Конформная геометрия

Изучение преобразований геометрического пространства, сохраняющих углы

В математике конформная геометрия — это изучение множества сохраняющих угол ( конформных ) преобразований в пространстве.

В реальном двумерном пространстве конформная геометрия — это в точности геометрия римановых поверхностей . В пространстве с размерностью выше двух конформная геометрия может относиться либо к изучению конформных преобразований того, что называется «плоскими пространствами» (например, евклидовых пространств или сфер ), либо к изучению конформных многообразий , которые являются римановыми или псевдоримановыми многообразиями с классом метрик , которые определены с точностью до масштаба. Изучение плоских структур иногда называют геометрией Мёбиуса , и оно является разновидностью геометрии Клейна .

Конформные многообразия

Конформное многообразие — это псевдориманово многообразие, снабженное классом эквивалентности метрических тензоров , в котором две метрики g и h эквивалентны тогда и только тогда, когда

${\displaystyle h=\lambda ^{2}g,}$

где λ — вещественная гладкая функция, определенная на многообразии и называемая конформным фактором . Класс эквивалентности таких метрик известен как конформная метрика или конформный класс . Таким образом, конформная метрика может рассматриваться как метрика, которая определена только «до масштаба». Часто конформные метрики обрабатываются путем выбора метрики в конформном классе и применения только «конформно инвариантных» конструкций к выбранной метрике.

Конформная метрика конформно плоская, если существует метрика, представляющая ее, которая является плоской, в обычном смысле, когда тензор кривизны Римана равен нулю. Может быть возможно найти только метрику в конформном классе, которая является плоской в ​​открытой окрестности каждой точки. Когда необходимо различать эти случаи, последний называется локально конформно плоским , хотя часто в литературе не проводится никакого различия. N -сфера является локально конформно плоским многообразием, которое не является глобально конформно плоским в этом смысле, тогда как евклидово пространство, тор или любое конформное многообразие, которое покрыто открытым подмножеством евклидова пространства, является (глобально) конформно плоским в этом смысле. Локально конформно плоское многообразие локально конформно геометрии Мёбиуса , что означает, что существует сохраняющий угол локальный диффеоморфизм из многообразия в геометрию Мёбиуса. В двух измерениях каждая конформная метрика локально конформно плоская. В размерности n > 3 конформная метрика локально конформно плоская тогда и только тогда, когда ее тензор Вейля равен нулю; в размерности n = 3 тогда и только тогда, когда тензор Коттона равен нулю.

Конформная геометрия имеет ряд особенностей, которые отличают ее от (псевдо)римановой геометрии. Первая заключается в том, что хотя в (псевдо)римановой геометрии имеется четко определенная метрика в каждой точке, в конформной геометрии имеется только класс метрик. Таким образом, длина касательного вектора не может быть определена, но угол между двумя векторами все еще может. Другая особенность заключается в том, что не существует связи Леви-Чивиты , поскольку если g и λ ² g являются двумя представителями конформной структуры, то символы Кристоффеля g и λ ² g не будут согласовываться. Те, которые связаны с λ ² g , будут включать производные функции λ, тогда как те, которые связаны с g, не будут.

Несмотря на эти различия, конформная геометрия все еще поддается обработке. Связность Леви-Чивиты и тензор кривизны , хотя и определяются только после того, как был выделен конкретный представитель конформной структуры, удовлетворяют определенным законам преобразования, включающим λ и его производные, когда выбирается другой представитель. В частности, (в размерности выше 3) тензор Вейля оказывается не зависящим от λ , и поэтому он является конформным инвариантом . Более того, даже несмотря на то, что на конформном многообразии нет связи Леви-Чивиты, вместо этого можно работать с конформной связью , которую можно обрабатывать либо как тип связи Картана, смоделированный на связанной геометрии Мёбиуса, либо как связь Вейля . Это позволяет определить конформную кривизну и другие инварианты конформной структуры.

Геометрия Мёбиуса

Геометрия Мёбиуса — это изучение « евклидова пространства с точкой, добавленной на бесконечности», или « пространства Минковского (или псевдоевклидова) с нулевым конусом , добавленным на бесконечности». То есть, постановка представляет собой компактификацию знакомого пространства; геометрия занимается следствиями сохранения углов.

На абстрактном уровне евклидовы и псевдоевклидовы пространства могут обрабатываться практически одинаково, за исключением случая размерности два. Компактифицированная двумерная плоскость Минковского демонстрирует обширную конформную симметрию . Формально ее группа конформных преобразований бесконечномерна. Напротив, группа конформных преобразований компактифицированной евклидовой плоскости является только 6-мерной.

Два измерения

Плоскость Минковского

Конформная группа для квадратичной формы Минковского q ( x , y ) = 2 xy на плоскости — это абелева группа Ли

${\displaystyle \operatorname {CSO} (1,1)=\left\{\left.{\begin{pmatrix}e^{a}&0\\0&e^{b}\end{pmatrix}}\right|a,b\in \mathbb {R} \right\},}$

с алгеброй Ли cso (1, 1), состоящей из всех действительных диагональных матриц размера 2 × 2 .

Рассмотрим теперь плоскость Минковского, снабженную метрикой ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle g=2\,dx\,dy~.}$

Однопараметрическая группа конформных преобразований порождает векторное поле X со свойством, что производная Ли от g вдоль X пропорциональна g . Символически,

L _X g = λg   для некоторого λ .

В частности, используя приведенное выше описание алгебры Ли cso (1, 1) , это означает, что

1. L _X   dx = а ( х ) dx
2. L _X   dy = b ( y ) dy

для некоторых действительных функций a и b , зависящих, соответственно, от x и y .

Наоборот, для любой такой пары действительнозначных функций существует векторное поле X, удовлетворяющее 1 и 2. Следовательно, алгебра Ли бесконечно малых симметрий конформной структуры, алгебра Витта , является бесконечномерной .

Конформная компактификация плоскости Минковского представляет собой декартово произведение двух окружностей S ¹ × S ^1. На универсальной накрывающей нет препятствий для интегрирования бесконечно малых симметрий, и поэтому группа конформных преобразований является бесконечномерной группой Ли

${\displaystyle (\mathbb {Z} \rtimes \mathrm {Diff} (S^{1}))\times (\mathbb {Z} \rtimes \mathrm {Diff} (S^{1})),}$

где Diff( S ¹ ) — группа диффеоморфизмов окружности. ^[1]

Конформная группа CSO(1, 1) и ее алгебра Ли представляют актуальный интерес в двумерной конформной теории поля .

Евклидово пространство

Координатная сетка до преобразования Мёбиуса

Та же сетка после преобразования Мёбиуса

Группа конформных симметрий квадратичной формы

${\displaystyle q(z,{\bar {z}})=z{\bar {z}}}$

— это группа GL ₁ ( C ) = C ^× , мультипликативная группа комплексных чисел. Ее алгебра Ли — gl ₁ ( C ) = C .

Рассмотрим (евклидову) комплексную плоскость, снабженную метрикой

${\displaystyle g=dz\,d{\bar {z}}.}$

Бесконечно малые конформные симметрии удовлетворяют

1. ${\displaystyle \mathbf {L} _{X}\,dz=f(z)\,dz}$
2. ${\displaystyle \mathbf {L} _{X}\,d{\bar {z}}=f({\bar {z}})\,d{\bar {z}},}$

где f удовлетворяет уравнению Коши–Римана и, следовательно, является голоморфной в своей области определения. (См. Алгебра Витта .)

Конформные изометрии области, таким образом, состоят из голоморфных самоотображений. В частности, на конформной компактификации – сфере Римана – конформные преобразования задаются преобразованиями Мёбиуса

${\displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}}$

где ad − bc не равно нулю.

Более высокие измерения

В двух измерениях группа конформных автоморфизмов пространства может быть довольно большой (как в случае лоренцевой сигнатуры) или переменной (как в случае евклидовой сигнатуры). Сравнительное отсутствие жесткости двумерного случая по сравнению с более высокими размерностями обусловлено аналитическим фактом, что асимптотические развития бесконечно малых автоморфизмов структуры относительно не ограничены. В лоренцевой сигнатуре свобода находится в паре действительнозначных функций. В евклидовой сигнатуре свобода находится в одной голоморфной функции.

В случае более высоких размерностей асимптотические развития бесконечно малых симметрий являются в лучшем случае квадратичными многочленами. ^[2] В частности, они образуют конечномерную алгебру Ли . Точечные бесконечно малые конформные симметрии многообразия могут быть проинтегрированы точно, когда многообразие является определенным модельным конформно плоским пространством ( с точностью до взятия универсальных покрытий и дискретных групповых факторов). ^[3]

Общая теория конформной геометрии похожа, хотя и с некоторыми различиями, в случаях евклидовой и псевдоевклидовой сигнатуры. ^[4] В любом случае существует ряд способов введения модельного пространства конформно плоской геометрии. Если иное не ясно из контекста, в этой статье рассматривается случай евклидовой конформной геометрии с пониманием того, что он также применим, mutatis mutandis , к псевдоевклидовой ситуации.

Инверсионная модель

Инверсная модель конформной геометрии состоит из группы локальных преобразований на евклидовом пространстве E ^{n ,} порожденных инверсией в сферах. По теореме Лиувилля любое локальное (конформное) преобразование, сохраняющее угол, имеет эту форму. ^[5] С этой точки зрения свойства преобразования плоского конформного пространства являются свойствами инверсной геометрии .

Проективная модель

Проективная модель отождествляет конформную сферу с определенной квадрикой в ​​проективном пространстве . Пусть q обозначает квадратичную форму Лоренца на R ^{n +2} , определяемую формулой

${\displaystyle q(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n+1})=-2x_{0}x_{n+1}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}.}$

В проективном пространстве P ( R ^{n +2} ) пусть S будет геометрическим местом точек q = 0 . Тогда S является проективной (или мёбиусовой) моделью конформной геометрии. Конформное преобразование на S является проективным линейным преобразованием P ( R n ^{+2 )} , которое оставляет квадрику инвариантной.

В связанной конструкции квадрика S рассматривается как небесная сфера на бесконечности нулевого конуса в пространстве Минковского R ^{n +1,1} , которая снабжена квадратичной формой q, как указано выше. Нулевой конус определяется как

${\displaystyle N=\left\{(x_{0},\ldots ,x_{n+1})\mid -2x_{0}x_{n+1}+x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=0\right\}.}$

Это аффинный конус над проективной квадрикой S. Пусть N ⁺ — будущая часть нулевого конуса (с удаленным началом координат). Тогда тавтологическая проекция R ^{n +1,1} \ {0} → P ( R ^{n +2} ) ограничивается проекцией N ⁺ → S . Это дает N ⁺ структуру линейного расслоения над S . Конформные преобразования на S индуцируются ортохронными преобразованиями Лоренца R n ^{+1,1 , поскольку это однородные линейные преобразования, сохраняющие будущий} нулевой конус.

Евклидова сфера

Интуитивно, конформно плоская геометрия сферы менее жесткая, чем риманова геометрия сферы. Конформные симметрии сферы генерируются инверсией во всех ее гиперсферах . С другой стороны, римановы изометрии сферы генерируются инверсиями в геодезических гиперсферах (см. теорему Картана–Дьедонне ). Евклидова сфера может быть отображена в конформную сферу каноническим образом, но не наоборот.

Евклидова единичная сфера является геометрическим местом в R ^{n +1}

${\displaystyle z^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=1.}$

Это можно отобразить в пространство Минковского R ^{n +1,1,} положив

${\displaystyle x_{0}={\frac {z+1}{\sqrt {2}}},\,x_{1}=x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}=x_{n},\,x_{n+1}={\frac {z-1}{\sqrt {2}}}.}$

Легко видеть, что образ сферы при этом преобразовании равен нулю в пространстве Минковского, и поэтому он лежит на конусе N ⁺ . Следовательно, он определяет сечение линейного расслоения N ⁺ → S .

Тем не менее, был произвольный выбор. Если κ ( x ) — любая положительная функция x = ( z , x ₀ , ..., x _n ) , то присваивание

${\displaystyle x_{0}={\frac {z+1}{\kappa (x){\sqrt {2}}}},\,x_{1}=x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}=x_{n},\,x_{n+1}={\frac {(z-1)\kappa (x)}{\sqrt {2}}}}$

также дает отображение в N ⁺ . Функция κ — произвольный выбор конформного масштаба .

Репрезентативные показатели

Представительная риманова метрика на сфере — это метрика, пропорциональная стандартной метрике сферы. Это дает реализацию сферы как конформного многообразия. Стандартная метрика сферы — это ограничение евклидовой метрики на R ^{n +1}

${\displaystyle g=dz^{2}+dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+\cdots +dx_{n}^{2}}$

в сферу

${\displaystyle z^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=1.}$

Конформный представитель g — это метрика вида λ ² g , где λ — положительная функция на сфере. Конформный класс g , обозначаемый [ g ], — это совокупность всех таких представителей:

${\displaystyle [g]=\left\{\lambda ^{2}g\mid \lambda >0\right\}.}$

Вложение евклидовой сферы в N ⁺ , как в предыдущем разделе, определяет конформную шкалу на S . Наоборот, любая конформная шкала на S задается таким вложением. Таким образом, линейное расслоение N ⁺ → S отождествляется с расслоением конформных шкал на S : задать сечение этого расслоения равносильно указанию метрики в конформном классе [ g ].

Модель метрики окружающей среды

Другой способ реализовать репрезентативные метрики — через специальную систему координат на R ^{n +1, 1} . Предположим, что евклидова n -сфера S несет стереографическую систему координат . Она состоит из следующей карты R ⁿ → S ⊂ R ^{n +1} :

${\displaystyle \mathbf {y} \in \mathbf {R} ^{n}\mapsto \left({\frac {2\mathbf {y} }{\left|\mathbf {y} \right|^{2}+1}},{\frac {\left|\mathbf {y} \right|^{2}-1}{\left|\mathbf {y} \right|^{2}+1}}\right)\in S\subset \mathbf {R} ^{n+1}.}$

В терминах этих стереографических координат можно задать систему координат на нулевом конусе N ⁺ в пространстве Минковского. Используя вложение, данное выше, представительное метрическое сечение нулевого конуса равно

${\displaystyle x_{0}={\sqrt {2}}{\frac {\left|\mathbf {y} \right|^{2}}{1+\left|\mathbf {y} \right|^{2}}},x_{i}={\frac {y_{i}}{\left|\mathbf {y} \right|^{2}+1}},x_{n+1}={\sqrt {2}}{\frac {1}{\left|\mathbf {y} \right|^{2}+1}}.}$

Введем новую переменную t, соответствующую расширениям до N ⁺ , так что нулевой конус будет координироваться

${\displaystyle x_{0}=t{\sqrt {2}}{\frac {\left|\mathbf {y} \right|^{2}}{1+\left|\mathbf {y} \right|^{2}}},x_{i}=t{\frac {y_{i}}{\left|\mathbf {y} \right|^{2}+1}},x_{n+1}=t{\sqrt {2}}{\frac {1}{\left|\mathbf {y} \right|^{2}+1}}.}$

Наконец, пусть ρ будет следующей определяющей функцией N ⁺ :

${\displaystyle \rho ={\frac {-2x_{0}x_{n+1}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}{t^{2}}}.}$

В координатах t , ρ , y на Rn ^+1,1 метрика Минковского принимает вид ^:

${\displaystyle t^{2}g_{ij}(y)\,dy^{i}\,dy^{j}+2\rho \,dt^{2}+2t\,dt\,d\rho ,}$

где g _ij — метрика на сфере.

В этих терминах часть пучка N ⁺ состоит из спецификации значения переменной t = t ( y ⁱ ) как функции y ⁱ вдоль нулевого конуса ρ = 0. Это дает следующий представитель конформной метрики на S :

${\displaystyle t(y)^{2}g_{ij}\,dy^{i}\,dy^{j}.}$

Модель Кляйн

Рассмотрим сначала случай плоской конформной геометрии в евклидовой сигнатуре. n -мерная модель представляет собой небесную сферу ( n + 2) -мерного лоренцева пространства R n ^{+1,1 .} Здесь модель представляет собой геометрию Клейна : однородное пространство G / H , где G = SO( n + 1, 1), действующее на ( n + 2) -мерное лоренцево пространство R ^{n +1,1} , а H - группа изотропии фиксированного нулевого луча в световом конусе . Таким образом, конформно плоские модели являются пространствами инверсной геометрии . Для псевдоевклидовой метрической сигнатуры ( p , q ) модельная плоская геометрия определяется аналогично как однородное пространство O( p + 1, q + 1)/ H , где H снова берется как стабилизатор нулевой линии. Обратите внимание, что как евклидово, так и псевдоевклидово модельные пространства являются компактными .

Конформные алгебры Ли

Для описания групп и алгебр, участвующих в плоском модельном пространстве, зафиксируем следующую форму на R ^{p +1, q +1} :

${\displaystyle Q={\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&J&0\\-1&0&0\end{pmatrix}}}$

где J — квадратичная форма сигнатуры ( p , q ) . Тогда G = O( p + 1, q + 1) состоит из ( n + 2) × ( n + 2) матриц, стабилизирующих Q  : ^t MQM = Q . Алгебра Ли допускает разложение Картана

${\displaystyle \mathbf {g} =\mathbf {g} _{-1}\oplus \mathbf {g} _{0}\oplus \mathbf {g} _{1}}$

где

${\displaystyle \mathbf {g} _{-1}=\left\{\left.{\begin{pmatrix}0&^{t}p&0\\0&0&J^{-1}p\\0&0&0\end{pmatrix}}\right|p\in \mathbb {R} ^{n}\right\},\quad \mathbf {g} _{-1}=\left\{\left.{\begin{pmatrix}0&0&0\\^{t}q&0&0\\0&qJ^{-1}&0\end{pmatrix}}\right|q\in (\mathbb {R} ^{n})^{*}\right\}}$

${\displaystyle \mathbf {g} _{0}=\left\{\left.{\begin{pmatrix}-a&0&0\\0&A&0\\0&0&a\end{pmatrix}}\right|A\in {\mathfrak {so}}(p,q),a\in \mathbb {R} \right\}.}$

С другой стороны, это разложение согласуется с естественной структурой алгебры Ли, определенной на R ⁿ ⊕ cso ( p , q ) ⊕ ( R ⁿ ) ^∗ .

Стабилизатор нулевого луча, направленного вверх по последнему координатному вектору, задается подалгеброй Бореля

h = g ₀ ⊕ g ₁ .

Смотрите также

• Конформная геометрическая алгебра
• Конформная гравитация
• Конформное уравнение Киллинга
• Программа Эрланген
• Плоскость Мёбиуса

Примечания

1. Пол Гинспарг (1989), Прикладная конформная теория поля . arXiv : hep-th/9108028. Опубликовано в Ecole d'Eté de Physique Théorique: Champs, cordes et phénomènes critiques/Поля, струны и критические явления (Les Houches), изд. Э. Брезин и Дж. Зинн-Джастин, Elsevier Science Publishers BV
2. Кобаяси (1972).
3. Согласно общей теореме Штернберга (1962).
4. Словацкий (1993).
5. С.А. Степанов (2001) [1994], "Теоремы Лиувилля", Энциклопедия математики , EMS Press. Г. Монж (1850). « Расширение трех измерений вопроса о географическом следе, примечание VI (Ж. Лиувилля)». Применение анализа в геометрии. Башелье, Париж. стр. 609–615..

Ссылки

• Кобаяси, Сёсичи (1970). Группы преобразований в дифференциальной геометрии (первое издание). Springer. ISBN 3-540-05848-6.
• Словак, Ян (1993). Инвариантные операторы на конформных многообразиях. Конспект научных лекций, Венский университет (диссертация).
• Штернберг, Шломо (1983). Лекции по дифференциальной геометрии . Нью-Йорк: Челси. ISBN 0-8284-0316-3.

Внешние ссылки

• Г.В. Бушманова (2001) [1994], «Конформная геометрия», Энциклопедия математики , Издательство ЭМС
• http://www.euclideanspace.com/maths/geometry/space/nonEuclid/conformal/index.htm