Сплит-комплексное число

Реальные числа с дополнительным квадратным корнем из +1 примыкали

В алгебре расщепленное комплексное число (или гиперболическое число , также число недоумения , двойное число ) основано на гиперболической единице j , удовлетворяющей условиям. Комплексное число с расщеплением имеет два действительных компонента x и y , и записывается: Сопряженное число z равно произведение числа z на сопряженное ему есть изотропная квадратичная форма . ${\displaystyle j^{2}=1.}$ ${\displaystyle z=x+yj.}$ ${\displaystyle z^{*}=x-yj.}$ ${\displaystyle j^{2}=1,}$ ${\displaystyle N(z):=zz^{*}=x^{2}-y^{2},}$

Совокупность D всех расщепленных комплексных чисел образует алгебру над полем действительных чисел . Два расщепленных комплексных числа w и z имеют произведение wz , которое удовлетворяет условиям Эта композиция N над произведением алгебры делает ( D , +, ×, *) композиционной алгеброй . ${\displaystyle z=x+yj}$ ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle N(wz)=N(w)N(z).}$

Подобная алгебра, основанная на покомпонентных операциях сложения и умножения, где xy — квадратичная форма , также образует квадратичное пространство . Кольцевой изоморфизм ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{2},+,\times ,xy),}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}D&\to \mathbb {R} ^{2}\\x+yj&\mapsto (x-y,x+y)\end{aligned}}}$$

связывает пропорциональные квадратичные формы, но отображение не является изометрией , поскольку мультипликативное тождество (1, 1) находится на расстоянии от 0, которое нормализовано в D . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Сплит-комплексные числа имеют много других названий; см. § Синонимы ниже. См. статью Переменная двигателя для функций расщепленного комплексного числа.

Определение

Сплит -комплексное число — это упорядоченная пара действительных чисел, записанная в виде

$${\displaystyle z=x+jy}$$

где x и y — действительные числа , а гиперболическая единица ^[1] j удовлетворяет условию

$${\displaystyle j^{2}=+1}$$

В области комплексных чисел мнимая единица i удовлетворяет. Смена знака отличает расщепленные комплексные числа от обычных комплексных. Гиперболическая единица j — это не действительное число, а независимая величина. ${\displaystyle i^{2}=-1.}$

Совокупность всех таких z называется расщепленной комплексной плоскостью . Сложение и умножение расщепленных комплексных чисел определяются формулой

$${\displaystyle {\begin{aligned}(x+jy)+(u+jv)&=(x+u)+j(y+v)\\(x+jy)(u+jv)&=(xu+yv)+j(xv+yu).\end{aligned}}}$$

Это умножение коммутативно , ассоциативно и распределяется по сложению.

Сопряженная, модульная и билинейная форма

Как и для комплексных чисел, можно определить понятие комплексно-сопряженного числа . Если

$${\displaystyle z=x+jy~,}$$

тогда сопряженное к z определяется как

$${\displaystyle z^{*}=x-jy~.}$$

Конъюгат представляет собой инволюцию , которая обладает свойствами, аналогичными комплексно-сопряженным . А именно,

$${\displaystyle {\begin{aligned}(z+w)^{*}&=z^{*}+w^{*}\\(zw)^{*}&=z^{*}w^{*}\\\left(z^{*}\right)^{*}&=z.\end{aligned}}}$$

Квадрат модуля расщепленного комплексного числа задается изотропной квадратичной формой ${\displaystyle z=x+jy}$

$${\displaystyle \lVert z\rVert ^{2}=zz^{*}=z^{*}z=x^{2}-y^{2}~.}$$

Он обладает свойством алгебры композиции :

$${\displaystyle \lVert zw\rVert =\lVert z\rVert \lVert w\rVert ~.}$$

Однако эта квадратичная форма не является положительно определенной , а имеет сигнатуру (1, −1) , поэтому модуль не является нормой .

Соответствующая билинейная форма имеет вид

$${\displaystyle \langle z,w\rangle =\operatorname {\mathrm {Re} } \left(zw^{*}\right)=\operatorname {\mathrm {Re} } \left(z^{*}w\right)=xu-yv~,}$$

где и Здесь действительная часть определяется как . Тогда другое выражение для квадрата модуля: ${\displaystyle z=x+jy}$ ${\displaystyle w=u+jv.}$ ${\displaystyle \operatorname {\mathrm {Re} } (z)={\tfrac {1}{2}}(z+z^{*})=x}$

$${\displaystyle \lVert z\rVert ^{2}=\langle z,z\rangle ~.}$$

Поскольку она не является положительно определенной, эта билинейная форма не является внутренним продуктом ; тем не менее, билинейную форму часто называют неопределенным внутренним продуктом . Аналогичное злоупотребление языком относится к модулю как к норме.

Комплексное число с расщеплением обратимо тогда и только тогда, когда его модуль отличен от нуля ( ), ${\displaystyle \lVert z\rVert \neq 0}$ поэтому числа вида x ± jx не имеют обратных. Мультипликативный обратный обратимому элементу задается формулой

$${\displaystyle z^{-1}={\frac {z^{*}}{{\lVert z\rVert }^{2}}}~.}$$

Комплексные числа, которые не являются обратимыми, называются нулевыми векторами . Все они имеют форму ( a ± ja ) для некоторого действительного числа a .

Диагональное основание

Есть два нетривиальных идемпотентных элемента , заданных и Напомним, что идемпотент означает, что и Оба этих элемента имеют значение null: ${\displaystyle e={\tfrac {1}{2}}(1-j)}$ ${\displaystyle e^{*}={\tfrac {1}{2}}(1+j).}$ ${\displaystyle ee=e}$ ${\displaystyle e^{*}e^{*}=e^{*}.}$

$${\displaystyle \lVert e\rVert =\lVert e^{*}\rVert =e^{*}e=0~.}$$

Часто удобно использовать e и e ^∗ в качестве альтернативного базиса расщепляемой комплексной плоскости. Этот базис называется диагональным базисом или нулевым базисом . Сплит-комплексное число z можно записать в нулевом базисе как

$${\displaystyle z=x+jy=(x-y)e+(x+y)e^{*}~.}$$

Если мы обозначим число действительных чисел a и b через ( a , b ) , то комплексное умножение с расщеплением задается формулой ${\displaystyle z=ae+be^{*}}$

$${\displaystyle \left(a_{1},b_{1}\right)\left(a_{2},b_{2}\right)=\left(a_{1}a_{2},b_{1}b_{2}\right)~.}$$

Сплит-комплекс, сопряженный в диагональном базисе, имеет вид

$${\displaystyle (a,b)^{*}=(b,a)}$$

$${\displaystyle \lVert (a,b)\rVert ^{2}=ab.}$$

изоморфизм

Эта коммутативная диаграмма связывает действие гиперболического версора на D с отображением сжатия σ , примененным к ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

На основе {е, е*} становится ясно, что расщепляемые комплексные числа кольцево изоморфны прямой сумме с попарным определением сложения и умножения. ${\displaystyle \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} }$

Диагональный базис для расщепленной комплексной числовой плоскости можно вызвать, используя упорядоченную пару ( x , y ) для и создавая отображение ${\displaystyle z=x+jy}$

$${\displaystyle (u,v)=(x,y){\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}=(x,y)S~.}$$

Теперь квадратичная форма: Кроме того, ${\displaystyle uv=(x+y)(x-y)=x^{2}-y^{2}~.}$

$${\displaystyle (\cosh a,\sinh a){\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}=\left(e^{a},e^{-a}\right)}$$

таким образом, две параметризованные гиперболы приводятся в соответствие с S .

Тогда при этом линейном преобразовании действие гиперболического версора соответствует отображению сжатия ${\displaystyle e^{bj}\!}$

$${\displaystyle \sigma :(u,v)\mapsto \left(ru,{\frac {v}{r}}\right),\quad r=e^{b}~.}$$

Хотя расщепленная комплексная плоскость и прямая сумма двух вещественных прямых лежат в одном и том же классе изоморфизма в категории колец , они различаются по своему расположению в декартовой плоскости . Изоморфизм как плоское отображение состоит из поворота против часовой стрелки на 45° и расширения на √ 2 . В частности, расширение иногда вызывало путаницу в отношении областей гиперболического сектора . Действительно, гиперболический угол соответствует площади сектора на плоскости с его «единичным кругом», заданным формулой. Сжатая единичная гипербола расщепленной комплексной плоскости имеет только половину площади в диапазоне соответствующего гиперболического сектора. Такая путаница может продолжаться, если геометрия плоскости расщепленного комплекса не отличается от геометрии . ${\displaystyle \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \{(a,b)\in \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} :ab=1\}.}$ ${\displaystyle \{\cosh a+j\sinh a:a\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} }$

Геометрия

  Единичная гипербола: ‖ z ‖ = 1

  Сопряженная гипербола: ‖ z ‖ = −1

  Асимптоты: ‖ z ‖ = 0

Двумерное действительное векторное пространство со скалярным произведением Минковского называется (1 + 1) -мерным пространством Минковского , часто обозначается так же, как большая часть геометрии евклидовой плоскости может быть описана с помощью комплексных чисел, геометрия плоскости Минковского может быть описана с помощью комплексных чисел. описываться расщепленными комплексными числами. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,1}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,1}}$

Набор очков

$${\displaystyle \left\{z:\lVert z\rVert ^{2}=a^{2}\right\}}$$

является гиперболой для любого ненулевого a в Гипербола состоит из правой и левой ветвей, проходящих через ( a , 0) и (− a , 0) . Случай а = 1 называется единичной гиперболой . Сопряженная гипербола имеет вид ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

$${\displaystyle \left\{z:\lVert z\rVert ^{2}=-a^{2}\right\}}$$

с верхней и нижней ветвью, проходящей через (0, a ) и (0, − a ) . Гипербола и сопряженная гипербола разделены двумя диагональными асимптотами , которые образуют набор нулевых элементов:

$${\displaystyle \left\{z:\lVert z\rVert =0\right\}.}$$

Эти две линии (иногда называемые нулевым конусом ) перпендикулярны и имеют наклон ±1. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Сплит-комплексные числа z и w называются гиперболически-ортогональными, если ⟨ z , w ⟩ = 0 . Хотя это условие аналогично обычной ортогональности, особенно в том виде, в котором оно известно в обычной арифметике комплексных чисел, оно более тонкое. Это составляет основу концепции одновременной гиперплоскости в пространстве-времени.

Аналогом формулы Эйлера для расщепленных комплексных чисел является

$${\displaystyle \exp(j\theta )=\cosh(\theta )+j\sinh(\theta ).}$$

Эту формулу можно получить путем разложения в степенной ряд, используя тот факт, что cosh имеет только четные степени, а sinh — нечетные. ^[2] Для всех действительных значений гиперболического угла θ расщепленное комплексное число λ = exp( jθ ) имеет норму 1 и лежит на правой ветви единичной гиперболы. Такие числа, как λ, называются гиперболическими версорами .

Поскольку λ имеет модуль 1, умножение любого расщепленного комплексного числа z на λ сохраняет модуль z и представляет собой гиперболическое вращение (также называемое усилением Лоренца или отображением сжатия ). Умножение на λ сохраняет геометрическую структуру, переводя гиперболы в себя, а нулевой конус в себя.

Набор всех преобразований расщепленной комплексной плоскости, которые сохраняют модуль (или, что то же самое, скалярный продукт), образует группу , называемую обобщенной ортогональной группой O(1, 1) . Эта группа состоит из гиперболических вращений, которые образуют подгруппу , обозначенную SO ⁺ (1, 1) , в сочетании с четырьмя дискретными отражениями , заданными формулой

$${\displaystyle z\mapsto \pm z}$$

${\displaystyle z\mapsto \pm z^{*}.}$

Экспоненциальная карта

$${\displaystyle \exp \colon (\mathbb {R} ,+)\to \mathrm {SO} ^{+}(1,1)}$$

отправка θ во вращение с помощью exp( jθ ) является групповым изоморфизмом, поскольку применяется обычная экспоненциальная формула:

$${\displaystyle e^{j(\theta +\phi )}=e^{j\theta }e^{j\phi }.}$$

Если расщепленное комплексное число z не лежит ни на одной из диагоналей, то z имеет полярное разложение .

Алгебраические свойства

В терминах абстрактной алгебры расщепленные комплексные числа можно описать как частное кольца многочленов по идеалу, порожденному многочленом . ${\displaystyle \mathbb {R} [x]}$ ${\displaystyle x^{2}-1,}$

$${\displaystyle \mathbb {R} [x]/(x^{2}-1).}$$

Образ x в частном — это «мнимая» единица j . Благодаря этому описанию становится ясно, что расщепленные комплексные числа образуют коммутативную алгебру над действительными числами. Алгебра не является полем , поскольку нулевые элементы не обратимы. Все ненулевые нулевые элементы являются делителями нуля .

Поскольку сложение и умножение являются непрерывными операциями относительно обычной топологии плоскости, расщепляемые комплексные числа образуют топологическое кольцо .

Алгебра расщепленных комплексных чисел образует композиционную алгебру , поскольку

$${\displaystyle \lVert zw\rVert =\lVert z\rVert \lVert w\rVert ~}$$

для любых чисел z и w .

Из определения видно, что кольцо расщепленных комплексных чисел изоморфно групповому кольцу циклической группы C ₂ над действительными числами. ${\displaystyle \mathbb {R} [C_{2}]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Матричные представления

Комплексные числа с расщеплением можно легко представить с помощью матриц . Число расщепленного комплекса можно представить матрицей ${\displaystyle z=x+jy}$ ${\displaystyle z\mapsto {\begin{pmatrix}x&y\\y&x\end{pmatrix}}.}$

Сложение и умножение комплексных чисел затем задаются путем сложения и умножения матриц. Модуль z задается определителем соответствующей матрицы.

На самом деле существует множество представлений расщепленной комплексной плоскости в четырехмерном кольце вещественных матриц размером 2x2. Действительные кратные единичной матрицы образуют вещественную строку в кольце матриц M(2,R). Любая гиперболическая единица m обеспечивает базовый элемент, с помощью которого можно продлить действительную линию до плоскости расщепленного комплекса. Матрицы

$${\displaystyle m={\begin{pmatrix}a&c\\b&-a\end{pmatrix}}}$$

какой квадрат единичной матрицы удовлетворяет Например, когда a = 0, то ( b,c ) является точкой стандартной гиперболы. В более общем смысле, в M(2,R) существует гиперповерхность гиперболических единиц, любая из которых служит базисом для представления расщепленных комплексных чисел как подкольца M (2,R). ^{[3] [ нужен лучший источник ]} ${\displaystyle a^{2}+bc=1.}$

Число можно представить матрицей   ${\displaystyle z=x+jy}$ ${\displaystyle x\ I+y\ m.}$

История

Использование расщепленных комплексных чисел восходит к 1848 году, когда Джеймс Кокл представил свои тессарины . ^[4] Уильям Кингдон Клиффорд использовал расщепленные комплексные числа для представления сумм спинов. Клиффорд ввел использование расщепленных комплексных чисел в качестве коэффициентов в алгебре кватернионов, которая теперь называется расщепленными бикватернионами . Его элементы он назвал «двигателями», термином, параллельным «роторному» действию обычного комплексного числа, взятого из группы кругов . Продолжая аналогию, функции двигательной переменной противопоставляются функциям обычной комплексной переменной .

С конца двадцатого века расщепленное комплексное умножение обычно рассматривалось как лоренцевское усиление плоскости пространства-времени . ^{[5] [6] [7] [8] [9] [10]} В этой модели число z = x + y j представляет событие в пространственно-временной плоскости, где x измеряется в наносекундах, а y в единицах Мермина. ноги . Будущее соответствует квадранту событий { z  : | й | < x } , который имеет расщепленное комплексное полярное разложение . Модель утверждает, что z можно достичь из начала координат, введя систему отсчета с быстротой a и ожидая ρ наносекунд. Уравнение расщепленного комплекса ${\displaystyle z=\rho e^{aj}\!}$

$${\displaystyle e^{aj}\ e^{bj}=e^{(a+b)j}}$$

Выражение произведений через единичную гиперболу иллюстрирует аддитивность быстроты для коллинеарных скоростей. Одновременность событий зависит от быстроты а ;

$${\displaystyle \{z=\sigma je^{aj}:\sigma \in \mathbb {R} \}}$$

— линия событий, одновременная с началом координат в системе отсчета с быстротой a .

Два события z и w являются гиперболически-ортогональными, когда канонические события exp( aj ) и j exp( aj ) гиперболически ортогональны и лежат на осях системы отсчета, в которой события, одновременные с началом координат, пропорциональны j exp( aj ) . ${\displaystyle z^{*}w+zw^{*}=0.}$

В 1933 году Макс Цорн использовал расщепленные октонионы и отметил свойство алгебры композиции . Он понял, что конструкция Кэли-Диксона , используемая для создания алгебр с делением, может быть изменена (с фактором гамма, γ ) для построения других композиционных алгебр, включая расщепленные октонионы. Его новаторство было продолжено Адрианом Альбертом , Ричардом Д. Шафером и другими. ^[11] Гамма-фактор с R в качестве базового поля строит расщепляемые комплексные числа как композиционную алгебру. В обзоре Альберта для Mathematical Reviews Н. Х. Маккой написал, что произошло «введение некоторых новых алгебр порядка 2 ^e над F , обобщающих алгебры Кэли – Диксона». ^[12] Взятие F = R и e = 1 соответствует алгебре этой статьи.

В 1935 году Ж. К. Виньо и А. Дураньона-и-Ведиа разработали комплексную геометрическую алгебру и теорию функций в четырех статьях в Contribución a las Ciencias Físicas y Matemáticas , Национальный университет Ла-Платы , Республика Аргентина (на испанском языке). Эти разъяснительные и педагогические эссе представили тему, получившую широкое признание. ^[13]

В 1941 году Э. Ф. Аллен использовал геометрическую арифметику расщепленного комплекса, чтобы установить девятиточечную гиперболу треугольника, вписанного в  zz ^∗ = 1 . ^[14]

В 1956 году Мечислав Вармус опубликовал «Исчисление аппроксимаций» в «Бюллетене Полонезской академии наук» (см. ссылку в разделе «Ссылки»). Он разработал две алгебраические системы, каждую из которых он назвал «приблизительными числами», вторая из которых образует настоящую алгебру. ^[15] Д. Х. Лемер просмотрел статью в Mathematical Reviews и заметил, что эта вторая система изоморфна «гиперболическим комплексным» числам, предмету этой статьи.

В 1961 году Вармус продолжил свое изложение, называя компоненты приблизительного числа серединой и радиусом обозначенного интервала.

Синонимы

Разные авторы использовали самые разные названия для расщепляющихся комплексных чисел. Некоторые из них включают в себя:

• ( настоящие ) тессарины , Джеймс Кокл (1848)
• ( алгебраические ) двигатели , У. К. Клиффорд (1882 г.)
• гиперболические комплексные числа , Ж. К. Виньо (1935), Г. Кри (1949) ^[16]
• двумерные числа , У. Бенчивенга (1946)
• действительные гиперболические числа , Н. Смит (1949) ^[17]
• приблизительные числа , Вармус (1956), для использования в интервальном анализе
• двойные числа , И.М. Яглом (1968), Кантор и Солодовников (1989), Хазевинкель (1990), Руни (2014)
• гиперболические числа , В. Миллер и Р. Бенинг (1968), ^[18] Г. Собчик (1995)
• анормально-комплексные числа , В. Бенц (1973)
• числа недоумения , П. Фьелстад (1986) и Пудиак и Леклер (2009)
• контркомплекс или гиперболический , Кармоди (1988)
• Числа Лоренца , Ф. Р. Харви (1990)
• полукомплексные числа , Ф. Антонуччо (1994)
• паракомплексные числа , Кручану, Фортуни и Гадеа (1996)
• расщепленные комплексные числа , Б. Розенфельд (1997) ^[19]
• Числа пространства-времени , Н. Борота (2000)
• Номера исследований , П. Лунесто (2001)
• два комплексных числа , С. Олариу (2002)
• расщепленные бинарионы , К. МакКриммон (2004)

Смотрите также

• Пространство Минковского
• Сплит-кватернион
• Гиперкомплексное число

Рекомендации

1. Владимир В. Кисиль (2012) Геометрия преобразований Мебиуса: эллиптические, параболические и гиперболические действия SL (2,R) , страницы 2, 161, ISBN  Imperial College Press 978-1-84816-858-9
2. Джеймс Кокл (1848) О новом воображении в алгебре, Философский журнал 33:438
3. Абстрактная алгебра/действительные матрицы 2x2 в Wikibooks
4. Джеймс Кокл (1849) О новом воображении в алгебре 34:37–47, Философский журнал Лондон-Эдинбург-Дублин (3) 33 :435–9, ссылка из Библиотеки наследия биоразнообразия .
5. Франческо Антонуччо (1994) Полукомплексный анализ и математическая физика
6. Ф. Катони, Д. Боккалетти, Р. Канната, В. Катони, Э. Никелатти, П. Зампетти. (2008) Математика пространства-времени Минковского , Birkhäuser Verlag , Базель. Глава 4: Тригонометрия в плоскости Минковского. ISBN 978-3-7643-8613-9 . 
7. Франческо Катони; Дино Боккалетти; Роберто Канната; Винченцо Катони; Паоло Зампетти (2011). «Глава 2: Гиперболические числа». Геометрия пространства-времени Минковского . Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-17977-8.
8. Фьелстад, Пол (1986), «Расширение специальной теории относительности с помощью чисел недоумения», American Journal of Physics , 54 (5): 416–422, Бибкод : 1986AmJPh..54..416F, doi : 10.1119/1.14605
9. Луи Кауфман (1985) «Преобразования в специальной теории относительности», Международный журнал теоретической физики 24: 223–36.
10. Собчик, Г. (1995) Гиперболическая числовая плоскость, также опубликовано в журнале College Mathematics Journal 26: 268–80.
11. Роберт Б. Браун (1967) Об обобщенных алгебрах Кэли-Диксона, Pacific Journal of Mathematics 20 (3): 415–22, ссылка из Project Euclid .
12. Н. Х. Маккой (1942) Обзор «Квадратичных форм, допускающих композицию» А. А. Альберта, Mathematical Reviews # 0006140
13. Виньо, Дж. (1935) «Sobre el numero complejo hiperbolico y su relacion con la geometria de Borel», Contribucion al Estudio de las Ciencias Fisicas y Matematicas , Национальный университет де ла Плата, Республика Аргентина
14. Аллен, EF (1941) «О треугольнике, вписанном в прямоугольную гиперболу», American Mathematical Monthly 48 (10): 675–681
15. М. Вармус (1956) «Исчисление аппроксимаций». Архивировано 9 марта 2012 г. в Wayback Machine , Bulletin de l'Académie polonaise des Sciences , Vol. Т. 4, № 5, стр. 253–257, МР 0081372
16. Кри, Джордж К. (1949). Теория чисел системы гиперболических комплексных чисел (магистерская диссертация). Университет Макгилла.
17. Смит, Норман Э. (1949). Введение в гиперболическую теорию чисел (магистерская диссертация). Университет Макгилла.
18. Миллер, Уильям; Бенинг, Рошель (1968). «Гауссовы, параболические и гиперболические числа». Учитель математики . 61 (4): 377–382. дои : 10.5951/MT.61.4.0377. JSTOR  27957849.
19. Розенфельд, Б. (1997) Геометрия групп Ли , страница 30, ISBN Kluwer Academic Publishers 0-7923-4390-5 

дальнейшее чтение

• Бенчивенга, Ульдрико (1946) «Sulla rappresentazione geometry delle algebre doppie dotate di modulo», Atti della Reale Accademia delle Scienze e Belle-Lettere di Napoli , Ser (3) v.2 No7. МР 0021123.
• Вальтер Бенц (1973) Vorlesungen uber Geometrie der Algebren , Springer
• Н. А. Борота, Э. Флорес и Т. Дж. Ослер (2000) «Пространство-время исчисляется простым способом», Mathematics and Computer Education 34: 159–168.
• Н. А. Борота и Т. Дж. Ослер (2002) «Функции пространственно-временной переменной», Математика и компьютерное образование 36: 231–239.
• К. Кармоди, (1988) «Круговые и гиперболические кватернионы, октонионы и седенионы», Appl. Математика. Вычислить. 28:47–72.
• К. Кармоди, (1997) «Круговые и гиперболические кватернионы, октонионы и седенионы – дальнейшие результаты», Appl. Математика. Вычислить. 84:27–48.
• Уильям Кингдон Клиффорд (1882) Математические труды , редактор А. В. Такера, стр. 392, «Дальнейшие заметки о бикватернионах»
• В. Кручану, П. Фортуни и П. М. Гадеа (1996) Обзор паракомплексной геометрии, Rocky Mountain Journal of Mathematics 26 (1): 83–115, ссылка из Project Euclid .
• Де Бур, Р. (1987) «Также известный как список чисел недоумения», American Journal of Physics 55(4):296.
• Энтони А. Харкин и Джозеф Б. Харкин (2004) Геометрия обобщенных комплексных чисел, журнал Mathematics Magazine 77 (2): 118–29.
• Ф. Риз Харви. Спиноры и калибровки. Академическое издательство, Сан-Диего. 1990. ISBN 0-12-329650-1 . Содержит описание нормированных алгебр неопределенной сигнатуры, включая числа Лоренца. 
• Хазевинкль, М. (1994) «Двойные и двойственные числа», Математическая энциклопедия , Советский Союз/AMS/Kluwer, Дордрект.
• Кевин МакКриммон (2004) Вкус иорданской алгебры , стр. 66, 157, Universitext, Springer ISBN 0-387-95447-3 MR 2014924 
• К. Мюзес, «Прикладные гиперчисла: вычислительные концепции», Appl. Математика. Вычислить. 3 (1977) 211–226.
• К. Мюзес, «Гиперчисла II — дальнейшие концепции и вычислительные приложения», Appl. Математика. Вычислить. 4 (1978) 45–66.
• Олариу, Сильвиу (2002) Комплексные числа в N измерениях , Глава 1: Гиперболические комплексные числа в двух измерениях, страницы 1–16, Математические исследования Северной Голландии № 190, Elsevier ISBN 0-444-51123-7 . 
• Пудиак, Роберт Д. и Кевин Дж. Леклер (2009) «Фундаментальные теоремы алгебры для недоумений», The College Mathematics Journal 40 (5): 322–35.
• Исаак Яглом (1968) Комплексные числа в геометрии , перевод Э. Примроуза с русского оригинала 1963 года, Academic Press , стр. 18–20.
• Дж. Руни (2014). «Обобщенные комплексные числа в механике». У Марко Чеккарелли и Виктора А. Глазунова (ред.). Достижения в области теории и практики роботов и манипуляторов: Труды Romansy 2014 XX Симпозиум CISM-IFToMM по теории и практике роботов и манипуляторов . Механизмы и машиноведение. Том. 22. Спрингер. стр. 55–62. дои : 10.1007/978-3-319-07058-2_7. ISBN 978-3-319-07058-2.