В математике теорема Лиувилля , доказанная Жозефом Лиувиллем в 1850 году [1] , представляет собой теорему жесткости о конформных отображениях в евклидовом пространстве . Он утверждает, что каждое гладкое конформное отображение в области Rn , где n > 2, может быть выражено как композиция сдвигов , подобий , ортогональных преобразований и инверсий : они являются преобразованиями Мёбиуса (в n измерениях). [2] [3] Эта теорема строго ограничивает разнообразие возможных конформных отображений в R 3 и многомерных пространствах. Напротив, конформные отображения в R 2 могут быть гораздо более сложными – например, все односвязные плоские области конформно эквивалентны по теореме Римана об отображении .
Обобщения теоремы справедливы для преобразований, которые лишь слабо дифференцируемы (Иванец и Мартин, 2001, глава 5). В центре внимания такого исследования находится нелинейная система Коши–Римана, которая является необходимым и достаточным условием конформности гладкого отображения f : Ω → Rn :
где Df — производная Якобиана , T — транспонированная матрица , а I — единичная матрица. Слабым решением этой системы называется элемент f пространства Соболева W1, н
место(Ω, Rn ) с неотрицательным определителем Якобиана почти всюду , такая , что система Коши–Римана выполняется почти в каждой точке Ω. Теорема Лиувилля тогда состоит в том, что каждое слабое решение (в этом смысле) является преобразованием Мёбиуса, то есть оно имеет вид
где a , b — векторы в Rn , α — скаляр, A — матрица вращения, ε = 0 или 2 , а матрица в скобках — I или матрица Хаусхолдера (то есть ортогональная) . Другими словами, любое квазиконформное отображение области в евклидовом пространстве, которое также является конформным, является преобразованием Мёбиуса. Это эквивалентное утверждение оправдывает использование пространства Соболева W 1, n , поскольку f ∈ W1, н
место( Ω , R n ) тогда следует из геометрического условия конформности и ACL-характеристики пространства Соболева. Однако результат не является оптимальным: в четных размерностях n = 2 k теорема справедлива и для решений, которые только предполагаются находящимися в пространстве W.1, к
лок, и этот результат точен в том смысле, что существуют слабые решения системы Коши–Римана в W 1, p для любого p < k , не являющиеся преобразованиями Мёбиуса. В нечетных размерностях известно, что W 1, n не является оптимальным, но точный результат неизвестен.
Аналогичные результаты о жесткости (в гладком случае) верны на любом конформном многообразии . Группа конформных изометрий n -мерного конформного риманова многообразия всегда имеет размерность, не превышающую размерность полной конформной группы SO( n + 1, 1) . Равенство двух измерений выполняется точно тогда, когда конформное многообразие изометрично n -сфере или проективному пространству . Локальные версии результата также верны: алгебра Ли конформных полей Киллинга в открытом множестве имеет размерность, меньшую или равную размерности конформной группы, причем равенство выполняется тогда и только тогда, когда открытое множество локально конформно плоское.
