Определенная квадратичная форма

Вид однородного полинома 2-й степени

В математике определенная квадратичная форма — это квадратичная форма над некоторым вещественным векторным пространством V , которая имеет один и тот же знак (всегда положительный или всегда отрицательный) для каждого ненулевого вектора V. В соответствии с этим знаком квадратичная форма называется положительно-определенной или отрицательно-определенной .

Полуопределенная (или полуопределенная) квадратичная форма определяется почти таким же образом, за исключением того, что «всегда положительная» и «всегда отрицательная» заменяются на «никогда не отрицательная» и «никогда не положительная» соответственно . Другими словами, он может принимать нулевые значения для некоторых ненулевых векторов V .

Неопределенная квадратичная форма принимает как положительные, так и отрицательные значения и называется изотропной квадратичной формой .

В более общем смысле эти определения применимы к любому векторному пространству над упорядоченным полем . ^[1]

Связанная симметричная билинейная форма

Квадратичные формы взаимно однозначно соответствуют симметричным билинейным формам в том же пространстве. ^[2] Симметричная билинейная форма также описывается как определенная , полуопределенная и т. д. в соответствии с связанной с ней квадратичной формой. Квадратичная форма Q и связанная с ней симметричная билинейная форма B связаны следующими уравнениями:

${\displaystyle {\begin{aligned}Q(x)&=B(x,x)\\B(x,y)&=B(y,x)={\tfrac {1}{2}}[Q(x+y)-Q(x)-Q(y)]~.\end{aligned}}}$

Последняя формула возникает в результате расширения ${\displaystyle \;Q(x+y)=B(x+y,x+y)~.}$

Примеры

В качестве примера пусть , и рассмотрим квадратичную форму ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle Q(x)=c_{1}{x_{1}}^{2}+c_{2}{x_{2}}^{2}}$

где и c ₁ и c ₂ — константы. Если c ₁ > 0 и c ₂ > 0, квадратичная форма Q положительно определена, поэтому Q оценивается как положительное число всякий раз , когда одна из констант положительна, а другая равна 0, тогда Q является положительно-полуопределенной и всегда оценивается как либо 0, либо положительное число. Если c ₁ > 0 и c ₂ < 0 или наоборот, то Q является неопределенным и иногда оценивается как положительное число, а иногда и как отрицательное число. Если c ₁ < 0 и c ₂ < 0, квадратичная форма отрицательно определена и всегда дает отрицательное число, когда бы то ни было. И если одна из констант отрицательна, а другая равна 0, то Q является отрицательно-полуопределенной и всегда дает либо 0 или отрицательное число. ${\displaystyle ~x=[x_{1},x_{2}]\in V}$ ${\displaystyle \;[x_{1},x_{2}]\neq [0,0]~.}$ ${\displaystyle \;[x_{1},x_{2}]\neq [0,0]~.}$

В общем случае квадратичная форма с двумя переменными также будет включать в себя член перекрестного произведения от x ₁ · x ₂ :

${\displaystyle Q(x)=c_{1}{x_{1}}^{2}+c_{2}{x_{2}}^{2}+2c_{3}x_{1}x_{2}~.}$

Эта квадратичная форма является положительно-определенной, если и отрицательно-определенной, если и и неопределенной, если. Она является положительно- или отрицательно-полуопределенной, если со знаком полуопределенности, совпадающим со знаком ${\displaystyle \;c_{1}>0\;}$ ${\displaystyle \,c_{1}c_{2}-{c_{3}}^{2}>0\;,}$ ${\displaystyle \;c_{1}<0\;}$ ${\displaystyle \,c_{1}c_{2}-{c_{3}}^{2}>0\;,}$ ${\displaystyle \;c_{1}c_{2}-{c_{3}}^{2}<0~.}$ ${\displaystyle \;c_{1}c_{2}-{c_{3}}^{2}=0\;,}$ ${\displaystyle \;c_{1}~.}$

Эта двумерная квадратичная форма появляется в контексте конических сечений с центром в начале координат. Если приведенная выше общая квадратичная форма приравнивается к 0, полученное уравнение представляет собой уравнение эллипса, если квадратичная форма положительна или отрицательно определена, гиперболы , если она неопределенна, и параболы, если она неопределенна. ${\displaystyle \;c_{1}c_{2}-{c_{3}}^{2}=0~.}$

Квадрат евклидовой нормы в n -мерном пространстве, наиболее часто используемая мера расстояния, равен

${\displaystyle {x_{1}}^{2}+\cdots +{x_{n}}^{2}~.}$

В двух измерениях это означает, что расстояние между двумя точками равно квадратному корню из суммы квадратов расстояний вдоль оси и оси. ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$

Матричная форма

Квадратичная форма может быть записана через матрицы как

${\displaystyle x^{\mathsf {T}}A\,x}$

где x — любой декартов вектор n × 1 , в котором хотя бы один элемент не равен 0; A — симметричная матрица размера n×n ; а верхний индекс ^T обозначает транспонирование матрицы . Если A диагонально, это эквивалентно нематричной форме, содержащей только члены, включающие квадратные переменные; но если A имеет какие-либо ненулевые недиагональные элементы, нематричная форма также будет содержать некоторые члены, включающие произведения двух разных переменных. ${\displaystyle \;[x_{1},\cdots ,x_{n}]^{\mathsf {T}}\;}$

Положительная или отрицательная определенность, или полуопределенность, или неопределенность этой квадратичной формы эквивалентны тому же свойству А , которое можно проверить , рассматривая все собственные значения А или проверяя знаки всех ее главных миноров .

Оптимизация

Определенные квадратичные формы легко поддаются решению задач оптимизации . Предположим, что матричная квадратичная форма дополнена линейными членами, как

${\displaystyle x^{\mathsf {T}}A\,x+b^{\mathsf {T}}x\;,}$

где b — вектор констант размера n × 1. Условия первого порядка для максимума или минимума находятся путем присвоения производной матрицы нулевому вектору:

${\displaystyle 2A\,x+b={\vec {0}}\;,}$

предоставление

${\displaystyle x=-{\tfrac {1}{2}}\,A^{-1}b\;,}$

предполагая, что A неособа . Если квадратичная форма и, следовательно , A положительно определена, в этой точке выполняются условия минимума второго порядка . Если квадратичная форма отрицательно определена, условия максимума второго порядка выполняются.

Важный пример такой оптимизации возникает в множественной регрессии , в которой ищется вектор оцененных параметров, который минимизирует сумму квадратов отклонений от идеального соответствия набору данных.

Смотрите также

• Изотропная квадратичная форма
• Положительно определенная функция
• Положительно определенная матрица
• Поляризационная идентичность

Примечания

1. Милнор и Хуземоллер 1973, с. 61.
2. Это верно только для поля с характеристикой , отличной от 2, но здесь мы рассматриваем только упорядоченные поля , которые обязательно имеют характеристику 0.

Рекомендации

• Китаока, Ёсиюки (1993). Арифметика квадратичных форм . Кембриджские трактаты по математике. Том. 106. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-40475-4. Збл  0785.11021.
• Ланг, Серж (2004), Алгебра , Тексты для аспирантов по математике , том. 211 (Исправленное четвертое издание, исправленное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 211. 578, ISBN 978-0-387-95385-4.
• Милнор, Дж .; Хусемоллер, Д. (1973). Симметричные билинейные формы . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . Том. 73. Спрингер. ISBN 3-540-06009-Х. Збл  0292.10016.