Второй тест частной производной

Гессиан аппроксимирует функцию в критической точке полиномом второй степени.

В математике второй тест частной производной — это метод исчисления многих переменных , используемый для определения того, является ли критическая точка функции локальным минимумом , максимумом или седловой точкой .

Функции двух переменных

Предположим, что $f (x, y)$ — дифференцируемая действительная функция двух переменных, вторые частные производные которой существуют и непрерывны . Матрица Гессе $H$ функции $f$ представляет собой матрицу частных производных функции $f$ размером 2 × 2 :

H(x,y)={\begin{bmatrix}f_{xx}(x,y)&f_{xy}(x,y)\\f_{yx}(x,y)&f_{yy}( x,y)\end{bmatrix}}.

Определите $D (x, y)$ как определитель

D(x,y)=\det(H(x,y))=f_{xx}(x,y)f_{yy}(x,y)-\left(f_{xy}(x, y)\right)^{2}

_

(a, b)

f

f x (a, b) = f y (a, b) = 0

^[1]

Если $D (a, b) > 0$ и $f xx (a, b) > 0$ , то $(a, b)$ является локальным минимумом $f$ .
Если $D (a, b) > 0$ и $f xx (a, b) <0$ , то $(a, b)$ является локальным максимумом $f$ .
Если $D (a, b) <0$ , то $(a, b)$ является седловой точкой $f$ .
Если $D (a, b) = 0$ , то точка $(a, b)$ может быть любой из минимальной, максимальной или седловой точки (то есть тест не дает результатов).

Иногда используются другие эквивалентные версии теста. В случаях 1 и 2 требование, чтобы $f xx f yy - f xy 2$ было положительным в точке $(x, y)$ , означает, что $f xx$ и $f yy$ имеют там одинаковый знак. Следовательно, второе условие, что $f xx$ будет больше (или меньше) нуля, может эквивалентно состоять в том, что $f yy$ или $tr(H) = f xx + f yy$ будет больше (или меньше) нуля в этой точке.

Условие, подразумеваемое в формулировке теста, состоит в том, что если или , то это должно быть так , и поэтому возможны только случаи 3 или 4. $f_{xx}=0$ $f_{yy}=0$ $D(a,b)\leq 0,$

Функции многих переменных

Для функции f трех и более переменных существует обобщение приведенного выше правила. В этом контексте вместо изучения определителя матрицы Гессе необходимо посмотреть на собственные значения матрицы Гессе в критической точке. Следующий тест можно применить в любой критической точке a , для которой матрица Гессе обратима :

Если гессиан положительно определен (т. е. имеет все собственные значения положительные) в точке a , то f достигает локального минимума в точке a .
Если гессиан отрицательно определен (т. е. имеет все отрицательные собственные значения) в точке a , то f достигает локального максимума в точке a .
Если гессиан имеет как положительные, так и отрицательные собственные значения, то a является седловой точкой для f (и фактически это верно, даже если a вырождено).

В тех случаях, которые не перечислены выше, тест не дает результатов. ^[2]

Для функций трех и более переменных определитель гессиана не дает достаточно информации для классификации критической точки, поскольку количество совместно достаточных условий второго порядка равно числу переменных, а условие знака на определителе гессиан — лишь одно из условий. Обратите внимание, что в случае с одной переменной условие Гессе просто дает обычный тест второй производной .

В случае двух переменных и являются главными минорами гессиана. Первые два условия, перечисленные выше по знакам этих миноров, являются условиями положительной или отрицательной определенности гессиана. Для общего случая произвольного числа n переменных существует n условий знака на n главных минорах матрицы Гессе, которые вместе эквивалентны положительной или отрицательной определенности гессиана ( критерий Сильвестра ): для локального минимума все Главные миноры должны быть положительными, в то время как для локального максимума миноры с нечетным числом строк и столбцов должны быть отрицательными, а миноры с четным числом строк и столбцов должны быть положительными. См. Матрица Гессиана#Гессиан с границами для обсуждения, которое обобщает эти правила на случай оптимизации с ограничением равенства. $D (а, б)$ $f_ {xx}(a,b)$

Примеры

Найти и классифицировать критические точки функции.

z=f(x,y)=(x+y)(xy+xy^{2})

сначала мы устанавливаем частные производные

{\frac {\partial z}{\partial x}}=y(2x+y)(y+1)

{\frac {\partial z}{\partial y}} = x\left(3y^{2}+2y(x+1)+x\right)

равный нулю, и одновременно решаем полученные уравнения, чтобы найти четыре критические точки

(0,0),(0,-1),(1,-1)

и .

\left({\frac {3}{8}},-{\frac {3}{4}}\right)

Чтобы классифицировать критические точки, мы исследуем значение определителя D ( x , y ) гессиана f в каждой из четырех критических точек. У нас есть

{\begin{aligned}D(a,b)&=f_{xx}(a,b)f_{yy}(a,b)-\left(f_{xy}(a,b)\right )^{2}\\&=2b(b+1)\cdot 2a(a+3b+1)-(2a+2b+4ab+3b^{2})^{2}.\end{aligned}}

Теперь мы подключаем все найденные нами критические значения, чтобы обозначить их; у нас есть

D(0,0)=0;~~D(0,-1)=-1;~~D(1,-1)=-1;~~D\left({\frac {3} {8}},-{\frac {3}{4}}\right)={\frac {27}{128}}.

Таким образом, второй тест частной производной показывает, что f ( x , y ) имеет седловые точки в (0, −1) и (1, −1) и имеет локальный максимум в точке с момента . В оставшейся критической точке (0, 0) теста второй производной недостаточно, и необходимо использовать тесты более высокого порядка или другие инструменты, чтобы определить поведение функции в этой точке. (На самом деле, можно показать, что f принимает как положительные, так и отрицательные значения в небольших окрестностях вокруг (0, 0), и поэтому эта точка является седловой точкой f .) $\left({\frac {3}{8}},-{\frac {3}{4}}\right)$ $f_{xx}=-{\frac {3}{8}}<0$

Примечания

^ Стюарт 2004 , с. 803.
^ Курт Эндл/Вольфганг Лух: Анализ II . Aula-Verlag 1972, 7-е издание 1989 г., ISBN 3-89104-455-0 , стр. 248-258 (немецкий)

Внешние ссылки