Специальное конформное преобразование

Специальный класс дробно-линейных преобразований

Координатная сетка до специального конформного преобразования

Та же сетка после специального конформного преобразования

В проективной геометрии специальное конформное преобразование — это дробно-линейное преобразование , не являющееся аффинным преобразованием . Таким образом, генерация специального конформного преобразования включает использование мультипликативной инверсии , которая является генератором дробно-линейных преобразований, который не является аффинным.

В математической физике некоторые конформные преобразования , известные как преобразования сферических волн, являются специальными конформными преобразованиями .

Векторная презентация

Можно записать специальное конформное преобразование ^[1]

${\displaystyle x'^{\mu }={\frac {x^{\mu }-b^{\mu }x^{2}}{1-2b\cdot x+b^{2}x^{2}}}={\frac {x^{2}}{|x-bx^{2}|^{2}}}(x^{\mu }-b^{\mu }x^{2})\,.}$

Это композиция инверсии ( x µ ^→  x  µ ^/ x ² = y ^µ ), перевода ( y ^µ  →  y ^µ  −  b ^µ = z ^µ ) и другой инверсии ( z ^µ  →  z ^µ /z ² = Икс ′ ^мкм )

${\displaystyle {\frac {x'^{\mu }}{x'^{2}}}={\frac {x^{\mu }}{x^{2}}}-b^{\mu }\,.}$

Его бесконечно малый генератор

${\displaystyle K_{\mu }=-i(2x_{\mu }x^{\nu }\partial _{\nu }-x^{2}\partial _{\mu })\,.}$

Специальные конформные преобразования использованы для изучения силового поля электрического заряда при гиперболическом движении . ^[2]

Проективная презентация

Инверсию можно также считать ^[3] мультипликативной инверсией бикватернионов B . Комплексную алгебру B можно расширить до P( B ) через проективную прямую над кольцом . Гомографии на P( B ) включают переводы:

${\displaystyle U(q:1){\begin{pmatrix}1&0\\t&1\end{pmatrix}}=U(q+t:1).}$

Группа гомографии G( B ) включает в себя сдвиги на бесконечности относительно вложения q → U( q :1);

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\t&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}}.}$

Матрица описывает действие специального конформного преобразования. ^[4]

Групповое имущество

Переводы образуют подгруппу дробно-линейной группы, действующей на проективной прямой. Имеются два вложения в проективную прямую однородных координат : z → [ z :1] и z → [1: z ]. Операция сложения соответствует переводу в первом вложении. Трансляции второго вложения представляют собой специальные конформные преобразования, образующие трансляции на бесконечности. Сложение с помощью этих преобразований возвращает условия перед сложением, а затем возвращает результат еще одним обратным обменом. Эта операция называется параллельной операцией . В случае комплексной плоскости параллельный оператор образует операцию сложения в альтернативном поле , используя бесконечность, но исключая ноль. Таким образом, трансляции на бесконечности образуют еще одну подгруппу группы гомографии на проективной прямой.

История

Термин «специальная конформная трансформация» («speziellen konformen Transformationen» на немецком языке) впервые был использован в 1962 году Гансом Каструпом. ^{[5] [6]}

Рекомендации

1. Ди Франческо; Матье, Сенешаль (1997). Конформная теория поля . Дипломные тексты по современной физике. Спрингер. стр. 97–98. ISBN 978-0-387-94785-3.
2. Галериу, Колин (2019) «Электрический заряд в гиперболическом движении: специальное конформное решение», Европейский журнал физики 40 (6) doi : 10.1088/1361-6404/ab3df6
3. Артур Конвей (1911) «О применении кватернионов к некоторым недавним разработкам теории электричества», Труды Королевской ирландской академии 29: 1–9, особенно страница 9
4. Алгебра/гомографии ассоциативной композиции в Wikibooks
5. Каструп, HA (1962). «Zur physikalischen Deutung und darstellungstheoretischen Analyse der konformen Transformationen von Raum und Zeit». Аннален дер Физик . 464 (7–8): 388–428. дои : 10.1002/andp.19624640706. ISSN  0003-3804.
6. Каструп, HA (18 сентября 2008 г.). «О достижениях конформных преобразований и связанных с ними симметрий в геометрии и теоретической физике*». Аннален дер Физик . 520 (9–10): 631–690. дои : 10.1002/andp.200852009-1005. ISSN  0003-3804.