Сжатие карт

В линейной алгебре отображение сжатия , также называемое преобразованием сжатия , представляет собой тип линейного отображения , которое сохраняет евклидову площадь областей в декартовой плоскости , но не является отображением поворота или сдвига .

Для фиксированного положительного действительного числа $a$ отображение

(x,y)\mapsto (ax,y/a)

является отображением сжатия с параметром $a$ . Поскольку

\{(u,v)\,:\,uv=\mathrm {константа} \}

является гиперболой , если $u = ax$ и $v = y / a$ , то $uv = xy$ и точки образа отображения сжатия находятся на той же гиперболе, что и $(x, y)$ . По этой причине естественно думать об отображении сжатия как о гиперболическом вращении , как это сделал Эмиль Борель в 1914 году ^[1] по аналогии с круговыми вращениями , которые сохраняют окружности.

Логарифм и гиперболический угол

Отображение сжатия закладывает основу для развития концепции логарифмов. Задача нахождения площади, ограниченной гиперболой (например, $xy = 1),$ является задачей квадратуры . Решение, найденное Грегуаром де Сен-Венсаном и Альфонсом Антонио де Сарасой в 1647 году, требовало функции натурального логарифма , новой концепции. Некоторое понимание логарифмов приходит через гиперболические секторы , которые переставляются отображениями сжатия, сохраняя при этом свою площадь. Площадь гиперболического сектора берется как мера гиперболического угла, связанного с сектором. Концепция гиперболического угла совершенно независима от обычного кругового угла , но разделяет с ним свойство инвариантности: в то время как круговой угол инвариантен относительно вращения, гиперболический угол инвариантен относительно отображения сжатия. Как круговой, так и гиперболический угол порождают инвариантные меры , но относительно разных групп преобразований. Гиперболические функции , которые принимают гиперболический угол в качестве аргумента, выполняют роль, которую круговые функции играют с аргументом кругового угла. ^[2]

Теория групп

В 1688 году, задолго до абстрактной теории групп , Евклид Шпейдель описал отображение сжатия в терминах того времени: «Из квадрата и бесконечного множества овалов на поверхности, каждый из которых равен этому квадрату, рождается кривая, которая будет иметь те же свойства или воздействия, что и любая гипербола, вписанная в прямоугольный конус». ^[3]

Если $r$ и $s$ — положительные действительные числа, композиция их отображений сжатия является отображением сжатия их произведения. Таким образом, совокупность отображений сжатия образует однопараметрическую группу, изоморфную мультипликативной группе положительных действительных чисел . Аддитивное представление этой группы возникает из рассмотрения гиперболических секторов и их гиперболических углов.

С точки зрения классических групп , группа отображений сжатия — это $SO + (1,1)$ , единичная компонента неопределенной ортогональной группы действительных матриц 2×2, сохраняющая квадратичную форму $u 2 - v 2$ . Это эквивалентно сохранению формы $xy$ посредством замены базиса

x=u+v,\quad y=uv\,,

и геометрически соответствует сохранению гипербол. Перспектива группы отображений сжатия как гиперболического вращения аналогична интерпретации группы $SO(2)$ (связной компоненты определенной ортогональной группы ), сохраняющей квадратичную форму $x 2 + y 2$ как круговых вращений .

Обратите внимание, что обозначение « $SO +$ » соответствует тому факту, что отражения

u\mapsto -u,\quad v\mapsto -v

не допускаются, хотя они сохраняют форму (в терминах $x$ и $y$ это $x \mapsto y, y \mapsto x$ и $x \mapsto - x, y \mapsto - y)$ ; дополнительный « $+$ » в гиперболическом случае (по сравнению с круговым случаем) необходим для указания компонента тождества, поскольку группа $O(1,1)$ имеет $4$ связные компоненты , в то время как группа $O(2)$ имеет $2$ компоненты: $SO(1,1)$ имеет $2$ компоненты, в то время как $SO(2)$ имеет только 1. Тот факт, что преобразования сжатия сохраняют площадь и ориентацию, соответствует включению подгрупп $SO \subset SL$ – в данном случае $SO(1,1) \subset SL(2)$ – подгруппы гиперболических вращений в специальную линейную группу преобразований, сохраняющих площадь и ориентацию ( форму объема ). На языке преобразований Мёбиуса преобразования сжатия являются гиперболическими элементами в классификации элементов .

Геометрическое преобразование называется конформным, если оно сохраняет углы. Гиперболический угол определяется с помощью площади под y = 1/ x . Поскольку отображения сжатия сохраняют площади преобразованных областей, таких как гиперболические секторы , угловая мера секторов сохраняется. Таким образом, отображения сжатия являются конформными в смысле сохранения гиперболического угла.

Приложения

Здесь обобщены некоторые приложения с историческими ссылками.

Релятивистское пространство-время

Геометрия пространства-времени традиционно разрабатывается следующим образом: выберите (0,0) для «здесь и сейчас» в пространстве-времени. Свет, излучаемый слева и справа через это центральное событие, отслеживает две линии в пространстве-времени, линии, которые можно использовать для задания координат событий, удаленных от (0,0). Траектории с меньшей скоростью отслеживают ближе к исходной временной линии (0, t ). Любую такую скорость можно рассматривать как нулевую скорость при отображении сжатия, называемом усилением Лоренца . Это понимание следует из изучения умножений расщепленных комплексных чисел и диагонального базиса , который соответствует паре световых линий. Формально сжатие сохраняет гиперболическую метрику, выраженную в форме xy ; в другой системе координат. Это применение в теории относительности было отмечено в 1912 году Уилсоном и Льюисом, ^[4] Вернером Гройбом, ^[5] и Луисом Кауфманом . ^[6] Кроме того, форма отображения сжатия преобразований Лоренца использовалась Густавом Герглотцем (1909/10) ^[7] при обсуждении жесткости Борна и была популяризирована Вольфгангом Риндлером в его учебнике по теории относительности, который использовал ее для демонстрации их характерных свойств. ^[8]

Термин «преобразование сжатия» использовался в этом контексте в статье, связывающей группу Лоренца с исчислением Джонса в оптике. ^[9]

Угловой поток

В динамике жидкости одно из основных движений несжимаемого потока включает бифуркацию потока, набегающего на неподвижную стенку. Представляя стенку осью y = 0 и принимая параметр r = exp( t ), где t — время, то отображение сжатия с параметром r, примененное к начальному состоянию жидкости , создает поток с бифуркацией слева и справа от оси x = 0. Та же модель дает сходимость жидкости , когда время идет в обратном направлении. Действительно, площадь любого гиперболического сектора инвариантна при сжатии.

Другой подход к потоку с гиперболическими линиями тока см. в Потенциальном потоке § Степенные законы с n = 2 .

В 1989 году Оттино ^[10] описал «линейный изохорный двумерный поток» как

v_{1}=Gx_{2}\quad v_{2}=KGx_{1}

где K лежит в интервале [−1, 1]. Линии тока следуют кривым

x_{2}^{2}-Kx_{1}^{2}=\mathrm {константа}

таким образом, отрицательное значение K соответствует эллипсу , а положительное значение K — гиперболе, причем прямоугольный случай отображения сжатия соответствует K = 1.

Стокер и Хосой ^[11] описали свой подход к угловому потоку следующим образом:

мы предлагаем альтернативную формулировку для учета угловой геометрии, основанную на использовании гиперболических координат, что позволяет существенно продвинуться в аналитическом определении потока в границе Плато и присоединенных жидких потоков. Мы рассматриваем область потока, образующую угол π /2 и ограниченную слева и снизу плоскостями симметрии.

Затем Стокер и Хосой вспоминают рассмотрение Моффаттом ^[12] «потока в углу между жесткими границами, вызванного произвольным возмущением на большом расстоянии». По мнению Стокера и Хосой,

Для свободной жидкости в прямоугольном пространстве (антисимметричная) функция тока Моффата... [указывает], что гиперболические координаты действительно являются естественным выбором для описания этих потоков.

Мост к трансцендентному

Свойство сохранения площади при отображении сжатия применяется при построении основы трансцендентных функций — натурального логарифма и его обратной — экспоненциальной функции :

Определение: Сектор ( a,b ) — гиперболический сектор, полученный с помощью центральных лучей к ( a , 1/ a ) и ( b , 1/ b ).

Лемма: Если bc = ad , то существует отображение сжатия, которое перемещает сектор ( a,b ) в сектор ( c,d ).

Доказательство: Возьмем параметр r = c / a так, чтобы ( u,v ) = ( rx , y / r ) переводило ( a , 1 / a ) в ( c , 1 / c ) и ( b , 1 / b ) в ( d , 1 / d ).

Теорема ( Грегуар де Сен-Венсан, 1647) Если bc = ad , то квадратура гиперболы xy = 1 против асимптоты имеет равные площади между a и b по сравнению с площадями между c и d .

Доказательство: Аргумент сложения и вычитания треугольников площадью 1 ⁄ 2 , один из которых {(0,0), (0,1), (1,1)}, показывает, что площадь гиперболического сектора равна площади вдоль асимптоты. Теорема тогда следует из леммы.

Теорема ( Альфонс Антонио де Сараса, 1649) Поскольку площадь, измеренная против асимптоты, увеличивается в арифметической прогрессии, проекции на асимптоту увеличиваются в геометрической прогрессии. Таким образом, площади образуют логарифмы индекса асимптоты.

Например, для стандартного позиционного угла, который изменяется от (1, 1) до ( x , 1/ x ), можно спросить: «Когда гиперболический угол равен единице?» Ответом является трансцендентное число x = e .

Сжатие с r = e перемещает единичный угол в один из углов между ( e , 1/ e ) и ( ee , 1/ ee ), который охватывает сектор также площадью один. Геометрическая прогрессия

е , е ² , е ³ , ..., ен ^, ...

соответствует асимптотическому индексу, достигаемому при каждой сумме площадей

1,2,3, ..., н ,...

что является прототипом арифметической прогрессии A + nd , где A = 0 и d = 1.

Преобразование лжи

Следуя исследованиям Пьера Оссиана Бонне (1867) поверхностей постоянной кривизны, Софус Ли (1879) нашел способ вывести новые псевдосферические поверхности из известной. Такие поверхности удовлетворяют уравнению синус-Гордона :

{\frac {d^{2}\Theta }{ds\ d\sigma }}=K\sin \Theta ,

где асимптотические координаты двух главных касательных кривых и их соответствующий угол. Ли показал, что если является решением уравнения синус-Гордона, то следующее отображение сжатия (теперь известное как преобразование Ли ^[13] ) указывает на другие решения этого уравнения: ^[14] $(с,\сигма)$ $\Тета$ $\Theta =f(s,\sigma )$

\Theta =f\left(мс,\ {\frac {\sigma }{м}}\right).

Ли (1883) заметил его связь с двумя другими преобразованиями псевдосферических поверхностей: ^[15]Преобразование Бэклунда ( введенное Альбертом Виктором Бэклундом в 1883 году) можно рассматривать как комбинацию преобразования Ли с преобразованием Бианки (введенным Луиджи Бианки в 1879 году). Такие преобразования псевдосферических поверхностей подробно обсуждались в лекциях по дифференциальной геометрии Гастона Дарбу (1894), ^[16] Луиджи Бианки (1894), ^[17] или Лютера Пфалера Эйзенхарта (1909). ^[18]

Известно, что преобразования Ли (или отображения сжатия) соответствуют усилениям Лоренца в терминах координат светового конуса , как указано Тернгом и Уленбеком (2000): ^[13]

Софус Ли заметил, что SGE [уравнение синуса-Гордона] инвариантно относительно преобразований Лоренца. В асимптотических координатах, которые соответствуют координатам светового конуса, преобразование Лоренца равно . $(x,t)\mapsto \left({\tfrac {1}{\lambda }}x,\lambda t\right)$

Это можно представить следующим образом:

{\begin{matrix}-c^{2}t^{2}+x^{2}=-c^{2}t^{\prime 2}+x^{\prime 2}\\\hline {\begin{aligned}ct'&=ct\gamma -x\beta \gamma &&=ct\cosh \eta -x\sinh \eta \\x'&=-ct\beta \gamma +x\gamma &&=-ct\sinh \eta +x\cosh \eta \end{aligned}}\\\hline u=ct+x,\ v=ct-x,\ k={\sqrt {\tfrac {1+\beta }{1-\beta }}}=e^{\eta }\\u'={\frac {u}{k}},\ v'=kv\\\hline u'v'=uv\end{matrix}}

где k соответствует коэффициенту Доплера в k -исчислении Бонди , η — быстрота .

Смотрите также

На Викискладе есть медиафайлы по теме Сжатие (геометрия) .

Ссылки

^ Эмиль Борель (1914) Введение Geometrique à quelques Théories Physiques, стр. 29, Готье-Вилларс, ссылка из монографий по исторической математике Корнельского университета
^ Меллен В. Хаскелл (1895) О введении понятия гиперболических функций Бюллетень Американского математического общества 1(6):155–9, в частности уравнение 12, стр. 159
^ Евклид Шпейдель (1688) Логарифмотехника: создание чисел, называемых логарифмами из Google Books
^ Эдвин Бидвелл Уилсон и Гилберт Н. Льюис (1912) «Пространственно-временное многообразие относительности. Неевклидова геометрия механики и электромагнетизма», Труды Американской академии искусств и наук 48:387–507, сноска на стр. 401
^ WH Greub (1967) Линейная алгебра , Springer-Verlag. См. страницы 272–274.
^ Луис Кауфман (1985) «Преобразования в специальной теории относительности», Международный журнал теоретической физики 24:223–36
^ Херглотц, Густав (1910) [1909], «Über den vom Standpunkt des Relativitätsprinzips aus als starr zu bezeichnenden Körper» [Перевод из Wikisource: О телах, которые следует называть «жесткими» с точки зрения принципа относительности], Аннален der Physik , 336 (2): 408, Бибкод : 1910AnP...336..393H, doi :10.1002/andp.19103360208
^ Вольфганг Риндлер , Essential Relativity , уравнение 29.5 на странице 45 издания 1969 года, или уравнение 2.17 на странице 37 издания 1977 года, или уравнение 2.16 на странице 52 издания 2001 года.
^ Дэсу Хан, Янг Су Ким и Мэрилин Э. Ноз (1997) «Формализм матрицы Джонса как представление группы Лоренца», Журнал Оптического общества Америки A14(9):2290–8
^ JM Ottino (1989) Кинематика смешивания: растяжение, хаос, транспорт , стр. 29, Cambridge University Press
^ Роман Стокер и А.Е. Хосой (2004) «Угловой поток в свободных жидких пленках», Журнал инженерной математики 50:267–88
^ HK Moffatt (1964) «Вязкие и резистивные вихри вблизи острого угла», Журнал механики жидкости 18:1–18
^ ab Terng, CL, & Uhlenbeck, K. (2000). "Геометрия солитонов" (PDF) . Notices of the AMS . 47 (1): 17–25.{{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ Ли, С. (1881) [1879]. «Selbstanzeige: Über Flächen, deren Krümmungsradien durch eine Relation verknüpft sind». Fortschritte der Mathematik . 11 : 529–531.Перепечатано в сборнике статей Ли, т. 3, стр. 392–393.
^ Ли, С. (1884) [1883]. «Untersuchungen über Differentialgleichungen IV». Христос. Форх .. Перепечатано в сборнике статей Ли, т. 3, стр. 556–560.
^ Дарбу, Г. (1894). Уроки общей теории поверхностей. Тройная вечеринка. Париж: Готье-Виллар. стр. 381–382.
^ Бьянки, Л. (1894). Лециони дифференциальной геометрии. Пиза: Энрико Сперри. стр. 433–434.
^ Эйзенхарт, Л. П. (1909). Трактат по дифференциальной геометрии кривых и поверхностей. Бостон: Ginn and Company. С. 289–290.

HSM Coxeter & SL Greitzer (1967) Возвращение к геометрии , Глава 4. Преобразования. Генеалогия преобразований.
П.С. Моденов и А.С. Пархоменко (1965) Геометрические преобразования , том первый. См. страницы 104–106.
Уолтер, Скотт (1999). «Неевклидов стиль теории относительности Минковского» (PDF) . В J. Gray (ред.). Символическая Вселенная: Геометрия и физика . Oxford University Press. стр. 91–127.(см. стр. 9 электронной ссылки)
Учебные материалы по теме «Взаимные собственные значения» в Викиверситете