комплексное число такое, что знаменатель равен нулю, а числитель не равен нулю, то его можно определить как . Более того, может быть определен как предел as , который может быть конечным или бесконечным. ${\displaystyle f(z)=g(z)/h(z)}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle g(z)}$ ${\displaystyle h(z)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle g(z)}$ ${\displaystyle h(z)}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle h(z_{0})}$ ${\displaystyle g(z_{0})}$ ${\displaystyle f(z_{0})}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle f(\infty )}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle z\to \infty }$

Набор комплексных рациональных функций, математическим символом которого является, образует все возможные голоморфные функции от сферы Римана до себя, если рассматривать ее как риманову поверхность , за исключением постоянной функции, принимающей значение всюду. Функции образуют алгебраическое поле, известное как поле рациональных функций на сфере . ${\displaystyle \mathbf {C} (z)}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \mathbf {C} (z)}$

Например, учитывая функцию

${\displaystyle f(z)={\frac {6z^{2}+1}{2z^{2}-50}}}$

мы можем определить , поскольку знаменатель равен нулю в точке , и поскольку как . Используя эти определения, становится непрерывной функцией от сферы Римана к самой себе. ${\displaystyle f(\pm 5)=\infty }$ ${\displaystyle \pm 5}$ ${\displaystyle f(\infty )=3}$ ${\displaystyle f(z)\to 3}$ ${\displaystyle z\to \infty }$ ${\displaystyle f}$

Как сложное многообразие

Как одномерное комплексное многообразие, сфера Римана может быть описана двумя картами , обе с областью действия, равной плоскости комплексных чисел . Пусть будет комплексное число в одной копии , и пусть будет комплексное число в другой копии . Определите каждое ненулевое комплексное число первого с ненулевым комплексным числом второго . Тогда карта ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle 1/\xi }$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{z}}}$

называется картой перехода между двумя копиями — так называемыми диаграммами — склеивающими их вместе. Поскольку отображения перехода голоморфны , они определяют комплексное многообразие, называемое сферой Римана . Как комплексное многообразие одного комплексного измерения (т.е. двух действительных измерений), оно также называется римановой поверхностью . ${\displaystyle \mathbf {C} }$

Интуитивно понятно, что карты перехода показывают, как склеить две плоскости, чтобы сформировать сферу Римана. Плоскости склеены «наизнанку», так что они перекрываются почти везде, при этом каждая плоскость вносит только одну точку (ее начало координат), недостающую в другую плоскость. Другими словами, (почти) каждая точка сферы Римана имеет как значение, так и значение, и эти два значения связаны соотношением . Точка, где должно иметь значение " "; в этом смысле начало -диаграммы играет роль в -диаграмме. Симметрично начало -диаграммы играет роль в -диаграмме. ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \zeta =1/\xi }$ ${\displaystyle \xi =0}$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle 1/0}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \xi }$

Топологически полученное пространство представляет собой одноточечную компактификацию плоскости в сферу. Однако сфера Римана — это не просто топологическая сфера. Это сфера с четко определенной комплексной структурой , так что вокруг каждой точки сферы существует окрестность, которую можно биголоморфно отождествить с . ${\displaystyle \mathbf {C} }$

С другой стороны, теорема униформизации , центральный результат в классификации римановых поверхностей, утверждает, что каждая односвязная риманова поверхность биголоморфна комплексной плоскости, гиперболической плоскости или римановой сфере. Из них сфера Римана — единственная, которая представляет собой замкнутую поверхность ( компактную поверхность без края ). Следовательно, двумерная сфера допускает уникальную комплексную структуру, превращающую ее в одномерное комплексное многообразие.

Поскольку комплексная проективная линия

Сферу Римана можно также определить как комплексную проективную прямую . Точки комплексной проективной прямой можно определить как классы эквивалентности ненулевых векторов в комплексном векторном пространстве : два ненулевых вектора и эквивалентны тогда и только тогда , когда для некоторого ненулевого коэффициента . ${\displaystyle \mathbf {C} ^{2}}$ ${\displaystyle (w,z)}$ ${\displaystyle (u,v)}$ ${\displaystyle (w,z)=(\lambda u,\lambda v)}$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbf {C} }$

В этом случае класс эквивалентности записывается с использованием проективных координат . Для любой точки комплексной проективной прямой одна из и должна быть ненулевой, скажем . Тогда по понятию эквивалентности, которое находится в карте риманового сферного многообразия. ^[3] ${\displaystyle [w,z]}$ ${\displaystyle [w,z]}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle w\neq 0}$ ${\displaystyle [w,z]=\left[1,z/w\right]}$

Такая трактовка сферы Римана наиболее легко связана с проективной геометрией. Например, любая прямая (или гладкая коника) на комплексной проективной плоскости биголоморфна комплексной проективной прямой. Это также удобно для изучения автоморфизмов сферы , о которых говорится далее в этой статье.

Как сфера

Стереографическая проекция комплексного числа A на точку α сферы Римана.

Сферу Римана можно представить как единичную сферу в трехмерном реальном пространстве . Для этого рассмотрим стереографическую проекцию единичной сферы минус точка на плоскость , которую мы отождествляем с комплексной плоскостью через . В декартовых координатах и ​​сферических координатах на сфере (с зенитом и азимутом ) проекция равна ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$ ${\displaystyle (0,0,1)}$ ${\displaystyle z=0,}$ ${\displaystyle \zeta =x+iy}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle (\theta ,\varphi )}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \zeta ={\frac {x+iy}{1-z}}={\cot }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\theta {\bigr )}\,e^{i\varphi }.}$

Аналогично записывается стереографическая проекция с на плоскость , отождествляемую с другой копией комплексной плоскости ${\displaystyle (0,0,-1)}$ ${\displaystyle z=0,}$ ${\displaystyle \xi =x-iy,}$

${\displaystyle \xi ={\frac {x-iy}{1+z}}={\tan }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\theta {\bigr )}\,e^{-i\varphi }.}$

Обратные стороны этих двух стереографических проекций представляют собой карты комплексной плоскости на сферу. Первое обратное покрывает сферу, кроме точки , а второе покрывает сферу, кроме точки . Две комплексные плоскости, являющиеся областями этих карт, по-разному идентифицируются с плоскостью , поскольку для поддержания последовательной ориентации на сфере необходимо изменение ориентации . ${\displaystyle (0,0,1)}$ ${\displaystyle (0,0,-1)}$ ${\displaystyle z=0}$

Карты перехода между -координатами и -координатами получаются путем составления одной проекции с обратной другой. Они оказываются и , как описано выше. Таким образом, единичная сфера диффеоморфна сфере Римана. ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \zeta =1/\xi }$ ${\displaystyle \xi =1/\zeta }$

В соответствии с этим диффеоморфизмом идентифицируются единичный круг на -карте, единичный круг на -карте и экватор единичной сферы. Единичный диск отождествляется с южным полушарием , а единичный диск — с северным полушарием . ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle |\zeta |<1}$ ${\displaystyle z<0}$ ${\displaystyle |\xi |<1}$ ${\displaystyle z>0}$

Метрика

Риманова поверхность не снабжена какой-либо конкретной римановой метрикой . Однако конформная структура римановой поверхности определяет класс метрик: все те, подчиненная конформная структура которых является заданной. Подробнее: Сложная структура римановой поверхности однозначно определяет метрику с точностью до конформной эквивалентности . (Две метрики называются конформно эквивалентными, если они различаются умножением на положительную гладкую функцию .) И наоборот, любая метрика на ориентированной поверхности однозначно определяет комплексную структуру, которая зависит от метрики только с точностью до конформной эквивалентности. Таким образом, сложные структуры на ориентированной поверхности находятся во взаимно однозначном соответствии с конформными классами метрик на этой поверхности.

Внутри данного конформного класса можно использовать конформную симметрию, чтобы найти представительную метрику с удобными свойствами. В частности, в любом конформном классе всегда существует полная метрика постоянной кривизны .

В случае сферы Римана теорема Гаусса – Бонне подразумевает, что метрика постоянной кривизны должна иметь положительную кривизну . Отсюда следует, что метрика должна быть изометрична сфере радиуса в стереографической проекции. В -карте на сфере Римана метрика с задается выражением ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle 1/{\sqrt {K}}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle K=1}$

${\displaystyle ds^{2}=\left({\frac {2}{1+|\zeta |^{2}}}\right)^{2}\,|d\zeta |^{2}={\frac {4}{\left(1+\zeta {\overline {\zeta }}\right)^{2}}}\,d\zeta \,d{\overline {\zeta }}.}$

В реальных координатах формула имеет вид ${\displaystyle \zeta =u+iv}$

${\displaystyle ds^{2}={\frac {4}{\left(1+u^{2}+v^{2}\right)^{2}}}\left(du^{2}+dv^{2}\right).}$

С точностью до постоянного множителя эта метрика согласуется со стандартной метрикой Фубини–Студи в комплексном проективном пространстве (примером которого является сфера Римана).

С точностью до масштабирования это единственная метрика на сфере, группа изометрий, сохраняющих ориентацию, трехмерна (и ни одна из них не является более чем трехмерной); эта группа называется . В этом смысле это, безусловно, самая симметричная метрика на сфере. (Группа всех изометрий, известная как , также является трехмерной, но в отличие от нее не является связным пространством.) ${\displaystyle {\mbox{SO}}(3)}$ ${\displaystyle {\mbox{O}}(3)}$ ${\displaystyle {\mbox{SO}}(3)}$

Обратно, обозначим сферу (как абстрактное гладкое или топологическое многообразие ). По теореме об униформизации существует единственная комплексная структура с точностью до конформной эквивалентности. Отсюда следует, что любая метрика на конформно эквивалентна круглой метрике . Все такие метрики определяют одну и ту же конформную геометрию. Таким образом, круглая метрика не присуща сфере Римана, поскольку «округлость» не является инвариантом конформной геометрии. Сфера Римана является лишь конформным многообразием , а не римановым многообразием . Однако, если нужно реализовать риманову геометрию на сфере Римана, круглая метрика является естественным выбором (с любым фиксированным радиусом, хотя радиус является самым простым и распространенным выбором). Это связано с тем, что только круглая метрика на сфере Римана имеет группу изометрий, являющуюся трехмерной группой. (А именно, группа, известная как непрерывная («Льевая») группа, которая топологически является трехмерным проективным пространством .) ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\mbox{SO}}(3)}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$

Автоморфизмы

Преобразование Мёбиуса , действующее на сфере и плоскости посредством стереографической проекции.

Изучению любого математического объекта помогает понимание его группы автоморфизмов, то есть отображений объекта в самого себя, которые сохраняют существенную структуру объекта. В случае сферы Римана автоморфизм — это обратимое конформное отображение (т. е. биголоморфное отображение) сферы Римана в себя. Оказывается, единственными такими отображениями являются преобразования Мёбиуса . Это функции вида

${\displaystyle f(\zeta )={\frac {a\zeta +b}{c\zeta +d}},}$

где , , , и – комплексные числа такие, что . Примеры преобразований Мёбиуса включают расширения , вращения , перемещения и комплексную инверсию. Фактически любое преобразование Мёбиуса можно записать как их композицию. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle ad-bc\neq 0}$

Преобразования Мёбиуса представляют собой гомографии на комплексной проективной прямой. В проективных координатах преобразование f можно записать

${\displaystyle [\zeta ,\ 1]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}\ =\ [a\zeta +b,\ c\zeta +d]\ =\ \left[{\tfrac {a\zeta +b}{c\zeta +d}},\ 1\right]\ =\ [f(\zeta ),\ 1].}$

Таким образом, преобразования Мёбиуса можно описать как комплексные матрицы два на два с ненулевым определителем . Поскольку они действуют на проективные координаты, две матрицы дают одно и то же преобразование Мёбиуса тогда и только тогда, когда они отличаются ненулевым фактором. Группа преобразований Мёбиуса — проективная линейная группа . ${\displaystyle {\mbox{PGL}}(2,\mathbf {C} )}$

Если снабдить сферу Римана метрикой Фубини–Штуди , то не все преобразования Мёбиуса являются изометриями; например, расширения и трансляции — нет. Изометрии образуют собственную подгруппу группы , а именно . Эта подгруппа изоморфна группе вращения , которая является группой симметрий единичной сферы в (которые, будучи ограничены сферой, становятся изометриями сферы). ${\displaystyle {\mbox{PGL}}(2,\mathbf {C} )}$ ${\displaystyle {\mbox{PSU}}(2)}$ ${\displaystyle {\mbox{SO}}(3)}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$

Приложения

В комплексном анализе мероморфная функция на комплексной плоскости (или, если уж на то пошло, на любой римановой поверхности) представляет собой отношение двух голоморфных функций и . Как отображение комплексных чисел, оно не определено везде, где равно нулю. Однако он индуцирует голоморфное отображение комплексной проективной прямой, которое четко определено даже там, где . Эта конструкция полезна при изучении голоморфных и мероморфных функций. Например, на компактной римановой поверхности нет непостоянных голоморфных отображений комплексных чисел, но голоморфных отображений комплексной проективной прямой имеется множество. ${\displaystyle f/g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle (f,g)}$ ${\displaystyle g=0}$

Сфера Римана имеет множество применений в физике. В квантовой механике точки на комплексной проективной линии являются естественными значениями для состояний поляризации фотонов , спиновых состояний массивных частиц со спином и частиц с двумя состояниями в целом (см. Также Квантовый бит и сфера Блоха ). Сфера Римана была предложена в качестве релятивистской модели небесной сферы . ^[4] В теории струн мировые листы струн представляют собой римановы поверхности, а риманова сфера, являющаяся простейшей римановой поверхностью, играет значительную роль. Это также важно в теории твисторов . ${\displaystyle 1/2}$

Смотрите также

• Конформная геометрия
• Перекрестное соотношение
• Детский рисунок
• Направленная бесконечность
• пучок Хопфа
• Плоскость Мёбиуса
• Параллельно (оператор) § Свойства
• Проективно расширенная действительная линия
• диаграмма Смита
• Теория колеса

Рекомендации

1. Б. Риман: Theorie der Abel'sche Funktionen, J. Math. (Крель) 1857 г.; Верке 88-144. Название происходит от Ноймана К.: Vorlesungen über Riemanns Theorie der Abelsche Integrale, Лейпциг, 1865 г. (Тойбнер).
2. "С^*". Архивировано из оригинала 8 октября 2021 года . Проверено 12 декабря 2021 г.
3. Уильям Марк Голдман (1999) Комплексная гиперболическая геометрия , страница 1, ISBN Clarendon Press 0-19-853793-X 
4. Р. Пенроуз (2007). Дорога к реальности . Винтажные книги. стр. 428–430 (§18.5). ISBN 978-0-679-77631-4.

• Браун, Джеймс и Черчилль, Руэл (1989). Комплексные переменные и приложения . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. ISBN 0-07-010905-2.
• Гриффитс, Филлип и Харрис, Джозеф (1978). Основы алгебраической геометрии . Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-471-32792-1.
• Пенроуз, Роджер (2005). Дорога к реальности . Нью-Йорк: Кнопф. ISBN 0-679-45443-8.
• Рудин, Уолтер (1987). Реальный и комплексный анализ . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. ISBN 0-07-100276-6.

Внешние ссылки

• «Сфера Римана», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Открытие преобразований Мёбиуса, Дуглас Н. Арнольд и Джонатан Рогнесс (видео двух профессоров Университета Миннесоты, объясняющее и иллюстрирующее преобразования Мёбиуса с использованием стереографической проекции со сферы)