Механика сплошных сред

Раздел физики, изучающий поведение материалов, моделируемых как сплошные среды.

Механика сплошной среды — это раздел механики , который занимается деформацией и передачей сил через материалы , моделируемые как непрерывная среда (также называемая континуумом ), а не как дискретные частицы . Французский математик Огюстен-Луи Коши был первым, кто сформулировал такие модели в XIX веке.

Механика сплошной среды имеет дело с деформируемыми телами , в отличие от твердых тел . Модель континуума предполагает, что вещество объекта полностью заполняет занимаемое им пространство. Игнорируя тот факт, что материя состоит из атомов , это обеспечивает достаточно точное описание материи на масштабах длин, намного больших, чем межатомные расстояния. Концепция сплошной среды позволяет интуитивно анализировать объемную материю с помощью дифференциальных уравнений, которые описывают поведение такой материи в соответствии с физическими законами , такими как сохранение массы, сохранение импульса и сохранение энергии. Информация о конкретном материале выражается в конститутивных отношениях .

Механика сплошной среды рассматривает физические свойства твердых тел и жидкостей независимо от какой-либо конкретной системы координат, в которой они наблюдаются. Эти свойства представлены тензорами , которые являются математическими объектами с важным свойством независимости от систем координат. Это позволяет определять физические свойства в любой точке континуума в соответствии с математически удобными непрерывными функциями . Теории упругости , пластичности и механики жидкости основаны на представлениях механики сплошных сред.

Концепция континуума

Концепция континуума лежит в основе математической основы изучения крупномасштабных сил и деформаций в материалах. Хотя материалы состоят из дискретных атомов и молекул, разделенных пустым пространством или микроскопическими трещинами и кристаллографическими дефектами , физические явления часто можно смоделировать, рассматривая вещество, распределенное в некоторой области пространства. Континуум — это тело, которое можно постоянно подразделять на бесконечно малые элементы с локальными свойствами материала, определенными в любой конкретной точке. Таким образом, свойства объемного материала могут быть описаны непрерывными функциями, а их эволюция может быть изучена с помощью математических вычислений .

Помимо предположения о непрерывности, при изучении механики сплошной среды часто используются еще два независимых предположения. Это однородность (предположение об одинаковых свойствах во всех местах) и изотропия (предположение о направленно-инвариантных векторных свойствах). ^[1] Если эти вспомогательные допущения не применимы в глобальном масштабе, материал можно разделить на разделы, где они применимы, чтобы упростить анализ. В более сложных случаях можно отказаться от одного или обоих этих предположений. В этих случаях часто используются вычислительные методы для решения дифференциальных уравнений , описывающих эволюцию свойств материала.

Основные направления

Дополнительная область механики сплошной среды включает эластомерные пенопласты , которые демонстрируют любопытную гиперболическую зависимость напряжения-деформации. Эластомер представляет собой настоящую сплошную среду, но однородное распределение пустот придает ему необычные свойства. ^[2]

Формулирование моделей

Рисунок 1. Конфигурация сплошного тела

Модели механики сплошной среды начинаются с назначения области в трехмерном евклидовом пространстве моделируемому материальному телу . Точки внутри этой области называются частицами или материальными точками. Разным областям евклидова пространства соответствуют разные конфигурации или состояния тела. Область, соответствующая конфигурации тела в данный момент, обозначена . ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})}$

Конкретная частица внутри тела в определенной конфигурации характеризуется вектором положения

${\displaystyle \mathbf {x} =\sum _{i=1}^{3}x_{i}\mathbf {e} _{i},}$

где – векторы координат в некоторой системе отсчета , выбранной для задачи (см. рисунок 1). Этот вектор можно выразить как функцию положения частицы в некоторой эталонной конфигурации , например конфигурации в начальный момент времени, так что ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$

${\displaystyle \mathbf {x} =\kappa _{t}(\mathbf {X} ).}$

Эта функция должна иметь различные свойства, чтобы модель имела физический смысл. должно быть: ${\displaystyle \kappa _{t}(\cdot )}$

• непрерывный во времени, так что тело меняется реалистично,
• всегда глобально обратим , так что тело не может пересечь само себя,
• сохраняющие ориентацию , поскольку преобразования, вызывающие зеркальные отражения, в природе невозможны.

Для математической формулировки модели также предполагается, что она дважды непрерывно дифференцируема , так что можно сформулировать дифференциальные уравнения, описывающие движение. ${\displaystyle \kappa _{t}(\cdot )}$

Силы в континууме

Твердое тело – это деформируемое тело, обладающее прочностью на сдвиг, sc. твердое тело может выдерживать силы сдвига (силы, параллельные поверхности материала, на которую они действуют). Жидкости, с другой стороны, не выдерживают сдвиговых усилий.

Следуя классической динамике Ньютона и Эйлера , движение материального тела производится действием внешних сил, которые предполагаются двух видов: поверхностные силы и объемные силы . ^[3] Таким образом, общая сила , приложенная к телу или к части тела, может быть выражена как: ${\displaystyle \mathbf {F} _{C}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{B}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}=\mathbf {F} _{C}+\mathbf {F} _{B}}$

Поверхностные силы

Поверхностные силы или контактные силы , выраженные как сила на единицу площади, могут действовать либо на ограничивающую поверхность тела в результате механического контакта с другими телами, либо на воображаемые внутренние поверхности, связывающие части тела, в результате механическое взаимодействие между частями тела по обе стороны от поверхности ( принцип напряжений Эйлера-Коши ). Когда на тело действуют внешние контактные силы, внутренние контактные силы затем передаются из точки в точку внутри тела, чтобы уравновесить их действие, согласно третьему закону движения Ньютона сохранения погонного момента и углового момента (для сплошных тел эти законы называются уравнениями движения Эйлера ). Внутренние контактные силы связаны с деформацией телапосредством материальных уравнений . Внутренние контактные силы можно математически описать тем, как они связаны с движением тела, независимо от материального состава тела. ^{[ нужна цитата ]}

Распределение внутренних контактных сил по объему тела предполагается непрерывным. Поэтому существует плотность контактной силы или поле тяги Коши ^[4] , которое представляет это распределение в конкретной конфигурации тела в данный момент времени . Это не векторное поле, поскольку оно зависит не только от положения конкретной материальной точки, но и от локальной ориентации элемента поверхности, определяемой его вектором нормали . ^{[5] [ нужна страница ]} ${\displaystyle \mathbf {T} (\mathbf {n} ,\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle t\,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$

Любая дифференциальная площадь с нормальным вектором заданной площади внутренней поверхности , ограничивающая часть тела, испытывает контактную силу, возникающую в результате контакта между обеими частями тела на каждой стороне , и она определяется выражением ${\displaystyle dS\,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle S\,\!}$ ${\displaystyle d\mathbf {F} _{C}\,\!}$ ${\displaystyle S\,\!}$

${\displaystyle d\mathbf {F} _{C}=\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\,dS}$

где поверхностное сцепление , ^[6] также называемое вектором напряжения , ^[7] тяга , ^{[8] [ нужна страница ]} или вектор тяги . ^[9] Вектор напряжения является вектором, индифферентным к системе отсчета (см. принцип напряжения Эйлера-Коши ). ${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}}$

Полная контактная сила на конкретной внутренней поверхности тогда выражается как сумма ( поверхностный интеграл ) контактных сил на всех дифференциальных поверхностях : ${\displaystyle S\,\!}$ ${\displaystyle dS\,\!}$

${\displaystyle \mathbf {F} _{C}=\int _{S}\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\,dS}$

В механике сплошной среды тело считается свободным от напряжений, если единственными присутствующими силами являются те межатомные силы ( ионные , металлические и силы Ван-дер-Ваальса ), необходимые для удержания тела вместе и сохранения его формы в отсутствие всех внешних воздействий. , включая гравитационное притяжение. ^{[9] [10]} Напряжения, возникающие при изготовлении кузова определенной конфигурации, также исключаются при рассмотрении напряжений в кузове. Поэтому в механике сплошной среды рассматриваются только напряжения, возникающие в результате деформации тела, sc. учитываются только относительные изменения стресса, а не абсолютные значения стресса.

Тело силы

Объемные силы — это силы, возникающие из источников вне тела ^[11] , которые действуют на объём (или массу) тела. Утверждение, что объемные силы возникают из-за внешних источников, подразумевает, что взаимодействие между различными частями тела (внутренние силы) проявляется только через контактные силы. ^[6] Эти силы возникают из-за присутствия тела в силовых полях, например, гравитационном поле ( силы гравитации ) или электромагнитном поле ( электромагнитные силы ), или из-за сил инерции, когда тела находятся в движении. Поскольку предполагается, что масса сплошного тела непрерывно распределена, любая сила, исходящая от массы, также непрерывно распределена. Таким образом, объемные силы задаются векторными полями, которые предполагаются непрерывными во всем объеме тела ^{[12] ,} т.е. действующими на каждую его точку. Объемные силы представлены плотностью объемных сил(на единицу массы), которая представляет собой векторное поле, не зависящее от системы отсчета. ${\displaystyle \mathbf {b} (\mathbf {x} ,t)}$

В случае гравитационных сил интенсивность силы зависит от массовой плотности материала или пропорциональна ей и выражается в единицах силы на единицу массы ( ) или на единицу объема ( ). Эти две характеристики связаны через плотность материала уравнением . Точно так же интенсивность электромагнитных сил зависит от силы ( электрического заряда ) электромагнитного поля. ${\displaystyle \mathbf {\rho } (\mathbf {x} ,t)\,\!}$ ${\displaystyle b_{i}\,\!}$ ${\displaystyle p_{i}\,\!}$ ${\displaystyle \rho b_{i}=p_{i}\,\!}$

Суммарная массовая сила, приложенная к сплошному телу, выражается как

${\displaystyle \mathbf {F} _{B}=\int _{V}\mathbf {b} \,dm=\int _{V}\rho \mathbf {b} \,dV}$

Объемные силы и контактные силы, действующие на тело, приводят к возникновению соответствующих моментов сил ( крутящих моментов ) относительно данной точки. Таким образом, общий приложенный крутящий момент относительно начала координат определяется выражением ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}=\mathbf {M} _{C}+\mathbf {M} _{B}}$

В определенных ситуациях, обычно не учитываемых при анализе механического поведения материалов, возникает необходимость включения двух других типов сил: это парные напряжения ^{[примечание 1] [примечание 2]} (поверхностные пары, ^[11] контактные моменты) ^[12] и моменты тела . Парные напряжения — это моменты на единицу площади, приложенные к поверхности. Моменты тела или пары тел — это моменты на единицу объема или на единицу массы, приложенные к объему тела. Оба важны при анализе напряжения поляризованного диэлектрического твердого тела под действием электрического поля, материалов, в которых учитывается молекулярная структура ( например, костей), твердых тел под действием внешнего магнитного поля, а также теории дислокаций. металлы. ^{[7] [8] [ нужна страница ] [11]}

Материалы, которые демонстрируют пары тел и парные напряжения в дополнение к моментам, создаваемым исключительно силами, называются полярными материалами . ^{[8] [ нужна страница ] [12]} Неполярные материалы – это материалы, обладающие только моментами сил. В классических разделах механики сплошной среды развитие теории напряжений базируется на неполярных материалах.

Таким образом, сумма всех приложенных сил и моментов (относительно начала системы координат) в теле может быть задана выражением

${\displaystyle {\mathcal {F}}=\int _{V}\mathbf {a} \,dm=\int _{S}\mathbf {T} \,dS+\int _{V}\rho \mathbf {b} \,dV}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}=\int _{S}\mathbf {r} \times \mathbf {T} \,dS+\int _{V}\mathbf {r} \times \rho \mathbf {b} \,dV}$

Кинематика: движение и деформация

Рис. 2. Движение сплошного тела.

Изменение конфигурации сплошного тела приводит к смещению . Перемещение тела имеет две составляющие: перемещение твердого тела и деформацию . Перемещение твердого тела состоит из одновременного перемещения и вращения тела без изменения его формы и размера. Деформация подразумевает изменение формы и/или размеров тела от исходной или недеформированной конфигурации до текущей или деформированной конфигурации (рис. 2). ${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})}$

Движение сплошного тела представляет собой непрерывную во времени последовательность перемещений. Таким образом, материальное тело в разное время будет занимать разные конфигурации, так что частица занимает ряд точек в пространстве, которые описывают линию пути.

Непрерывность во время движения или деформации сплошного тела существует в том смысле, что:

• Материальные точки, образующие замкнутую кривую в любой момент времени, всегда будут образовывать замкнутую кривую в любой последующий момент времени.
• Материальные точки, образующие замкнутую поверхность в любой момент, всегда будут образовывать замкнутую поверхность в любой последующий момент, и материя внутри замкнутой поверхности всегда останется внутри.

Удобно определить эталонную конфигурацию или начальное состояние, из которого ссылаются все последующие конфигурации. Эталонная конфигурация не обязательно должна быть той, которую когда-либо будет занимать тело. Часто конфигурацию at считают эталонной конфигурацией . Компоненты вектора положения частицы, взятые относительно опорной конфигурации, называются материальными или опорными координатами. ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$

При анализе движения или деформации твердых тел или течения жидкостей необходимо описать последовательность или эволюцию конфигураций во времени. Одно описание движения производится в терминах материальных или референтных координат и называется описанием материала или лагранжевым описанием.

Лагранжево описание

В лагранжевом описании положение и физические свойства частиц описываются с точки зрения материальных или опорных координат и времени. В этом случае эталонной конфигурацией является конфигурация по адресу ${\displaystyle t=0}$ . Наблюдатель, стоящий в системе отсчета, наблюдает изменения положения и физических свойств по мере движения материального тела в пространстве с течением времени. Полученные результаты не зависят от выбора начального времени и эталонной конфигурации . Это описание обычно используется в механике твердого тела . ${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$

В лагранжевом описании движение сплошного тела выражается отображающей функцией (рис. 2): ${\displaystyle \chi (\cdot )}$

${\displaystyle \mathbf {x} =\chi (\mathbf {X} ,t)}$

которое представляет собой отображение исходной конфигурации на текущую конфигурацию , дающее геометрическое соответствие между ними, т.е. задающее вектор положения , которое частица с вектором положения в недеформированной или эталонной конфигурации будет занимать в текущей или деформированной конфигурации в момент времени . Компоненты называются пространственными координатами. ${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =x_{i}\mathbf {e} _{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x_{i}}$

Физические и кинематические свойства , т.е. термодинамические свойства и скорость потока, которые описывают или характеризуют особенности материального тела, выражаются как непрерывные функции положения и времени, т.е. ${\displaystyle P_{ij\ldots }}$ ${\displaystyle P_{ij\ldots }=P_{ij\ldots }(\mathbf {X} ,t)}$

Материальной производной любого свойства континуума, которое может быть скаляром, вектором или тензором, является скорость изменения этого свойства во времени для конкретной группы частиц движущегося тела континуума. Материальная производная также известна как существенная производная , сопутствующая производная или конвективная производная . Его можно рассматривать как скорость изменения свойства при измерении наблюдателем, путешествующим с этой группой частиц. ${\displaystyle P_{ij\ldots }}$

В лагранжевом описании материальная производная представляет собой просто частную производную по времени, а вектор положения остается постоянным, поскольку он не меняется со временем. Таким образом, мы имеем ${\displaystyle P_{ij\ldots }}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}[P_{ij\ldots }(\mathbf {X} ,t)]={\frac {\partial }{\partial t}}[P_{ij\ldots }(\mathbf {X} ,t)]}$

Мгновенное положение — это свойство частицы, а его материальная производная — это мгновенная скорость потока частицы. Следовательно, поле скорости потока континуума определяется выражением ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

${\displaystyle \mathbf {v} ={\dot {\mathbf {x} }}={\frac {d\mathbf {x} }{dt}}={\frac {\partial \chi (\mathbf {X} ,t)}{\partial t}}}$

Аналогично, поле ускорений определяется выражением

${\displaystyle \mathbf {a} ={\dot {\mathbf {v} }}={\ddot {\mathbf {x} }}={\frac {d^{2}\mathbf {x} }{dt^{2}}}={\frac {\partial ^{2}\chi (\mathbf {X} ,t)}{\partial t^{2}}}}$

Непрерывность в лагранжевом описании выражается пространственной и временной непрерывностью отображения от эталонной конфигурации к текущей конфигурации материальных точек. Так описываются все физические величины, характеризующие континуум. В этом смысле функции и являются однозначными и непрерывными, с непрерывными производными по пространству и времени до любого требуемого порядка, обычно до второго или третьего. ${\displaystyle \chi (\cdot )}$ ${\displaystyle P_{ij\ldots }(\cdot )}$

Эйлерово описание

Непрерывность позволяет, используя обратный метод, проследить назад, где частица, находящаяся в данный момент, находилась в исходной или указанной конфигурации . В этом случае описание движения производится в терминах пространственных координат, что в этом случае называется пространственным описанием или эйлеровым описанием, т.е. текущая конфигурация принимается в качестве эталонной конфигурации . ${\displaystyle \chi (\cdot )}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$

Эйлерово описание, введенное Даламбером , фокусируется на текущей конфигурации , уделяя внимание тому, что происходит в фиксированной точке пространства с течением времени, вместо того, чтобы уделять внимание отдельным частицам, когда они движутся в пространстве и времени. Этот подход удобно применять при изучении потока жидкости , где наибольший интерес представляет кинематическая характеристика, с которой происходят изменения, а не форма тела жидкости в заданный момент времени. ^[14] ${\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})}$

Математически движение континуума с использованием эйлерова описания выражается отображающей функцией

${\displaystyle \mathbf {X} =\chi ^{-1}(\mathbf {x} ,t)}$

который обеспечивает отслеживание частицы, которая теперь занимает положение в текущей конфигурации , до ее исходного положения в исходной конфигурации . ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$

Необходимым и достаточным условием существования этой обратной функции является то, что определитель матрицы Якобиана , часто называемый просто якобианом, должен быть отличен от нуля. Таким образом,

${\displaystyle J=\left|{\frac {\partial \chi _{i}}{\partial X_{J}}}\right|=\left|{\frac {\partial x_{i}}{\partial X_{J}}}\right|\neq 0}$

В эйлеровом описании физические свойства выражаются как ${\displaystyle P_{ij\ldots }}$

${\displaystyle P_{ij\ldots }=P_{ij\ldots }(\mathbf {X} ,t)=P_{ij\ldots }[\chi ^{-1}(\mathbf {x} ,t),t]=p_{ij\ldots }(\mathbf {x} ,t)}$

где функциональная форма в лагранжевом описании не совпадает с формой в эйлеровом описании. ${\displaystyle P_{ij\ldots }}$ ${\displaystyle p_{ij\ldots }}$

Тогда материальная производная от , используя правило цепочки, равна ${\displaystyle p_{ij\ldots }(\mathbf {x} ,t)}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}[p_{ij\ldots }(\mathbf {x} ,t)]={\frac {\partial }{\partial t}}[p_{ij\ldots }(\mathbf {x} ,t)]+{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}[p_{ij\ldots }(\mathbf {x} ,t)]{\frac {dx_{k}}{dt}}}$

Первый член в правой части этого уравнения дает локальную скорость изменения свойства, происходящего в позиции . Второй член правой части представляет собой конвективную скорость изменения и выражает вклад изменения положения частицы в пространстве (движения). ${\displaystyle p_{ij\ldots }(\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$

Непрерывность в эйлеровом описании выражается пространственной и временной непрерывностью и непрерывной дифференцируемостью поля скорости потока. Все физические величины определяются таким образом в каждый момент времени в текущей конфигурации как функция положения вектора . ${\displaystyle \mathbf {x} }$

Поле смещения

Вектор, соединяющий положения частицы в недеформированной конфигурации и деформированной конфигурации, называется вектором смещения в лагранжевом описании или в эйлеровом описании. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=u_{i}\mathbf {e} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=U_{J}\mathbf {E} _{J}}$

Поле смещений — это векторное поле всех векторов смещений для всех частиц тела, которое связывает деформированную конфигурацию с недеформированной конфигурацией. Анализ деформации или движения сплошного тела удобно проводить через поле смещений. В общем, поле смещений выражается через материальные координаты как

${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=\mathbf {b} +\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad u_{i}=\alpha _{iJ}b_{J}+x_{i}-\alpha _{iJ}X_{J}}$

или в терминах пространственных координат как

${\displaystyle \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {b} +\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=b_{J}+\alpha _{Ji}x_{i}-X_{J}\,}$

где – направляющие косинусы между материальной и пространственной системами координат с единичными векторами и соответственно. Таким образом ${\displaystyle \alpha _{Ji}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} _{J}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$

${\displaystyle \mathbf {E} _{J}\cdot \mathbf {e} _{i}=\alpha _{Ji}=\alpha _{iJ}}$

и связь между и тогда определяется выражением ${\displaystyle u_{i}}$ ${\displaystyle U_{J}}$

${\displaystyle u_{i}=\alpha _{iJ}U_{J}\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=\alpha _{Ji}u_{i}}$

Знаю это

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}=\alpha _{iJ}\mathbf {E} _{J}}$

затем

${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=u_{i}\mathbf {e} _{i}=u_{i}(\alpha _{iJ}\mathbf {E} _{J})=U_{J}\mathbf {E} _{J}=\mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)}$

Обычно системы координат для недеформированной и деформированной конфигураций накладываются друг на друга, что приводит к , а направляющие косинусы становятся дельтами Кронекера , т.е. ${\displaystyle \mathbf {b} =0}$

${\displaystyle \mathbf {E} _{J}\cdot \mathbf {e} _{i}=\delta _{Ji}=\delta _{iJ}}$

Таким образом, мы имеем

${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad u_{i}=x_{i}-\delta _{iJ}X_{J}}$

или в терминах пространственных координат как

${\displaystyle \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=\delta _{Ji}x_{i}-X_{J}}$

Основные уравнения

Механика сплошной среды занимается поведением материалов, которое можно аппроксимировать как непрерывное на определенных длинах и временных масштабах. Уравнения, управляющие механикой таких материалов, включают законы баланса массы , импульса и энергии . Для завершения системы определяющих уравнений необходимы кинематические соотношения и определяющие уравнения . Физические ограничения на форму определяющих соотношений можно применить, потребовав, чтобы второй закон термодинамики выполнялся при всех условиях. В механике сплошной среды твердого тела второй закон термодинамики выполняется, если выполняется форма Клаузиуса – Дюгема неравенства энтропии.

Законы баланса выражают идею о том, что скорость изменения величины (массы, импульса, энергии) в объеме должна возникать по трем причинам:

1. сама физическая величина течет через поверхность, ограничивающую объем,
2. на поверхности объема находится источник физической величины, или/и,
3. внутри объема находится источник физической величины.

Пусть – тело (открытое подмножество евклидова пространства) и пусть – его поверхность (граница ). ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$

Пусть движение материальных точек тела описывается отображением

${\displaystyle \mathbf {x} ={\boldsymbol {\chi }}(\mathbf {X} )=\mathbf {x} (\mathbf {X} )}$

где – положение точки в исходной конфигурации, – положение этой же точки в деформированной конфигурации. ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$

Градиент деформации определяется выражением

${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial \mathbf {X} }}=\nabla \mathbf {x} ~.}$

Законы баланса

Пусть – физическая величина, протекающая через тело. Пусть будут источники на поверхности тела и пусть будут источники внутри тела. Пусть – внешняя единица нормали к поверхности . Пусть – скорость потока физических частиц, несущих текущую физическую величину. Также пусть скорость, с которой движется ограничивающая поверхность, равна (в направлении ). ${\displaystyle f(\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle g(\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle h(\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {n} (\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle u_{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$

Тогда законы баланса можно выразить в общем виде

${\displaystyle {\cfrac {d}{dt}}\left[\int _{\Omega }f(\mathbf {x} ,t)~{\text{dV}}\right]=\int _{\partial \Omega }f(\mathbf {x} ,t)[u_{n}(\mathbf {x} ,t)-\mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)\cdot \mathbf {n} (\mathbf {x} ,t)]~{\text{dA}}+\int _{\partial \Omega }g(\mathbf {x} ,t)~{\text{dA}}+\int _{\Omega }h(\mathbf {x} ,t)~{\text{dV}}~.}$

Функции , и могут иметь скалярные, векторные или тензорные значения – в зависимости от физической величины, с которой имеет дело уравнение баланса. Если в теле есть внутренние границы, то в законах баланса также необходимо указать разрывы скачков. ${\displaystyle f(\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle g(\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle h(\mathbf {x} ,t)}$

Если мы примем точку зрения Эйлера , можно показать, что законы баланса массы, импульса и энергии для твердого тела могут быть записаны как (при условии, что исходный член равен нулю для уравнений массы и углового момента)

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\rho }}+\rho ({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} )&=0&&\qquad {\text{Balance of Mass}}\\\rho ~{\dot {\mathbf {v} }}-{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}-\rho ~\mathbf {b} &=0&&\qquad {\text{Balance of Linear Momentum (Cauchy's first law of motion)}}\\{\boldsymbol {\sigma }}&={\boldsymbol {\sigma }}^{T}&&\qquad {\text{Balance of Angular Momentum (Cauchy's second law of motion)}}\\\rho ~{\dot {e}}-{\boldsymbol {\sigma }}:({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} )+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {q} -\rho ~s&=0&&\qquad {\text{Balance of Energy.}}\end{aligned}}}$

В приведенных выше уравнениях - это массовая плотность (ток), - производная материала по времени , - скорость частицы, - производная материала по времени , - тензор напряжений Коши , - плотность объемной силы, - внутренняя энергия на единицу массы. , — производная материала по времени , — вектор теплового потока, — источник энергии на единицу массы. Используемые операторы определены ниже. ${\displaystyle \rho (\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle {\dot {\rho }}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle {\dot {\mathbf {v} }}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {b} (\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle e(\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle {\dot {e}}}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \mathbf {q} (\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle s(\mathbf {x} ,t)}$

Что касается эталонной конфигурации (с точки зрения Лагранжа), законы баланса можно записать в виде

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho ~\det({\boldsymbol {F}})-\rho _{0}&=0&&\qquad {\text{Balance of Mass}}\\\rho _{0}~{\ddot {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\nabla }}_{\circ }\cdot {\boldsymbol {P}}^{T}-\rho _{0}~\mathbf {b} &=0&&\qquad {\text{Balance of Linear Momentum}}\\{\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {P}}^{T}&={\boldsymbol {P}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}&&\qquad {\text{Balance of Angular Momentum}}\\\rho _{0}~{\dot {e}}-{\boldsymbol {P}}^{T}:{\dot {\boldsymbol {F}}}+{\boldsymbol {\nabla }}_{\circ }\cdot \mathbf {q} -\rho _{0}~s&=0&&\qquad {\text{Balance of Energy.}}\end{aligned}}}$

В приведенном выше примере – первый тензор напряжений Пиолы-Кирхгофа , а – плотность массы в эталонной конфигурации. Первый тензор напряжений Пиолы-Кирхгофа связан с тензором напряжений Коши соотношением ${\displaystyle {\boldsymbol {P}}}$ ${\displaystyle \rho _{0}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {P}}=J~{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}~{\text{where}}~J=\det({\boldsymbol {F}})}$

В качестве альтернативы мы можем определить номинальный тензор напряжений , который является транспонированной первой тензором напряжений Пиолы-Кирхгофа, такой, что ${\displaystyle {\boldsymbol {N}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {N}}={\boldsymbol {P}}^{T}=J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}~.}$

Тогда законы баланса примут вид

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho ~\det({\boldsymbol {F}})-\rho _{0}&=0&&\qquad {\text{Balance of Mass}}\\\rho _{0}~{\ddot {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\nabla }}_{\circ }\cdot {\boldsymbol {N}}-\rho _{0}~\mathbf {b} &=0&&\qquad {\text{Balance of Linear Momentum}}\\{\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {N}}&={\boldsymbol {N}}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}&&\qquad {\text{Balance of Angular Momentum}}\\\rho _{0}~{\dot {e}}-{\boldsymbol {N}}:{\dot {\boldsymbol {F}}}+{\boldsymbol {\nabla }}_{\circ }\cdot \mathbf {q} -\rho _{0}~s&=0&&\qquad {\text{Balance of Energy.}}\end{aligned}}}$

Операторы

Операторы в приведенных выше уравнениях определяются как

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} =\sum _{i,j=1}^{3}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}=v_{i,j}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}~;~~{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} =\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{i}}}=v_{i,i}~;~~{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {S}}=\sum _{i,j=1}^{3}{\frac {\partial S_{ij}}{\partial x_{j}}}~\mathbf {e} _{i}=\sigma _{ij,j}~\mathbf {e} _{i}~.}$

где – векторное поле, – тензорное поле второго порядка, – компоненты ортонормированного базиса в текущей конфигурации. Также, ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}_{\circ }\mathbf {v} =\sum _{i,j=1}^{3}{\frac {\partial v_{i}}{\partial X_{j}}}\mathbf {E} _{i}\otimes \mathbf {E} _{j}=v_{i,j}\mathbf {E} _{i}\otimes \mathbf {E} _{j}~;~~{\boldsymbol {\nabla }}_{\circ }\cdot \mathbf {v} =\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial v_{i}}{\partial X_{i}}}=v_{i,i}~;~~{\boldsymbol {\nabla }}_{\circ }\cdot {\boldsymbol {S}}=\sum _{i,j=1}^{3}{\frac {\partial S_{ij}}{\partial X_{j}}}~\mathbf {E} _{i}=S_{ij,j}~\mathbf {E} _{i}}$

где – векторное поле, – тензорное поле второго порядка, – компоненты ортонормированного базиса в эталонной конфигурации. ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} _{i}}$

Внутренний продукт определяется как

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}:{\boldsymbol {B}}=\sum _{i,j=1}^{3}A_{ij}~B_{ij}=\operatorname {trace} ({\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {B}}^{T})~.}$

Неравенство Клаузиуса – Дюэма

Неравенство Клаузиуса–Дюэма можно использовать для выражения второго закона термодинамики упругопластических материалов. Это неравенство является утверждением о необратимости природных процессов, особенно когда речь идет о диссипации энергии.

Как и в законах баланса в предыдущем разделе, мы предполагаем, что существует поток количества, источник количества и внутренняя плотность количества на единицу массы. Величиной, представляющей интерес в данном случае, является энтропия. Таким образом, мы предполагаем, что в интересующей области существует поток энтропии, источник энтропии, внутренняя плотность массы и внутренняя удельная энтропия (т.е. энтропия на единицу массы) . ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \eta }$

Пусть будет такая область и пусть будет ее граница. Тогда второй закон термодинамики утверждает, что скорость увеличения в этой области больше или равна сумме притока (в виде потока или от внутренних источников) и изменения внутренней плотности энтропии из-за потока материала в и за пределами региона. ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \rho \eta }$

Пусть движется со скоростью потока и пусть частицы внутри имеют скорости . Пусть – единица внешней нормали к поверхности . Пусть – плотность вещества в области, – поток энтропии на поверхности, – источник энтропии на единицу массы. Тогда энтропийное неравенство можно записать как ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle u_{n}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\bar {q}}}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\cfrac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega }\rho ~\eta ~{\text{dV}}\right)\geq \int _{\partial \Omega }\rho ~\eta ~(u_{n}-\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} )~{\text{dA}}+\int _{\partial \Omega }{\bar {q}}~{\text{dA}}+\int _{\Omega }\rho ~r~{\text{dV}}.}$

Скалярный поток энтропии можно связать с векторным потоком на поверхности соотношением . В предположении инкрементально изотермических условий имеем ${\displaystyle {\bar {q}}=-{\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {n} }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}(\mathbf {x} )={\cfrac {\mathbf {q} (\mathbf {x} )}{T}}~;~~r={\cfrac {s}{T}}}$

где – вектор теплового потока, – источник энергии на единицу массы, – абсолютная температура материальной точки в момент времени . ${\displaystyle \mathbf {q} }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle t}$

Тогда мы имеем неравенство Клаузиуса–Дюэма в интегральной форме:

${\displaystyle {{\cfrac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega }\rho ~\eta ~{\text{dV}}\right)\geq \int _{\partial \Omega }\rho ~\eta ~(u_{n}-\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} )~{\text{dA}}-\int _{\partial \Omega }{\cfrac {\mathbf {q} \cdot \mathbf {n} }{T}}~{\text{dA}}+\int _{\Omega }{\cfrac {\rho ~s}{T}}~{\text{dV}}.}}$

Мы можем показать, что энтропийное неравенство можно записать в дифференциальной форме как

${\displaystyle {\rho ~{\dot {\eta }}\geq -{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left({\cfrac {\mathbf {q} }{T}}\right)+{\cfrac {\rho ~s}{T}}.}}$

С точки зрения напряжения Коши и внутренней энергии неравенство Клаузиуса – Дюгема можно записать как

${\displaystyle {\rho ~({\dot {e}}-T~{\dot {\eta }})-{\boldsymbol {\sigma }}:{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} \leq -{\cfrac {\mathbf {q} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}T}{T}}.}}$

Период действия

Справедливость предположения о континууме может быть проверена с помощью теоретического анализа, в котором либо выявляется некоторая четкая периодичность, либо существуют статистическая однородность и эргодичность микроструктуры . Более конкретно, гипотеза континуума основана на концепциях репрезентативного элементарного объема и разделения масштабов на основе условия Хилла – Манделя. Это условие обеспечивает связь взглядов экспериментатора и теоретика на материальные уравнения (линейные и нелинейные упруго-неупругие или связанные поля), а также способ пространственного и статистического усреднения микроструктуры. Когда разделение масштабов не соблюдается или когда требуется создать континуум с более высоким разрешением, чем размер репрезентативного элемента объема (RVE), используется статистический элемент объема (SVE), что приводит к образованию случайных полей континуума. Последние затем обеспечивают основу микромеханики для стохастических конечных элементов (SFE). Уровни SVE и RVE связывают механику сплошных сред со статистической механикой . Экспериментально RVE можно оценить только в том случае, если конститутивный ответ пространственно однороден.

Приложения

• Механика сплошных сред
  • Твердая механика
  • Гидравлическая механика
• Инженерное дело
  • Гражданское строительство
  • Машиностроение
  • Аэрокосмическая техника
  • Биомедицинская инженерия
  • Химическая инженерия

Смотрите также

• Транспортные явления
• Принцип Бернулли
• Коши эластичный материал
• Конфигурационная механика
• Криволинейные координаты
• Уравнение состояния
• Тензоры конечных деформаций
• Теория конечной деформации
• Гиперэластичный материал
• Лагранжева и эйлерова спецификация поля течения
• Передвижной клеточный автомат
• Перидинамика (нелокальная теория континуума, приводящая к интегральным уравнениям)
• Стресс (физика)
• Стрессовые меры
• Тензорное исчисление
• Тензорная производная (механика сплошных сред)
• Теория упругости

Заметки с пояснениями

1. Максвелл указывал, что ненулевые моменты тела существуют в магните в магнитном поле и в диэлектрике в электрическом поле с разными плоскостями поляризации. ^[13]
2. Парные напряжения и пары тел были впервые исследованы Фойгтом и Коссера, а затем повторно представлены Миндлином в 1960 году в его работе над кристаллами чистого кварца для Bell Labs. ^{[ нужна цитата ]}

Рекомендации

Цитаты

1. Малверн 1969, с. 2.
2. Динес и Солем 1999, стр. 155–162.
3. Смит 1993, с. 97.
4. Смит 1993.
5. Люблинер 2008.
6. Лю 2002.
7. Ву 2004.
8. Фунг 1977.
9. Мейс 1970.
10. Атанакович и Гуран 2000.
11. Иргенс 2008.
12. Чедвик 1999.
13. Фунг 1977, с. 76.
14. Спенсер 1980, с. 83.

Цитируемые работы

• Атанакович, Теодор М.; Гуран, Ардешир (16 июня 2000 г.). Теория упругости для ученых и инженеров. Дуврские книги по физике. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-8176-4072-9.
• Чедвик, Питер (1 января 1999 г.). Механика сплошной среды: краткая теория и проблемы. Курьерская корпорация. ISBN 978-0-486-40180-5.
• Динес, Дж. К.; Солем, Дж. К. (1999). «Нелинейное поведение некоторых изотропных эластомерных пенопластов, подвергающихся гидростатическим нагрузкам». Акта Механика . 138 (3–4): 155–162. дои : 10.1007/BF01291841. S2CID  120320672.

• Фунг, ЮК (1977). Первый курс механики сплошных сред (2-е изд.). ISBN Прентис-Холл, Inc. 978-0-13-318311-5.
• Иргенс, Фритьов (10 января 2008 г.). Механика сплошной среды. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-74298-2.
• Лю, И-Ши (28 мая 2002 г.). Механика сплошной среды. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-43019-3.
• Люблинер, Джейкоб (2008). Теория пластичности (PDF) (пересмотренная ред.). Дуврские публикации. ISBN 978-0-486-46290-5. Архивировано из оригинала (PDF) 31 марта 2010 года.

• Остоя-Старжевски, М. (2008). «7-10». Микроструктурная случайность и масштабность в механике материалов . ЦРК Пресс. ISBN 978-1-58488-417-0.

• Спенсер, AJM (1980). Механика сплошной среды. Лонгман Груп Лимитед (Лондон). п. 83. ИСБН 978-0-582-44282-5.

• Робертс, Эй Джей (1994). Одномерное введение в механику сплошной среды . Всемирная научная.

• Смит, Дональд Р. (1993). «2». Введение в механику сплошной среды — по Трусделлу и Ноллу . Механика твердого тела и ее приложения. Том. 22. Springer Science & Business Media. ISBN 978-90-481-4314-6.
• Ву, Хан-Чин (20 декабря 2004 г.). Механика сплошной среды и пластичность. Тейлор и Фрэнсис. ISBN 978-1-58488-363-0.

Общие ссылки

• Батра, Р.Ц. (2006). Элементы механики сплошных сред . Рестон, Вирджиния: AIAA.

• Бертрам, Альбрехт (2012). Упругость и пластичность больших деформаций - Введение (Третье изд.). Спрингер. дои : 10.1007/978-3-642-24615-9. ISBN 978-3-642-24615-9. S2CID  116496103.

• Чандрамули, ПН (2014). Механика сплошной среды. Да, ISBN Dee Publishing Pvt Ltd. 9789380381398. Архивировано из оригинала 4 августа 2018 года . Проверено 24 марта 2014 г.

• Эринген, А. Джемаль (1980). Механика сплошных сред (2-е изд.). ISBN Krieger Pub Co. 978-0-88275-663-9.

• Чен, Юпин; Джеймс Д. Ли; Азим Эскандарян (2009). Бессеточные методы в механике твердого тела (Первое изд.). Спрингер Нью-Йорк. ISBN 978-1-4419-2148-2.

• Дилл, Эллис Гарольд (2006). Механика сплошных сред: упругость, пластичность, вязкоупругость. Германия: CRC Press. ISBN 978-0-8493-9779-0.

• Дмитриенко, Юрий (2011). Нелинейная механика сплошной среды и большие неупругие деформации . Германия: Шпрингер. ISBN 978-94-007-0033-8.

• Хаттер, Колумбан; Клаус Йонк (2004). Непрерывные методы физического моделирования. Германия: Шпрингер. ISBN 978-3-540-20619-4.

• Гуртин, МЭ (1981). Введение в механику сплошных сред . Нью-Йорк: Академическая пресса.

• Лай, В. Майкл; Дэвид Рубин; Эрхард Кремпль (1996). Введение в механику сплошных сред (3-е изд.). ISBN компании Elsevier, Inc. 978-0-7506-2894-5. Архивировано из оригинала 6 февраля 2009 года.

• Лубарда, Владо А. (2001). Теория упругопластичности. ЦРК Пресс. ISBN 978-0-8493-1138-3.

• Малверн, Лоуренс Э. (1969). Введение в механику сплошной среды . Нью-Джерси: Prentice-Hall, Inc.

• Мейс, Джордж Э. (1970). Механика сплошной среды. МакГроу-Хилл Профессионал. ISBN 978-0-07-040663-6.

• Мейс, Дж. Томас; Джордж Э. Мейс (1999). Механика сплошных сред для инженеров (второе изд.). ЦРК Пресс. ISBN 978-0-8493-1855-9.

• Могин, Джорджия (1999). Термомеханика нелинейного необратимого поведения: Введение . Сингапур: World Scientific.
• Немат-Насер, Сиа (2006). Пластичность: трактат о конечной деформации неоднородных неупругих материалов. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-83979-2.

• Остоя-Старжевски, Мартин (2008). Микроструктурная случайность и масштабирование в механике материалов. Бока-Ратон, Флорида: Chapman & Hall/CRC Press. ISBN 978-1-58488-417-0.

• Рис, Дэвид (2006). Базовая инженерная пластичность - введение в инженерные и производственные приложения. Баттерворт-Хайнеманн. ISBN 978-0-7506-8025-7.

• Райт, Т.В. (2002). Физика и математика полос адиабатического сдвига . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета.

Внешние ссылки

• «Объективность в классической механике сплошной среды: движения, эйлеровы и лагранжевы функции; градиент деформации; производные Ли; формула сложения скорости, Кориолис; объективность» Жиля Леборня, 7 апреля 2021 г.: «Часть IV Формула сложения скоростей и объективность» ^{[ постоянный мертвая ссылка ]}