В исчислении тест на производную использует производные функции , чтобы найти критические точки функции и определить, является ли каждая точка локальным максимумом , локальным минимумом или седловой точкой . Производные тесты также могут дать информацию о вогнутости функции.
Полезность производных для поиска экстремумов математически доказывается теоремой Ферма о стационарных точках .
Тест первой производной исследует монотонные свойства функции (когда функция увеличивается или уменьшается ), фокусируясь на определенной точке ее области определения . Если функция «переключается» с увеличения на уменьшение в данной точке, то в этой точке функция достигнет наибольшего значения. Аналогично, если функция «переключается» с уменьшения на увеличение в этой точке, то в этой точке она достигнет наименьшего значения. Если функции не удается «переключиться» и она продолжает увеличиваться или продолжает уменьшаться, то ни наибольшее, ни наименьшее значение не достигается.
Можно проверить монотонность функции без исчисления. Однако исчисление обычно полезно, поскольку существуют достаточные условия , гарантирующие указанные выше свойства монотонности, и эти условия применимы к подавляющему большинству функций, с которыми можно столкнуться.
Точнее говоря, предположим, что f — вещественная функция, определенная на некотором открытом интервале , содержащем точку x , и предположим, далее, что f непрерывна в точке x .
Обратите внимание, что в первом случае f не обязана строго возрастать или строго убывать слева или справа от x , а в последнем случае f должна строго возрастать или строго убывать. Причина в том, что при определении локального максимума и минимума неравенство не обязательно должно быть строгим: например, каждое значение постоянной функции считается как локальным максимумом, так и локальным минимумом.
Тест первой производной зависит от «теста возрастания-убывания», который сам по себе в конечном итоге является следствием теоремы о среднем значении . Это прямое следствие способа определения производной и ее связи с локальным уменьшением и увеличением функции в сочетании с предыдущим разделом.
Предположим , f — действительная функция действительной переменной, определенная на некотором интервале , содержащем критическую точку a . Далее предположим, что f непрерывна в точке a и дифференцируема на некотором открытом интервале, содержащем a , за исключением, возможно, самой точки a .
Опять же, в соответствии с комментариями в разделе о свойствах монотонности, заметим, что в первых двух случаях неравенство не обязательно должно быть строгим, а в третьем требуется строгое неравенство.
Тест первой производной полезен при решении задач оптимизации в физике, экономике и технике. В сочетании с теоремой об экстремальных значениях ее можно использовать для нахождения абсолютного максимума и минимума действительной функции, определенной на замкнутом и ограниченном интервале. В сочетании с другой информацией, такой как вогнутость, точки перегиба и асимптоты , ее можно использовать для построения графика функции.
После установления критических точек функции тест второй производной использует значение второй производной в этих точках, чтобы определить, являются ли такие точки локальным максимумом или локальным минимумом . [1] Если функция f дважды дифференцируема в критической точке x (т.е. точке, где f ′ ( x ) = 0), то:
В последнем случае теорема Тейлора иногда может использоваться для определения поведения f вблизи x с использованием высших производных .
Предположим, что имеем (доказательство аналогично). По предположению, . Затем
Таким образом, при достаточно малом h получаем
что означает, что if (интуитивно f уменьшается по мере приближения слева) и что if (интуитивно f увеличивается по мере движения вправо от x ). Теперь, согласно тесту первой производной , имеет локальный минимум при .
Связанное, но отдельное использование вторых производных заключается в определении того, является ли функция вогнутой вверх или вогнутой вниз в определенной точке. Однако он не предоставляет информации о точках перегиба . В частности, дважды дифференцируемая функция f вогнута вверх, если и вогнута вниз, если . Обратите внимание, что если , то имеет нулевую вторую производную, но не является точкой перегиба, поэтому сама по себе вторая производная не дает достаточно информации, чтобы определить, является ли данная точка точкой перегиба.
Тест производной высшего порядка или общий тест производной позволяет определить, являются ли критические точки функции максимумами, минимумами или точками перегиба для более широкого спектра функций, чем тест производной второго порядка. Как показано ниже, тест второй производной математически идентичен частному случаю n = 1 в тесте производной более высокого порядка.
Пусть f — вещественная, достаточно дифференцируемая функция на интервале , пусть , и пусть — натуральное число . Также пусть все производные f в точке c равны нулю до n -й производной включительно , но при этом ( n + 1)-я производная не равна нулю:
Существует четыре возможности: первые два случая, когда c является экстремумом, вторые два, когда c является (локальной) седловой точкой:
Поскольку n должно быть либо нечетным, либо четным, этот аналитический тест классифицирует любую стационарную точку f до тех пор, пока в конечном итоге не появится ненулевая производная.
Скажем, мы хотим выполнить общий тест производной функции в точке . Для этого мы вычисляем производные функции, а затем оцениваем их в интересующей точке, пока результат не станет отличным от нуля.
Как показано выше, в точке функция имеет все свои производные при 0, равные 0, за исключением 6-й производной, которая положительна. Таким образом, n = 5, и согласно тесту существует локальный минимум в 0.
Для функции более чем одной переменной тест второй производной обобщается до теста, основанного на собственных значениях матрицы Гессе функции в критической точке. В частности, если предположить, что все частные производные второго порядка от f непрерывны в окрестности критической точки x , то если все собственные значения гессиана в точке x положительны, то x является локальным минимумом. Если все собственные значения отрицательны, то x является локальным максимумом, а если некоторые из них положительны, а некоторые отрицательны, то точка является седловой точкой . Если матрица Гессе сингулярна , то тест второй производной не дает результатов.
